Seorang penunggang bungee melompat dari jembatan dan jatuh — semakin cepat, lurus menuju tanah. Kemudian, pada detik terakhir, tali elastis menegang dan menarik…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
6.1
Forces that cause deformation · Daya yang menyebabkan ubah bentuk
Syllabus · Silabus
English
understand that deformation is caused by tensile or compressive forces (forces and deformations will be assumed to be in one dimension only)
understand and use the terms load, extension, compression and limit of proportionality
recall and use Hooke's law
recall and use the formula for the spring constant$k = F/x$
define and use the terms stress, strain and the Young modulus
describe an experiment to determine the Young modulus of a metal in the form of a wire
Bahasa Indonesia
pahami bahwa deformasi disebabkan oleh gaya tarik atau gaya tekan (gaya dan deformasi akan diasumsikan hanya dalam satu dimensi)
pahami dan gunakan istilah beban, pemanjangan, pemampatan dan batas proporsionalitas
ingat dan gunakan Hukum Hooke
ingat dan gunakan rumus untuk konstanta pegas$k = F/x$
definisikan dan gunakan istilah tegangan, regangan dan modulus Young
deskripsikan eksperimen untuk menentukan modulus Young logam berbentuk kawat
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
English
Hooke's law & the elastic limit
When a force acts on a solid along its length, the object changes shape (deformation 形变). Two cases (treated as one-dimensional here):
a tensile 拉伸 force stretches the object — it makes an extension 伸长量$x$,
a compressive force squeezes the object — it makes a compression 压缩, treated as a negative extension.
The applied force is the load 负载. The change from the natural length is the extension (or compression).
Both are measured from the natural, unstretched length, never from the loaded length: on a diagram of a spring under a box, the distance the spring has shortened is its compression. A spring's own mass is usually said to be negligible 可忽略的, so the only forces on it are the load and the tension it provides.
Bahasa Indonesia
Hukum Hooke & had anjalik
Apabila daya bertindak pada padatan sepanjang panjangnya, objek berubah bentuk (ubah bentuk). Dua kes (dipertimbangkan sebagai satu dimensi di sini):
tensile daya meregangkan objek — ia membuat panjangan$x$,
compressive daya memampatkan objek — ia membuat pemampatan, dianggap sebagai panjangan negatif.
Daya yang diaplikasikan ialah beban. Perubahan daripada panjang semula jadi ialah panjangan (atau pemampatan).
Keduanya diukur dari panjang semula jadi yang tidak diregangkan, bukan dari panjang yang dibebani: pada rajah spring di bawah kotak, jarak spring telah memendek ialah pemampatannya. Jisim spring sendiri biasanya dikatakan negligible, jadi hanya beban dan ketegangan yang dilakukannya bertindak ke atasnya.
Explore · Jelajahi
Hooke's law spring · Pegas hukum Hooke
Hang a load on the real spring: up to the elastic limit the extension is proportional to the force; beyond it the spring is stretched for good. · Gantungkan beban pada pegas nyata: hingga batas elastis, peregangan sebanding dengan gaya; melebihi itu, pegas meregang permanen.
Hooke's law and the spring constant · Hukum Hooke dan pemalar spring
English
For many materials at small extensions, the extension is proportional to the load — this is Hooke's law 胡克定律. The constant that links them is the spring constant 劲度系数$k$:
$$F = kx \qquad\Longleftrightarrow\qquad k = \frac{F}{x}.$$
Unit of $k$: $\text{N m}^{-1}$.
Worked example. A spring stretches by $4.0\ \text{cm}$ when a $2.0\ \text{N}$ load is hung from it. Find its spring constant.
Converting the extension to metres ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):
For the one-mark "state Hooke's law", write it in words: the extension is directly proportional to the applied force (load), provided the limit of proportionality is not exceeded. The spring constant is the force per unit extension; the multiple-choice distractors are "extension per unit force" (that is $1/k$) and $\tfrac{1}{2}Fx$ (the energy stored).
Reading a graph:
A force–extension ($F$ against $x$) graph has gradient $k$ in the Hooke's-law region.
