No vácuo vazio do espaço, não há nada contra o que empurrar — nenhum chão, nenhum ar, nada de tudo. E ainda assim um foguete pode acelerar. Como? Ele joga massa…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
3.1
Mass, momentum and force · Massa, momento e força
Syllabus · Programa
English
understand that mass is the property of an object that resists change in motion
recall $F = ma$ and solve problems using it, understanding that acceleration and resultant force are always in the same direction
define and use linear momentum as the product of mass and velocity
define and use force as rate of change of momentum
state and apply each of Newton’s laws of motion
describe and use the concept of weight as the effect of a gravitational field on a mass and recall that the weight of an object is equal to the product of its mass and the acceleration of free fall
Português
compreender que a massa é a propriedade de um objeto que resiste à mudança de movimento
recordar $F = ma$ e resolver problemas usando-a, compreendendo que aceleração e força resultante estão sempre na mesma direção
definir e usar momento linear como o produto de massa e velocidade
definir e usar força como taxa de variação do momento
enunciar e aplicar cada uma das leis de Newton do movimento
descrever e usar o conceito de peso como o efeito de um campo gravitacional sobre uma massa e recordar que o peso de um objeto é igual ao produto de sua massa e a aceleração da queda livre
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Mass
Mass 质量 tells you how hard it is to change an object's motion. The larger the mass, the larger the force 力 needed to give it a certain acceleration 加速度. Mass is measured in kilograms ($\text{kg}$) and is a scalar 标量.
Momentum
Linear momentum 动量 is the product of mass and velocity:
$$p = mv.$$
Momentum is a vector 矢量 — it points the same way as the velocity 速度. Its unit is $\text{kg m s}^{-1}$, which is the same as $\text{N s}$.
Force as the rate of change of momentum
Newton's second law, in its general form: the resultant force 合力 on an object equals the rate of change of its momentum.
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}.$$
When the mass is constant this becomes $F = ma$, because $\Delta p = m\,\Delta v$ and $\Delta v / \Delta t = a$. Cambridge questions often want you to use $F = \Delta p / \Delta t$ directly for a collision 碰撞 or an impulse 冲量: the average force equals the change in momentum divided by the contact time.
A ball hits a wall with momentum $p_{1}$ and bounces back with momentum $p_{2}$ in the opposite direction. The change in momentum is $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (give each direction the correct sign). The average force is $\Delta p / \Delta t$, where $\Delta t$ is the contact time.
Worked example. A $0.20\ \text{kg}$ ball hits a wall at $8.0\ \text{m s}^{-1}$ and bounces straight back at $6.0\ \text{m s}^{-1}$. The contact lasts $0.050\ \text{s}$. Find the average force on the ball.
Take the rebound direction as positive, so $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ and $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:
$$\Delta p = m(v - u) = 0.20 \times \big(6.0 - (-8.0)\big) = 2.8\ \text{kg m s}^{-1},$$
This comes from $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.
Momentum–time graphs
Because $F = \Delta p / \Delta t$, the gradient of a momentum–time graph is the resultant force, just as the gradient of a velocity–time graph is the acceleration. A straight line means a constant resultant force; a horizontal line means zero resultant force; a line sloping down means a force acting against the motion.
Worked example. The graph shows the momentum of a motorcycle. Find the resultant force on it during the first $10\ \text{s}$.
Gradient $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Between $10\ \text{s}$ and $16\ \text{s}$ the momentum is constant, so the resultant force is zero: the driving force just balances the resistive forces. From $16\ \text{s}$ to $20\ \text{s}$ the momentum falls by $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, so the resultant force is $-500\ \text{N}$, acting backwards.
If a question tells you the speed is changing while the resultant force stays constant, that force cannot be air resistance: drag depends on speed, so it would change as the speed changes, and drag always acts against the motion.
Português
Massa
Mass 质量 tells you how hard it is to change an object's motion. The larger the mass, the larger the force 力 needed to give it a certain acceleration 加速度. Mass is measured in kilograms ($\text{kg}$) and is a scalar 标量.
Momento
Momento linear 动量 é o produto da massa pela velocidade:
$$p = mv.$$
O momento é um vetor 矢量 — ele aponta na mesma direção da velocidade 速度. Sua unidade é $\text{kg m s}^{-1}$, que é a mesma de $\text{N s}$.
Força como taxa de variação do momento
A segunda lei de Newton, em sua forma geral: a força resultante 合力 sobre um objeto é igual à taxa de variação de seu momento.
Impulso é a área sob um gráfico força-tempo, igual à mudança no momento
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}.$$
Quando a massa é constante, isso se torna $F = ma$, porque $\Delta p = m\,\Delta v$ e $\Delta v / \Delta t = a$. Questões do Cambridge geralmente pedem para usar $F = \Delta p / \Delta t$ diretamente para uma colisão 碰撞 ou um impulso 冲量: a força média é igual à mudança no momento dividida pelo tempo de contato.
