IGCSE Mathematics · מתמטיקה IGCSE · Topic 8 · נושא 8
7:31
הסתברות
האם יירד גשם מחר? האם האוטובוס יעודכן? האם תוצאת הזריקה תראה שישה? כמעט אין דבר ודאי בחיינו, וכמעט כל דבר לא בלתי אפשרי. רוב הדברים נמצאים…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
This handout covers Topic 8, Probability. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
שורה זו מכסה נושא 8, הסתברות. חלקים מסומנים (מתרחב) נבחנים רק במבחני המתרחב; כל שאר החלקים מתאימים לשני הרמות.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | Probability notation is not required. Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams (limited to two sets). |
| 2 Calculate the probability of a single event. | |
| 3 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. The probability that a counter is blue is 0.8. What is the probability that it is not blue? |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בסולם ההסתברות מ-0 עד 1. | אינו נדרש שימוש בסימון הסתברות. יש לתת את ההסתברות בשבר, מספר עשרוני או אחוז. ייתכן שבעיות דורשות שימוש במידע מטבלות, גרפים או תרשימי ון (מוגבל לשני קבוצות). |
| 2 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | |
| 3 הבן שההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: ההסתברות לכך שמטבע הוא כחול היא 0.8. מהי ההסתברות שהוא אינו כחול? |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand and use the probability scale from 0 to 1. | $\text{P}(A)$ is the probability of $A$ |
| 2 Understand and use probability notation. | $\text{P}(A')$ is the probability of not $A$ |
| 3 Calculate the probability of a single event. | Probabilities should be given as a fraction, decimal or percentage. Problems may require using information from tables, graphs or Venn diagrams. |
| 4 Understand that the probability of an event not occurring = 1 – the probability of the event occurring. | e.g. $\text{P}(B) = 0.8$, find $\text{P}(B')$ |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן והשתמש בקנה מידת ההסתברות מ-0 עד 1. | $\text{P}(A)$ היא ההסתברות ל$A$ |
| 2 הבן והשתמש בסימוני הסתברות. | $\text{P}(A')$ היא ההסתברות לא-$A$ |
| 3 חשב את ההסתברות לאירוע יחיד. | ההסתברויות צריכות להיות מוצגות כשובר, עשרוני או אחוז. ייתכן שתצטרך להשתמש במידע מטבלות, גרפים או דיאגרמות ון. |
| 4 הבן כי ההסתברות לאירוע שלא מתרחש = 1 – ההסתברות לאירוע שמתרחש. | לדוגמה: $\text{P}(B) = 0.8$, חשב $\text{P}(B')$ |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Probability 概率 measures how likely an event 事件 is. It runs on a scale from $0$ (impossible) to $1$ (certain), and can be written as a fraction, decimal or percentage. We write $\text{P}(A)$ for the probability of event $A$.
For equally likely outcomes 结果,
The probability that an event does not happen is
Worked example. A bag has $3$ red and $5$ blue counters. Find the probability of not drawing red.
הסתברות מדדה עד כמה אירוע סביר. היא נעה בסולם מ-$0$ (אפשר לא ייתכן) ל-$1$ (בטוח), וניתן לבטאה בשבר, עשרוני או אחוז. אנחנו כותבים $\text{P}(A)$ עבור ההסתברות של אירוע $A$.
לעבורים שווי-סיכוי,
ההסתברות לאירוע שלא מתרחש היא
דוגמה מופת. שקית מכילה $3$ מטבעות אדומים ו-$5$ מטבעות כחולים. מצאו את ההסתברות לא למשוך אדום.
