Diferenciação: Definição e Propriedades Fundamentais

Cálculo AB do AP · Topic 2 · ⁨Tópico 2⁩

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2.1

Average and Instantaneous Rates of Change · ⁨Taxas Médias e Instantâneas de Variação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.A: Determinar taxas de variação médias usando quocientes de diferença.

CHA-2.A.1 Os quocientes de diferença $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expressam a taxa de variação média de uma função sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

CHA-2.B.1 A taxa de variação instantânea de uma função em $x=a$ pode ser expressa por $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, desde que o limite exista. Estas são formas equivalentes da definição da derivada e são denotadas $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

Português

Um parque de diversões numa colina de subida: a derivada mede a taxa instantânea de variação da posição

A derivada pelos primeiros princípios

A Unidade 1 construiu o limite. A Unidade 2 o usa para definir a derivada 导数 – a taxa exata de variação em um ponto.

A taxa instantânea de variação é a inclinação da tangente em um ponto

Sobre um intervalo, a taxa média de variação é um quociente de diferenças 差商. Duas formas equivalentes aparecem:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

A primeira usa um passo de tamanho $h$ partindo de $a$; a segunda usa dois pontos $x$ e $a$. Ambas calculam $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre o intervalo.

A taxa instantânea 瞬时 de variação em $x=a$ é o que o quociente de diferenças se aproxima à medida que o intervalo diminui até zero. Este limite é a derivada em $a$, escrita $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

desde que o limite exista.

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Da taxa média à taxa instantânea

y = ax³ + bx² + cx + d

Deslize o ponto: a secante através de dois pontos próximos inclina-se em direção à tangente à medida que eles se fundem. A inclinação da tangente é a derivada — a taxa de mudança instantânea.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.2

Defining the Derivative and Its Notation · ⁨Definindo a Derivada e Sua Notação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

CHA-2.B.2 A derivada de $f$ é a função cujo valor em $x$ é $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, desde que este limite exista.
CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, as notações para a derivada incluem $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $y'$.
CHA-2.B.4 A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.C: Determinar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto dado.

CHA-2.C.1 A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

Português

Deixe o ponto $a$ variar e a derivada torna-se uma nova função:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Esta é a definição da derivada (às vezes chamada de "derivar pelos primeiros princípios" 用定义求导). Seu valor em cada $x$ é a taxa instantânea de variação ali.

As notações 记号 comuns para a derivada de $y=f(x)$ são:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente – esteja preparado para transitar entre elas.

Significado geométrico. A derivada em um ponto é a inclinação 斜率 da linha tangente 切线 ao gráfico ali. Assim, a linha tangente em $x=a$ passa por $\big(a, f(a)\big)$ com inclinação $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Escrever esta linha é uma tarefa rotineira de exame, então mantenha a forma ponto-inclinação pronta.

Inclinações de secantes se aproximam da inclinação da tangente: a derivada é o limite das taxas médias — Conforme $Q$ desliza em direção a $P$, a inclinação de cada secante (uma taxa média) se aproxima da inclinação da tangente – a derivada $f'(a)$.

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨Estimando uma Derivada em um Ponto⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

Objetivo de Aprendizagem CHA-2.D: Estimar derivadas.

CHA-2.D.1 A derivada em um ponto pode ser estimada a partir de informações fornecidas em tabelas ou gráficos.
CHA-2.D.2 Tecnologia pode ser usada para calcular ou estimar o valor da derivada de uma função em um ponto.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

Português

Você nem sempre tem uma fórmula. Quando uma função é dada por uma tabela 表格 ou um gráfico, estime a derivada $f'(a)$ com um quociente de diferença sobre um pequeno intervalo em torno de $a$. Uma tabela com valores de ambos os lados de $a$ fornece a melhor estimativa:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Tecnologia (uma calculadora) também pode estimar uma derivada em um ponto.

Habilidade de prova (aparece quase todos os anos). Questões como "Aproxime $M'(7.5)$ usando a taxa média de variação de $M$ no intervalo $5 \le t \le 10$" pedem exatamente este quociente de diferença. Mostre o ajuste:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Nota completa exige os números substituídos e as unidades corretas 单位 (unidades de saída por unidade de entrada), pois vêm de modelos do mundo real.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì

2.4

When Does a Derivative Exist? · ⁨Quando uma Derivada Existe?⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-2): Reconhecer que a derivada de uma função também pode ser uma função nos permite desenvolver conhecimento sobre os comportamentos correlacionados de ambas.

Objetivo de Aprendizagem FUN-2.A: Explicar a relação entre diferenciabilidade e continuidade.

FUN-2.A.1 Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular, se um ponto não está no domínio de $f$, então ele não está no domínio de $f'$.
FUN-2.A.2 Uma função contínua pode falhar em ser diferenciável em um ponto de seu domínio.
- Exemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
  - Os limites lateral esquerdo e lateral direito do quociente de diferença não são iguais, como em $f(x)=|x|$ em $x=0$.
  - A reta tangente é vertical e não possui inclinação, como em $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

Português

Diferenciabilidade é mais forte que continuidade. A relação chave:

Se $f$ for diferenciável 可导 em um ponto, então $f$ é contínua 连续 naquele ponto.

Então diferenciabilidade implica continuidade. O inverso é falso: uma função contínua pode falhar em ser diferenciável. Duas maneiras disso acontecer:

Um ponto anguloso 尖点: os limites dos quocientes de diferença à esquerda e à direita discordam, como com $f(x)=|x|$ em $x=0$.
Uma tangente vertical 垂直切线: a inclinação é infinita (nenhum número real), como com $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.