An extension–force ($x$ against $F$) graph has gradient $1/k$ in the Hooke's-law region.
A common trap: if a graph plots length$L$ against force, you can still find the spring constant from the gradient (since $L = L_{0} + F/k$, the gradient is $1/k$ — read it off carefully).
Worked example. A spring has length $90\ \text{mm}$ under a force of $0.80\ \text{N}$ and $115\ \text{mm}$ under $1.30\ \text{N}$. Find the spring constant and the unstretched length.
The extra force $0.50\ \text{N}$ produces the extra extension $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, so $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. At $0.80\ \text{N}$ the extension is $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, so the unstretched length is $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. On a graph of length against force the intercept on the length axis is $L_{0}$, the gradient is $1/k$, and the work done in stretching the spring is the triangle between the line and the level $L = L_{0}$, not the whole area down to the force axis: the rectangle below $L_{0}$ is the unstretched length multiplied by the force, which means nothing.
Limit of proportionality
Hooke's law only holds up to the limit of proportionality 比例极限. Past this point the $F$ against $x$ line curves and is no longer straight. The material may still be elastic 弹性 (it returns to its first length when you remove the load) a little further, then it becomes plastic 塑性.
Springs in series and parallel
You may need to combine spring constants:
Series 串联 (one spring hangs from another): the same load passes through both, the total extension is the sum, so $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
Parallel 并联 (two springs side by side holding the same load): each takes half the load (if they are identical), the extensions are equal, so $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.
Worked example. Springs of spring constant $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ and $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ are joined end to end and a load of $80\ \text{N}$ hangs from them. Find the total extension.
Each spring carries the full $80\ \text{N}$, so the extensions are $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ and $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: a total of $33\ \text{cm}$ (the same as $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ from $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Three identical springs give the largest combined constant when all three are in parallel ($3k$) and the smallest when all are in series ($k/3$). When a load is shared by two identical springs in parallel, each carries half the force and so stores a quarter of the energy of one spring holding the whole load; the pair together stores half as much as the single spring did. A spring constant in $\text{N cm}^{-1}$ is $100$ times smaller than the same constant in $\text{N m}^{-1}$; give the unit the question asks for.
Bahasa Indonesia
Sebuah spring mematuhi Hukum Hooke: panjangan berkadar terus dengan daya yang diaplikasikan.
Untuk banyak bahan pada panjangan kecil, panjangan berkadar terus dengan beban — ini adalah Hukum Hooke. Pemalar yang menghubungkannya ialah pemalar spring$k$:
$$F = kx \qquad\Longleftrightarrow\qquad k = \frac{F}{x}.$$
Unit bagi $k$: $\text{N m}^{-1}$.
Contoh kerja. Sebuah spring meregang sebanyak $4.0\ \text{cm}$ apabila beban $2.0\ \text{N}$ digantung daripadanya. Cari pemalar springnya.
Menukar panjangan kepada meter ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):
Bagai markah "nyatakan Hukum Hooke", tulis dalam kata-kata: panjangan berkadar terus dengan daya yang diaplikasikan (beban), dengan syarat had perkadaran tidak dilampaui. Pemalar spring ialah daya per unit panjangan; pilihan jawapan salah pelbagai ialah "panjangan per unit daya" (iaitu $1/k$) dan $\tfrac{1}{2}Fx$ (tenaga yang disimpan).
Graf beban–panjangan: lurus sehingga had perkadaran $P$, kemudian melengkung
Membaca graf:
Graf daya–panjangan ($F$ terhadap $x$) mempunyai kecerunan $k$ dalam kawasan Hukum Hooke.
Grafik perpanjangan-gaya ($x$ terhadap $F$) memiliki gradien $1/k$ di daerah hukum Hooke.
Jebakan biasa: jika graf memaparkan panjang$L$ terhadap daya, anda masih boleh mencari pemalar spring dari kecerunan (kerana $L = L_{0} + F/k$, kecerunan adalah $1/k$ — baca dengan teliti).
