Trong một bảo tàng khoa học, một quả bóng bằng đồng thau treo từ một sợi dây rất dài. Nó dao động suốt ngày trên sàn nhà có vạch kẻ, không bị chạm vào. Mỗi lần dao động mất cùng thời gian như lần trước.…
Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
7.1
Định nghĩa Chuyển động Điều hòa Đơn
Chương trình
Mục tiêu học tập 7.1.A: Mô tả chuyển động điều hòa đơn.
7.1.A.1 Chuyển động điều hòa đơn là một trường hợp đặc biệt của chuyển động chu kỳ.
7.1.A.2 SHM xảy ra khi độ lớn của lực hồi phục tác dụng lên vật tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển của vật đó khỏi vị trí cân bằng.
Phương trình suy ra:$ma_x = -k\Delta x$
7.1.A.2.i Lực hồi phục là lực tác dụng theo hướng ngược lại với độ dịch chuyển của vật khỏi vị trí cân bằng.
7.1.A.2.ii Vị trí cân bằng là vị trí mà tổng lực tác dụng lên vật hoặc hệ thống bằng 0.
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Chuyển động điều hòa đơn
Chuyển động điều hòa đơn (SHM) là trường hợp đặc biệt của chuyển động chu kỳ. Nó xuất hiện khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: tồn tại vị trí cân bằng mà lực tổng hợp bằng không, và việc dịch chuyển vật khỏi vị trí cân bằng sẽ sinh ra một lực hồi phục – tức là lực hướng ngược về phía cân bằng – có độ lớn tỷ lệ thuận với độ lệch:
$$F=-k\,\Delta x.$$
Định luật II Newton lúc này dẫn đến phương trình vi phân xác định:
Nghiệm của nó là hàm sin/cos, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. Bạn không cần chứng minh nghiệm này – mà phải nhận diện được phương trình: bất kỳ hệ thống nào có chuyển động tuân theo "$\ddot{x}=-\omega^2x$" đều là bộ dao động điều hòa đơn, dù cấu tạo từ vật gì. (Một khối vật treo trên lò xo thẳng đứng cũng hoạt động tương tự: trọng lực chỉ làm dịch chuyển điểm cân bằng; dao động quanh điểm cân bằng mới vẫn không đổi).
Trong SHM, gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, ngược chiều với độ lệch
7.2
Tần số và Chu kỳ của SHM
Chương trình
Mục tiêu học tập 7.2.A: Mô tả tần số và chu kỳ của vật thực hiện SHM.
7.2.A.1 Chu kỳ của dao động điều hòa (SHM) liên quan đến tần số góc, $\omega$, của chuyển động vật thể qua phương trình sau:
Phương trình:$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{1}{f}$
7.2.A.1.i Chu kỳ của bộ dao động vật–lò xo lý tưởng được cho bởi phương trình
Phương trình:$T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.$
7.2.A.1.ii Chu kỳ của con lắc đơn bị lệch một góc nhỏ được cho bởi phương trình
Hai bẫy khái niệm kinh điển: Chu kỳ của SHM không bao giờ phụ thuộc vào biên độ, và mỗi hệ thống bỏ qua một biến số rõ ràng – chu kỳ con lắc không phụ thuộc vào khối lượng, còn chu kỳ lò xo không phụ thuộc vào $g$ (bộ dao động lò xo - khối vật giữ nhịp hoàn hảo trong môi trường không trọng lực; còn đồng hồ con lắc thì không).
Khám phá
Đo thời gian dao động của con lắc
Chu kỳ của con lắc phụ thuộc vào chiều dài và gia tốc trọng trường, không phụ thuộc vào khối lượng hay (biên nhỏ): $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Kéo dài chiều dài thì mỗi lần dao động mất nhiều thời gian hơn.
7.3
Biểu diễn và Phân tích SHM
Chương trình
Mục tiêu học tập 7.3.A: Mô tả độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của vật thực hiện SHM.
7.3.A.1 Đối với vật thực hiện SHM, độ dịch chuyển của vật đo từ vị trí cân bằng có thể được biểu diễn bằng các phương trình $x = A\cos(2\pi ft)$ hoặc $x = A\sin(2\pi ft)$.
7.3.A.1.i Các điểm cực tiểu, cực đại và bằng không của độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc là những đặc trưng của dao động điều hòa.
7.3.A.1.ii Việc xác định các vị trí hoặc thời điểm mà độ dịch chuyển, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa đạt giá trị cực đại hoặc bằng không có thể giúp mô tả định tính hành vi của chuyển động.
7.3.A.2 Vị trí theo thời gian của một vật thể thực hiện SHM là nghiệm của phương trình vi phân bậc hai được suy ra từ việc áp dụng định luật thứ hai của Newton.
Phương trình suy ra:$\dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$
7.3.A.3 Các đặc tính của SHM, như vận tốc và gia tốc, có thể được xác định hoặc suy ra từ phương trình $x = A\cos(\omega t + \phi).$
7.3.A.3.i Gia tốc của một vật thể thực hiện SHM liên quan đến tần số góc và vị trí của vật.
