Circuitos de C.C.

f.e.m. e d.d.p.

A força eletromotriz 电动势 (f.e.m.) $\varepsilon$ de uma fonte é a energia 能量 fornecida a cada unidade de carga pela fonte ao impulsioná-la por todo um circuito. Unidade: volt.

A diferença de potencial 电势差 (d.d.p.) através de um componente é a energia convertida de elétrica para outras formas por cada unidade de carga ao passar por esse componente.

Ambas estão em volts; diferem na direção da energia:

• f.e.m. — energia colocada para dentro do circuito pela fonte (química → elétrica em uma bateria, mecânica → elétrica em um gerador).
• d.d.p. — energia retirada da forma elétrica (elétrica → térmica em um resistor, → luz em uma lâmpada, → cinética em um motor).

A formulação do examinador é fixa. A f.e.m. é "a energia transferida por unidade de carga pela fonte ao mover a carga por um circuito completo"; a d.d.p. é "a energia transferida por unidade de carga da forma elétrica para outras formas". Ambas são energia por carga, então o volt é um joule por coulomb ($1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}$). Afirmações que são sempre verdadeiras sobre uma fonte: a f.e.m. é igual à d.d.p. terminal quando nenhuma corrente flui; a energia total que ela fornece a uma carga $Q$ é $\varepsilon Q$. O nome é uma armadilha: uma "força" eletromotriz não é uma força e não é medida em newtons.

Exemplo resolvido. Uma célula de f.e.m. $\varepsilon$ e resistência interna $r$ move uma carga $Q$ por um circuito cuja d.d.p. terminal é $V$. Compare a energia transferida pela célula com a energia dissipada externamente.

A célula transfere $\varepsilon Q$ no total; o circuito externo recebe $VQ$. Como $V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$ sempre que há fluxo de corrente, $VQ < \varepsilon Q$ — a diferença $(\varepsilon - V)Q = IrQ$ é a energia convertida em calor dentro da célula.

No laboratório, você frequentemente monta um circuito em um breadboard 面包板 (uma placa com fileiras de furos que conectam componentes sem solda) e mede correntes e d.d.p.s com um multímetro 万用表.

Resistência interna

Uma fonte real tem alguma resistência interna 内阻 $r$ — geralmente a resistência do eletrólito 电解质 em uma célula 电池, ou os enrolamentos de fio em um gerador. Quando a corrente $I$ flui, uma d.d.p. interna de $Ir$ é "perdida" dentro da fonte, então a d.d.p. terminal 端电压 através do circuito externo é

Então:

• sem corrente (circuito aberto 开路, $I = 0$): a d.d.p. terminal é igual à f.e.m.
• corrente maior: a d.d.p. terminal cai.
• curto-circuito 短路 ($R_{\text{external}} \to 0$): $I = \varepsilon / r$, uma grande corrente, com toda a energia convertida em calor dentro da fonte.

Para medir $r$, altere a resistência externa e trace $V_{\text{terminal}}$ contra $I$: a linha tem intercepto em $y$ $\varepsilon$ e gradiente $-r$.

Exemplo resolvido. Uma célula de f.e.m. $1.5\ \text{V}$ e resistência interna $0.50\ \Omega$ está conectada a um resistor $2.5\ \Omega$. Encontre a corrente e a d.d.p. terminal.

A f.e.m. impulsiona a corrente através de ambas as resistências: $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{1.5}{2.5 + 0.50} = 0.50\ \text{A}$. Então

A potência 功率 fornecida à carga externa é $P_{\text{ext}} = (\varepsilon - Ir) I$; a potência perdida internamente é $P_{\text{int}} = I^{2} r$; a potência total da fonte é $\varepsilon I$.

A eficiência 效率 da fonte é $\dfrac{P_{\text{ext}}}{\varepsilon I} = \dfrac{VI}{\varepsilon I} = \dfrac{V}{\varepsilon} = \dfrac{R}{R + r}$: uma grande resistência de carga desperdiça pouca energia dentro da fonte.

