Astronomi dan kosmologi

Luminositas $L$ sebuah bintang adalah total daya radiasi yang dipancarkannya — energi yang dipancarkan per detik ke segala arah. Satuan: watt (W).

Definisi satu poin. Luminositas bintang adalah total daya radiasi yang dipancarkan oleh bintang (atau total energi yang dipancarkan per satuan waktu). Ini adalah sifat bintang itu sendiri; seberapa terang bintang tersebut tampak dari Bumi juga bergantung pada seberapa jauh jaraknya. Jika diminta dua alasan mengapa beberapa bintang tampak lebih terang daripada yang lain, berikan tepat dua: luminositas yang lebih besar, dan jarak yang lebih kecil (fluks turun sebanding dengan $1/d^{2}$).

Pada jarak $d$, daya ini telah menyebar di atas permukaan bola dengan luas $4\pi d^{2}$. Intensitas fluks radiatif $F$ (daya per satuan luas) pada jarak $d$ adalah

Contoh terpecah. Luminositas Matahari adalah $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Hitung fluks radiasi intensitas di Bumi, pada jarak $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

Satuan: $\text{W m}^{-2}$. Ini adalah hukum kuadrat terbalik untuk fluks: menggandakan jarak akan mengurangi fluks menjadi seperempat. Teleskop mengukur $F$; jika $L$ diketahui, jarak dapat ditentukan:

Membaca grafik. Grafik $F$ terhadap $1/d^{2}$ untuk satu bintang adalah garis lurus melintasi titik asal dengan gradien $L/4\pi$, sehingga $L = 4\pi \times \text{gradient}$; bintang yang lebih terang memberikan garis yang lebih curam. Bintang whose galaxy-nya menjauh tetap mematuhi hukum kuadrat terbalik, tetapi cahaya yang kita terima mengalami pergeseran merah (redshifted), sehingga fluks pada setiap panjang gelombang bergeser di sepanjang spektrum, dan detektor yang sensitif terhadap satu pita mungkin melihat fraksi yang berbeda.

Contoh terpecahkan. Matahari memiliki jari-jari $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ dan suhu permukaan $5780\ \text{K}$. Sebuah probe luar angkasa yang membawa panel surya $2.0\ \text{m}^{2}$ berjarak $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ dari pusat Matahari. Tentukan daya yang jatuh pada panel ketika menghadap Matahari.

Luminositas: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Fluks pada probe: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, sebelas kali fluks di Bumi. Daya pada panel: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. Fluks adalah daya per satuan luas tegak lurus terhadap radiasi; panel yang miring menerima $FA\cos\theta$.

Lilin standar adalah objek yang luminositasnya diketahui berdasarkan jenisnya. Setelah Anda menemukan salah satu di galaksi yang jauh dan mengukur fluks $F$ darinya, Anda mendapatkan jaraknya dari $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

Contoh-contoh:

• Variabel Cepheid (bintang yang berdenyut) — periode denyutan sangat terkait dengan luminositas, sehingga periode memberikan $L$.
• Supernova Tipe Ia — katai putih yang mencapai massa kritis dan meledak selalu memiliki puncak luminositas sekitar yang sama.

Lilin standar memberikan $L$ tanpa perlu mengetahui jarak terlebih dahulu, sehingga dapat menjangkau galaksi-galaksi yang jauh melampaui paralaks.

Definisinya. Lilin standar adalah sebuah objek (bintang atau supernova) dengan luminositas yang diketahui. Luminositasnya diketahui karena ditetapkan oleh sifat yang dapat diukur dari jarak berapa pun: periode denyutan variabel Cepheid, atau jenis supernova.

"Jelaskan bagaimana lilin standar digunakan untuk menentukan jarak galaksi" (tiga poin). (1) Lilin standar di galaksi diidentifikasi (variabel Cepheid, yang periodenya memberikan luminositasnya, atau supernova Tipe Ia) sehingga luminositasnya $L$ diketahui. (2) Intensitas fluks radiatif $F$ cahayanya yang tiba di Bumi diukur. (3) Jarak diturunkan dari hukum kuadrat terbalik, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. Urutan penting: luminositas berasal dari jenis lilin, bukan dari jarak, yang merupakan hal yang sedang dicari.

Contoh terpecahkan. Supernova Tipe Ia, dengan luminositas $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ pada puncaknya, diamati dengan fluks puncak $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. Berapa jauh galaksinya?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, sekitar $670$ juta tahun cahaya ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Variabel Cepheid, dengan luminositas orde $10^{30}\ \text{W}$, tidak dapat dilihat pada jarak itu; supernova adalah lilin untuk alam semesta yang jauh.

