Aplicações da Integração

Cálculo BC do AP · Topic 8 · ⁨Tópico 8⁩

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8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨Encontrando o Valor Médio de uma Função em um Intervalo⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.B: Determinar o valor médio de uma função usando integrais definidas.

CHA-4.B.1 O valor médio de uma função contínua $f$ sobre um intervalo $[a, b]$ é $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Português

O valor médio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ é a integral dividida pela largura:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

É a altura constante que um retângulo precisaria ter para ter a mesma área que a região sob $f$. Não confunda isso com a média da taxa de variação (que usa a derivada).

Exemplo resolvido. O valor médio de $f(x)=x^2$ em $[0,3]$ é $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

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O valor médio de uma função

y = ax³ + bx² + cx + d

O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é sua integral dividida pela largura — a altura constante cujo retângulo tem a mesma área que sob a curva.

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Conectando Posição, Velocidade e Aceleração Usando Integrais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.C: Determinar valores para posições e taxas de variação usando integrais definidas em problemas envolvendo movimento retilíneo.

CHA-4.C.1 Para uma partícula em movimento retilíneo sobre um intervalo de tempo, a integral definida da velocidade representa o deslocamento da partícula sobre o intervalo de tempo, e a integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Português

Para movimento em linha reta, a integração inverte a diferenciação:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Duas distinções importantes: deslocamento 位移 é $\int_a^b v\,dt$ (variação líquida na posição), enquanto distância total 总路程 é $\int_a^b |v|\,dt$ (dividindo onde $v$ muda de sinal). A velocidade escalar é $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Usando Funções de Acumulação e Integrais Definidas em Contextos Aplicados⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.D: Interpretar o significado de uma integral definida em problemas de acumulação.

CHA-4.D.1 Uma função definida como uma integral representa uma acumulação de uma taxa de variação.
CHA-4.D.2 A integral definida da taxa de variação de uma quantidade sobre um intervalo dá a mudança líquida dessa quantidade sobre esse intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.E: Determinar a mudança líquida usando integrais definidas em contextos aplicados.

CHA-4.E.1 A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e mudança líquida em muitos contextos aplicados.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

Português

Quando uma taxa é dada (taxa de fluxo, vendas por dia), a integral definida dá o total acumulado, e $\int_a^b R(t)\,dt$ carrega as unidades de $R$ vezes tempo. Um setup comum: quantidade inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ dá a quantidade em um tempo posterior. Sempre interprete a resposta no contexto, com unidades.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de x⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.1 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas com integrais definidas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

Português

Um oleiro moldando um vaso: volumes de revolução giram uma região plana em torno de um eixo

A área entre $y=f(x)$ (superior) e $y=g(x)$ (inferior) de $a$ a $b$ é

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Encontre os pontos de interseção para os limites, e sempre subtraia superior menos inferior.

A área entre duas curvas é a integral do topo menos a base — A área entre duas curvas é a integral de superior menos inferior

Exemplo resolvido. Entre $y=x$ e $y=x^2$ (cruzando-se em $x=0,1$, com $y=x$ no topo), a área é $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de y⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.2 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas usando funções de $x$ ou $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

Português

Quando as curvas são mais fáceis de descrever como $x=f(y)$, integre em relação a $y$ em vez disso, usando direita menos esquerda:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Escolher integrar em $y$ pode evitar dividir a região em várias partes.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨Encontrando a Área Entre Curvas que se Intersectam Mais de Duas Vezes⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.3 Áreas de certas regiões no plano podem ser calculadas usando uma soma de duas ou mais integrais definidas ou por avaliar uma integral definida do valor absoluto da diferença de duas funções.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

Português

Se duas curvas cruzarem várias vezes, o superior e o inferior alternam. Divida a região em cada ponto de interseção e integre cada parte com o correto superior menos inferior (ou use $\int|f-g|$), depois some as partes.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.1 Volumes de sólidos com secções transversais quadradas e retangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Português

Se as seções transversais 横截面 de um sólido perpendiculares ao eixo $x$ forem quadrados ou retângulos, integre sua área. Com comprimento de lado igual à distância entre duas curvas, uma seção transversal quadrada dá

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

O método é sempre "integrar a área da secção transversal".

