Quantidades físicas e unidades

Uma grandeza física 物理量 tem duas partes: um número (sua magnitude 大小) e uma unidade 单位. O número sozinho não diz nada. Você também deve dizer o que é medido e em qual unidade.

Exemplo: "o comprimento é 1.5" não está completo. "O comprimento é 1.5 m" é uma grandeza física.

Fazendo estimativas

Você deve ser capaz de estimar 估算 o tamanho das grandezas físicas neste programa. A Prova 1 geralmente abre com uma questão assim. Aprenda esses valores aproximados:

• massa 质量 de um ser humano adulto: $\sim 70\ \text{kg}$; de um carro: $\sim 1000\ \text{kg}$; de uma maçã: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• peso 重力 de um ser humano adulto: $\sim 700\ \text{N}$; de uma maçã: $\sim 1\ \text{N}$
• altura de um ser humano adulto: $\sim 1.7\ \text{m}$; altura de uma sala: $\sim 3\ \text{m}$
• velocidade de caminhada: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; um carro em uma rodovia rápida: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• velocidade do som no ar: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; velocidade da luz no vácuo 真空: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• aceleração 加速度 de queda livre 自由落体: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densidade 密度 da água: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; do ar: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; do aço: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• pressão atmosférica 大气压强: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• temperatura ambiente: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• potência de uma chaleira: $\sim 2\ \text{kW}$; de uma pessoa subindo escadas: $\sim 300\ \text{W}$
• comprimento de onda da luz visível: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; diâmetro de um átomo: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; de um núcleo: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Uma boa estimativa tem a ordem de grandeza 数量级 (a potência de dez correta). Para um ser humano, 70 kg é um bom palpite; 7 kg não é.

Para estimar uma quantidade que não está na lista, construa-a a partir das que estão. A energia cinética de um carro em movimento é $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. A pressão sob uma pessoa em pé é $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Sempre verifique se a potência de dez parece sensata antes de prosseguir.

Unidades base

O sistema SI possui sete quantidades básicas 基本量; cinco delas são usadas neste tópico. Você deve conhecer essas cinco e suas unidades:

• massa — quilograma, $\text{kg}$
• comprimento 长度 — metro, $\text{m}$
• tempo — segundo, $\text{s}$
• corrente elétrica 电流 — ampere 安培, $\text{A}$
• temperatura 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Toda outra unidade neste programa é derivada dessas cinco.

Unidades derivadas

Uma unidade derivada 导出单位 é feita multiplicando ou dividindo unidades base. Você deve ser capaz de escrever qualquer quantidade deste programa em unidades base.

Construa uma unidade derivada a partir da equação que a define:

• velocidade 速率 = distância / tempo, então sua unidade é $\text{m s}^{-1}$
• aceleração = variação de velocidade vetorial 速度 / tempo, então sua unidade é $\text{m s}^{-2}$
• força 力 = massa × aceleração, então sua unidade é $\text{kg m s}^{-2}$. O newton 牛顿 é $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• trabalho 功 e energia 能量 = força × distância, então a unidade é $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. O joule 焦耳 é $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• potência 功率 = energia / tempo, portanto a unidade é $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. O watt 瓦特 é $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• pressão 压强 e tensão mecânica 应力 = força / área, então a unidade é $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. O pascal 帕斯卡 é $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Quando uma questão pede as unidades SI base de uma quantidade, substitua cada unidade nomeada por suas unidades base e simplifique. Exemplo: as unidades SI base do watt são $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Verificando se as unidades correspondem

Uma equação é homogênea 量dimensionalmente quando ambos os lados têm as mesmas unidades base. Em termos simples: as unidades em ambos os lados correspondem.

Escreva cada lado em unidades base e compare. Pegue a equação $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• lado esquerdo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado direito, primeiro termo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado direito, segundo termo: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Ambos os lados resultam em $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, então as unidades correspondem.

Cuidado: unidades correspondentes não provam que toda a equação está correta. Ela ainda pode ter um número errado ou um fator 2 ausente. Mas se as unidades não correspondem, a equação está errada com certeza.

Exemplo resolvido. A força de arrasto em uma bola caindo é dada por $F = kv^{2}$, onde $v$ é a velocidade. Encontre as unidades SI base da constante $k$.