Phương trình suy ra:$a = -\omega^2 x$
7.3.A.3.ii Có thể chứng minh rằng vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của một vật thể thực hiện SHM liên quan đến tần số góc của chuyển động vật.
Phương trình suy ra:$v_{\max} = A\omega$
$a_{\max} = A\omega^2$
7.3.A.4 Trong sự tồn tại của ngoại lực điều hòa, một hệ có thể biểu hiện cộng hưởng.
7.3.A.4.i Cộng hưởng xảy ra khi ngoại lực được tác dụng ở tần số tự nhiên của một hệ dao động.
7.3.A.4.ii Cộng hưởng làm tăng biên độ của chuyển động dao động.
7.3.A.4.iii Tần số tự nhiên của một hệ là tần số mà hệ sẽ dao động khi bị dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng.
7.3.A.5 Thay đổi biên độ của một hệ thực hiện SHM sẽ không làm thay đổi chu kỳ của nó.
7.3.A.6 Các tính chất của SHM có thể được xác định và phân tích sử dụng các biểu diễn đồ thị.
Khẳng định biên: AP Physics C: Cơ học chỉ yêu cầu học sinh biết nghiệm của phương trình vi phân bậc hai mô tả SHM, cũng như có khả năng nhận diện SHM. AP Physics C: Cơ học không yêu cầu học sinh chứng minh bằng toán học rằng nghiệm đó là đúng.
Như vậy tại hai đầu biên ($x=\pm A$) vận tốc bằng không và gia tốc đạt cực đại; khi đi qua vị trí cân bằng ($x=0$) gia tốc bằng không và vận tốc đạt cực đại, $v_{\max}=A\omega$. Biên độ $A$ và hằng số pha$\phi$ được xác định bởi điều kiện ban đầu: vị trí xuất phát và vận tốc ban đầu. Khi loại bỏ $t$ (hoặc dùng năng lượng như bên dưới), ta thu được vận tốc theo vị trí:
$$v=\pm\,\omega\sqrt{A^2-x^2}.$$
Li độ biến thiên điều hòa theo thời gian trong dao động điều hòa
Ví dụ có lời giải. Một khối vật $0.50\ \text{kg}$ gắn vào lò xo $k=200\ \text{N/m}$: $\omega=\sqrt{k/m}=20\ \text{rad/s}$, $T=2\pi/\omega=0.31\ \text{s}$. Với $A=0.10\ \text{m}$: $v_{\max}=A\omega=2.0\ \text{m/s}$ tại vị trí cân bằng, và tại $x=0.050\ \text{m}$ vận tốc là $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=20\sqrt{0.10^2-0.050^2}=1.7\ \text{m/s}$.
7.4
Năng lượng của Dao động Điều hòa
Chương trình
Mục tiêu học tập 7.4.A: Mô tả năng lượng cơ học của hệ thống thực hiện SHM.
7.4.A.1 Tổng năng lượng của hệ thống thực hiện SHM là tổng của động năng và thế năng của hệ thống.
Phương trình liên quan:$E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Định luật bảo toàn năng lượng chỉ ra rằng tổng năng lượng của hệ thống thực hiện SHM là không đổi.
7.4.A.3 Động năng của hệ thống thực hiện SHM đạt cực đại khi thế năng của hệ thống đạt cực tiểu.
7.4.A.4 Thế năng của một hệ thực hiện dao động điều hòa đạt cực đại khi động năng của hệ đạt cực tiểu.
7.4.A.4.i Động năng cực tiểu của một hệ thực hiện dao động điều hòa bằng không.
7.4.A.4.ii Thay đổi biên độ của một hệ thực hiện dao động điều hòa sẽ làm thay đổi thế năng cực đại của hệ, và do đó làm thay đổi tổng năng lượng của hệ.
Phương trình liên quan cho hệ lò xo–vật:$E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Tổng năng lượng của bộ dao động là tổng $E=U+K$, và khi không có ma sát thì nó không đổi – năng lượng chỉ chuyển hoán qua lại giữa thế năng của lò xo và động năng của khối vật:
$$E=\tfrac12kA^2=\tfrac12kx^2+\tfrac12mv^2.$$
Toàn bộ là thế năng ở hai đầu biên (nơi $K=0$), toàn bộ là động năng tại vị trí cân bằng (nơi $U$ đạt giá trị nhỏ nhất). Vì $E\propto A^2$, nếu tăng đôi biên độ thì năng lượng sẽ tăng gấp bốn lần.
Động năng và thế năng hoán đổi trong một chu kỳ trong khi tổng năng lượng giữ nguyên
Ví dụ minh họa. Năng lượng chia đều ở đâu? Đặt $\tfrac12kx^2=\tfrac12E=\tfrac14kA^2$, suy ra $x=A/\sqrt2\approx0.71A$ – gần cuối hơn là giữa. Đối với hệ thống trên ($A=0.10\ \text{m}$): $x=0.071\ \text{m}$.