Duas maneiras de uma função contínua não ser diferenciável: um ponto anguloso e uma tangente vertical

Além disso, um ponto fora do domínio de $f$ não pode estar no domínio de $f'$. Use a contrapositiva na prova: se $f$ não é contínua em $a$, então $f$ não é diferenciável em $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨A Regra da Potência⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.1 A aplicação direta da definição da derivada e regras específicas pode ser usada para calcular a derivada de funções da forma $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

Português

Daqui usamos regras em vez da definição de limite cada vez. A regra da potência 幂法则 lida com qualquer potência de $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Ela funciona para potências inteiras, potências negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) e raízes ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – reescreva como uma potência primeiro, depois aplique a regra.

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Uma função potência e sua inclinação acelerada

y = ax³ + bx² + cx + d

A regra da potência $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaixa o expoente como um fator. Para $x^3$, a inclinação cresce rapidamente à medida que $x$ sai de 0 — a curva se torna mais íngreme.

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨Regras da Constante, Soma, Diferença e Múltiplo Constante⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.2 Somas, diferenças e múltiplos constantes de funções podem ser diferenciadas usando regras de derivada.
FUN-3.A.3 A regra da potência combinada com propriedades de soma, diferença e múltiplo constante pode ser usada para encontrar as derivadas de funções polinomiais.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

Português

Essas regras permitem diferenciar termo a termo:

Constante: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (uma constante não muda).
Múltiplo constante 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Soma / diferença: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinadas com a regra da potência, elas diferenciam qualquer termo de um polinômio 多项式 termo a termo. Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of sin x, cos x, e^x, and ln x · ⁨Derivadas de sin x, cos x, e^x e ln x⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

FUN-3.A.4 Regras específicas podem ser usadas para encontrar as derivadas de funções seno, cosseno, exponencial e logarítmica.

Compreensão Duradoura (LIM-3): O raciocínio com definições, teoremas e propriedades pode ser usado para determinar um limite.

Objetivo de Aprendizagem LIM-3.A: Interpretar um limite como uma definição de derivada.

LIM-3.A.1 Em alguns casos, reconhecer uma expressão para a definição da derivada de uma função cuja derivada é conhecida oferece uma estratégia para determinar um limite.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Português

Aprenda estas quatro derivadas base de coração:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note o sinal negativo na derivada do cosseno, e que $e^{x}$ é sua própria derivada.

Um limite que é realmente uma derivada (LIM-3.A.1). Às vezes um limite é secretamente a definição de uma derivada conhecida. Se você reconhecer

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

para uma função $f$ cuja derivada você conhece, basta avaliar $f'(a)$. Por exemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

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A forma de sin x (cuja inclinação é cos x)

y = asen(bx + c) + d

A derivada de $\sin x$ é $\cos x$: a inclinação da curva seno é maior onde o seno cruza zero e zero em seus picos. Observe a curva para sentir onde sua inclinação é íngreme ou plana.

2.8

The Product Rule · ⁨A Regra do Produto⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.1 As derivadas de produtos de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do produto.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The product rule as a growing rectangle

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

Português

A regra do produto como um retângulo crescendo

O produto de duas funções não é diferenciado multiplicando as derivadas. Use a regra do produto 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo." Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

As questões de exame frequentemente constroem uma nova função a partir de peças dadas, por exemplo, $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, e pedem para combinar regras enquanto lê valores de uma tabela.

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English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé

2.9

The Quotient Rule · ⁨A Regra do Quociente⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.2 As derivadas de quocientes de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do quociente.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

Português

Para um quociente, use a regra do quociente 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Base vezes a derivada do numerador, menos numerador vezes a derivada da base, tudo sobre a base ao quadrado." A ordem importa devido ao sinal negativo, então escreva o numerador cuidadosamente. Exemplo:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of tan x, cot x, sec x, and csc x · ⁨Derivadas de tan x, cot x, sec x e csc x⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

FUN-3.B.3 Rearranjar funções tangente, cotangente, secante e cossecante usando identidades permite a diferenciação usando regras de derivada.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The quotient rule: differentiating a fraction

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $f(x)=x^2\sin x$ with the product rule $(uv)'=u'v+uv'$: take $u=x^2$ ($u'=2x$) and $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), giving $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Always read the structure first — a product needs the product rule, not the power rule applied to each factor separately.

Português

A regra do quociente: diferenciando uma fração

As derivadas trigonométricas restantes não são decoradas separadamente – você as reescreve com identidades 恒等式 e aplica a regra do quociente (ou produto). Por exemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, então a regra do quociente dá

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

O mesmo método (escrevendo $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) dá $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ e $-\csc x\cot x$.

Derivadas de ordem superior. Diferenciar $f'$ novamente gera a segunda derivada 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – a taxa de variação da taxa de variação. Uma parte de prova como "Encontre $k''(3)$" significa apenas diferenciar duas vezes e substituir. Você também pode estimar uma segunda derivada a partir de uma tabela aplicando o método da taxa média de variação aos valores de $f'$.

Exemplo resolvido. Diferencie $f(x)=x^2\sin x$ com a regra do produto $(uv)'=u'v+uv'$: pegue $u=x^2$ ($u'=2x$) e $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), resultando em $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Sempre leia a estrutura primeiro – um produto precisa da regra do produto, não da regra da potência aplicada separadamente a cada fator.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.10

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Português

A derivada é a inclinação da tangente – o limite da inclinação da secante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quando $h\to0$.
Memorize as regras: potência, produto, quociente, e as derivadas de $\sin$, $\cos$, $e^x$ e $\ln x$.
Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o inverso (um ponto anguloso ou cuspid é contínuo mas não diferenciável).
Distinga taxa média de variação (inclinação da secante sobre um intervalo) de taxa instantânea (a derivada em um ponto).
Forneça a equação da reta tangente como $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

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