Exemplo resolvido. Uma célula de f.e.m. $2.0\ \text{V}$ e resistência interna $0.40\ \Omega$ move uma corrente de $1.5\ \text{A}$ através de um fio. Mostre que a d.d.p. terminal é $1.4\ \text{V}$ e encontre a eficiência percentual com que a célula fornece potência ao fio.

$V = \varepsilon - Ir = 2.0 - 1.5 \times 0.40 = 2.0 - 0.60 = 1.40\ \text{V}$. Potência para o fio $= VI = 1.4 \times 1.5 = 2.1\ \text{W}$; potência total da célula $= \varepsilon I = 2.0 \times 1.5 = 3.0\ \text{W}$. Eficiência $= 2.1 / 3.0 = 0.70$, ou seja, $70\%$. Em uma questão de "mostre", escreva cada passo e o valor não arredondado ($1.40\ \text{V}$) antes do valor que lhe foi dado.

Quando o circuito externo muda, argumente através da corrente. Fechar um interruptor que adiciona um segundo resistor em paralelo reduz a resistência externa total, então a corrente na célula aumenta, os "volts perdidos" internos $Ir$ aumentam, e a d.d.p. terminal $\varepsilon - Ir$ cai; a d.d.p. através do resistor original (que é a d.d.p. terminal) portanto cai, bem como sua corrente, mesmo que a corrente da célula tenha subido. Essa cadeia — resistência → corrente na célula → $Ir$ → d.d.p. terminal — é a resposta modelo para quase todas as questões de "affeirme e explique o efeito" neste tópico.

Células ligadas juntas. Em série, as f.e.m.s somam-se e as resistências internas somam-se: três células de f.e.m. $\varepsilon$ e resistência interna $r$ dão $3\varepsilon$ e $3r$. Uma célula conectada no sentido errado subtrai sua f.e.m. (dez células $1.5\ \text{V}$ com uma invertida dão $8 \times 1.5 = 12\ \text{V}$). Células idênticas em paralelo dão a mesma f.e.m. $\varepsilon$ com uma menor resistência interna $r/N$, então podem fornecer uma maior corrente.

Símbolos de circuito

Você deve reconhecer e desenhar os símbolos padrão no programa: célula, bateria, interruptor, resistor, resistor variável, ammeter 电流表, voltmeter 电压表, lâmpada, diodo (e LED 发光二极管), capacitor 电容器, indutor, termistor, resistor dependente de luz, fuse 保险丝, terra, junção. Um ammeter ideal tem resistência 电阻 zero e vai em série 串联. Um voltmeter ideal tem resistência infinita e vai em paralelo 并联.

Desenhar um diagrama de circuito. Pontos são perdidos por símbolos, não por física. Use linhas retas com régua e os símbolos padrão; um ammeter vai em série com o componente cuja corrente ele mede e um voltmeter em paralelo com (através) o componente cuja d.d.p. ele mede; uma célula com resistência interna é desenhada como uma célula ideal em série com um resistor $r$; e um resistor variável pode ser usado de duas maneiras, mostradas abaixo. Uma questão de "complete o diagrama do circuito" geralmente quer exatamente este arranjo de medição: fonte, ammeter e resistor variável em um laço em série, voltmeter através do componente sob teste.

Primeira lei (regra do nó)

Em qualquer nó 节点, a corrente total que entra é igual à corrente total que sai. Isso segue da conservação de carga 电荷守恒 — a carga não pode se acumular em um ponto em um circuito estável, então a carga por segundo que entra é igual à carga por segundo que sai.

Para um nó com três fios: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$ se as correntes 2 e 3 saem e a corrente 1 entra.

Duas formas pelas quais o examinador pergunta: "affeirme a lei" (uma marca: a soma das correntes entrando em um nó é igual à soma das correntes saindo dele) e "affeirme a lei de conservação por trás dela" (carga). Não responda "energia" para a primeira lei ou "carga" para a segunda — o pareamento é testado em quase toda a Paper 1.

Segunda lei (regra do laço)

Ao redor de qualquer laço fechado 回路, a f.e.m. total é igual à d.d.p. total através dos componentes naquele laço. Isso segue da conservação de energia 能量守恒: à medida que uma unidade de carga percorre uma vez um laço, a energia que ganha das fontes é igual à energia que entrega aos componentes.