Khi bị tách ra khỏi cân bằng, hệ thống dao động với tần số riêng (do $k$ và $m$ quy định: $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$). Nếu tác động lên hệ một lực chu kỳ cùng tần số đó, biên độ sẽ tăng vọt lên – hiện tượng cộng hưởng. Mỗi cú đẩy đúng thời điểm sẽ cung cấp năng lượng nhanh hơn mức năng lượng bị hao hụt do cản trở, nên biên độ cưỡng bức đạt đỉnh sharply khi tần số ngoại lực khớp với $f_0$ (ví dụ: đẩy xích đúng nhịp, hoặc gió làm rung lắc cây cầu).
Khám phá
Trao đổi động năng và thế năng trong dao động điều hòa
Trong dao động điều hòa, năng lượng dao động qua lại giữa động năng (nhanh nhất tại tâm) và thế năng (lớn nhất tại biên) trong khi tổng năng lượng không đổi.
7.5
Con lắc đơn và Con lắc vật lý
Chương trình
Mục tiêu học tập 7.5.A: Mô tả các tính chất của con lắc vật lý.
7.5.A.1 Con lắc vật lý là một vật cứng thực hiện dao động quanh một trục cố định.
7.5.A.2 Đối với biên độ chuyển động nhỏ, chu kỳ của con lắc vật lý được suy ra từ việc áp dụng định luật thứ hai của Newton dưới dạng quay.
Phương trình liên quan:$T_{\text{phys}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}}$
7.5.A.2.i Khi bị lệch khỏi vị trí cân bằng, lực hấp dẫn tác dụng lên tâm khối lượng của con lắc vật lý tạo ra một mô-men hồi phục.
Phương trình suy ra:$\tau = -mgd\sin\theta$
7.5.A.2.ii Đối với biên độ chuyển động nhỏ, xấp xỉ góc nhỏ có thể được áp dụng cho mô-men hồi phục.
Phương trình suy ra:$\sin\theta \approx \theta$
$\tau = -mgd\theta = I\alpha$
7.5.A.2.iii Xấp xỉ góc nhỏ và định luật thứ hai của Newton dưới dạng quay tạo ra một phương trình vi phân bậc hai mô tả SHM:
Phương trình:$\dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega^2\theta$
7.5.A.3 Con lắc đơn là trường hợp đặc biệt của các con lắc vật lý trong đó vật treo có thể được mô hình hóa như một điểm mass ở khoảng cách, $l$, từ điểm treo.
Phương trình liên quan:$T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$
7.5.A.4 Con lắc xoắn là một trường hợp SHM trong đó mô-men hồi phục tỷ lệ với độ lệch góc của một hệ quay. Ví dụ, một đĩa nằm ngang được treo từ một sợi dây gắn vào tâm khối lượng của nó có thể thực hiện dao động quay quanh sợi dây trong mặt phẳng nằm ngang.
Phương trình suy ra:$I\alpha = -k\Delta\theta$
Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP
Bảo toàn năng lượng: KE ⇄ PE
Con lắc vật lý là bất kỳ vật rắn nào dao động quanh một điểm tựa cố định. Dịch chuyển con lắc một góc $\theta$, trọng lực tác dụng tại trọng tâm cách điểm tựa một khoảng $d$ sẽ tạo ra một mô-men lực hồi phục.
$$\tau=-mgd\sin\theta.$$
Với các góc nhỏ, áp dụng xấp xỉ góc nhỏ$\sin\theta\approx\theta$ và định luật II Newton dạng quay ($\tau=I\alpha$):
Đây chính là mẫu "$\ddot\theta=-\omega^2\theta$" quen thuộc như trước – việc nhận diện ra nó chính là quá trình suy diễn. Con lắc đơn là trường hợp đặc biệt của một chất điểm gắn vào dây không khối lượng: $I=m\ell^2$ và $d=\ell$ dẫn đến $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$.
Trọng lực tác dụng tại trọng tâm tạo ra mô-men lực hồi phục cho con lắc vật lý
Ví dụ có lời giải. Một thanh đồng chất (khối lượng $M$, chiều dài $L$) dao động quanh một đầu: $I=\tfrac13ML^2$, $d=\tfrac{L}{2}$, do đó
– ngắn hơn so với con lắc đơn có chiều dài $L$, vì khối lượng của thanh nằm gần điểm tựa hơn.
Con lắc xoắn – một đĩa treo từ sợi dây bị xoắn – lại là một ví dụ nữa của SHM: mô-men lực hồi phục của sợi dây tỷ lệ với góc xoắn, $I\alpha=-\kappa\,\Delta\theta$, dẫn đến $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$.
Kỹ năng làm bài thi. Mọi câu hỏi FRQ về con lắc đều yêu cầu ba bước giống nhau: viết mô-men lực hồi phục quanh điểm tựa, áp dụng xấp xỉ góc nhỏ, và khớp kết quả với $\ddot\theta=-\omega^2\theta$ để đọc ra $\omega$. Hãy nêu rõ bước xấp xỉ góc nhỏ – đây là một ý điểm trong chấm điểm, và cũng là lý do tại sao các dao động có biên độ lớn không phải là dao động điều hòa đơn.
Con lắc Foucault: một chiếc con lắc dài và nặng có nhịp dao động chậm hé lộ sự quay của Trái Đất bên dưới
