Equações Diferenciais

Cálculo BC do AP · Topic 7 · ⁨Tópico 7⁩

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7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Modelagem de Situações com Equações Diferenciais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.A: Interpretar afirmações verbais de problemas como equações diferenciais envolvendo uma expressão de derivada.

FUN-7.A.1 Equações diferenciais relacionam uma função de uma variável independente e as derivadas dessa função.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Português

Uma equação diferencial 微分方程 relaciona uma função às suas derivadas. Muitos situações reais são descritas por uma taxa: "a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho" torna-se $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Montar a equação a partir de uma descrição verbal – identificando o que muda e a que é proporcional – é a primeira habilidade.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Verificando Soluções para Equações Diferenciais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.B: Verificar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.B.1 Derivadas podem ser usadas para verificar se uma função é uma solução para uma dada equação diferencial.
FUN-7.B.2 Pode haver infinitas soluções gerais para uma equação diferencial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Português

Uma solução é uma função que satisfaz a equação. Para verificar uma solução proposta, derive-a e substitua na equação, verificando se ambos os lados concordam. Uma solução geral contém uma constante $C$; uma solução particular fixa $C$ a partir de uma condição.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Esboçando Campos de Inclinação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.1 Um campo de inclinação é uma representação gráfica de uma equação diferencial em um conjunto finito de pontos no plano.
FUN-7.C.2 Campos de inclinação fornecem informações sobre o comportamento de soluções para equações diferenciais de primeira ordem.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Português

Campos de inclinação e curvas solução

Um campo de inclinação 斜率场 desenha um pequeno segmento de linha em muitos pontos, cada um com a inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ que a equação fornece naquele ponto. Ele representa a família de curvas de solução sem resolver. Para esboçá-lo, avalie o lado direito em cada ponto da grade e desenhe um segmento daquela inclinação.

Um campo de inclinação mostra o gradiente em toda parte; curvas de solução seguem-no — Um campo de inclinação mostra o gradiente em todos os lugares; curvas de solução o seguem

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Leia uma equação diferencial como um campo de inclinações

Um campo de inclinações desenha a inclinação $dy/dx$ em cada ponto. Uma curva solução passa por ele, sempre tangente aos pequenos segmentos — você pode esboçá-la seguindo o fluxo.

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English · ⁨Inglês⁩	Chinese · ⁨Chinês⁩	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Raciocínio Usando Campos de Inclinação⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.3 Soluções para equações diferenciais são funções ou famílias de funções.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Português

Uma curva de solução seguem os segmentos como um barco seguindo uma corrente. A partir de um campo de inclinação, você pode esboçar a solução particular através de um ponto dado, descrever o comportamento de longo prazo e localizar onde as soluções se nivelam (inclinações próximas de zero) – raciocinando sobre soluções puramente a partir da imagem.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨Aproximando Soluções Usando o Método de Euler⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

FUN-7.C.4 O método de Euler fornece um procedimento para aproximar uma solução para uma equação diferencial ou um ponto em uma curva solução. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Português

Método de Euler

Método de Euler 欧拉方法 aproxima numericamente uma solução avançando pelo campo de inclinação. Começando de um ponto conhecido, dê um pequeno passo $\Delta x$ e atualize:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repita para cada passo. Passos menores dão uma melhor aproximação. (Esta é uma técnica apenas para BC.)

Habilidade para prova: ser capaz de realizar dois ou três passos de Euler manualmente a partir de uma tabela, e saber que o método de Euler subestima ou superestima dependendo da concavidade da solução.

Exemplo resolvido. Aproxime $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, com passo $\Delta x=0.5$. Passo 1: inclinação em $(0,1)$ é $0+1=1$, então $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Passo 2: inclinação em $(0.5,1.5)$ é $0.5+1.5=2$, então $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.D: Determinar soluções gerais para equações diferenciais.

FUN-7.D.1 Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas por separação de variáveis.
FUN-7.D.2 A antiderivação pode ser usada para encontrar soluções gerais para equações diferenciais.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Português

E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial

Uma equação diferencial separável 可分离 pode ser escrita com todas as $y$'s de um lado e todas as $x$'s do outro, depois integrada:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Isso produz a solução geral (com uma $+C$), o principal método analítico para resolver equações diferenciais neste curso.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ resulta em $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, então $y=Ae^{x^2/2}$. A condição $y(0)=2$ resulta em $A=2$, então $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.E: Determinar soluções particulares para equações diferenciais.