Uma bola bate em uma parede com momento $p_{1}$ e quica de volta com momento $p_{2}$ na direção oposta. A mudança no momento é $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (dê cada direção o sinal correto). A força média é $\Delta p / \Delta t$, onde $\Delta t$ é o tempo de contato.
Exemplo resolvido. Uma bola de $0.20\ \text{kg}$ hits a wall at $8.0\ \text{m s}^{-1}$ and bounces straight back at $6.0\ \text{m s}^{-1}$. O contato dura $0.050\ \text{s}$. Encontre a força média sobre a bola.
Considere a direção de rebote como positiva, então $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ e $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:
$$\Delta p = m(v - u) = 0.20 \times \big(6.0 - (-8.0)\big) = 2.8\ \text{kg m s}^{-1},$$
Isso vem de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.
Gráficos de momento-tempo
Porque $F = \Delta p / \Delta t$, a inclinação 梯度 de um gráfico de momento-tempo é a força resultante, assim como a inclinação de um gráfico velocidade-tempo é a aceleração. Uma linha reta significa uma força resultante constante; uma linha horizontal significa força resultante zero; uma linha descendente significa uma força atuando contra o movimento.
A inclinação de um gráfico de momento-tempo é a força resultante: 500 N enquanto acelera, zero enquanto o momento é constante, negativa enquanto freia
Exemplo resolvido. O gráfico mostra o momento de uma motocicleta. Encontre a força resultante sobre ela durante os primeiros $10\ \text{s}$.
Inclinação $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ e $16\ \text{s}$ o momento é constante, então a força resultante é zero: a força motriz apenas equilibra as forças resistentes. De $16\ \text{s}$ a $20\ \text{s}$ o momento cai em $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, então a força resultante é $-500\ \text{N}$, agindo para trás.
Se uma questão disser que a velocidade está mudando enquanto a força resultante permanece constante, essa força não pode ser resistência do ar: arrasto depende da velocidade, então mudaria conforme a velocidade muda, e o arrasto sempre atua contra o movimento.
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Diagrama de corpo livre (F = ma)
A resultante das forças, dividida pela massa, dá a aceleração.
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Segunda lei de Newton
F = ma (resultante)
A força resultante determina a aceleração; forças equilibradas ⇒ nenhuma aceleração.
Newton's three laws of motion · As três leis do movimento de Newton
English
First law
An object stays at rest, or keeps moving at constant velocity in a straight line, unless a resultant external force 外力 acts on it. In short: zero resultant force means zero acceleration.
Second law
The resultant force on an object equals its rate of change of momentum, and acts in the same direction as that change. In SI units,
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = ma \quad\text{(for constant mass)}.$$
Acceleration and resultant force always point the same way.
Third law
When body A pushes on body B, body B pushes back on body A with an equal and opposite force. The two forces:
act on different objects,
are of the same type (both gravitational, both contact, both electrostatic 静电, and so on),
have the same size and opposite direction.
A common trap: the weight 重力 of a block on a table and the normal contact force 支持力 from the table are not a third-law pair (they act on the same object and are different types). The third-law partner of the block's weight is the pull the block makes on the Earth. The third-law partner of the table's contact force is the push the block makes on the table.
To name a third-law partner, swap the two bodies in the sentence. "The back wheel of a bicycle pushes backwards on the road" pairs with "the road pushes forwards on the back wheel", and that forward push is what drives the bicycle. "The Earth pulls the Moon" pairs with "the Moon pulls the Earth", with the same size of force.
For a rocket: the thrust 推力 on the rocket and the force on the gases are a third-law pair (the engine pushes the gas down, the gas pushes the engine up). Weight and air resistance are not part of this pair.
Português
Um foguete empurra gás para baixo; pela terceira lei de Newton, o gás empurra o foguete para cima.
Primeira lei
Um objeto permanece em repouso, ou continua se movendo com velocidade constante em linha reta, a menos que uma força externa resultante 外力 atue sobre ele. Em resumo: força resultante zero significa aceleração zero.
Segunda lei
A força resultante sobre um objeto é igual à sua taxa de variação de momento, e age na mesma direção dessa mudança. Em unidades SI,
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = ma \quad\text{(para massa constante)}.$$
Aceleração e força resultante sempre apontam na mesma direção.
Diagrama de corpo livre mostrando todas as forças em um bloco sendo puxado em um ânguloPeso e força de contato normal em um livro apoiado em uma mesa
Terceira lei
Quando o corpo A empurra o corpo B, o corpo B empurra de volta no corpo A com uma força igual e oposta. As duas forças:
atuam em objetos diferentes,
são do mesmo tipo (ambas gravitacionais, ambas de contato, ambas eletrostáticas 静电, etc.),
têm o mesmo tamanho e direção oposta.
