Aplicações da Integração

Cálculo AB do AP · Tópico 8

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8.1

Valor Médio de uma Função

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.B: Determinar o valor médio de uma função usando integrais definidas.

CHA-4.B.1 O valor médio de uma função contínua $f$ sobre um intervalo $[a, b]$ é $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O valor médio 平均值 de uma função contínua $f$ sobre $[a,b]$ é a integral dividida pelo comprimento do intervalo:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

É a altura constante de um retângulo em $[a,b]$ com a mesma área que sob $f$. Não confunda com a taxa média de variação (que divide mudança em $f$ pelo intervalo), nem com uma média de somas de Riemann de poucos valores – o exame distingue esses cuidadosamente. Relate unidades no contexto (p.ex., a taxa média "em veículos por hora").

Exemplo resolvido. O valor médio de $f(x)=x^2$ em $[0,3]$ é

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explorar

O valor médio de uma função

y = ax³ + bx² + cx + d

O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é sua integral dividida pela largura — a altura constante cujo retângulo tem a mesma área que sob a curva.

8.2

Posição, Velocidade e Aceleração Usando Integrais

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.C: Determinar valores para posições e taxas de variação usando integrais definidas em problemas envolvendo movimento retilíneo.

CHA-4.C.1 Para uma partícula em movimento retilíneo sobre um intervalo de tempo, a integral definida da velocidade representa o deslocamento da partícula sobre o intervalo de tempo, e a integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A integral inverte os links de movimento da Unidade 4. Para uma partícula em movimento retilíneo sobre $[t_1,t_2]$:

Deslocamento 位移 (mudança líquida na posição) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distância total percorrida 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integre a velocidade escalar, para que mudanças de direção se somem em vez de cancelarem.
Posição em um tempo futuro $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocidade a partir da aceleração $= v(t_1)+\int a$.

A distinção entre deslocamento e distância (com o valor absoluto) é um ponto clássico avaliado.

8.3

Funções de Acumulação e Integrais Definidas em Contextos Aplicados

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.D: Interpretar o significado de uma integral definida em problemas de acumulação.

CHA-4.D.1 Uma função definida como uma integral representa uma acumulação de uma taxa de variação.
CHA-4.D.2 A integral definida da taxa de variação de uma quantidade sobre um intervalo dá a mudança líquida dessa quantidade sobre esse intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.E: Determinar a mudança líquida usando integrais definidas em contextos aplicados.

CHA-4.E.1 A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e mudança líquida em muitos contextos aplicados.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma função definida como uma integral acumula uma taxa de variação. O teorema de mudança líquida 净变化 é a ferramenta cotidiana: a integral definida de uma taxa sobre um intervalo dá a mudança líquida da quantidade:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Então "quanto água há no tanque em $t=5$" = quantidade inicial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Cuidado com sinais (entrada menos saída) e unidades. Muitas questões dissertativas de múltiplas partes são construídas inteiramente sobre essa ideia – frequentemente combinadas com "escreva, mas não avalie, uma expressão integral que dê a total...".

8.4

Encontrando a Área Entre Curvas (Funções de x)

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.1 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas com integrais definidas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

A área entre duas curvas $y=f(x)$ (topo) e $y=g(x)$ (base) em $[a,b]$ é:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Encontre os pontos de interseção primeiro para definir os limites, e sempre subtraia a base do topo.

Exemplo resolvido. Encontre a área entre $y=x$ e $y=x^2$. Elas cruzam em $x=0$ e $x=1$, e em $(0,1)$ a reta $y=x$ está no topo, logo

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

A área entre duas curvas é a integral do topo menos a base — A região sombreada vai de uma interseção $a$ à próxima $b$; sua área é $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Encontrando a Área Entre Curvas (Funções de y)

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.2 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas usando funções de $x$ ou $y$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Algumas regiões são mais fáceis descritas com fatias horizontais – integre em relação a $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Escolha fatias $x$- ou $y$-para manter um único par superior/inferior (ou direito/esquerdo) sobre toda a região.

