Movimento em círculo

O radiano 弧度 é o ângulo formado no centro de um círculo por um arco 弧 cuja comprimento é igual ao raio. Para um arco de comprimento $s$ em um círculo de raio $r$, o ângulo em radianos é

Radianos não têm unidade (uma razão de comprimentos). Um círculo completo tem $s = 2\pi r$, logo $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. Uma meia-círculo é $\pi\ \text{rad}$; um quarto é $\pi/2\ \text{rad}$.

Para converter: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Configure sua calculadora para radianos para este tópico; o modo "graus" dará respostas erradas.

A definição de uma marca. O radiano é o ângulo subtendido no centro de um círculo por um arco igual em comprimento ao raio do círculo. Dê isso em palavras — $\theta = s/r$ sozinho não é uma definição — e mantenha $s = r\theta$ pronto para transformar uma distância ao longo do arco em um ângulo, ou vice-versa.

Um objeto move-se em um círculo de raio $r$ a velocidade constante $v$. Defina:

• angular displacement 角位移 $\theta$ — o ângulo (em radianos) percorrido pelo raio a partir de uma linha inicial escolhida.
• angular speed 角速度 $\omega$ — a taxa de variação do deslocamento angular.

Para movimento uniforme, $\omega$ é constante e

Unidade: $\text{rad s}^{-1}$.

O que permanece constante e o que varia. No movimento circular uniforme, a velocidade escalar, a velocidade angular, o período e a magnitude da aceleração são constantes; a velocidade vetorial, o deslocamento em relação ao centro e a aceleração variam continuamente, pois suas direções mudam. Ao ser pedido para "listar duas grandezas que variam", cite duas entre velocidade, aceleração, deslocamento e momento linear — e diga que é a direção que varia.

Período e frequência

Se o objeto dá uma volta completa ($2\pi\ \text{rad}$, uma revolução 圈) em um tempo $T$ (o período 周期), então

onde $f = 1/T$ é a frequência 频率 de rotação (Hz).

Velocidade linear e angular

Em um período $T$, o objeto percorre uma distância $2\pi r$ (a circunferência 周长) com velocidade constante, portanto

Isso relaciona a velocidade linear (tangencial 切向) $v$ com a velocidade angular $\omega$. Em um raio maior (para a mesma velocidade angular), a velocidade linear é maior — uma criança na borda de um carrossel se move mais rápido do que uma próxima ao centro, embora ambas dêem uma volta no mesmo intervalo de tempo.

Exemplo resolvido. Uma atração de parque de diversões de raio $4.0\ \text{m}$ completa uma volta a cada $8.0\ \text{s}$. Encontre sua velocidade angular e a velocidade linear de um passageiro na borda.

Exemplo resolvido. O ponteiro dos minutos de um relógio gira uma vez por hora. Um pedaço de massa de modelar sobre ele percorre uma distância total de $0.44\ \text{m}$ em $1400\ \text{s}$. Encontre a velocidade angular do ponteiro, o ângulo percorrido pela massa nesse intervalo e sua distância do centro do relógio.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Deslocamento angular $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Distância ao longo do arco $s = r\theta$, portanto $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Verifique: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ e $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — o mesmo. Uma armadilha comum nessas questões é um raio medido da borda: um bloco $1.2\ \text{cm}$ para dentro da borda de um disco de $9.3\ \text{cm}$ move-se em um círculo de raio $8.1\ \text{cm}$.

Exemplo resolvido. Uma corrente de bicicleta passa por uma engrenagem do pedal de raio $0.095\ \text{m}$ e uma engrenagem da roda traseira de raio $0.038\ \text{m}$. Os pedais giram a $1.2$ rotações por segundo. Encontre a velocidade da corrente e a velocidade angular da engrenagem traseira. A corrente é então transferida para uma engrenagem traseira menor enquanto a velocidade da bicicleta permanece a mesma; explique, sem cálculos, o que acontece com a velocidade angular dos pedais.

Velocidade angular dos pedais $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Cada elo da corrente se move à velocidade da borda da engrenagem do pedal: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. A borda da engrenagem traseira move-se à mesma velocidade, logo $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. Com a velocidade da bicicleta inalterada, a roda traseira mantém a mesma velocidade angular; portanto, a borda da engrenagem menor move-se mais devagar ($v = r\omega$ com um $r$ menor), logo a corrente move-se mais lentamente, e a engrenagem do pedal, acionada pela mesma corrente, gira a uma velocidade angular menor.

Um objeto movendo-se em um círculo com velocidade constante ainda possui uma velocidade 速度 variável — sua direção continua mudando, mesmo que seu módulo permaneça o mesmo. Uma velocidade variável requer uma aceleração 加速度. Essa aceleração aponta em direção ao centro e é a aceleração centrípeta 向心加速度.

A descrição de duas marcas. No movimento circular uniforme, a velocidade escalar é constante, mas a velocidade vetorial varia continuamente, pois sua direção muda; a aceleração é constante em magnitude e sempre direcionada em direção ao centro do círculo, perpendicular à velocidade. "Explique o que significa aceleração centrípeta": a aceleração de um objeto movendo-se ao longo de um trajeto circular, direcionada em direção ao centro do círculo.