Escolha uma direção ao redor do laço. Considere uma f.e.m. positiva quando a direção do laço vai de − para + da fonte, e uma d.d.p. positiva quando a direção do laço é a direção da corrente convencional através do resistor.

Em símbolos, ao redor de qualquer laço fechado $\sum \varepsilon = \sum IR$. Uma fonte que você passa de $+$ para $-$ conta como uma f.e.m. negativa (ela está sendo carregada, ou se opõe à outra fonte), e um resistor que você passa contra sua corrente conta como uma d.d.p. negativa.

Exemplo resolvido. Duas pilhas estão em um único circuito com suas f.e.m. opostas: $12.0\ \text{V}$ com resistência interna $1.0\ \Omega$, e $8.0\ \text{V}$ com resistência interna $0.50\ \Omega$. Encontre a corrente.

Percorrendo o circuito, a f.e.m. líquida é $12.0 - 8.0 = 4.0\ \text{V}$ e a resistência total é $1.0 + 0.50 = 1.5\ \Omega$ (as resistências internas estão em série), logo $I = 4.0 / 1.5 = 2.7\ \text{A}$. A corrente flui na direção imposta pela maior f.e.m.

Combinando resistores

Resistores em série. Derivação usando as leis de Kirchhoff: não há nó entre os resistores, portanto pela primeira lei a mesma corrente $I$ passa por cada um. Pela segunda lei, a f.e.m. ao redor do laço é igual à soma das d.d.p.s:

logo $R_{\text{series}} = R_{1} + R_{2} + \ldots$.

Resistores em paralelo. Derivação: pela segunda lei, cada resistor forma seu próprio laço com a fonte, portanto cada um tem a mesma d.d.p. $V$ sobre ele. Pela primeira lei, a corrente que entra no nó é igual à soma das correntes dos ramos:

logo $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \ldots$.

Dois resistores iguais $R$ em paralelo resultam em $R/2$; $N$ resistores iguais resultam em $R/N$. Uma associação em paralelo é sempre menor que qualquer um de seus resistores; uma associação em série é sempre maior.

Exemplo resolvido. Um resistor de $4.0\ \Omega$ e um resistor de $12\ \Omega$ estão conectados em paralelo. Encontre sua resistência combinada.

Redes de resistores e potência

Reduza uma rede mista passo a passo: substitua cada cadeia em série pela soma e cada par em paralelo por $\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ (a forma "produto sobre soma", válida apenas para dois resistores), redesenhe e repita até restar um único resistor. Duas regras decidem qual resistor dissipa mais potência sem cálculos aritméticos: componentes que carregam a mesma corrente dissipam mais na maior resistência ($P = I^{2}R$); componentes com a mesma d.d.p. dissipam mais na menor resistência ($P = V^{2}/R$). Em uma mistura série-paralelo, o único resistor que carrega a corrente total geralmente dissipa mais, pois um ramo em paralelo carrega apenas uma fração dela.

Exemplo resolvido. Três resistores, cada um com resistência de $R$, são conectados com dois em série e esse par em paralelo com o terceiro. A resistência total entre as extremidades é $8.0\ \Omega$. Encontre $R$.

O par em série é $2R$; em paralelo com $R$: $R_{\text{T}} = \dfrac{2R \times R}{2R + R} = \dfrac{2R}{3}$. Logo $\dfrac{2R}{3} = 8.0$, resultando em $R = 12\ \Omega$. Verificação: o resistor único $R$ carrega o dobro da corrente do par (mesma d.d.p., metade da resistência), portanto dissipa mais potência.

Resolvendo um circuito

1. Rotule toda corrente com um símbolo e uma direção escolhida.
2. Use a primeira lei de Kirchhoff 基尔霍夫第一定律 em cada nó para relacionar as correntes.
3. Use a segunda lei de Kirchhoff 基尔霍夫第二定律 ao redor de cada laço para obter equações nas d.d.p.s.
4. Use $V = IR$ para cada resistor.
5. Resolva as equações simultaneamente.

Para redes simétricas, use a simetria para identificar ramos com correntes iguais — o ramo com maior corrente gera mais potência ($P = I^{2}R$).