Hukum pergeseran Wien

Benda panas memancarkan spektrum kontinu (benda hitam) dengan puncak pada panjang gelombang $\lambda_{\text{max}}$ yang ditentukan oleh suhu-nya. Hukum pergeseran Wien:

Contoh terpecahkan. Spektrum benda hitam sebuah bintang memuncak pada $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Tentukan suhu permukaannya. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

Bintang yang lebih panas memuncak pada panjang gelombang yang lebih pendek: bintang merah yang dingin ($\sim 3000\ \text{K}$) memuncak di inframerah; Matahari ($\sim 5800\ \text{K}$) memuncak di sekitar $500\ \text{nm}$; bintang biru-putih yang panas ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) memuncak di ultraviolet. Mengukur $\lambda_{\text{max}}$ memberikan suhu permukaan.

"Nyatakan hukum pergeseran Wien" (dua nilai). Panjang gelombang di mana intensitas radiasi dari benda hitam mencapai maksimum berbanding terbalik dengan suhu termodinamikanya: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, atau $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Katakan "panjang gelombang intensitas maksimum", bukan hanya "panjang gelombang", dan suhu harus dalam kelvin. Hukum ini menggambarkan puncak kurva benda hitam kontinu, bukan garis spektral.

Hukum Stefan–Boltzmann

Sebuah bintang, diperlakukan sebagai bola benda hitam dengan jari-jari $r$ dan suhu permukaan $T$, memiliki luminositas

di mana $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ adalah konstanta Stefan–Boltzmann (- (hukum Stefan–Boltzmann)-). Dua ketergantungan kuat:

• $L \propto r^{2}$ — dua kali lipat jari-jari, empat kali lipat luminositas (suhu $T$ yang sama).
• $L \propto T^{4}$ — dua kali lipat suhu, enam belas kali lipat luminositas (jari-jari $r$ yang sama).

Contoh terpecahkan. Sebuah bintang memiliki jari-jari $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ dan suhu permukaan $T = 5800\ \text{K}$. Tentukan luminositasnya. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

Mengestimasi jari-jari sebuah bintang

Gabungkan kedua hukum tersebut:

1. ukur $\lambda_{\text{max}}$ → dapatkan $T$ dari hukum Wien.
2. temukan $L$ (misalnya dari fluks $F$ dan jarak $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
3. selesaikan hukum Stefan–Boltzmann untuk $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

Inilah cara para astronom mengestimasi jari-jari bintang yang tidak terlihat sebagai cakram.

Contoh terpecahkan (jari-jari Matahari). Intensitas fluks radiasi sinar matahari di Bumi adalah $1370\ \text{W m}^{-2}$ pada jarak $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, dan spektrum Matahari memuncak pada $500\ \text{nm}$. Estimasi jari-jari Matahari.

Luminositas: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Suhu: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Jari-jari: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Tiga langkah, masing-masing satu rumus baris; simpan presisi penuh dari $L$ dan $T$ hingga akhir, karena $T$ dipangkatkan empat.

Contoh terpecahkan. Sebuah bintang di galaksi jauh memiliki fluks radiasi sebesar $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ di Bumi, pada jarak $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, dan suhu permukaan $9500\ \text{K}$. Tentukan jari-jarinya.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Kemudian $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, sekitar empat kali jari-jari Matahari. Periksa logikanya: bintang yang $140$ kali lebih terang dari Matahari tetapi hanya $1.6$ kali lebih panas pasti jauh lebih besar, karena $L \propto r^{2}T^{4}$.

Mengapa $T^{4}$ sangat penting. Dua bintang dengan jari-jari yang sama pada $3000\ \text{K}$ dan $6000\ \text{K}$ berbeda luminositasnya sebanyak $2^{4} = 16$ kali; kesalahan kecil pada suhu menyebabkan kesalahan besar pada luminositas, itulah sebabnya panjang gelombang puncak harus dibaca dengan cermat dan, untuk galaksi yang menjauh, dikoreksi untuk redshift (di bawah).

Redshift kosmologis

Garis spektral cahaya dari galaksi-galaksi jauh terlihat pada panjang gelombang yang lebih panjang daripada nilai laboratorium yang diketahui mereka — seluruh spektrum meregang menuju warna merah. Ini disebut redshift.