Magnitude

As duas formas são iguais porque $v = r\omega$. Escolha aquela com as quantidades que você tem.

A aceleração centrípeta é perpendicular 垂直 à velocidade em todo instante — nunca ao longo da direção do movimento. (Se parte dela estivesse ao longo do movimento, a velocidade escalar mudaria.) Unidade: $\text{m s}^{-2}$.

Por que a velocidade escalar não muda. A força centrípeta é perpendicular ao deslocamento em todo instante, logo não realiza nenhum trabalho sobre o objeto; sua energia cinética, e consequentemente sua velocidade escalar, permanecem constantes. Apenas a direção da velocidade muda — o que é exatamente o que uma aceleração perpendicular à velocidade faz.

Exemplo resolvido. A Terra é uma esfera de raio $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ que gira uma vez a cada $24$ horas. Cambridge está na latitude 纬度 $52.2°$ norte. Encontre o raio do círculo no qual Cambridge se move, sua velocidade e sua aceleração centrípeta. Um estudante de massa $58.6\ \text{kg}$ está em uma balança de banheiro ali; declare e explique o efeito da rotação na leitura da balança.

O círculo é em torno do eixo, logo $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, logo $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ e $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. O estudante precisa de uma força resultante $ma = 1.2\ \text{N}$ em direção ao eixo, que só pode vir do peso exceder a força de contato ascendente; logo a balança lê menos que o peso $mg = 575\ \text{N}$ — em cerca de um newton (a aceleração tem uma componente $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ ao longo da vertical, ou seja, $0.7\ \text{N}$ do $1.2\ \text{N}$). Pequeno, mas o sinal e a razão são as marcas.

Pela segunda lei de Newton, a força resultante 力 sobre um corpo em movimento circular com velocidade constante é

Esta é a força centrípeta 向心力. Ela sempre aponta em direção ao centro — perpendicular à velocidade.

A força centrípeta não é um novo tipo de força — é a resultante das forças reais atuantes (tensão, gravidade, atrito, atração elétrica, força normal de contato, …). Em um problema, determine quais força(s) real(is) a fornece(m).

Exemplo resolvido. Uma bola de massa $0.20\ \text{kg}$ atada a uma corda é girada em um círculo horizontal de raio $0.50\ \text{m}$ a $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a força centrípeta (a tensão na corda).

De onde vem a força centrípeta

• Bola atada a uma corda em um círculo horizontal: a tensão 张力 na corda.
• Carro fazendo uma curva plana: a atrito 摩擦力 entre pneus e estrada ($F = m v^{2}/r$). Se o carro for muito rápido, o atrito não será suficiente e ele deslizará para fora.
• Curva inclinada 倾斜 (sem atrito): a componente horizontal da força normal de contato 支持力; $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ para o ângulo que não requer atrito.
• Um planeta ou satélite 卫星 em órbita 轨道: a atração gravitacional 引力, $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• Elétron 电子 em órbita circular (modelo estilo Bohr): a atração eletrostática 静电 entre o elétron e o núcleo 原子核 positivo:

onde $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ e $Z$ é a carga nuclear. Resolva para $v$ para obter a velocidade orbital; então $T = 2\pi r/v$.

A força inclinada: pêndulo cônico, cone e passeio de balanço

Uma bola atada a uma corda girada em um círculo horizontal (um pêndulo cônico 圆锥摆), uma bola rolando ao redor do interior de um cone liso, uma cadeira em um passeio de balanço de parque de diversões e um carro em uma pista inclinada são todos o mesmo problema: uma força (a tensão ou a força normal de contato) está inclinada num ângulo $\theta$ em relação à vertical. Resolva-a. Sua componente vertical equilibra o peso; sua componente horizontal é toda a força centrípeta:

Nunca adicione uma "força centrípeta" separada ao diagrama: as duas forças reais são o peso e a força inclinada, e sua resultante é horizontal, em direção ao centro.

Exemplo resolvido. Uma bola de aço move-se em um círculo horizontal de raio $0.12\ \text{m}$ na superfície interna lisa de um cone cuja superfície forma $52°$ com a horizontal. Nomeie as duas forças sobre a bola, declare a direção de sua resultante e encontre a velocidade da bola e o período de seu movimento.

As forças são o peso (verticalmente para baixo) e a força de contato normal da superfície do cone (perpendicular à superfície, portanto a $52°$ da vertical); sua resultante é horizontal, em direção ao centro do círculo. Verticalmente $N\cos 52° = mg$; horizontalmente $N\sin 52° = mv^{2}/r$. Dividindo: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, portanto $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, e $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. A massa cancela-se — a velocidade não depende dela.

Exemplo resolvido. Uma esfera de massa $0.29\ \text{kg}$ pendura-se a uma mola de constante elástica $40\ \text{N m}^{-1}$ e comprimento não esticado $6.0\ \text{cm}$. Ela é colocada em movimento em um círculo horizontal de modo que a mola forme $30°$ com a vertical. Encontre a tensão, o raio do círculo e a velocidade.