Exemplo resolvido. No circuito acima $\varepsilon = 12\ \text{V}$ (resistência interna desprezível), $R_{1} = 2.0\ \Omega$, $R_{2} = 6.0\ \Omega$ e $R_{3} = 3.0\ \Omega$. Encontre as três correntes.

Método de Kirchhoff. Junção: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$. Laço 1 (através de $\varepsilon$, $R_{1}$, $R_{2}$): $12 = 2.0 I_{1} + 6.0 I_{2}$. Laço 2 (através de $R_{2}$ e $R_{3}$, sem fonte): $0 = 6.0 I_{2} - 3.0 I_{3}$, portanto $I_{3} = 2 I_{2}$. Então $I_{1} = 3 I_{2}$ e $12 = 6.0 I_{2} + 6.0 I_{2}$, resultando em $I_{2} = 1.0\ \text{A}$, $I_{3} = 2.0\ \text{A}$ e $I_{1} = 3.0\ \text{A}$.

Verificação por redução. $6.0\ \Omega$ e $3.0\ \Omega$ em paralelo dão $2.0\ \Omega$; com $R_{1}$ o total é $4.0\ \Omega$, logo $I_{1} = 12 / 4.0 = 3.0\ \text{A}$ e a d.d.p. sobre o par em paralelo é $3.0 \times 2.0 = 6.0\ \text{V}$, resultando em $I_{2} = 6.0/6.0 = 1.0\ \text{A}$ e $I_{3} = 6.0/3.0 = 2.0\ \text{A}$. Ambos os métodos devem concordar; uma resposta negativa para uma corrente significa simplesmente que você escolheu a direção errada.

Um divisor de tensão 分压器 são dois (ou mais) resistores em série sobre uma fonte. A d.d.p. sobre cada resistor está em proporção direta à sua resistência:

A saída (tapeada entre $R_{1}$ e $R_{2}$) pode ser ajustada para qualquer tensão 电压 entre $0$ e $V_{\text{in}}$ escolhendo as resistências. Um potenciômetro 电位差计 usado com todas as suas três conexões (um deslizador em uma trilha de resistência uniforme) fornece um divisor variável suavemente; o mesmo componente com apenas duas conexões é um reostato 变阻器, que apenas altera a corrente.

Exemplo resolvido. Uma fonte de $6.0\ \text{V}$ está conectada sobre um resistor de $2.0\ \text{k}\Omega$ em série com um resistor de $4.0\ \text{k}\Omega$. Encontre a tensão de saída tapeada sobre o resistor de $4.0\ \text{k}\Omega$.

A mesma resposta vem pelo caminho de corrente primeiro que o gabarito muitas vezes apresenta: $I = V_{\text{in}} / (R_{1} + R_{2}) = 6.0 / 6000 = 1.0\ \text{mA}$, depois $V_{2} = I R_{2} = 1.0 \times 10^{-3} \times 4000 = 4.0\ \text{V}$. Duas consequências dignas de nota: a maior resistência leva a maior parte da d.d.p.; e a fórmula de razão só se aplica enquanto nenhuma corrente for retirada da saída — uma carga (ou um voltímetro de baixa resistência) em paralelo com $R_{2}$ reduz a resistência efetiva de $R_{2}$ e assim reduz $V_{2}$.

Circuitos de sensores

Substitua um resistor fixo por um sensor 传感器 cuja resistência muda com uma grandeza física:

• termistor 热敏电阻 (NTC): $R$ cai conforme a temperatura aumenta. Em um divisor, a tensão de saída muda com a temperatura em uma direção fixa.
• LDR (resistor dependente de luz) 光敏电阻: $R$ cai conforme a intensidade luminosa 光强 aumenta, fornecendo uma saída dependente de brilho.

Conecte a saída à base de um transistor 晶体管 ou a um comparador 比较器 para ligar ou desligar uma carga quando a temperatura ou a luz passar de um limiar 阈值.