Reorganize: $k = F / v^{2}$. Em unidades base, $F$ é $\text{kg m s}^{-2}$ e $v^{2}$ é $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, portanto

Uma questão de múltipla escolha frequentemente pergunta "qual equação poderia estar correta?". Verifique as unidades base de cada opção; apenas uma equação homogênea pode estar correta. Um número puro (como 2, $\pi$ ou $\tfrac{1}{2}$) não tem unidade, então nunca altera a verificação.

Prefixos

Um prefixo 词头 é uma letra colocada à frente de uma unidade para torná-la maior ou menor em potências de dez. Você deve conhecer estes:

Para converter uma unidade com prefixo em unidades base, substitua o prefixo pelo seu fator e simplifique. Exemplo: converta $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ em $\text{N m}^{-2}$:

Tenha cuidado especial com unidades elevadas ao quadrado como $\text{mm}^{2}$: você deve elevar também o fator ao quadrado.

Toda medida 测量 possui alguma incerteza 不确定度 — nunca temos certeza total do valor. Um bom experimentador sabe de onde vem a incerteza, faz uma estimativa justa dela e a propaga até a resposta final.

Erros sistemáticos e aleatórios

Um erro sistemático 系统误差 altera todas as leituras pela mesma quantidade, na mesma direção. Você não pode encontrá-lo repetindo a medição. Causas comuns:

• um erro de zero 零点误差 (a escala não lê zero quando o valor verdadeiro é zero)
• um erro de calibração 校准 (a própria escala está errada)
• paralaxe 视差 (seu olho está sempre de um lado da escala)

Um erro sistemático piora a precisão 准确度, mas não altera a exatidão 精密度.

Um erro aleatório 随机误差 faz as leituras oscilar acima e abaixo do valor verdadeiro, sem padrão. Causas incluem quão cuidadosamente você lê a escala, condições variáveis e o menor passo que o instrumento 仪器 pode mostrar. Se repetir a medição muitas vezes e tirar a média 平均值 (o average), erros aleatórios se cancelam parcialmente.

Um erro aleatório piora a exatidão. Mas com repetições suficientes, a média ainda pode ser precisa.

Em um gráfico, os dois erros parecem diferentes. Um erro sistemático move todos os pontos pela mesma quantidade, então a reta de melhor ajuste mantém sua inclinação, mas já não passa pela origem: o intercepto 截距 muda. Erros aleatórios dispersam os pontos acima e abaixo da reta; uma reta de melhor ajuste desenhada pelo meio da dispersão ainda dá uma inclinação confiável.

Precisão e exatidão

Precisão é o quão próximas as leituras repetidas são entre si. Leituras precisas estão agrupadas muito juntas.

Exatidão é o quão próximo uma leitura (ou a média de várias leituras) está do valor verdadeiro.

Um conjunto de leituras pode ser:

• preciso e exato — juntos e perto do valor verdadeiro
• preciso mas não exato — juntos, mas longe do valor verdadeiro (um erro sistemático)
• exato mas não preciso — espalhados, mas a média é próxima do valor verdadeiro
• nem — espalhados e longe do valor verdadeiro

Quando uma questão fornece uma tabela de leituras repetidas, observe a dispersão (precisão) e a média (exatidão) separadamente.

Estimando a incerteza em uma leitura

Antes de combinar as incertezas, você precisa definir uma incerteza razoável para cada leitura bruta:

• Uma única leitura em uma escala analógica: metade da menor divisão 分度 (uma régua métrica lê até $1\ \text{mm}$, então uma leitura é $\pm 0.5\ \text{mm}$). Um comprimento exige duas leituras, uma em cada extremidade, portanto sua incerteza é $\pm 1\ \text{mm}$.
• Um medidor digital: $\pm 1$ no último dígito mostrado (um cronômetro mostrando $2.47\ \text{s}$ tem $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Uma medição cronometrada manualmente: sua tempo de reação 反应时间 importa mais que o visor. Permita cerca de $\pm 0.1$ a $0.2\ \text{s}$, e meça várias oscilações em vez de uma, para que a mesma incerteza seja compartilhada entre todas elas.
• Leituras repetidas: a incerteza é metade da amplitude 极差的一半. Três tempos de $2.42$, $2.48$ e $2.45\ \text{s}$ têm uma média de $2.45\ \text{s}$ e uma amplitude de $0.06\ \text{s}$, logo a incerteza é $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Seja honesto. Se a borda de uma sombra é difícil de ver, a incerteza em sua posição é de vários milímetros, independentemente de quão fina seja a escala. Os examinadores não aceitam "a menor divisão" como a incerteza de uma leitura difícil.