Slide the marker from 0 (impossible) to 1 (certain) to place an event on the probability scale. · החלק את המסומן מ0 (בלתי אפשרי) ל1 (מוכרח) כדי למקם אירוע על קנה המידה האלגנטי. אל תשכח: קנה מידה הוא כלי להמרת נתונים, לא ערך עצמי!
| English | עברית |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | סבירות |
| event/ɪˈvent/ | אירוע |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | תוצאה |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות תוחזקות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך תוחזק מתוך אוכלוסייה. כולל הבנה של המשמעות של הוגנות, טיוח ואקראיות. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Understand relative frequency as an estimate of probability. | e.g. use results of experiments with a spinner to estimate the probability of a given outcome. |
| 2 Calculate expected frequencies. | e.g. use probability to estimate an expected value from a population. |
| Includes understanding what is meant by fair, bias and random. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| 1 הבן תדירות יחסית כאומד להסתברות. | לדוגמה: השתמש בתוצאות ניסויים עם מציינת כדי להעריך את ההסתברות לתוצאה נתונה. |
| 2 חשב תדירויות צפויות. | לדוגמה: השתמש בהסתברות כדי להעריך ערך צפוי מאוכלוסייה. |
| כולל הבנת המשמעות של הוגנות, טויה ואקראיות. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
When outcomes are not equally likely, do an experiment. The relative frequency 相对频率 estimates the probability:
The more trials you do, the better the estimate. A fair 公平 object gives equal chances; one with bias 偏倚 does not; random 随机 means each outcome happens by chance.
The expected frequency 期望频数 is how many times you expect an event in $n$ trials:
Worked example. The probability of rolling a six is $\tfrac{1}{6}$. How many sixes are expected in $300$ rolls?
כאשר עברים אינם שוווי-סיכוי, מבצעים ניסוי. התדר היחסי מעריך את ההסתברות:
ככל שבוצעתם יותר ניסויים, כך ההערכה טובה יותר. אובייקט הוגן נותן סיכויים שווים; אחד עם שיפוע אינו נותן; אקראי משמעו שכל עובר מתרחש באקרא.
התדר הצפוי הוא כמה פעמים צפויים לאירוע ב-$n$ ניסויים:
דוגמא פתורה. ההסתברות לקבלת שש היא $\tfrac{1}{6}$. כמה ששים צפויות ב$300$ הטלות?
Roll the two dice many times: the bars start jumpy but settle into the theoretical triangle peaking at 7 — experimental probability closing in on theory. · השלך את שתי הקוביות מספר רב של פעמים: הפסים מתחילים להיות תנודתיים אך יציבים לתוך המשולש התאורטי עם שיא ב-7 — ההסתברות האמפירית מתקרבת לתאוריה.
| English | עברית |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | תדירות יחסית |
| fair/feə/ | יריד |
| bias/ˈbaɪəs/ | שיפוטיות |
| random/ˈrændəm/ | אקראי |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | תדירות צפויה |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | אירועים משולבים |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | אירועים בלתי תלויים |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | בלתי תלויים הדדית |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | תרשים חלל דגימה |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | תרשים ון |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams • tree diagrams. | Combined events will only be with replacement. |
| Venn diagrams will be limited to two sets. | |
| In tree diagrams, outcomes will be written at the end of the branches and probabilities by the side of the branches. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| חשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כאשר רלוונטי: • תרשימי מרחב דגימה • תרשימי ון • תרשימי עץ. | אירועים משולבים יהיו רק עם החזרה. |
| תרשימי ון יוגבלו לשתי קבוצות. | |
| בתרשימי עץ, התוצאות יכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the probability of combined events using, where appropriate: • sample space diagrams • Venn diagrams | Combined events could be with or without replacement. |
| The notation $\text{P}(A \cap B)$ and $\text{P}(A \cup B)$ may be used in the context of Venn diagrams. | |
| • tree diagrams. | On tree diagrams outcomes will be written at the end of branches and probabilities by the side of the branches. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב את ההסתברות של אירועים משולבים באמצעות, כשהדבר מתאים: • טבלאות מרחב דגימה • דיאגרמות ון | אירועים משולבים עשויים להיות עם או בלי החזרה. |
| הסימון $\text{P}(A \cap B)$ והסימון $\text{P}(A \cup B)$ עשויים לשמש בהקשר של דיאגרמות ון. | |
| • דיאגרמות עץ. | על דיאגרמות עץ התוצאות ייכתבו בקצוות הענפים וההסתברות בצד הענפים. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
For two or more events together (combined events 组合事件), two rules help:
Three pictures help you organise the work.
A sample space diagram 样本空间图 is a table or grid listing every possible outcome — useful for two dice or two spinners. Count the outcomes you want out of the total.