Uma armadilha comum: o peso 重力 de um bloco sobre uma mesa e a força de contato normal 支持力 da mesa não formam um par de terceira lei (elas atuam no mesmo objeto e são tipos diferentes). O parceiro de terceira lei do peso do bloco é a tração que o bloco exerce na Terra. O parceiro de terceira lei da força de contato da mesa é a pressão que o bloco exerce sobre a mesa.
Para nomear um parceiro de terceira lei, troque os dois corpos na frase. "A roda traseira de uma bicicleta empurra para trás na estrada" combina com "a estrada empurra para frente na roda traseira", e esse empurrão para frente é o que move a bicicleta. "A Terra puxa a Lua" combina com "a Lua puxa a Terra", com o mesmo tamanho de força.
Para um foguete: a empuxo 推力 no foguete e a força nos gases são um par de terceira lei (o motor empurra o gás para baixo, o gás empurra o motor para cima). Peso e resistência do ar não fazem parte deste par.
Par de terceira lei de Newton: R no livro (para cima) e R′ na mesa (para baixo)
Weight is the force on an object from a gravitational field 重力场. Near the Earth's surface,
$$W = mg,$$
where $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ is the acceleration of free fall. Weight is a vector that points towards the centre of the Earth. Do not mix it up with mass: mass is the same everywhere, but weight changes with place.
On the Moon $g$ is about $1.6\ \text{m s}^{-2}$, so an astronaut's mass is unchanged but their weight is about one sixth of its value on Earth. When a multiple-choice question asks which statement describes weight, the answer is the one that says "the force on the object due to a gravitational field", not "mass times acceleration" and not "the resultant force".
Português
Peso é a força sobre um objeto devido a um campo gravitacional 重力场. Perto da superfície da Terra,
$$W = mg,$$
onde $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ é a aceleração da queda livre. Peso é um vetor que aponta para o centro da Terra. Não o confunda com massa: a massa é a mesma em qualquer lugar, mas o peso muda conforme o local.
Na Lua $g$ é cerca de $1.6\ \text{m s}^{-2}$, então a massa de um astronauta não muda, mas seu peso é cerca de um sexto do valor na Terra. Quando uma questão de múltipla escolha pede qual afirmação descreve o peso, a resposta é aquela que diz "a força sobre o objeto devido a um campo gravitacional", não "massa vezes aceleração" nem "a força resultante".
3.2
Non-uniform motion: friction, drag and terminal velocity · Movimento não uniforme: atrito, arrasto e velocidade terminal
Syllabus · Programa
English
show a qualitative understanding of frictional forces and viscous/drag forces including air resistance (no treatment of the coefficients of friction and viscosity is required, and a simple model of drag force increasing as speed increases is sufficient)
describe and explain qualitatively the motion of objects in a uniform gravitational field with air resistance
understand that objects moving against a resistive force may reach a terminal (constant) velocity
Português
mostrar uma compreensão qualitativa de forças de atrito e forças viscosas/drag incluindo resistência do ar (nenhum tratamento dos coeficientes de atrito e viscosidade é necessário, e um modelo simples de força de drag aumentando conforme a velocidade aumenta é suficiente)
descrever e explicar qualitativamente o movimento de objetos em um campo gravitacional uniforme com resistência do ar
compreender que objetos movendo-se contra uma força resistiva podem atingir uma velocidade terminal (constante)
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Friction and drag forces
A friction 摩擦力 force between two solid surfaces acts along the surface and opposes the sliding. A viscous 黏性 or drag 阻力 force is the resistive force from a fluid 流体 (a liquid or gas) on an object moving through it; air resistance is the case for air. You do not need to use any coefficient 系数 of friction or viscosity.
A simple model: the drag gets bigger as the speed gets bigger. At zero speed, the drag is zero. Drag also grows with the cross-sectional area 横截面积 of the object and with the density of the fluid; a parachute works by making the area, and so the drag, much larger. These frictional forces and drag forces are all resistive forces: they act against the direction of motion and transfer kinetic energy to thermal energy.
An object falling through air
For an object dropped from rest and falling through air:
At first, only weight acts, so the object speeds up downwards at $g$.
As the speed grows, the upward drag grows. The resultant force gets smaller, so the acceleration gets smaller.
In the end, the drag equals the weight. The resultant force is zero, the acceleration is zero, and the speed stays constant — the terminal velocity 收尾速度.
On a velocity–time graph, the line starts straight with gradient $g$, then bends and flattens at the terminal velocity. This shape (fast start, then slowing acceleration, then constant speed) is how "falling with air resistance" differs from "free fall in a vacuum" in a uniform gravitational field 匀强重力场. On an acceleration–time graph the acceleration starts at $g$ and decreases, curving down to zero.
Two spheres of the same size but different density have different terminal velocities: the denser sphere has the larger weight, so it needs a larger drag to balance it, and drag only reaches that value at a higher speed. That is also why a parachute changes everything: when it opens, the drag suddenly exceeds the weight, the resultant force is upwards, and the skydiver decelerates (the acceleration is upwards while the velocity is still downwards) until the drag has fallen back to equal the weight at a new, much lower terminal velocity.