FUN-7.E.1 Uma solução geral pode descrever infinitas soluções para uma equação diferencial. Existe apenas uma solução particular que passa por um dado ponto.
FUN-7.E.2 A função $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ é uma solução particular para a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfazendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Soluções para equações diferenciais podem estar sujeitas a restrições de domínio.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Português

Uma condição inicial 初始条件 (um ponto conhecido, ex. $y(0)=5$) fixa a constante $C$. Resolva para a solução geral, substitua a condição para encontrar $C$, depois escreva a solução particular. Atenção ao domínio – uma solução particular é válida apenas no intervalo contendo o ponto inicial.

A constante gera uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma delas — A constante dá uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Modelos Exponenciais com Equações Diferenciais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.F: Interpretar o significado de uma equação diferencial e suas variáveis em contexto.

FUN-7.F.1 Aplicações específicas do encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais incluem o movimento ao longo de uma linha e o crescimento e decaimento exponencial.
FUN-7.F.2 O modelo para crescimento e decaimento exponencial que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao tamanho da quantidade" é $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.G: Determinar soluções gerais e particulares para problemas envolvendo equações diferenciais em contexto.

FUN-7.G.1 O modelo de crescimento e decaimento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, com condição inicial $y = y_0$ quando $t = 0$, tem soluções da forma $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Português

Crescimento exponencial vs logístico

A equação $\dfrac{dy}{dt}=ky$ diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade – dando crescimento ou decaimento exponencial 指数增长. Separando variáveis resulta em

$$y=y_0 e^{kt},$$

com $k>0$ para crescimento e $k<0$ para decaimento. Isso modela crescimento populacional irrestrito, decaimento radioativo e juros compostos continuamente.

Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial

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Um modelo de crescimento/decadência exponencial

y = a·e^(bx) + c

A equação $dy/dt=ky$ tem soluções exponenciais: a quantidade muda a uma taxa proporcional a si mesma, dando crescimento ilimitado ($k>0$) ou decadência para zero ($k<0$).

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Modelos Logísticos com Equações Diferenciais⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Português

Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

Objetivo de Aprendizagem FUN-7.H: Interpretar o significado do modelo de crescimento logístico no contexto. APENAS BC

FUN-7.H.1 O modelo para crescimento logístico que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional conjuntamente ao tamanho da quantidade e à diferença entre a quantidade e a capacidade de suporte" é $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. APENAS BC
FUN-7.H.2 A equação diferencial logística e as condições iniciais podem ser interpretadas sem resolver a equação diferencial. APENAS BC
FUN-7.H.3 O valor limite (capacidade de suporte) de uma equação diferencial logística quando a variável independente tende ao infinito pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC
FUN-7.H.4 O valor da variável dependente em uma equação diferencial logística no momento em que está mudando mais rapidamente pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Português

O crescimento real é limitado por recursos, então o modelo logístico 逻辑斯蒂 modelo adiciona uma capacidade de suporte 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

O crescimento é quase exponencial quando $P$ é pequeno, desacelera conforme $P$ se aproxima de $L$, e para em $P=L$. Fatos-chave da BC: a população se nivela em $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), e cresce mais rápido quando $P=\tfrac{L}{2}$ (ponto de inflexão da curva em S). Espera-se que você leia $L$ e o valor de crescimento mais rápido diretamente da equação.

Exemplo resolvido. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, a capacidade de suporte é $L=2000$ (a população se nivela lá), e o crescimento é mais rápido quando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos lidos diretamente da equação, sem necessidade de resolução.

O modelo logístico cresce mais rápido em P=L/2 e se nivela na capacidade de suporte L

7.9

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Português

Resolva uma equação separável colocando todos os $y$ de um lado e todos os $x$ do outro, então integre ambos os lados (adicione $+C$ uma vez).
Use a condição inicial para encontrar $C$ (uma solução particular).
Esboce ou leia um campo de inclinação: os pequenos segmentos mostram $\tfrac{dy}{dx}$ em cada ponto, e uma curva solução os segue.
Reconheça modelos exponenciais $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crescimento/decaimento).
Uma equação diferencial dá a inclinação – você deve integrar para recuperar a função.

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