Verticalmente $T\cos 30° = mg$, logo $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. A extensão é $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, logo o comprimento da mola é $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ e $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Horizontalmente $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. A lei de Hooke fornece o comprimento; o círculo fornece o resto.

Círculos verticais

Quando o círculo está vertical, a velocidade não é constante (a gravidade realiza trabalho) — mas, em cada instante, a força resultante em direção ao centro ainda é igual a $m v^{2}/r$:

• na parte inferior de um loop: tensão para cima, peso 重力 para baixo, então $T - mg = m v^{2}/r$ — a tensão é maior aqui.
• No topo de um loop: tensão e peso apontam ambos para baixo (em direção ao centro), portanto $T + mg = m v^{2}/r$ — a tensão é a menor. Para a velocidade mais lenta no topo com a corda apenas tensa, defina $T = 0$: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, resultando em $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

Exemplo resolvido. Um carro faz uma volta em um loop vertical de raio $2.0\ \text{m}$. Encontre a velocidade mínima no topo para que o carro mantenha contato com a pista (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Na velocidade mais lenta, a força da pista é zero, então apenas a gravidade fornece a força centrípeta: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, resultando em $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

O resultado de velocidade constante ($v = r\omega$, $\omega$ constante) vale para círculos horizontais ou onde a força apenas curva a trajetória (órbitas sob gravidade, cargas em um campo magnético 磁场).

Círculos em campos

Exemplo resolvido. Um átomo de hélio é modelado como um núcleo de carga $+2e$ com dois elétrons em uma mesma órbita circular de raio $170\ \text{pm}$, sempre em lados opostos do núcleo. Encontre a força elétrica resultante sobre um elétron e sua velocidade.

Cada elétron é atraído pelo núcleo, a uma distância $r$, e repelido pelo outro elétron, a uma distância $2r$, ao longo da mesma linha: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. Esta é a força centrípeta: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

Exemplo resolvido. Um próton (massa $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) movendo-se a $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ entra em um campo magnético uniforme de densidade de fluxo $0.50\ \text{T}$ perpendicularmente ao campo. Encontre o raio de sua trajetória e o tempo para uma revolução completa.

A força magnética $Bqv$ é sempre perpendicular à velocidade, portanto atua como força centrípeta e a velocidade é constante: $Bqv = mv^{2}/r$ leva a $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, e $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — independente da velocidade, razão pela qual um próton mais rápido traça um círculo maior no mesmo intervalo de tempo. Para um satélite, a força gravitacional desempenha o mesmo papel: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, e a velocidade orbital e o período seguem diretamente de $r$.

1. Encontre o raio $r$ e escolha $v$ ou $\omega$. Use $v = r\omega$ para alternar entre eles.
2. Encontre a aceleração centrípeta usando $a = v^{2}/r$ ou $r\omega^{2}$.
3. Liste as forças reais e escreva a segunda lei de Newton na direção radial 径向 (em direção ao centro é positivo). Iguale a força líquida para dentro a $m v^{2}/r$.
4. Para período ou frequência: use $\omega = 2\pi/T$, ou $T = 2\pi r / v$.
5. Verifique as direções: a força centrípeta e a aceleração apontam para o centro; a velocidade é tangencial.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Trabalhe em radianos; velocidade angular $\omega = 2\pi/T = v/r$, e o comprimento do arco $s = r\theta$ converte uma distância percorrida ao longo do círculo em um ângulo.
• Aceleração centrípeta $a = v^2/r = \omega^2 r$; a força resultante atua em direção ao centro — ela é fornecida por tensão/gravidade/atrito/força de contato, não sendo uma força adicional.
• Sempre especifique o que fornece a força centrípeta na situação dada e, para uma força inclinada, decomponha-a: componente vertical $= mg$, componente horizontal $= mv^{2}/r$.
• Leia o raio com atenção: um ponto medido desde a borda move-se em um círculo menor; um ponto na Terra em rotação move-se em um círculo em torno do eixo, raio $R\cos\lambda$.
• Duas engrenagens em uma mesma corrente compartilham a velocidade da corrente; dois pontos em uma roda rígida compartilham sua velocidade angular.

Erros comuns

• Definindo o radiano como "$180/\pi$ graus" ou como $\theta = s/r$. A marca precisa do arco igual em comprimento ao raio.
• Dizer que a velocidade é constante no movimento circular uniforme. A velocidade escalar é constante; a velocidade vetorial muda de direção, razão pela qual existe aceleração.
• Desenhar uma seta de "força centrípeta" como uma força extra ao lado da tensão ou da força de contato. Ela é a resultante delas, não uma terceira força.
• Usar graus em $\omega t$ ou $v = r\omega$. Todas as fórmulas deste tópico assumem radianos.
• Esquecer que a força não realiza trabalho: uma força perpendicular ao movimento altera a direção, não a velocidade, mantendo a energia cinética constante.
• Tomar $r$ como o raio da Terra para um ponto na latitude $\lambda$. O círculo é em torno do eixo, logo $r = R\cos\lambda$.