Contoh kerja. Sebuah spring mempunyai panjang $90\ \text{mm}$ di bawah daya $0.80\ \text{N}$ dan $115\ \text{mm}$ di bawah $1.30\ \text{N}$. Cari pemalar spring dan panjang tidak diregangkan.
Daya tambahan $0.50\ \text{N}$ menghasilkan panjangan tambahan $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, jadi $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. Pada $0.80\ \text{N}$ panjangan adalah $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, jadi panjang tidak diregangkan ialah $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. Pada graf panjang terhadap daya, pintasan pada paksi panjang ialah $L_{0}$, kecerunan ialah $1/k$, dan kerja dilakukan dalam meregangkan spring ialah segitiga antara garis dan aras $L = L_{0}$, bukan keseluruhan kawasan hingga paksi daya: segi empat tepat di bawah $L_{0}$ ialah panjang tidak diregangan didarabkan dengan daya, yang tiada maksud apa-apa.
Panjang terhadap daya: pintasan ialah $L_{0}$, kecerunan ialah $1/k$, dan hanya segitiga di atas $L_{0}$ ialah kerja dilakukan
Had perkadaran
Hukum Hooke hanya sah sehingga had perkadaran. Melepasi titik ini, garis $F$ terhadap $x$ melengkung dan tidak lagi lurus. Bahan mungkin masih anjalik (kembali ke panjang pertama apabila beban ditanggalkan) sedikit lagi, kemudian menjadi plastik.
Spring dalam siri dan selari
Anda mungkin perlu menggabungkan pemalar spring:
Siri (satu spring tergantung pada spring lain): beban yang sama melalui kedua-duanya, panjangan total ialah hasil tambah, jadi $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
Selari (dua spring bersebelahan memegang beban yang sama): setiap satu mengambil separuh beban (jika mereka identik), panjangan adalah sama, jadi $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.
Menggabungkan pemalar spring: siri memberikan spring yang lebih lembut, selari memberikan spring yang lebih keras
Contoh kerja. Spring dengan pemalar spring $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ dan $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ disambung hujung ke hujung dan beban $80\ \text{N}$ digantung daripadanya. Cari panjangan total.
Setiap pegas membawa $80\ \text{N}$ penuh, sehingga perpanjangan adalah $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ dan $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: total $33\ \text{cm}$ (sama dengan $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ dari $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Tiga pegas identik memberikan konstanta gabungan terbesar ketika ketiganya sejajar ($3k$) dan terkecil ketika semuanya seri ($k/3$). Ketika beban dibagi oleh dua pegas identik yang sejajar, masing-masing menahan setengah gaya dan menyimpan seperempat energi dari satu pegas yang menahan seluruh beban; pasangan tersebut bersama-sama menyimpan setengah jumlah energi dari pegas tunggal. Konstanta pegas dalam $\text{N cm}^{-1}$ adalah $100$ kali lebih kecil daripada konstanta yang sama dalam $\text{N m}^{-1}$; berikan satuan yang diminta soal.
Explore · Jelajahi
Hooke's law · Hukum Hooke
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the spring constant k. · Gaya berbanding lurus dengan regangan — gradiennya adalah konstanta pegas k.
Explore · Jelajahi
Hooke's law · Hukum Hooke
F = kx
Up to the limit, extension is proportional to force — the gradient is the spring constant k. · Hingga batas, peregangan berbanding lurus dengan gaya — gradien adalah konstanta pegas k.
Explore · Jelajahi
Hooke's law: F = kx · Hukum Hooke: F = kx
F = ax
Drag the spring constant. Force is proportional to extension — a straight line through the origin whose gradient is the spring constant. · Geser konstanta pegas. Gaya berbanding lurus dengan pertambahan panjang — garis lurus melalui titik asal yang gradiennya adalah konstanta pegas.
Stress, strain and the Young modulus · Tegangan, regangan, dan modulus Young
English
For a wire of uniform cross-section under a tensile load:
Stress 应力$\sigma = \dfrac{F}{A}$, where $F$ is the load and $A$ is the cross-sectional area 横截面积. Unit: $\text{Pa}$.
