Equações Diferenciais

Cálculo AB do AP · Tópico 7

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7.1

Modelagem de Situações com Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.A: Interpretar afirmações verbais de problemas como equações diferenciais envolvendo uma expressão de derivada.

FUN-7.A.1 Equações diferenciais relacionam uma função de uma variável independente e as derivadas dessa função.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma equação diferencial 微分方程 é uma equação que relaciona uma função às suas próprias derivadas. Ela descreve uma situação através da sua taxa de variação. Por exemplo, "a taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao seu tamanho" torna-se

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Aprender a traduzir uma frase sobre uma taxa em uma equação diferencial é a primeira habilidade desta unidade.

7.2

Verificando Soluções para Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.B: Verificar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.B.1 Derivadas podem ser usadas para verificar se uma função é uma solução para uma dada equação diferencial.
FUN-7.B.2 Pode haver infinitas soluções gerais para uma equação diferencial.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma solução 解 de uma equação diferencial é uma função que a torna verdadeira. Você pode verificar uma solução proposta diferenciando-a e substituindo na equação: se ambos os lados correspondem, é uma solução. Note que uma equação diferencial geralmente tem infinitas soluções – uma família inteira – diferindo por uma constante.

7.3

Esboçando Campos de Inclinação

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.1 Um campo de inclinação é uma representação gráfica de uma equação diferencial em um conjunto finito de pontos no plano.
FUN-7.C.2 Campos de inclinação fornecem informações sobre o comportamento de soluções para equações diferenciais de primeira ordem.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Campos de inclinação e curvas solução

Um campo de inclinação 斜率场 desenha a equação diferencial como uma grade de pequenos segmentos: em cada ponto $(x,y)$ o segmento tem inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ avaliada ali. Para esboçar um, substitua vários pontos no lado direito e desenhe um pequeno segmento com essa inclinação em cada um. A imagem mostra a forma das curvas solução sem resolver.

Um campo de inclinação mostra dy/dx em cada ponto; uma curva solução segue os segmentos — Cada segmento curto tem a inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ naquele ponto; uma curva solução passa por ele, mantendo-se tangente ao campo.

Habilidade de exame. Uma parte comum fornece uma porção de um campo de inclinação e pede para você esboçar a solução particular por um ponto dado – comece no ponto e siga os segmentos, mantendo-se tangentes a eles.

Explorar

Leia uma equação diferencial como um campo de inclinações

Um campo de inclinações desenha a inclinação $dy/dx$ em cada ponto. Uma curva solução passa por ele, sempre tangente aos pequenos segmentos — você pode esboçá-la seguindo o fluxo.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	分离变量法	fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	通解	tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	特解	tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	定义域限制	dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	指数增长与衰减	zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn

7.4

Raciocínio Usando Campos de Inclinação

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.3 Soluções para equações diferenciais são funções ou famílias de funções.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Soluções de uma equação diferencial são funções ou famílias de funções. Leia um campo de inclinação para raciocinar sobre o comportamento: onde os segmentos são planos ($\tfrac{dy}{dx}=0$) a solução está momentaneamente nivelada; onde eles se tornam íngremes a solução sobe ou desce mais rápido; fileiras horizontais de inclinação igual sugerem que a taxa depende apenas de $y$ (ou apenas de $x$).

7.6

Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.D: Determinar soluções gerais para equações diferenciais.

FUN-7.D.1 Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas por separação de variáveis.
FUN-7.D.2 A antiderivação pode ser usada para encontrar soluções gerais para equações diferenciais.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Muitas equações diferenciais de exames são resolvidas por separação de variáveis 分离变量法. Se $\dfrac{dy}{dx}$ fatorar em uma função de $x$ vezes uma função de $y$, mova todos os $y$ para um lado e todos os $x$ para o outro, então integre ambos os lados:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Adicione a constante de integração uma vez (no lado de $x$). Isso dá a solução geral 通解.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com a condição inicial $y(0)=2$. Separe e integre:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Aplicar $y(0)=2$ dá $A=2$, logo a solução particular é $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais e Separação de Variáveis

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.E: Determinar soluções particulares para equações diferenciais.

FUN-7.E.1 Uma solução geral pode descrever infinitas soluções para uma equação diferencial. Existe apenas uma solução particular que passa por um dado ponto.
FUN-7.E.2 A função $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ é uma solução particular para a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfazendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Soluções para equações diferenciais podem estar sujeitas a restrições de domínio.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma condição inicial 初始条件 – um ponto conhecido $(x_0,y_0)$ – fixa uma curva da família. Substitua-a para resolver pela constante $C$; o resultado é a solução particular 特解. Existe exatamente uma solução através de um dado ponto. Atenção para restrições de domínio 定义域限制: mantenha o ramo que contém o ponto inicial (por exemplo, o sinal correto de uma raiz quadrada).

A constante gera uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma delas — A constante dá uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
solution/səˈluːʃn/	解	jiě

7.8

Modelos Exponenciais com Equações Diferenciais

Programa

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.F: Interpretar o significado de uma equação diferencial e suas variáveis em contexto.

FUN-7.F.1 Aplicações específicas do encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais incluem o movimento ao longo de uma linha e o crescimento e decaimento exponencial.
FUN-7.F.2 O modelo para crescimento e decaimento exponencial que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao tamanho da quantidade" é $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.G: Determinar soluções gerais e particulares para problemas envolvendo equações diferenciais em contexto.

FUN-7.G.1 O modelo de crescimento e decaimento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, com condição inicial $y = y_0$ quando $t = 0$, tem soluções da forma $y = y_0 e^{kt}$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial de populações

O modelo mais importante é crescimento e decaimento exponencial 指数增长与衰减. A equação $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (taxa proporcional ao tamanho) tem a solução:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

onde $y_0$ é o valor em $t=0$. Aqui $k>0$ dá crescimento e $k<0$ dá decaimento. Você pode derivar isso por separação de variáveis ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), e modela processos como crescimento populacional, decaimento radioativo e lei do resfriamento de Newton. Uma parte subsequente pode pedir $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: diferencie $\dfrac{dy}{dt}=ky$ novamente (usando $\dfrac{dy}{dt}=ky$) para expressá-la em termos de $y$.

Exemplo resolvido. Uma amostra decai por $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (em anos) de $y_0=50\ \text{g}$. A solução é $y=50e^{-0.10t}$, logo após $10$ anos $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Sua meia-vida resolve $25=50e^{-0.10t}$, ou seja, $e^{-0.10t}=\tfrac12$, dando $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independente da quantidade inicial.

Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial

Explorar

Um modelo de crescimento/decadência exponencial

y = a·e^(bx) + c

A equação $dy/dt=ky$ tem soluções exponenciais: a quantidade muda a uma taxa proporcional a si mesma, dando crescimento ilimitado ($k>0$) ou decadência para zero ($k<0$).

7.8

Dicas de prova

Resolva uma equação separável colocando todos os $y$ de um lado e todos os $x$ do outro, então integre ambos os lados (adicione $+C$ uma vez).
Use a condição inicial para encontrar $C$ (uma solução particular).
Esboce ou leia um campo de inclinação: os pequenos segmentos mostram $\tfrac{dy}{dx}$ em cada ponto, e uma curva solução os segue.
Reconheça modelos exponenciais $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crescimento/decaimento).
Uma equação diferencial dá a inclinação – você deve integrar para recuperar a função.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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