Para qual lado a saída vai? A saída pode ser retirada sobre o sensor ou sobre o resistor fixo, e as duas opções respondem em direções opostas. Argumente através da corrente, nesta ordem, e você terá a resposta completa de três pontos:

1. a luz fica mais brilhante (ou a temperatura aumenta), então a resistência do LDR (ou termistor) diminui;
2. a resistência total do circuito em série diminui, logo a corrente aumenta ($I = \varepsilon / R_{\text{total}}$);
3. a d.d.p. sobre o resistor fixo $= IR$ aumenta, logo a d.d.p. sobre o sensor $= \varepsilon - IR$ diminui.

Assim, uma saída sobre o resistor fixo aumenta com a luz ou temperatura; uma saída sobre o sensor diminui. Se a fonte tiver resistência interna, adicione um elo extra: a maior corrente também aumenta $Ir$, logo a d.d.p. terminal cai ligeiramente.

Exemplo resolvido. Uma bateria de f.e.m. $9.0\ \text{V}$ e resistência interna desprezível está conectada em série com um LDR e um resistor de $1200\ \Omega$. Na luz, o LDR tem uma resistência de $1800\ \Omega$. Calcule a d.d.p. sobre o LDR e declare e explique o que acontece com ela quando a intensidade da luz diminui.

$V_{\text{LDR}} = 9.0 \times \dfrac{1800}{1800 + 1200} = 5.4\ \text{V}$. Menos luz → a resistência do LDR aumenta → a resistência total aumenta e a corrente diminui → a d.d.p. sobre o resistor de $1200\ \Omega$ ($IR$) diminui → a d.d.p. sobre o LDR ($9.0 - IR$) aumenta.

Exemplo resolvido. Um termistor em série com um resistor de $5800\ \Omega$ sobre uma fonte de $6.0\ \text{V}$ fornece uma d.d.p. de $2.9\ \text{V}$ sobre o resistor. Encontre a resistência do termistor.

Corrente $= 2.9 / 5800 = 5.0 \times 10^{-4}\ \text{A}$. O termistor assume o restante de $6.0 - 2.9 = 3.1\ \text{V}$, logo $R = 3.1 / (5.0 \times 10^{-4}) = 6200\ \Omega$ (ou, por razão, $R = 5800 \times 3.1/2.9$).

Potenciômetro e método nulo

Um potenciômetro é um fio de resistência uniforme de comprimento $L_{0}$ com um contato deslizante (jockey 滑动触头). A resistência por unidade de comprimento é uniforme, logo a d.d.p. de uma extremidade até o jockey é proporcional ao comprimento:

Para comparar duas f.e.m.s (uma pilha desconhecida contra uma pilha padrão), conecte cada uma por vez com o jockey através de um galvanômetro 检流计. Deslize o jockey até que o galvanômetro marque zero (um ponto nulo — nenhuma corrente flui pela pilha sendo medida, porque a tensão do potenciômetro ali se opõe exatamente à f.e.m. da pilha). O comprimento de equilíbrio 平衡长度 — o comprimento do fio da extremidade até o jockey no equilíbrio — é proporcional à f.e.m. sendo medida, logo os dois comprimentos estão na razão das f.e.m.s:

Este é um método nulo 零点法: você encontra o equilíbrio (zero de corrente) em vez de medir o valor de uma corrente. Sua vantagem é que no equilíbrio a pilha desconhecida não fornece corrente, logo sua resistência interna não afeta o resultado.

Por que o método nulo é melhor que um voltímetro. No equilíbrio nenhuma corrente é retirada da pilha sendo medida, logo não há queda de $Ir$ dentro dela: o ponto de equilíbrio mede a f.e.m., não a d.d.p. terminal. Um voltímetro sempre retira alguma corrente, logo lê um pouco menos que a f.e.m.

Lendo o ponto de equilíbrio. A d.d.p. por unidade de comprimento do fio é fixada pela bateria motriz 驱动电池 e a resistência do fio. Tudo o que torna a d.d.p. em equilíbrio maior desloca o ponto de equilíbrio mais longe ao longo do fio; tudo o que aumenta a d.d.p. por unidade de comprimento (uma bateria motriz com maior f.e.m., ou um fio que absorve uma parte maior da d.d.p. do motor) torna o comprimento de equilíbrio menor. Substituir o fio por outro de mesmo comprimento, mas diâmetro maior, reduz a sua resistência ($R = \rho L / A$): se a bateria motriz tiver resistência interna desprezível e não houver mais nada em série, a d.d.p. sobre o fio continua sendo a f.e.m. total e o comprimento de equilíbrio não se move; se o motor tiver resistência interna ou uma resistência em série, a parcela da f.e.m. atribuída ao fio diminui, a d.d.p. por metro diminui e o comprimento de equilíbrio aumenta. Identifique qual dos casos se aplica.