Strain 应变$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, where $x$ is the extension and $L_{0}$ is the original length. Strain has no unit (it is a ratio of lengths).
For the one-mark definitions: stress is the force per unit cross-sectional area (the force acting normally to the area); strain is the extension per unit original length. The unit of stress, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, is $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ in base units. The area of a round wire comes from its diameter $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, and using $d$ in place of $r$ makes the area four times too big. Convert $\text{mm}^{2}$ to $\text{m}^{2}$ with $10^{-6}$.
Worked example. A tensile force of $18\ \text{N}$ acts on a wire of cross-sectional area $3.2\ \text{mm}^{2}$. Find the stress.
$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. The same force acts along the whole wire, so a bolt whose diameter is $2d$ at one end and $d$ at the other has four times the stress at the narrow end ($\sigma \propto 1/d^{2}$), and a wire of three times the radius carries one ninth of the stress.
The Young modulus 杨氏模量 is the ratio of stress to strain in the Hooke's-law region:
Unit: $\text{Pa}$ (about $10^{11}$ for metals; e.g. steel $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).
Worked example. A steel wire of length $2.0\ \text{m}$ and cross-sectional area $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ stretches by $1.0\ \text{mm}$ under a load of $15\ \text{N}$. Find the Young modulus.
The Young modulus is a property of the material — it does not depend on the wire's shape or size. The spring constant $k$ depends on both the material and the size: $k = EA/L_{0}$.
For the one-mark definition: the Young modulus is the ratio of stress to strain (for a material deformed within its limit of proportionality). Because it belongs to the material, a thicker wire of the same metal has the same Young modulus: it stretches less under the same load because its area is larger, not because the metal is stiffer. A "show that $k = EA/L_{0}$" question wants two lines: $k = F/x$ and $E = FL_{0}/(Ax)$, so $E = kL_{0}/A$. Two things follow: a wire's spring constant stays constant while Hooke's law holds, whatever the force, and a wire of the same metal with twice the diameter has four times the spring constant.
Worked example. A copper wire of length $1.7\ \text{m}$ and diameter $0.64\ \text{mm}$ has Young modulus $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Find its spring constant.
On a stress–strain graph the gradient of the straight part is $E$, so of two materials drawn on the same axes the steeper line is the stiffer material, and a wire with double the Young modulus is drawn as a line through the origin with twice the gradient. On a force–extension graph the gradient is $EA/L_{0}$ and the Young modulus is the gradient multiplied by $L_{0}/A$; only a stress–strain graph has a gradient equal to $E$ itself.
Experiment to find the Young modulus of a metal wire
A standard setup:
Clamp one end of a long, thin wire to a fixed support. Pass the wire over a pulley 滑轮 at the edge of the bench so it hangs straight down.
Measure the original length $L_{0}$ between the clamp and a marker near the pulley, using a metre rule.
Measure the diameter 直径$d$ of the wire at several places with a micrometer 螺旋测微器 and take the average. Work out $A = \pi d^{2}/4$.
Hang weights one at a time. Record the load $F$ and the extension $x$ (how far the marker moves against a fixed scale).
Plot $F$ against $x$. In the straight region the gradient is $EA/L_{0}$, so $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.
Why a long, thin wire? To make the extension big enough to measure well. Why repeat readings and measure $d$ at several places? To reduce random error 随机误差 and check the wire is uniform.
A "describe an experiment" answer earns its marks for the quantities measured and how ($L_{0}$ with a metre rule; $d$ with a micrometer at several points; the load from the masses or a newton meter; the extension from a marker read against a fixed scale, or a vernier scale), the graph ($F$ against $x$, gradient $EA/L_{0}$, or stress against strain, gradient $E$) and the precautions: safety goggles in case the wire snaps, a small load first to straighten kinks, and readings taken on unloading as well as loading to check the wire stayed elastic.
Bahasa Indonesia
Untuk kawat dengan penampang seragam di bawah beban tarik:
Tegangan$\sigma = \dfrac{F}{A}$, di mana $F$ adalah beban dan $A$ adalah luas penampang. Satuan: $\text{Pa}$.