Falling through a liquid: three forces
A ball falling through a liquid has three forces on it: its weight downwards, the upthrust 浮力 upwards, and the viscous drag upwards. The upthrust comes from hydrostatic pressure 流体静压强: the pressure in a liquid increases with depth, so the liquid pushes harder on the bottom of the ball than on the top, and the resultant of these pushes is upwards. Its size is the weight of the liquid the ball displaces, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (topic 4). The drag grows with speed. When weight $=$ upthrust $+$ drag, the resultant force is zero and the ball falls at its terminal speed. A "draw labelled arrows" question wants exactly these three, with the upthrust and drag both up and the weight down.
Worked example. A steel ball of radius $2.0\ \text{mm}$ and weight $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ falls through oil of density $850\ \text{kg m}^{-3}$. The viscous drag on it is $F = 6\pi \eta r v$, where $\eta$ is the viscosity 黏度 of the oil and $v$ the speed. (a) Find the SI base units of $\eta$. (b) Show that the upthrust on the ball is $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Taking $\eta = 0.20$ in SI units, find the terminal speed.
(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, so its units are $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.
(c) At the terminal speed, drag $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. So $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.
Energy during a terminal-velocity fall
At terminal velocity, a parachutist 跳伞者 has constant kinetic energy. But the gravitational potential energy 重力势能 keeps falling as they go down. Where does it go? Almost all of it turns into thermal energy 热能 of the air around them. It does not become kinetic energy of the parachutist — that stays constant.
Cyclist or car at constant speed
A vehicle at constant speed on a flat road has zero resultant force. The forward driving force 驱动力 is equal and opposite to the total resistive force (friction, air resistance, and rolling resistance). At higher speed the drag is larger, so the driving force must be larger too — and so the power 功率 must be larger.
On a slope the weight has a component along the road. Going up at constant speed, the driving force must balance the resistive force and the part of the weight that pulls down the slope, $W\sin\theta$; going down, that same component helps the motion.
Worked example. A car of mass $1500\ \text{kg}$ climbs a road inclined at $12°$ to the horizontal at a constant $30\ \text{m s}^{-1}$. The total resistive force is $1600\ \text{N}$. Find the driving force and the useful output power of the engine.
Constant speed means zero resultant force along the slope: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Power is force times velocity (topic 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.
Português
Forças de atrito e arrasto
Uma força de atrito 摩擦力 entre duas superfícies sólidas atua ao longo da superfície e se opõe ao deslizamento. Uma força viscosa 黏性或arrasto 阻力 é a força resistente de um fluido 流体 (líquido ou gás) sobre um objeto que se move através dele; resistência do ar é o caso para o ar. Você não precisa usar nenhum coeficiente 系数 de atrito ou viscosidade.
Um modelo simples: o arrasto aumenta à medida que a velocidade aumenta. Na velocidade zero, o arrasto é zero. O arrasto também cresce com a área transversal 横截面积 do objeto e com a densidade do fluido; um paraquedas funciona tornando a área, e consequentemente o arrasto, muito maior. Essas forças de atrito e arrasto são todas forças resistentes: elas atuam contra a direção do movimento e transferem energia cinética para energia térmica.
Diagrama de corpo livre de um livro sendo puxado sobre uma mesa
Um objeto caindo através do ar
Para um objeto solto do repouso e caindo através do ar:
No início, apenas o peso atua, então o objeto acelera para baixo com $g$.
À medida que a velocidade aumenta, o arrasto ascendente aumenta. A força resultante diminui, então a aceleração diminui.
Por fim, o arrasto iguala-se ao peso. A força resultante é zero, a aceleração é zero, e a velocidade permanece constante — a velocidade terminal 收尾速度.
Em um gráfico velocidade-tempo, a linha começa reta com inclinação $g$, depois curva e se aplaina na velocidade terminal. Essa forma (início rápido, depois aceleração diminuída, depois velocidade constante) é como "queda com resistência do ar" difere de "queda livre em vácuo" em um campo gravitacional uniforme 匀强重力场. Em um gráfico aceleração-tempo, a aceleração começa em $g$ e diminui, curvando-se até zero.
Duas esferas do mesmo tamanho, mas densidades diferentes, têm velocidades terminais diferentes: a esfera mais densa tem maior peso, então precisa de maior arrasto para equilibrá-lo, e o arrasto só alcança esse valor em velocidade maior. É também por isso que um paraquedas muda tudo: quando abre, o arrasto subitamente excede o peso, a força resultante é para cima, e o pára-quedista desacelera (a aceleração é para cima enquanto a velocidade ainda é para baixo) até que o arrasto caia novamente para igualar o peso em uma nova velocidade terminal muito menor.