A Venn diagram 维恩图 sorts outcomes into overlapping sets. From it you can read $\text{P}(A \cap B)$ (in both) and $\text{P}(A \cup B)$ (in either).
A tree diagram 树状图 shows each stage as a set of branches. Write the probability on each branch and the outcome at the end. Multiply along the branches, then add the paths you want.
Worked example (with replacement). From the bag ($3$ red, $5$ blue), a counter is drawn, replaced, then a second is drawn. This is with replacement 有放回, so the chances do not change. Find the probability of two reds.
Worked example (without replacement, Extended). Now the first counter is not replaced — drawing without replacement 无放回. After one red is taken, $2$ reds remain out of $7$:
עבור שני אירועים או יותר יחד (אירועים משולבים), שתי כללים עוזרים:
שלושה תמונות עוזרות לך לארגן את העבודה.
טבלת מרחב דגימה היא טבלה או רשת המפרטת כל תוצאה אפשרית — שימושי לשני קוביות או שני סביבונים. ספור את התוצאות הרצויות מתוך הסך הכל.
דיאגרמת ון מחלקת תוצאות לקבוצות חופפות. ממנה ניתן לקרוא $\text{P}(A \cap B)$ (בשתי הקבוצות) ו$\text{P}(A \cup B)$ (באחת מהן או בשתייהן).
דיאגרמת עץ מציגה כל שלב כסט של ענפים. כתוב את ההסתברות בכל ענף ואת התוצאה בסוף. כפל לאורך הענפים, ואז חבר את הנתיבים הרצויים.
דוגמא פתורה (עם החזרה). מהתיק ($3$ אדומים, $5$ כחולים), נשלף סימן, מוחזר, ולאחר מכן נשלף סימן שני. זוהי החזרה, ולכן הסיכויים אינם משתנים. מצא את ההסתברות לשני אדומים.
דוגמה מופת (ללא החזרה, הרחבה). כעת האות המסומן הראשון אינו מוחזר — גרירה ללא החזרה. לאחר שהוצא אדום אחד, נותרו $2$ אדומים מתוך $7$:
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · כפלו את ההסברות לאורך כל ветב; ארבעת התוצאות תמיד סוכמות ל-1.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · שלב שני אירועים: מודל השטח מראה AND (חפיפה) לעומת OR (איחוד).
| English | עברית |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עצים |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | חזרה למכל |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | ללא החזרה |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | הסתברות מותנית |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate conditional probability using Venn diagrams, tree diagrams and tables. | Knowledge of notation, $\text{P}(A|B)$, and formulas relating to conditional probability is not required. |
| תוכן נושא | הערות ות examples |
|---|---|
| לחשב הסתברות תנאיית באמצעות דיאגרמות ון, דיאגרמות עץ וטבלאות. | ידע בסימון, $\text{P}(A|B)$, ובנוסחאות הקשורות להסתברות תנאיית אינו נדרש. |
Source: Cambridge International syllabus · מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Conditional probability 条件概率 is the probability of one event given that another has already happened. Read it from a Venn diagram, two-way table or tree diagram by looking only at the part that matches the condition.
Worked example. In a class of $30$, $18$ study French and, of those, $7$ also study German. A French student is picked. Find the probability they also study German.
Look only at the $18$ French students:
הסבר סטטיסטי הוא ההסבר של אירוע מסוים בתנאי שאירוע אחר כבר התרחש. קראו אותו ממפת ון, טבלה דו-כיוונית או דיאגרמת עץ על ידי הצבטת מבט רק בחלק שמתאים לתנאי.
דוגמה מופת. בכיתה של $30$ תלמידים, $18$ לומדים צרפתית, ומתוכם, $7$ לומדים גם גרמנית. נבחר תלמיד לומד צרפתית. מצאו את ההסבר שהוא לומד גם גרמנית.
הסתכלו רק ב$18$ תלמידי הצרפתית:
Change the branch probabilities and read combined and conditional probabilities off the tree. · שנה את הסבירויות של הענפים וקרא סבירויות משולבות ותנאייות מהעץ.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
Loading subjects… · טוען נושאים…