Regangan$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, di mana $x$ adalah perpanjangan dan $L_{0}$ adalah panjang awal. Regangan tidak memiliki satuan (merupakan rasio panjang).
Untuk definisi bernilai satu poin: tegangan adalah gaya per satuan luas penampang (gaya yang bekerja tegak lurus terhadap area); regangan adalah perpanjangan per satuan panjang awal. Satuan tegangan, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, adalah $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ dalam satuan dasar. Luas kawat bulat berasal dari diameternya $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, dan menggunakan $d$ sebagai pengganti $r$ membuat luas empat kali terlalu besar. Konversi $\text{mm}^{2}$ ke $\text{m}^{2}$ dengan $10^{-6}$.
Contoh terpecahkan. Gaya tarik sebesar $18\ \text{N}$作用于 pada kawat dengan luas penampang $3.2\ \text{mm}^{2}$. Temukan tegangannya.
$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. Gaya yang sama bekerja sepanjang kawat, sehingga baut dengan diameter $2d$ di satu ujung dan $d$ di ujung lainnya memiliki empat kali tegangan di ujung sempit ($\sigma \propto 1/d^{2}$), dan kawat dengan tiga kali jari-jari membawa satu per sembilan tegangan.
Tegangan adalah beban per luas penampang; regangan adalah perpanjangan per panjang awal
Modulus Young adalah rasio tegangan terhadap regangan di daerah hukum Hooke:
Satuan: $\text{Pa}$ (sekitar $10^{11}$ untuk logam; misalnya baja $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).
Contoh terpecahkan. Kawat baja sepanjang $2.0\ \text{m}$ dan luas penampang $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ meregang sebesar $1.0\ \text{mm}$ di bawah beban $15\ \text{N}$. Tentukan modulus Young.
Graf tegangan–regangan, lurus hingga batas proporsionalitas $P$
Modulus Young adalah sifat bahan—tidak bergantung pada bentuk atau ukuran kawat. Konstanta pegas $k$ bergantung pada kedua bahan dan ukuran: $k = EA/L_{0}$.
Untuk definisi satu nilai: modulus Young adalah rasio tegangan terhadap regangan (untuk material yang terdeformasi dalam batas proporsionalnya). Karena ini merupakan sifat material, kawat yang lebih tebal dari logam yang sama memiliki modulus Young yang sama; ia meregang lebih sedikit di bawah beban yang sama karena luas penampangnya lebih besar, bukan karena logamnya lebih kaku. Soal "buktikan bahwa $k = EA/L_{0}$" membutuhkan dua baris: $k = F/x$ dan $E = FL_{0}/(Ax)$, sehingga $E = kL_{0}/A$. Dua hal berikut berlaku: konstanta pegas kawat tetap konstan selama hukum Hooke berlaku, apa pun gayanya, dan kawat dari logam yang sama dengan diameter dua kali lipat memiliki konstanta pegas empat kali lipatnya.
Contoh terpecahkan. Kawat tembaga sepanjang $1.7\ \text{m}$ dan diameter $0.64\ \text{mm}$ memiliki modulus Young $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Tentukan konstanta pegasnya.
Pada grafik tegangan-regangan, gradien bagian lurus adalah $E$, jadi dari dua material yang digambar pada sumbu yang sama, garis yang lebih curam adalah material yang lebih kaku, dan kawat dengan modulus Young dua kali lipat digambarkan sebagai garis melalui titik asal dengan gradien dua kali lipat. Pada grafik gaya-perpanjangan, gradiennya adalah $EA/L_{0}$ dan modulus Young adalah gradien dikalikan dengan $L_{0}/A$; hanya grafik tegangan-regangan yang memiliki gradien sama dengan $E$ itu sendiri.
Dua logam pada satu graf tegangan–regangan: garis yang lebih curam memiliki modulus Young yang lebih besar
Eksperimen untuk menemukan modulus Young kawat logam
Pengaturan standar:
Jepit salah satu ujung kawat panjang dan tipis pada penyangga tetap. Lewatkan kawat di atas katrol di tepi meja kerja agar menggantung lurus ke bawah.