8.6

Área Entre Curvas com Mais de Duas Interseções

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.3 Áreas de certas regiões no plano podem ser calculadas usando uma soma de duas ou mais integrais definidas ou por avaliar uma integral definida do valor absoluto da diferença de duas funções.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se as curvas se cruzam mais de duas vezes, uma função está por cima em parte da região e a outra por cima em outro lugar. Divida em uma soma de integrais em cada ponto de interseção, ou integre o valor absoluto da diferença:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine qual curva está mais alta em cada subintervalo antes de escrever as integrais.

8.7

Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.1 Volumes de sólidos com secções transversais quadradas e retangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Um oleiro moldando um vaso: sólidos de revolução são volumes formados pela rotação de uma região plana — Um oleiro modelando um vaso: sólidos de revolução são volumes formados pela rotação de uma região plana

Se um sólido tem uma secção transversal 横截面 conhecida perpendicular a um eixo, seu volume é a integral da área da secção transversal:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Para secções transversais quadradas com lado igual à altura da região $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; para um retângulo de altura $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. A frase do exame "a base de um sólido... as secções transversais são quadrados/retângulos" sinaliza exatamente isso.

8.8

Volumes com Secções Transversais: Triângulos e Semicírculos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.2 Volumes de sólidos com secções transversais triangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
CHA-5.B.3 Volumes de sólidos com secções transversais semicirculares e outras definidas geometricamente podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
- Exemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - O volume de um funil cujas seções transversais são círculos pode ser encontrado usando a fórmula da área do círculo e integrais definidas (consulte 2016 FRQ do Exame AP #5(b)).
  - O volume de um sólido cuja área da seção transversal é definida por uma função pode ser encontrado usando a função de área conhecida e uma integral definida (consulte 2009 FRQ do Exame AB #4(c)).

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Mesmo método, fórmula de área diferente: para um triângulo 三角形 equilátero de lado $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; para um semicírculo 半圆 de diâmetro $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Iguale o comprimento-chave da forma ao comprimento da fatia da região $s(x)$, e integre $A(x)$.

8.9

Volume com o Método dos Discos (Eixos x ou y)

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.1 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do disco.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Sólidos de revolução: o método dos discos

Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido de revolução 旋转体. Se a região toca o eixo, cada fatia é um disco 圆盘 de raio $r$ = o valor da função:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Em torno do eixo $x$, $r=f(x)$ e integre em $x$; em torno do eixo $y$, expresse $x$ como função de $y$ e integre em $y$.

O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)

Exemplo resolvido. Revolva a região sob $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ para $x=4$ em torno do eixo $x$. Cada disco tem raio $r=\sqrt{x}$, então

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Girar uma região em torno de um eixo varre um sólido de revolução

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	总路程	zǒng lù chéng
net change/net tʃeɪndʒ/	净变化	jìng biàn huà
cross section/krɒs ˈsekʃn/	横截面	héng jié miàn
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	三角形	sān jiǎo xíng
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	半圆	bàn yuán
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	旋转体	xuán zhuǎn tǐ
disc/dɪsk/	圆盘	yuán pán

8.10

Volume com o Método dos Discos (Outros Eixos)

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.2 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical no plano podem ser encontrados usando integrais definidas com o método dos discos.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Em torno de qualquer linha horizontal ou vertical $y=k$ ou $x=k$, o raio é a distância da curva até essa linha, por exemplo, $r(x)=|f(x)-k|$. Configure o raio cuidadosamente, e então use $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume com o Método das Arandelas

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.3 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ cujas secções transversais têm forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do anel.

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.4 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical cujas secções transversais são em forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método das anéis.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Volume pelo método das arandelas

Quando a região não toca o eixo, cada fatia é uma arandela 垫圈 (um anel) com raio externo $R$ e raio interno $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ é a distância do eixo ao limite mais distante e $r$ ao mais próximo. Em torno de uma linha que não é um eixo, ambos os raios são medidos como distâncias até essa linha – uma variação muito comum em exames (por exemplo, girando em torno de $y=-2$).

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
washer/ˈwɒʃə/	垫圈	diàn juàn

8.11 8.12

Dicas de prova

A área entre curvas é $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encontre os pontos de interseção para os limites e mantenha superior menos inferior.
Para um volume de revolução, some as seções transversais de disco/anilha de área $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
A mudança acumulada é $\int$ de uma taxa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integração significa "somar infinitas peças pequenas" — configure o integrando como uma fina fatia.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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