Gráfico velocidade-tempo de um pára-quedista: a aceleração cai de $g$ para zero na primeira velocidade terminal; abrir o paraquedas faz o arrasto exceder o peso, então a velocidade cai para uma nova velocidade terminal menorGráfico velocidade-tempo para um objeto caindo através do arForças em um objeto caindo em um fluido
Queda através de um líquido: três forças
Uma bola caindo através de um líquido tem três forças atuando sobre ela: seu peso para baixo, a empuxo 浮力 para cima, e o arrasto viscoso para cima. O empuxo vem da pressão hidrostática 流体静压强: a pressão em um líquido aumenta com a profundidade, então o líquido empurra mais forte na parte inferior da bola do que na superior, e a resultante desses empurrões é para cima. Seu valor é igual ao peso do líquido deslocado pela bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (tópico 4). O arrasto cresce com a velocidade. Quando o peso $=$ o empuxo $+$ o arrasto, a força resultante é zero e a bola cai à sua velocidade terminal. Uma questão "desenhe setas rotuladas" pede exatamente essas três, com o empuxo e o arrasto ambos para cima e o peso para baixo.
Exemplo resolvido. Uma bola de aço de raio $2.0\ \text{mm}$ e peso $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ cai através de óleo de densidade $850\ \text{kg m}^{-3}$. O arrasto viscoso sobre ela é $F = 6\pi \eta r v$, onde $\eta$ é a viscosidade 黏度 do óleo e $v$ a velocidade. (a) Encontre as unidades fundamentais do SI de $\eta$. (b) Mostre que o empuxo sobre a bola é $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Considerando $\eta = 0.20$ em unidades do SI, encontre a velocidade terminal.
(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, então suas unidades são $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.
(c) Na velocidade terminal, o arrasto $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Então $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.
Por que a postura de espreguiçadeira? Abrir-se dá a maior área possível, logo o maior arrasto. Quanto maior o arrasto, mais cedo ele equilibra o peso — e menor é a velocidade terminal estável em que eles caem
Energia durante uma queda à velocidade terminal
Na velocidade terminal, um paraquedista 跳伞者 tem energia cinética constante. Mas a energia potencial gravitacional 重力势能 continua caindo conforme desce. Para onde ela vai? Quase toda se transforma em energia térmica 热能 do ar ao redor. Ela não se torna energia cinética do paraquedista — essa permanece constante.
Ciclista ou carro em velocidade constante
Um veículo em velocidade constante numa estrada plana tem força resultante nula. A força motriz 驱动力 é igual e oposta à força resistente total (atrito, resistência do ar e resistência à rolagem). Em velocidades maiores, o arrasto é maior, então a força motriz também deve ser maior — e assim a potência 功率 deve ser maior.
Em uma inclinação, o peso tem uma componente ao longo da estrada. Subindo em velocidade constante, a força motriz deve equilibrar a força resistente e a parte do peso que puxa para baixo da encosta, $W\sin\theta$; descendo, essa mesma componente auxilia o movimento.
Um carro subindo uma rampa em velocidade constante: ao longo da rampa, a força motriz equilibra a força resistente mais a componente do peso $W\sin\theta$
Exemplo resolvido. Um carro de massa $1500\ \text{kg}$ sobe uma estrada inclinada $12°$ em relação à horizontal a uma velocidade constante $30\ \text{m s}^{-1}$. A força resistente total é $1600\ \text{N}$. Encontre a força motriz e a potência útil de saída do motor.
Velocidade constante significa força resultante nula ao longo da rampa: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Potência é força vezes velocidade (tópico 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.
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Parar um carro
O atrito é o que freia um carro. Defina uma velocidade e freie — o carro continua a se mover enquanto o motorista reage, então o atrito o desacelera. Dobre a velocidade e observe a distância de frenagem quadruplicar.
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Alcançar a velocidade terminal
Pule e observe a seta de resistência do ar crescer até equilibrar o peso — então a velocidade é constante. Abra o paraquedas e o arrasto muito maior faz o mergulhador cair para uma velocidade terminal lenta e segura.
Conservation of linear momentum · Conservação do momento linear
Syllabus · Programa
English
state the principle of conservation of momentum
apply the principle of conservation of momentum to solve simple problems, including elastic and inelastic interactions between objects in both one and two dimensions (knowledge of the concept of coefficient of restitution is not required)
recall that, for an elastic collision, total kinetic energy is conserved and the relative speed of approach is equal to the relative speed of separation
understand that, while momentum of a system is always conserved in interactions between objects, some change in kinetic energy may take place
Português
enunciar o princípio de conservação do momento
aplicar o princípio de conservação do momento para resolver problemas simples, incluindo interações elásticas e inelásticas entre objetos em uma e duas dimensões (conhecimento do conceito de coeficiente de restituição não é necessário)
recordar que, para uma colisão elástica, a energia cinética total é conservada e a velocidade relativa de aproximação é igual à velocidade relativa de separação
compreender que, embora o momento de um sistema seja sempre conservado em interações entre objetos, alguma mudança na energia cinética possa ocorrer
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Conservation of momentum in a collision
The principle
For a system with no resultant external force, the total momentum stays constant. This is conservation of momentum 动量守恒. Stated for the two marks the examiner gives: the total momentum of a system of objects remains constant provided no resultant external force acts on the system. Both halves are needed: "total momentum is constant" alone scores one.