Ukur panjang awal $L_{0}$ antara penjepit dan penanda dekat katrol, menggunakan penggaris meteran.
Ukur diameter$d$ kawat di beberapa tempat dengan mikrometer dan ambil rata-ratanya. Hitung $A = \pi d^{2}/4$.
Gantungkan beban satu per satu. Catat beban $F$ dan perpanjangan $x$ (seberapa jauh penanda bergerak melawan skala tetap).
Plot $F$ terhadap $x$. Di daerah lurus, gradiennya adalah $EA/L_{0}$, sehingga $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.
Mengapa kawat panjang dan tipis? Untuk membuat perpanjangan cukup besar untuk diukur dengan baik. Mengapa mengulang pembacaan dan mengukur $d$ di beberapa tempat? Untuk mengurangi kesalahan acak dan memeriksa apakah kawat seragam.
Jawaban "deskripsikan sebuah eksperimen" mendapatkan nilainya untuk besaran yang diukur dan bagaimana ($L_{0}$ dengan penggaris meter; $d$ dengan mikrometer pada beberapa titik; beban dari massa atau newton meter; perpanjangan dari penanda dibaca terhadap skala tetap, atau skala vernier), grafik ($F$ terhadap $x$, gradien $EA/L_{0}$, atau tegangan terhadap regangan, gradien $E$) dan tindakan pencegahan: kacamata pelindung jika kawat patah, beban kecil terlebih dahulu untuk meluruskan bengkokan, dan pembacaan diambil saat pembongkaran maupun penambahan beban untuk memeriksa apakah kawat tetap elastis.
Elastic and plastic behaviour · Perilaku elastis dan plastis
Syllabus · Silabus
English
understand and use the terms elastic deformation, plastic deformation and elastic limit
understand that the area under the force–extension graph represents the work done
determine the elastic potential energy of a material deformed within its limit of proportionality from the area under the force–extension graph
recall and use $E_p = \frac{1}{2}Fx = \frac{1}{2}kx^2$ for a material deformed within its limit of proportionality
Bahasa Indonesia
pahami dan gunakan istilah deformasi elastis, deformasi plastis dan batas elastis
pahami bahwa area di bawah grafik gaya–pemanjangan mewakili usaha yang dilakukan
tentukan energi potensial elastis dari material yang terdeformasi dalam batas proporsionalitas-nya dari area di bawah grafik gaya–pemanjangan
ingat dan gunakan $E_p = \frac{1}{2}Fx = \frac{1}{2}kx^2$ untuk material yang terdeformasi dalam batas proporsionalitasnya
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
English
As the load grows:
Elastic and straight (Hooke obeyed) — up to the limit of proportionality. Removing the load returns the object to its first length.
Elastic but curved — between the limit of proportionality and the elastic limit 弹性极限. The extension is no longer straight in the load, but on unloading the object still returns to its first length.
Plastic — past the elastic limit. On unloading, the object does not return to its first length; a permanent extension stays.
Hooke's law only holds in the straight, elastic region.
In words: elastic deformation means the object returns to its original length (or shape) when the load is removed; plastic deformation means it does not, and a permanent extension remains; the elastic limit is the maximum load (or extension) for which the deformation is still elastic; the limit of proportionality is the point beyond which the extension is no longer proportional to the load. On a graph the limit of proportionality is where the line stops being straight. The elastic limit lies a little beyond it and cannot be read from a loading line alone. So in a "which statement must be correct" item, the end of the straight part is the limit of proportionality, but whether a later point is the elastic limit or the breaking point cannot be told from the shape of the loading line.
On a force–extension graph for a material taken into the plastic region and then unloaded, the loading line and the unloading line are different. The unloading line is parallel to the first Hooke line but shifted to the right (the permanent extension left when the load reaches zero). The area between the loading and unloading lines is the energy turned into thermal energy 热能 in the material.
