Integração e Acumulação de Mudanças

Cálculo BC do AP · Topic 6 · ⁨Tópico 6⁩

Train · ⁨Treinar⁩

Video lesson for this topic · ⁨Videoaula para este tópico⁩ Open the video page · ⁨Abrir a página do vídeo⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨Explorando Acumulações de Mudança⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

Português

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.A: Interpretar o significado das áreas associadas ao gráfico de uma taxa de mudança em contexto.

CHA-4.A.1 A área da região entre o gráfico de uma função taxa de mudança e o eixo $x$ fornece a acumulação de mudança.
CHA-4.A.2 Em alguns casos, a acumulação de mudança pode ser avaliada usando geometria.
CHA-4.A.3 Se uma taxa de mudança for positiva (negativa) sobre um intervalo, então a mudança acumulada será positiva (negativa).
CHA-4.A.4 A unidade para a área de uma região definida por uma taxa de mudança é a unidade da taxa de mudança multiplicada pela unidade da variável independente.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

Português

Um reservatório de água: a integração acumula mudança — volume total a partir de uma taxa de fluxo

Onde uma derivada mede uma taxa, uma integral 积分 mede uma acumulação 累积 – um total construído a partir de uma taxa. Se uma taxa de alteração atua sobre um intervalo, a área entre seu gráfico e o eixo fornece a mudança líquida acumulada. Essa ideia de "área = mudança total" é a fundação do cálculo integral.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨Aproximando Áreas com Somas de Riemann⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

Português

Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.A: Aproximar uma integral definida usando métodos geométricos e numéricos.

LIM-5.A.1 Integrais definidas podem ser aproximadas para funções que são representadas graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.
LIM-5.A.2 Integrais definidas podem ser aproximadas usando uma soma de Riemann esquerda, uma soma de Riemann direita, uma soma de Riemann do ponto médio ou uma soma trapézio; as aproximações podem ser calculadas usando partições uniformes ou não uniformes.
LIM-5.A.3 Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos numéricos, com ou sem tecnologia.
LIM-5.A.4 Dependendo do comportamento de uma função, pode ser possível determinar se uma aproximação para uma integral definida é uma subestimação ou superestimação do valor da integral definida.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

Português

A integral como área (somas de Riemann)

Somas trapézoidais aproximam a área

Uma soma de Riemann 黎曼和 estima a área sob uma curva somando as áreas de retângulos finos. Divida $[a,b]$ em subintervalos e use a altura da função no extremo esquerdo, extremo direito ou ponto médio de cada um. Uma soma trapezoidal 梯形法 usa trapézios em vez disso, média as alturas dos dois extremos – geralmente mais precisa. Com mais retângulos, mais finos, a estimativa melhora.

Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos

Tiras de largura h aproximam a área sob uma curva — Faixas de largura h aproximam a área sob uma curva

Habilidade para prova: ser capaz de calcular estimativas à esquerda, direita, ponto médio e trapézio a partir de uma tabela ou gráfico, e afirmar se cada uma subestima ou superestima com base em se a função é crescente/decrecente ou côncava para cima/para baixo.

Explore · ⁨Explorar⁩

Aproxime a área com retângulos

y = ax³ + bx² + cx + d

Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos. Adicione mais retângulos, mais finos, e a estimativa converge para a integral definida exata.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · ⁨Somas de Riemann, Notação de Soma e Notação de Integral Definida⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^*$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Português

Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.B: Interpretar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

LIM-5.B.1 O limite de uma soma de Riemann aproximante pode ser interpretado como uma integral definida.
LIM-5.B.2 Uma soma de Riemann, que requer uma partição de um intervalo $I$, é a soma de produtos, cada um sendo o valor da função em um ponto de um subintervalo multiplicado pelo comprimento desse subintervalo da partição.

Objetivo de Aprendizagem LIM-5.C: Representar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

LIM-5.C.1 A integral definida de uma função contínua $f$ sobre o intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, é o limite das somas de Riemann conforme as larguras dos subintervalos se aproximam de 0. Ou seja, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, onde $n$ é o número de subintervalos, $\Delta x_i$ é a largura do $i$-ésimo subintervalo e $x_i^*$ é um valor no $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Uma integral definida pode ser traduzida no limite de uma soma de Riemann relacionada, e o limite de uma soma de Riemann pode ser escrito como uma integral definida.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

Português

Escrever uma soma de Riemann com notação de soma $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ e deixar o número de retângulos crescer sem limite fornece a área exata – a integral definida 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