Membacanya sebagai pergeseran Doppler, galaksi sedang bergerak menjauh. Untuk $v \ll c$:

di mana $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ dan $v$ adalah kecepatan penyimpangan. Contoh: cahaya yang dipancarkan pada $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ tetapi terlihat pada $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ menghasilkan $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ dan

Mengapa redshift berarti alam semesta yang meluas

Hampir setiap galaksi jauh mengalami redshift (beberapa yang dekat mengalami blueshift akibat gerak lokal). Jadi galaksi-galaksi, rata-rata, saling menjauh — tidak hanya dari kita tetapi juga dari satu sama lain. Alam semesta sedang meluas, dengan ruang antar galaksi meregang. Galaksi yang lebih jauh mengalami redshift yang lebih besar.

"Jelaskan apa yang dimaksud dengan redshift." Panjang gelombang radiasi (garis spektralnya) yang diamati dari suatu sumber lebih panjang daripada panjang gelombang yang dipancarkan, karena sumber tersebut bergerak menjauh dari pengamat. Ini adalah efek Doppler untuk cahaya: perubahan fraksional dalam panjang gelombang sama dengan perubahan fraksional dalam frekuensi dan, untuk $v \ll c$, rasio $v/c$.

Contoh terpecahkan. Garis hidrogen yang diukur di laboratorium pada $656.3\ \text{nm}$ diamati dalam cahaya dari galaksi pada $660.9\ \text{nm}$. Tentukan kecepatan penyimpangan galaksi tersebut dan, menggunakan $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, jaraknya.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, jadi $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Jarak: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (sekitar $100$ juta tahun cahaya). Bagi dengan panjang gelombang dipancarkan (laboratorium), dan pastikan satuan nanometer konsisten dalam rasio.

Contoh terpecahkan (kebalikannya). Sebuah galaksi di Corona Borealis menjauh pada kecepatan $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. Pada panjang gelombang berapakah garis hidrogen $656.3\ \text{nm}$-nya diamati?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, sehingga garis tersebut tampak pada $703\ \text{nm}$, bergeser dari merah hampir ke inframerah. Setiap garis dan seluruh spektrum kontinu meregang dengan faktor yang sama $(1 + v/c) = 1.071$.

Jebakan yang disusun oleh penguji. Jika panjang gelombang puncak dari spektrum galaksi yang menjauh dimasukkan langsung ke dalam hukum Wien, suhunya akan keluar terlalu rendah, karena $\lambda_{\text{max}}$ yang diamati lebih panjang daripada yang dipancarkan. Perbaiki puncak terlebih dahulu: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. Saat diminta untuk menggambar spektrum yang diamati pada sumbu yang sama dengan yang dipancarkan, gambarlah bentuk yang sama yang digeser ke panjang gelombang yang lebih panjang, termasuk puncaknya.

"Jelaskan bagaimana pergeseran merah mengarah pada gagasan bahwa Alam Semesta sedang mengembang" (tiga nilai). (1) Garis-garis spektral dari (hampir) semua galaksi jauh bergeser ke panjang gelombang yang lebih panjang, sehingga (2) berdasarkan efek Doppler galaksi-galaksi tersebut menjauh dari kita, dan (3) semakin jauh sebuah galaksi, semakin besar pergeseran merahnya dan karenanya kecepatannya; ini adalah apa yang akan terlihat dari setiap galaksi jika ruang antara semua galaksi sedang mengembang, sehingga Alam Semesta secara keseluruhan sedang mengembang, bukan hanya bergerak menjauhi Bumi.

*Hubble Ultra Deep Field — hampir setiap titik cahaya adalah satu galaksi utuh, sebagian besar mengalami pergeseran merah dan menjauh

Hukum Hubble

Hubungan antara kecepatan penarikan $v$ dan jarak $d$ adalah Hukum Hubble:

di mana $H_{0}$ adalah konstanta Hubble ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Selalu gunakan satuan SI. Contoh: galaksi yang menjauh pada kecepatan $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ berada pada jarak $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"Nyatakan Hukum Hubble" (dua nilai). Kecepatan penarikan sebuah galaksi berbanding lurus (secara langsung) dengan jaraknya dari Bumi (pengamat): $v = H_{0}d$, di mana $v$ adalah kecepatan penarikan, $d$ adalah jarak, dan $H_{0}$ adalah konstanta Hubble. Identifikasi setiap simbol ketika diminta. Nilai $H_{0}$ dikutip dalam ujian dalam satuan SI ($\text{s}^{-1}$), sehingga $v$ harus dalam $\text{m s}^{-1}$ dan $d$ dalam meter, jangan pernah kilometer per detik per megaparsec.

Contoh terpecahkan. Sebuah bintang di galaksi jauh memancarkan radiasi yang intensitasnya mencapai puncak pada $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; puncak dalam cahaya yang diterima di Bumi berada pada $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Temukan suhu permukaan bintang, kecepatan penarikan galaksi, dan jaraknya ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

Suhu dari puncak emisi: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Kecepatan: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, sekitar $6\%$ dari $c$. Jarak: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (sekitar $870$ juta tahun cahaya). Menggunakan puncak yang diamati untuk suhu akan menghasilkan $5900\ \text{K}$, yang $400\ \text{K}$ terlalu rendah.