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Volumes com Secções Transversais: Triângulos e Semicírculos⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.2 Volumes de sólidos com secções transversais triangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
CHA-5.B.3 Volumes de sólidos com secções transversais semicirculares e outras definidas geometricamente podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
- Exemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - O volume de um funil cujas seções transversais são círculos pode ser encontrado usando a fórmula da área do círculo e integrais definidas (consulte 2016 FRQ do Exame AP #5(b)).
  - O volume de um sólido cuja área da seção transversal é definida por uma função pode ser encontrado usando a função de área conhecida e uma integral definida (consulte 2009 FRQ do Exame AB #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

Português

Mesma ideia, fórmula de área diferente: para secções transversais triangulares equiláteras use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, e para semicirculares $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (com $s$ sendo a distância entre as curvas). Substitua a fórmula de área e integre.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volume com Método dos Discos: Girando em Torno do Eixo x ou y⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.1 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do disco.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Português

Sólidos de revolução: o método dos discos

Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido cujas secções transversais são discos. O método dos discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

onde o raio $R$ é a distância da curva ao eixo. Use $dy$ quando girar em torno do eixo $y$.

O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)

Exemplo resolvido. Girar a região sob $y=\sqrt{x}$ de $0$ a $4$ em torno do eixo $x$ produz discos de raio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Girar uma região em torno de um eixo varre um sólido de revolução

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volume com Método dos Discos: Girando em Torno de Outros Eixos⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.2 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical no plano podem ser encontrados usando integrais definidas com o método dos discos.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

Português

Quando o eixo de revolução for uma linha horizontal ou vertical como $y=k$ (não um eixo), o raio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Defina o raio como a distância da curva até essa linha, então integre $\pi R^2$ como antes.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno do Eixo x ou y⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.3 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ cujas secções transversais têm forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do anel.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Português

Volume pelo método das arandelas

Se a região não tocar o eixo, a rotação deixa um buraco, então as secções transversais são arruelas (anelos). O método das arruelas 垫圈法 subtrai o disco interno:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifique os raios externo e interno como distâncias de cada curva ao eixo.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno de Outros Eixos⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Português

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.4 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical cujas secções transversais são em forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método das anéis.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

Português

Assim como com os discos, girar em torno de uma linha $y=k$ ou $x=k$ desloca ambos os raios – cada um torna-se a distância de sua curva até essa linha. Esboce a região e o eixo, rotule $R_{\text{outer}}$ e $R_{\text{inner}}$, então integre a diferença dos quadrados.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨O Comprimento de Arco de uma Curva Suave e Distância Percorrida⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (CHA-6): Integrais definidas permitem-nos resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança no comprimento sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-6.A: Determinar o comprimento de uma curva no plano definida por uma função, usando uma integral definida. APENAS BC

CHA-6.A.1 O comprimento de uma curva planar definida por uma função pode ser calculado usando uma integral definida. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Português

O comprimento de arco 弧长 de $y=f(x)$ de $a$ a $b$ é

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Esta fórmula só para BC vem de somar pequenos hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. A mesma ideia dá a distância que uma partícula percorre ao longo de um caminho curvo.

Exemplo resolvido. Encontre o comprimento de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ de $x=0$ a $x=3$. Aqui $f'(x)=x^{1/2}$, então $1+(f')^2=1+x$ e

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

A Ponte Golden Gate e seus cabos principais ondulantes — O cabo principal da ponte pende como uma curva suave; uma integral dá seu comprimento exato

8.13

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Português

A área entre curvas é $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encontre os pontos de interseção para os limites e mantenha superior menos inferior.
Para um volume de revolução, some as seções transversais de disco/anilha de área $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
A mudança acumulada é $\int$ de uma taxa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integração significa "somar infinitas peças pequenas" — configure o integrando como uma fina fatia.

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Past Papers · ⁨Provas Anteriores⁩

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