It always holds when there is no outside resultant force — in collisions, explosions 爆炸, and recoil 反冲. In two dimensions, momentum is conserved along each direction on its own.
Worked example. A $2.0\ \text{kg}$ trolley and a $3.0\ \text{kg}$ trolley are held together against a compressed spring, then released from rest. The $2.0\ \text{kg}$ trolley flies off at $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Find the speed of the other trolley.
The total momentum stays zero (it started at rest), so
In every collision, momentum is conserved (if there is no outside resultant force).
An elastic collision 弹性碰撞 is one where the total kinetic energy is also conserved. A quick test: in an elastic collision, the relative speed 相对速率 of approach equals the relative speed of separation.
In an inelastic collision 非弹性碰撞, momentum is conserved but kinetic energy goes down — some becomes thermal, sound, or deformation 形变 energy. If the two objects stick together, the collision is perfectly inelastic.
Solving collision problems (one dimension)
For two objects with masses $m_{1}, m_{2}$ and starting velocities $u_{1}, u_{2}$ that hit head-on 正面, write
Use signed velocities (positive in one chosen direction). If the collision is elastic, add the relative-speed equation
$$u_{1} - u_{2} = -(v_{1} - v_{2}),$$
or, the same thing, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. That gives two equations for two unknowns.
Worked example. A $1500\ \text{kg}$ car moving at $12\ \text{m s}^{-1}$ runs into a stationary $1000\ \text{kg}$ car and they lock together. Find their common velocity just after the collision.
Momentum is conserved (the cars stick, so $v_{1} = v_{2} = v$):
Questions often go on to ask what fraction of the kinetic energy is transferred to other forms. Before: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. After: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. So $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, which is $40\%$ of the original kinetic energy, becomes thermal energy, sound and deformation of the cars. Momentum is conserved; kinetic energy is not.
Worked example. A stationary nucleus of mass $222\,u$ decays by emitting an alpha particle α粒子 of mass $4\,u$ at $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Find the speed of the remaining nucleus.
Before the decay the total momentum is zero, so afterwards the two momenta are equal and opposite: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, giving $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ in the opposite direction to the alpha particle. The unit $u$ cancels, so its value is never needed. In a decay the momentum, the charge (proton number), the nucleon number and the total mass–energy are all conserved (topic 11).
A useful result for a head-on elastic collision of mass $m$ with a stationary 静止 mass $M$:
If the objects move in two dimensions, split the velocities into perpendicular 垂直components 分量 and apply conservation of momentum along each direction on its own. For a collision where the objects hit at an angle, choose one axis along the first object's motion and one across it. The total momentum is conserved along each axis.
Worked example. On a frictionless surface, ball A has momentum $4.0\ \text{N s}$ due east and ball B has momentum $3.0\ \text{N s}$ due north. They collide and stick together. Find the momentum of the combined object.
Momentum is conserved along each axis: $4.0\ \text{N s}$ east and $3.0\ \text{N s}$ north after the collision, exactly as before. The total momentum is the vector sum, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ at $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ north of east; the combined object moves that way at $5.0\ \text{N s}$ divided by the total mass. A multiple-choice diagram of two momentum arrows is asking exactly this: add the arrows tip to tail.
Rocket / pushing out mass
A rocket pushes out gas at velocity $u$ (relative to itself) at a mass-flow rate 质量流率$\dot m$ (kg per second). It feels a thrust
$$F = \dot m \cdot u,$$
which comes from $F = \Delta p / \Delta t$. The momentum given to the gas each second equals the thrust on the rocket (Newton's third law: the rocket pushes the gas one way, the gas pushes the rocket the other way). An engine ejecting $90\ \text{kg}$ of gas per second at $190\ \text{m s}^{-1}$ produces a thrust of $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.
Worked example. A rocket of weight $W$ leaves the ground with an initial acceleration $a$. What thrust does its engine produce?
Take upwards as positive. The resultant force is thrust minus weight, so $T - W = ma$. With $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. A rocket of weight $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ accelerating at $4.0\ \text{m s}^{-2}$ needs a thrust of $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. The thrust must exceed the weight before the rocket moves at all.
Português
Conservação do momento em uma colisãoEm um choque, uma grande força atua por um tempo muito curto para alterar o momento.
O princípio
Para um sistema sem força externa resultante, o momento total permanece constante. Isso é conservação do momento 动量守恒. Formulado para as duas marcas que o examinador atribui: o momento total de um sistema de objetos permanece constante desde que nenhuma força externa resultante atue sobre o sistema. Ambas as partes são necessárias: apenas "o momento total é constante" vale uma marca.