Incerteza em uma quantidade derivada

Uma medição geralmente é escrita como $x \pm \Delta x$. Aqui $\Delta x$ é a incerteza absoluta 绝对不确定度. A incerteza percentual 百分比不确定度 é

Uma quantidade derivada 导出量 é aquela calculada a partir de valores medidos. Sua incerteza é encontrada por regras simples:

• Somar ou subtrair — some as incertezas absolutas. Se $y = a + b$ ou $y = a - b$, então $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplicar ou dividir — some as incertezas percentuais. Se $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, então
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Potências — multiplique a incerteza percentual pela potência. Se $y = a^{n}$, então $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Exemplo resolvido. O diâmetro 直径 de uma bola é medido como $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. O volume 体积 de uma esfera é $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, logo $V \propto d^{3}$ ($V$ depende de $d$ ao cubo).

A incerteza percentual em $d$ é

Como $V \propto d^{3}$, a incerteza percentual em $V$ é três vezes essa, cerca de $1.14\%$. O volume é $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Portanto, a incerteza absoluta é $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. A resposta final é $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Dois valores concordam? Questões práticas frequentemente pedem se dois valores calculados de uma constante apoiam uma relação sugerida. Não diga apenas "eles são próximos". Calcule a diferença percentual 百分比差异 entre eles,

e compare com a incerteza percentual em $k$ (ou com o critério dado pela questão, frequentemente 10%). Se a diferença for menor, os dois valores concordam dentro da incerteza e a relação é apoiada. Se for maior, eles não concordam.

Algarismos significativos

Ao escrever uma quantidade calculada, dê a ela o mesmo número de algarismos significativos 有效数字 que a medida menos precisa que você usou — geralmente dois ou três neste programa. Muitos algarismos significativos fazem a resposta parecer mais exata do que realmente é. Poucos perdem informações úteis.

Provas práticas pedem que você justifique o número escolhido. Nomeie as leituras brutas: "$a$ foi dado com 2 algarismos significativos porque $L$ e $t$ foram medidos cada um com 2 algarismos significativos." A frase "por causa dos dados brutos" sozinha não garante a nota. Em uma tabela de resultados, avalie cada linha pela leitura bruta menos precisa naquela linha; não force todas as linhas a terem o mesmo número de algarismos.

Incertezas em gráficos

O Paper 5 pede para propagar incertezas através de um gráfico:

• Plote cada ponto com uma barra de erro 误差棒 cujo comprimento mostra a incerteza absoluta naquele valor.
• Desenhe a reta de melhor ajuste 最佳拟合直线 pelos pontos, depois a pior reta aceitável 最差可接受直线: a reta mais íngreme (ou mais rasa) que ainda passa por todas as barras de erro.
• A incerteza na inclinação é a diferença entre as duas inclinações, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. A incerteza no intercepto é encontrada da mesma forma.
• Ao plotar um logaritmo, a incerteza absoluta em $\ln x$ é $\Delta x / x$ (e em $\lg x$ é $0.434\,\Delta x / x$). Calcule para os maiores e menores valores de $x$ separadamente.

Uma incerteza percentual na inclinação então flui para qualquer quantidade calculada a partir dela, usando as regras acima.

*Resolução de uma força em componentes

Um escalar 标量 tem apenas magnitude. Um vetor 矢量 tem magnitude e direção.

Exemplos do programa:

• escalares: massa, tempo, temperatura, energia, trabalho, potência, distância, velocidade escalar, pressão, densidade, carga elétrica 电荷
• vetores: deslocamento 位移, velocidade, aceleração, força (incluindo peso), momento linear 动量

Teste rápido: se faz sentido perguntar "em qual direção?", a quantidade é um vetor. Você não pode perguntar "em qual direção está a temperatura?", logo temperatura é escalar. Você pode perguntar "em qual direção está a velocidade?", logo velocidade é vetor.

Somando e subtraindo vetores

Um vetor é desenhado como uma seta: a direção da seta dá a direção da quantidade, e o comprimento da seta (desenhado em escala) dá a magnitude.

*Vetores representados como setas desenhadas em escala

Para somar dois vetores coplanares 共面 (vetores no mesmo plano), desenhe-os ponta a cauda. O vetor resultante 合矢量 vai da cauda da primeira seta à ponta da segunda.

Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, adicione o reverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. O reverso de $\vec{Y}$ tem o mesmo tamanho que $\vec{Y}$, mas aponta na direção oposta.

*Somando e subtraindo vetores paralelos

Se os dois vetores estiverem em ângulo reto (90°), o tamanho do resultante é

e sua direção vem de $\tan\theta = Y / X$.

Exemplo resolvido. Um nadador navega para norte a $1.2\ \text{m s}^{-1}$ através de um rio que flui para este a $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a magnitude e a direção da velocidade resultante.

As duas velocidades são perpendiculares, logo

em um ângulo $\tan\theta = 0.5/1.2$, dando $\theta \approx 23°$ leste do norte.

*Dois vetores perpendiculares somam-se a um resultante de tamanho $\sqrt{X^2+Y^2}$ em um ângulo $\theta$

Se dois vetores têm o mesmo tamanho $F$ com um ângulo $2\alpha$ entre eles, a resultante tem tamanho $2F\cos\alpha$ e está ao longo da linha que divide o ângulo ao meio.

Exemplo resolvido. Duas forças de $6.0\ \text{N}$ atuam sobre um objeto com $60°$ entre elas. Encontre o resultante.

Aqui $2\alpha = 60°$, logo $\alpha = 30°$ e $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, ao longo da linha entre as duas forças. A resolução dá a mesma resposta: cada força tem um componente $6.0\cos 30°$ ao longo dessa linha, e seus componentes perpendiculares a ela se cancelam.

Para dois vetores em qualquer outro ângulo, faça um desenho em escala 按比例作图 do triângulo de vetores e meça o resultante, ou resolva ambos os vetores em componentes perpendiculares, some os componentes e recombine com $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Exemplo resolvido. Uma bola movendo-se para leste a $5.0\ \text{m s}^{-1}$ é atingida de modo a mover-se para norte a $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre sua mudança de velocidade.

Uma mudança de velocidade é uma subtração vetorial: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Desenhe $5.0\ \text{m s}^{-1}$ norte, então adicione o inverso da velocidade inicial, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ oeste. As duas são perpendiculares, logo $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, apontando noroeste. A velocidade escalar não mudou, mas a velocidade vetorial sim. É por isso que uma força deve ter agido sobre a bola (tópico 3).

Dividindo um vetor em partes perpendiculares

Qualquer vetor pode ser dividido em duas componentes perpendiculares 垂直 (em ângulo reto). Geralmente são horizontal 水平 e vertical 竖直, ou ao longo e transversalmente a uma superfície. Para um vetor $\vec{v}$ em um ângulo $\theta$ em relação à horizontal:

*Resolvendo um vetor em componentes horizontal e vertical

Escolha as direções que tornarem o problema mais fácil. Em uma rampa (um plano inclinado 斜面), divida o peso em uma parte ao longo da rampa e uma parte perpendicular a ela:

onde $\theta$ é o ângulo da rampa em relação à horizontal.

Você decompõe um vetor em componentes sempre que precisar saber quanto dele atua em uma determinada direção. Por exemplo: a parte de uma força que age ao longo de uma inclinação, ou as partes horizontal e vertical da velocidade de uma bola após ser lançada.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Dê a cada resposta uma unidade, e verifique a homogeneidade — ambos os lados de uma equação devem ter as mesmas unidades fundamentais.
• Distinga erro aleatório (reduzido por repetição e média) de erro sistemático (um erro de zero ou calibração que repetições não removem).
• Combine as incertezas: some as incertezas absolutas ao somar/subtrair, some as incertezas percentuais ao multiplicar/dividir (e multiplique o % por qualquer potência).
• Distinga precisão (pequena dispersão) de exatidão (próximo do valor verdadeiro).
• Resolva um vetor em componentes perpendiculares ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); some vetores ponta-a-cauda ou por componentes.

Erros comuns

• Substituindo 5 cm por 5, ou 20 g por 20. Converta o prefixo primeiro: 0.05 m, 0.020 kg.
• Dar a incerteza percentual em $T^{2}$ como sendo a mesma que em $T$. Elevar ao quadrado dobra-a; raiz quadrada a divide pela metade.
• Tratar a incerteza percentual e a incerteza absoluta como o mesmo número.
• Citar "a menor divisão" como a incerteza de uma leitura difícil de obter.
• Oferecer duas respostas para uma definição. Comprometa-se com uma.