A integral é o limite das somas de Riemann; $a$ e $b$ são os limites de integração.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨O Teorema Fundamental do Cálculo e Funções de Acumulação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

FUN-5.A.1 A integral definida pode ser usada para definir novas funções.
- Exemplos ilustrativos para FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Se $f$ é uma função contínua em um intervalo contendo $a$, então $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, onde $x$ está no intervalo.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Português

O Teorema Fundamental do Cálculo

Uma função de acumulação 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ dá a área acumulada de $a$ até $x$. O Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) 微积分基本定理 diz que sua derivada é o integrando:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Diferenciação e integração são operações inversas. Com um limite superior variável e a regra da cadeia, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

A função de acumulação adiciona área com sinal; o TFC diz que sua derivada é f

Explore · ⁨Explorar⁩

Acumule área como uma integral

y = ax³ + bx² + cx + d

Uma função de acumulação $\int_a^x f(t)\,dt$ constrói área assinada à medida que $x$ se move. O Teorema Fundamental diz que sua derivada é apenas $f(x)$.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分	huàn yuán jī fēn
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	分部积分	fēn bù jī fēn
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	部分分式	bù fèn fēn shì

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions · ⁨Interpretando o Comportamento de Funções de Acumulação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

FUN-5.A.3 Representações gráficas, numéricas, analíticas e verbais de uma função $f$ fornecem informações sobre a função $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

Português

Como $g'(x)=f(x)$, o gráfico de $f$ revela tudo sobre $g$: $g$ aumenta onde $f>0$, diminui onde $f<0$, possui extremos onde $f$ cruza zero, e é côncavo para cima onde $f$ é crescente. Ler essas conexões a partir de um gráfico de $f$ é uma tarefa clássica de resposta discursiva.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals · ⁨Aplicando Propriedades de Integrais Definidas⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.A: Calcular uma integral definida usando áreas e propriedades de integrais definidas.

FUN-6.A.1 Em alguns casos, uma integral definida pode ser avaliada usando geometria e a conexão entre a integral definida e a área.
FUN-6.A.2 Propriedades de integrais definidas incluem a integral de uma constante vezes uma função, a integral da soma de duas funções, a inversão dos limites de integração e a integral de uma função sobre intervalos adjacentes.
FUN-6.A.3 A definição da integral definida pode ser estendida para funções com descontinuidades removíveis ou de salto.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

Português

Integrais definidas seguem regras úteis: inverter os limites nega o valor ($\int_b^a=-\int_a^b$), uma integral sobre um intervalo de largura zero é $0$, elas são aditivas em intervalos adjacentes ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), e constantes podem ser fatoradas. Use isso para combinar ou dividir valores de integrais dados.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · ⁨O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Definidas⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.B: Avaliar integrais definidas analiticamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

FUN-6.B.1 Uma primitiva de uma função $f$ é uma função $g$ cuja derivada é $f$.
FUN-6.B.2 Se uma função $f$ é contínua em um intervalo contendo $a$, a função definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ é uma primitiva de $f$ para $x$ no intervalo.
FUN-6.B.3 Se $f$ é contínua no intervalo $[a, b]$ e $F$ é uma primitiva de $f$, então $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Português

A forma de avaliação do FTC calcula uma integral definida a partir de uma primitiva 原函数 $F$ (onde $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Assim, integrar uma taxa de variação sobre $[a,b]$ dá a variação líquida na quantidade – o resultado mais utilizado no curso.

Exemplo resolvido. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: uma primitiva é $F(x)=x^2+x$, então o valor é $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo x

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨Encontrando Primitivas e Integrais Indefinidas⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.C: Determinar primitivas de funções e integrais indefinidas, usando conhecimento de derivadas.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ é uma integral indefinida da função $f$ e pode ser expressa como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, onde $F'(x) = f(x)$ e $C$ é qualquer constante.
FUN-6.C.2 Regras de derivação fornecem a base para encontrar primitivas.
FUN-6.C.3 Muitas funções não possuem primitivas de forma fechada.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

Português

Uma integral indefinida 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ é a família de todas as primitivas (daí a constante de integração $C$). Inverta cada regra de derivação: a regra da potência torna-se $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\neq-1$), com $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, e as primitivas de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\sec^2 x$ vêm diretamente de suas derivadas.

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨Integrando Usando Substituição⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que exigem substituição ou rearranjos em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

FUN-6.D.1 A substituição de variáveis é uma técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para uma integral definida, a substituição de variáveis requer mudanças correspondentes nos limites de integração.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

Português

Substituição u 换元积分 inverte a regra da cadeia: escolha $u=g(x)$ para que $g'(x)$ também apareça, transformando $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ em $\int f(u)\,du$. Lembre-se de converter $dx$ para $du$ e, para uma integral definida, mude os limites para valores $u$ ou volte para $x$ no final.