Sempre se aplica quando não há força externa resultante — em colisões, explosões 爆炸, e recuo 反冲. Em duas dimensões, o momento é conservado ao longo de cada direção independentemente.
Exemplo resolvido. Um carrinho de $2.0\ \text{kg}$ e um carrinho de $3.0\ \text{kg}$ são segurados contra uma mola comprimida, depois liberados do repouso. O carrinho de $2.0\ \text{kg}$ voa para longe a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do outro carrinho.
O momento total permanece zero (começou em repouso), então
A terceira lei de Newton em um sistema isolado de duas partículas: forças iguais e opostas
Colisões elásticas e inelásticas
Em todas as colisões, o momento é conservado (se não houver força externa resultante).
Uma colisão elástica 弹性碰撞 é aquela em que a energia cinética total também é conservada. Um teste rápido: em uma colisão elástica, a velocidade relativa 相对速率 de aproximação é igual à velocidade relativa de separação.
Em uma colisão inelástica 非弹性碰撞, o momento é conservado mas a energia cinética diminui — parte se transforma em energia térmica, sonora ou de deformação 形变. Se os dois objetos ficarem presos juntos, a colisão é perfeitamente inelástica.
Resolvendo problemas de colisão (uma dimensão)
Colisão frontal: velocidades antes e depois
Para dois objetos com massas $m_{1}, m_{2}$ e velocidades iniciais $u_{1}, u_{2}$ que batem frontalmente 正面, escreva
Use velocidades com sinal (positivas em uma direção escolhida). Se a colisão for elástica, adicione a equação de velocidade relativa
$$u_{1} - u_{2} = -(v_{1} - v_{2}),$$
ou, a mesma coisa, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Isso fornece duas equações para duas incógnitas.
Exemplo resolvido. Um carro de $1500\ \text{kg}$ movendo-se a $12\ \text{m s}^{-1}$ bate em um carro parado de $1000\ \text{kg}$ e eles travam juntos. Encontre a velocidade comum pouco após a colisão.
O momento é conservado (os carros ficam presos, então $v_{1} = v_{2} = v$):
As perguntas frequentemente prosseguem perguntando qual fração da energia cinética é transferida para outras formas. Antes: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Depois: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Então $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, que corresponde a $40\%$ da energia cinética original, torna-se energia térmica, som e deformação dos carros. O momento é conservado; a energia cinética não é.
Exemplo resolvido. Um núcleo estacionário de massa $222\,u$ decai emitindo uma partícula alfa α粒子 de massa $4\,u$ a $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do núcleo restante.
Antes do decaimento, o momento total é zero, então depois os dois momentos são iguais e opostos: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, dando $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ na direção oposta à partícula alfa. A unidade $u$ cancela, então seu valor nunca é necessário. Em um decaimento, o momento, a carga (número de prótons), o número nucleônico e a energia-massa total são todos conservados (tópico 11).
Um resultado útil para uma colisão elástica frontal de massa $m$ com uma massa estacionária $M$:
Se os objetos se movem em duas dimensões, decomponha as velocidades em componentes 分量perpendiculares 垂直 e aplique a conservação do momento ao longo de cada direção independentemente. Para uma colisão onde os objetos batem em um ângulo, escolha um eixo ao longo do movimento do primeiro objeto e outro transversal a ele. O momento total é conservado ao longo de cada eixo.
Exemplo resolvido. Sobre uma superfície sem atrito, a bola A tem momento $4.0\ \text{N s}$ devido leste e a bola B tem momento $3.0\ \text{N s}$ devido norte. Elas colidem e ficam presas juntas. Encontre o momento do objeto combinado.
O momento é conservado ao longo de cada eixo: $4.0\ \text{N s}$ leste e $3.0\ \text{N s}$ norte após a colisão, exatamente como antes. O momento total é a soma vetorial, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ a $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ ao norte do leste; o objeto combinado move-se nessa direção a $5.0\ \text{N s}$ dividido pela massa total. Um diagrama de múltipla escolha com duas setas de momento está pedindo exatamente isso: some as setas ponta com cauda.
Uma colisão rasante resolvida ao longo de dois eixos perpendiculares
Foguete / expelindo massa
Um foguete expulsa gás a velocidade $u$ (relativa a si mesmo) a uma taxa de fluxo de massa 质量流率$\dot m$ (kg por segundo). Ele sente uma tração
$$F = \dot m \cdot u,$$
que vem de $F = \Delta p / \Delta t$. O momento dado ao gás a cada segundo é igual à tração no foguete (terceira lei de Newton: o foguete empurra o gás numa direção, o gás empurra o foguete na outra direção). Um motor que expulsa $90\ \text{kg}$ de gás por segundo a $190\ \text{m s}^{-1}$ produz uma tração de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.