Exemplo resolvido. Um fio potenciômetro XY de comprimento $2.0\ \text{m}$ conduz uma d.d.p. de $1.50\ \text{V}$. Uma célula de f.e.m. $E$ é equilibrada quando o cursor está a $1.6\ \text{m}$ de X. Encontre $E$, e declare o que acontece com o comprimento de equilíbrio se a célula condutora for substituída por uma de maior f.e.m.

$E = 1.50 \times \dfrac{1.6}{2.0} = 1.2\ \text{V}$. Uma maior f.e.m. da bateria motriz produz uma maior d.d.p. por metro, pelo que o mesmo $1.2\ \text{V}$ é atingido num comprimento menor: o jockey deve mover-se em direção a X.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Aplique as leis de Kirchhoff: corrente que entra num nó $=$ corrente que sai (carga conservada); $\sum \text{e.m.f.} = \sum \text{p.d.}$ ao redor de um laço (energia conservada). Nomeie a lei que está a usar quando uma questão diz "use as leis de Kirchhoff".
• Combine resistências: em série $R = R_1 + R_2$; em paralelo $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$. Uma combinação em paralelo é sempre menor que o seu menor resistor.
• Um divisor de tensão divide a tensão na proporção das resistências; a maior resistência absorve a maior d.d.p.
• Inclua a resistência interna: $\text{e.m.f.} = I(R + r)$ — as "volts perdidas" são $Ir$. Quando um circuito muda, argumente resistência → corrente na pilha → $Ir$ → d.d.p. terminal.
• "Resistência interna desprezível" significa que a d.d.p. terminal é a f.e.m., independentemente da corrente. Procure esta expressão antes de começar.
• Leia um gráfico de $V$–$I$ de uma fonte como $V = \varepsilon - Ir$: intercepto $\varepsilon$, inclinação ⟨$-r$⟩, e a corrente em $V = 0$ é a corrente máxima (curto-circuito) $\varepsilon / r$.
• No Paper 5, reorganize a relação do circuito para $y = mx + c$ antes de plotar: uma pilha de f.e.m. $\varepsilon$ e resistência interna $r$ alimentando $n$ resistores iguais $R$ em paralelo obedece a $\varepsilon = I\left(\dfrac{R}{n} + r\right)$, logo $\dfrac{1}{I} = \dfrac{R}{\varepsilon} \cdot \dfrac{1}{n} + \dfrac{r}{\varepsilon}$ — um gráfico de $1/I$ contra $1/n$ tem inclinação $R/\varepsilon$ e intercepto $r/\varepsilon$.

Erros comuns

• Escrever $V = IR$ com apenas a f.e.m. e a resistência externa, esquecendo-se de $r$. Use $\varepsilon = I(R + r)$.
• Dizer que a f.e.m. é "a força que empurra a carga". É energia por unidade de carga; o volt é um joule por coulomb.
• Associar as leis à lei de conservação errada. Primeira lei — carga; segunda lei — energia.
• Usar "produto sobre soma" para três resistores em paralelo. Só funciona para dois; caso contrário, some os inversos.
• Explicar um circuito sensorial dizendo "a resistência muda, logo a tensão muda". Os pontos são para a cadeia: resistência → resistência total → corrente → $IR$ sobre o resistor fixo → o resto sobre o sensor.
• Alegar que um potenciômetro em equilíbrio "não retira corrente da bateria motriz". Não retira da pilha a ser medida; a bateria motriz sempre fornece a corrente do fio.
• Arredondar um valor de "mostre que" antes da última linha — escreva $1.40\ \text{V}$, depois diga que é $1.4\ \text{V}$.