Dari Hukum Hubble menuju Big Bang

Hukum Hubble berarti galaksi-galaksi dulu berada bersama. Menjalankan ekspansi mundur, semua jarak menyusut menjadi nol pada $t = -1/H_{0}$ — Alam Semesta dulunya adalah titik kecil yang sangat padat dan panas. Ini adalah Big Bang. Umur Alam Semesta (untuk ekspansi stabil) kurang lebih

Ekspansi, pergeseran merah galaksi, latar belakang mikro kosmik, dan kelimpahan hidrogen/helium adalah bukti utama Big Bang.

"Jelaskan bagaimana Hukum Hubble mengarah pada teori Big Bang" (tiga nilai). (1) Galaksi-galaksi menjauh dengan kecepatan sebanding dengan jaraknya, sehingga (2) jika waktu dijalankan mundur, setiap galaksi, pada jarak berapa pun, tiba di titik yang sama pada waktu yang sama, $t = d/v = 1/H_{0}$ yang lalu; (3) sehingga Alam Semesta harus dimulai sebagai satu titik dengan kepadatan dan suhu yang sangat besar yang telah mengembang sejak itu. Estimasi usia: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, dan membaginya dengan $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ per tahun memberikan $1.4 \times 10^{10}$ tahun. Ini mengasumsikan laju ekspansi tidak berubah; ini adalah estimasi, bukan pengukuran.

Tangga jarak

Para astronom menggabungkan metode, masing-masing dikalibrasi oleh metode di bawahnya:

1. parallax — untuk bintang-bintang dekat.
2. lilin standar (Cepheid, supernova Tipe Ia) — untuk galaksi.
3. Hukum Hubble ($d = v/H_{0}$, dengan $v$ dari pergeseran merah) — untuk galaksi yang sangat jauh.

*Tangga jarak: setiap metode dikalibrasi oleh metode di bawahnya dan mencapai lebih jauh

Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.

• Dua rumus: jarak = lilin $L$, diukur $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; jari-jari = $T$ dari $\lambda_{\text{max}}$, $L$ dari $F$ dan $d$, $r$ dari $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Tulis setiap langkah sebagai rumus terpisah.
• $F$ adalah fluks (per meter persegi), $L$ daya; $L = 4\pi d^{2}F$ menghubungkannya dan $4\pi$ merupakan bagian dari kedua hukum tersebut.
• Wien: $\lambda_{\text{max}}$ dalam meter, $T$ dalam kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ dan $T^{4}$; kesalahan $10\%$ pada $T$ menyebabkan kesalahan $46\%$ pada $L$.
• Pergeseran merah: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; kemudian $d = v/H_{0}$ dalam satuan SI. Koreksi panjang gelombang puncak galaksi yang menjauh sebelum menggunakan hukum Wien.
• Tiga jawaban "jelaskan" (lilin standar untuk jarak, pergeseran merah untuk ekspansi, hukum Hubble untuk Big Bang) diberi nilai poin demi poin: tiga pernyataan masing-masing, secara berurutan.
• Usia Alam Semesta adalah $1/H_{0}$, sekitar $14$ miliar tahun; nyatakan asumsi laju ekspansi yang konstan.

Kesalahan umum

• Mendefinisikan kecerlasan sebagai kecerahan, atau sebagai daya per satuan luas; yaitu fluks.
• Menemukan kecerlasan lilin standar dari jaraknya, yang bersifat melingkar; kecerlasan berasal dari jenisnya.
• Menggunakan derajat Celcius dalam hukum Wien atau Stefan, atau melupakan pangkat empat.
• Membagi $\Delta\lambda$ dengan panjang gelombang yang diamati alih-alih yang dipancarkan, atau mencampur nanometer dan meter dalam satu rasio.
• Menggunakan $H_{0}$ dengan $v$ dalam $\text{km s}^{-1}$; konversikan ke $\text{m s}^{-1}$.
• Memasukkan panjang gelombang puncak yang mengalami pergeseran merah ke dalam hukum Wien dan melaporkan suhu yang terlalu rendah.
• Menyatakan hukum Hubble tanpa kata "berbanding lurus" atau tanpa menjelaskan apa itu $v$ dan $d$.
• Menjelaskan Big Bang tanpa argumen mundur ke masa lalu bahwa semua galaksi berada bersama pada $t = 1/H_{0}$ yang lalu.