Exemplo resolvido. Um foguete de peso $W$ deixa o solo com uma aceleração inicial $a$. Que tração seu motor produz?
Considere para cima como positivo. A força resultante é tração menos peso, então $T - W = ma$. Com $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Um foguete de peso $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ acelerando a $4.0\ \text{m s}^{-2}$ precisa de uma tração de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. A tração deve exceder o peso antes que o foguete se mova.
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Uma colisão
Defina as massas e velocidades, então colida-as. O momento total é conservado — o total antes é igual ao total depois.
Definitions the examiner accepts · Definições aceitas pelo examinador
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
mass
the property of an object that resists a change in its motion
linear momentum
the product of an object's mass and its velocity
force
the rate of change of momentum
Newton's first law
an object remains at rest or moves at constant velocity unless acted on by a resultant force
Newton's second law
the resultant force on an object is proportional to the rate of change of its momentum, and acts in the direction of the change
Newton's third law
when two bodies interact, the force on one is equal in magnitude and opposite in direction to the force on the other
weight
the force on an object due to a gravitational field; equal to the product of its mass and the acceleration of free fall
principle of conservation of momentum
the total momentum of a system of objects remains constant provided no resultant external force acts on the system
elastic collision
a collision in which total kinetic energy is conserved (and the relative speed of approach equals the relative speed of separation)
inelastic collision
a collision in which momentum is conserved but some kinetic energy is transferred to other forms
terminal velocity
the constant velocity reached when the resistive force on a moving object equals the force driving it, so the resultant force is zero
Português
Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.
Termo
Definição
massa
a propriedade de um objeto que resiste a uma mudança em seu movimento
momento linear
o produto da massa de um objeto e sua velocidade
força
a taxa de variação do momento
primeira lei de Newton
um objeto permanece em repouso ou se move a velocidade constante a menos que seja submetido a uma força resultante
segunda lei de Newton
a força resultante sobre um objeto é proporcional à taxa de variação de seu momento, e age na direção da mudança
terceira lei de Newton
quando dois corpos interagem, a força sobre um é igual em magnitude e oposta em direção à força sobre o outro
peso
a força sobre um objeto devido a um campo gravitacional; igual ao produto de sua massa e da aceleração da queda livre
princípio de conservação do momento
o momento total de um sistema de objetos permanece constante desde que nenhuma força externa resultante atue sobre o sistema
colisão elástica
uma colisão em que a energia cinética total é conservada (e a velocidade relativa de aproximação é igual à velocidade relativa de separação)
colisão inelástica
uma colisão em que o momento é conservado mas alguma energia cinética é transferida para outras formas
velocidade terminal
a velocidade constante alcançada quando a força resistiva sobre um objeto em movimento iguala a força motriz, de modo que a força resultante é zero
3.3
Exam tips · Dicas de prova
English
Newton's second law is $F = \Delta p / \Delta t$ (rate of change of momentum); $F = ma$ is the special case for constant mass.
Identify third-law pairs correctly: the same type of force, acting on two different bodies — not the balanced forces on one body.
Momentum is conserved in every collision; kinetic energy is conserved only in an elastic collision.
For terminal velocity, explain that drag rises with speed until drag $=$ weight, so the acceleration becomes zero.
Common mistakes
Writing "the forces are balanced" or "the forces cancel out". Say "the resultant force on the object is zero".
Adding both speeds in a head-on collision because momentum is "total". Choose a positive direction, give the opposing velocity a minus sign, then add.
Calculating kinetic energy from a component of the velocity. Kinetic energy uses the full speed of each body.
Calling the weight and the normal contact force on one object a third-law pair. A pair acts on two different objects and is one type of force.
Stating conservation of momentum without the condition. It holds only when no resultant external force acts on the system.
Português
A segunda lei de Newton é $F = \Delta p / \Delta t$ (taxa de variação do momento); $F = ma$ é o caso especial para massa constante.
Identifique corretamente os pares da terceira lei: o mesmo tipo de força, atuando em dois corpos diferentes — não as forças equilibradas sobre um único corpo.
O momento linear é conservado em toda colisão; a energia cinética é conservada apenas em uma colisão elástica.
Para a velocidade terminal, explique que o arrasto aumenta com a velocidade até que o arrasto $=$ o peso, tornando a aceleração zero.
Erros comuns
Escrever "as forças estão equilibradas" ou "as forças se cancelam". Diga "a força resultante sobre o objeto é zero".
Somar ambas as velocidades em uma colisão frontal porque o momento é "total". Escolha uma direção positiva, atribua sinal negativo à velocidade oposta e depois some.
Calcular a energia cinética a partir de um componente da velocidade. A energia cinética usa a velocidade total de cada corpo.
Chamar o peso e a força normal de contato em um objeto de um par da terceira lei. Um par atua em dois objetos diferentes e é de um único tipo de força.
Enunciar a conservação do momento sem a condição. Ela só vale quando nenhuma força externa resultante age sobre o sistema.
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