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square · ⁨Integrando usando Divisão Longa e Completar Quadrados⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que exigem substituição ou rearranjos em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

FUN-6.D.3 Técnicas para encontrar primitivas incluem reorganizações em formas equivalentes, como divisão longa e completando o quadrado.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

Português

Quando um integrando racional é "pesado por cima" (grau do numerador $\ge$ grau do denominador), a divisão longa reescreve como um polinômio mais uma fração própria que pode ser integrada. Completar quadrados em um denominador transforma-o em uma forma como $u^2+a^2$, levando a uma primitiva de arcotangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts · ⁨Integrando usando Integração por Partes⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.E: Para integrandos que exigem integração por partes: (a) Determinar integrais indefinidas. APENAS BC (b) Avaliar integrais definidas. APENAS BC

FUN-6.E.1 A integração por partes é uma técnica para encontrar antiderivadas. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

Português

Integração por partes 分部积分 inverte a regra do produto:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Escolha $u$ para simplificar quando diferenciado e $dv$ para ser fácil de integrar (o guia LIATE: logs, trig inversas, algébricas, trig, exponenciais). Ele lida com produtos como $\int x e^x\,dx$ e $\int x\ln x\,dx$, às vezes aplicado duas vezes.

Exemplo resolvido. Para $\int x e^x\,dx$, escolha $u=x$ ($du=dx$) e $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions · ⁨Integrando usando Frações Parciais Lineares⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

Objetivo de Aprendizagem FUN-6.F: Para integrandos que exigem integração por frações parciais lineares: (a) Determinar integrais indefinidas. APENAS BC (b) Avaliar integrais definidas. APENAS BC

FUN-6.F.1 Algumas funções racionais podem ser decompostas em somas de razões de fatores lineares não repetidos aos quais técnicas básicas de integração podem ser aplicadas. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

Português

Frações parciais 部分分式 separam uma função racional com denominador fatoreável em uma soma de frações mais simples:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

cada uma das quais integra para um logaritmo. Esta técnica é essencial para a equação diferencial logística na próxima unidade.

6.13

Evaluating Improper Integrals · ⁨Avaliando Integrais Impróprias⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (LIM-6): O uso de limites nos permite mostrar que as áreas de regiões ilimitadas podem ser finitas.

Objetivo de Aprendizagem LIM-6.A: Avaliar uma integral imprópria ou determinar que a integral diverge. APENAS BC

LIM-6.A.1 Uma integral imprópria é uma integral que tem um ou ambos os limites infinitos ou possui um integrando que é ilimitado no intervalo de integração. APENAS BC
LIM-6.A.2 Integrais impróprias podem ser determinadas usando limites de integrais definidas. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

Português

Integrais impróprias: convergem ou divergem

Uma integral imprópria 反常积分 tem um limite infinito de integração ou uma descontinuidade infinita no integrando. Avalie-a como um limite: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Se o limite for um número finito, a integral converge 收敛; caso contrário, ela diverge 发散.

Exemplo resolvido. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, então ele converge para $1$. Em contraste, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ dá $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ e diverge – a mesma forma de integrando pode ir para qualquer lado.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	反常积分	fǎn cháng jī fēn
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨Selecionando Técnicas para Antiderivação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

Português

Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para antiderivação. Os estudantes devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à antiderivação.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

Português

A prova BC espera que você reconheça qual método se adapta: regras básicas, substituição (padrão da regra da cadeia), por partes (um produto), frações parciais (racional fatoreável) ou divisão longa/completar quadrados. Ser capaz de olhar para uma integral e escolher a ferramenta certa rapidamente é em si uma habilidade testada.

6.14

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Português

Integração é antiderivação; use a regra da potência $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ e não esqueça a $+C$.
O Teorema Fundamental conecta os dois: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, e $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxime uma integral definida com somas de Riemann ou a regra dos trapézios a partir de uma tabela de valores.
Uma integral definida é uma área assinada (abaixo do eixo conta negativo); divida em mudanças de sinal para área total.
Use substituição u e lembre-se de alterar os limites (ou retro-substituir) adequadamente.

Interactive lessons on this topic · ⁨Aulas interativas sobre este tópico⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.⁩

Past Papers · ⁨Provas Anteriores⁩

More topics in Cálculo BC do AP · ⁨Mais tópicos em Cálculo BC do AP⁩