Pense em duas engrenagens unidas. Gire a primeira, e ela aciona a segunda. Se a segunda girar três vezes mais rápido que a primeira, e a primeira girar…
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3.1
The Chain Rule · A Regra da Cadeia
Syllabus · Programa
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Português
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.C: Calcular derivadas de composições de funções diferenciáveis.
FUN-3.C.1 A regra da cadeia fornece um meio de diferenciar funções compostas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$" and the inner is $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
Português
Um caminho na montanha: funções compostas aninham taxas de alteração (regra da cadeia)A regra da cadeia
Unidade 2 diferenciou funções simples. Unidade 3 diferencia funções construídas dentro de outras funções. A regra da cadeia 链式法则 diferencia uma função composta 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivada da função externa (deixando a interna sozinha), vezes a derivada da interna." A derivada interna $g'(x)$ é a parte que os alunos esquecem, então sempre pergunte "qual é a interna e qual é sua derivada?" Exemplo:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
Na notação de Leibniz, com $y=f(u)$ e $u=g(x)$, a regra lê-se $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – o intermediário $du$ parece se "cancelar". Questões de prova frequentemente dão uma tabela para $f$, $g$, $f'$, $g'$ e pedem $h'(a)$ onde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; avalie $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ lendo valores.
Exemplo resolvido. Diferencie $h(x)=(2x^2+1)^5$. A função externa é "(algo)$^5$" e a interna é $2x^2+1$:
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Português
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.D: Calcular derivadas de funções definidas implicitamente.
FUN-3.D.1 A regra da cadeia é a base para a diferenciação implícita.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent to $x^2+y^2=25$ at $(3,4)$. Here $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, so the tangent line is $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular to the radius, as geometry predicts.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Português
Algumas curvas são definidas implicitamente – por uma equação em $x$ e $y$ que não está resolvida para $y$, como $x^2+y^2=25$. Diferenciação implícita 隐函数求id encontra $\dfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$ primeiro. É apenas a regra da cadeia, tratando $y$ como uma função de $x$.
O método: diferencie ambos os lados em relação a $x$; toda vez que diferenciar um termo de $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (a regra da cadeia); depois resolva algebricamente para $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:
Exemplo resolvido. Encontre a tangente a $x^2+y^2=25$ em $(3,4)$. Aqui $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, logo a reta tangente é $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular ao raio, conforme a geometria prevê.
Diferenciação implícita dá a tangente a um círculo, perpendicular ao raio
Habilidade de prova – "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este prompt exato aparece nos últimos anos (p.ex. "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Como o alvo é dado, você deve mostrar cada passo algébrico limpo: diferencie ambos os lados, use as regras do produto/cadeia em termos mistos de $xy$, agrupe todos os termos de $\dfrac{dy}{dx}$ de um lado, fatore e divida. Uma linha final correta que pula a álgebra ganha pouco. Partes seguintes pedem então uma reta tangente, ou onde a tangente é horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, então o numerador é $0$) ou vertical (o denominador é $0$).
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Português
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.
FUN-3.E.1 A regra da cadeia e a definição de uma função inversa podem ser usadas para encontrar a derivada de uma função inversa, desde que a derivada exista.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. If $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$, then $(5,2)$ lies on $g$ and $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
Português
Se $g$ é a função inversa 反函数 de $f$ (portanto $f(g(x))=x$), a regra da cadeia liga suas derivadas:
Em palavras: a derivada da inversa em um ponto é o recíproco 倒数 da derivada da função original no ponto correspondente. Um setup comum de prova dá uma tabela e um ponto $(a,b)$ em $f$ (portanto $(b,a)$ está em $g$), e pede $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Exemplo resolvido. Se $f(2)=5$ e $f'(2)=3$, e $g$ é a inversa de $f$, então $(5,2)$ está em $g$ e $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
A função inversa é a imagem espelhada da função na linha y = x
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Uma exponencial e seu inverso, o log
y = a·e^(bx) + c
Funções inversas refletem através de $y=x$ e suas inclinações são recíprocas. Onde uma é íngreme, sua inversa é rasa.
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Português
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.
FUN-3.E.2 A regra da cadeia aplicada com a definição de uma função inversa, ou a fórmula para a derivada de uma função inversa, pode ser usada para encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Português
A mesma ideia dá as derivadas das funções trigonométricas inversas 反三角函数. As três que você deve saber:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine essas com a regra da cadeia quando a entrada for ela mesma uma função, p.ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Selecionando Procedimentos para Calcular Derivadas
Syllabus · Programa
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Português
Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para calcular derivadas. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados ao cálculo de derivadas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Português
Tópico de habilidade: derivadas reais misturam várias regras, então leia a estrutura da expressão primeiro, de fora para dentro.
É uma soma? Diferencie termo a termo.
Um produto ou quociente? Aplique essa regra, e espere usar a regra da cadeia internamente.
Uma composta (algo dentro de algo)? Regra da cadeia.
Dado implicitamente? Derivação implícita.
Nomeie a operação mais externa, aplique sua regra e recursione para dentro. Limpeza evita erros de sinal e de registro que custam pontos.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Calculando Derivadas de Ordem Superior
Syllabus · Programa
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Português
Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.
Objetivo de Aprendizagem FUN-3.F: Determinar derivadas de ordem superior de uma função.
FUN-3.F.1 Diferenciar $f'$ produz a segunda derivada $f''$, desde que a derivada de $f'$ exista; repetir esse processo produz derivadas de ordem superior de $f$.
FUN-3.F.2 Derivadas de ordem superior são representadas por uma variedade de notações. Para $y = f(x)$, as notações para a segunda derivada incluem $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Derivadas de ordem superior podem ser denotadas $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Português
Derivar $f'$ produz a segunda derivada 二阶导数$f''$; repetir dá derivadas de ordem superior. As notações:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
A segunda derivada mede como a inclinação está mudando; ela impulsiona a curvatura 凹凸性 e aceleração em unidades futuras. Para encontrar $f''$ implicitamente, diferencie a expressão para $\dfrac{dy}{dx}$ novamente (com as regras do quociente e da cadeia), depois substitua $\dfrac{dy}{dx}$ de volta.
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A segunda derivada é a inclinação da inclinação
y = ax³ + bx² + cx + d
Diferenciar novamente dá $f''$, a taxa na qual a inclinação muda. Onde a inclinação está aumentando, a curva dobra para cima.
3.6
Exam tips · Dicas de prova
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Português
Use a regra da cadeia para funções compostas – diferencie a parte externa, depois multiplique pela derivada da interna (o fator mais esquecido).
Para diferenciação implícita, diferencie ambos os lados em relação a $x$ e acople $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que $y$ for diferenciado, depois resolva.
Encontre a segunda derivada diferenciando duas vezes (velocidade → aceleração).
Combine as regras com cuidado em expressões aninhadas (regra da cadeia dentro do produto, etc.).
O gráfico da função inversa é o reflexo em $y=x$; sua inclinação é o recíproco da original no ponto correspondente.
Interactive lessons on this topic · Aulas interativas sobre este tópico
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