A rubber band 橡皮筋 also has different loading and unloading curves, but it returns to its original length: its deformation is elastic. The area between the two curves is again energy dissipated as thermal energy (elastic hysteresis 弹性滞后), and the energy recovered on unloading is the area under the lower curve. The two-mark "explain why the work done in stretching the wire is not equal to the energy recovered when the force is removed" answer says that the wire was taken past its elastic limit, so part of the deformation is plastic and a permanent extension remains, and that part of the work done became thermal energy in the wire.
Bahasa Indonesia
Saat beban bertambah:
Elastis dan lurus (mematuhi Hooke) — hingga batas proporsionalitas. Menghilangkan beban mengembalikan objek ke panjang awalnya.
Elastis tetapi melengkung — antara batas proporsionalitas dan batas elastis. Perpanjangan tidak lagi lurus terhadap beban, namun saat pembongkaran objek masih kembali ke panjang awalnya.
Plastis — melebihi batas elastis. Saat pembongkaran, objek tidak kembali ke panjang awalnya; perpanjangan permanen tetap ada.
Hukum Hooke hanya berlaku di daerah elastis yang lurus.
Dalam kata-kata: deformasi elastis berarti objek kembali ke panjang aslinya (atau bentuknya) ketika beban dihilangkan; deformasi plastis berarti tidak, dan perpanjangan permanen tersisa; batas elastis adalah beban maksimum (atau perpanjangan) untuk mana deformasi masih elastis; batas proporsionalitas adalah titik di mana perpanjangan tidak lagi berbanding lurus dengan beban. Pada grafik, batas proporsionalitas adalah tempat garis berhenti menjadi lurus. Batas elastis terletak sedikit setelahnya dan tidak dapat dibaca hanya dari garis pembebanan. Jadi dalam soal "pernyataan mana yang pasti benar", akhir bagian garis lurus adalah batas proporsionalitas, tetapi apakah titik selanjutnya adalah batas elastis atau titik patah tidak dapat ditentukan hanya dari bentuk garis pembebanan.
Gaya–perpanjangan melewati batas elastis: $P$ dan $E$ ditandai, dengan perpanjangan permanen $B$ tertinggal setelah pembongkaran
*Mesin uji (tarik) universal modern meregangkan sampel dan mencatat gaya dan perpanjangan
Pada grafik gaya–perpanjangan untuk suatu material yang ditarik ke daerah plastis lalu dibongkar, garis pembebanan dan garis pembongkaran berbeda. Garis pembongkaran sejajar dengan garis Hooke pertama tetapi bergeser ke kanan (perpanjangan permanen yang tersisa saat beban mencapai nol). Area antara garis pembebanan dan pembongkaran adalah energi yang diubah menjadi energi termal di dalam material.
Karet gelang juga memiliki kurva pembebanan dan pembongkaran yang berbeda, namun kembali ke panjang aslinya: deformasinya elastis. Area antara kedua kurva tersebut kembali merupakan energi yang terdisipasi sebagai energi termal (histeresis elastis), dan energi yang dipulihkan saat pembongkaran adalah area di bawah kurva bawah. Jawaban dua poin "jelaskan mengapa usaha yang dilakukan dalam meregangkan kawat tidak sama dengan energi yang dipulihkan ketika gaya dihilangkan" menyatakan bahwa kawat telah ditarik melebihi batas elastisnya, sehingga sebagian deformasi bersifat plastis dan perpanjangan permanen tersisa, serta sebagian usaha yang dilakukan berubah menjadi energi termal di dalam kawat.
*Karet gelang kembali ke panjang aslinya, namun area antara pembebanan dan pembongkaran adalah energi yang hilang sebagai energi termal
Energy stored in a stretched material · Energi tersimpan dalam material yang diregangkan
English
The work done in stretching a material from $0$ to extension $x$, as the load grows from $0$ to $F$, is the area under the force–extension graph.
Why the area: work done is force multiplied by the distance moved, but here the force grows as the material stretches, so the work is the sum of $F\,\Delta x$ over many small extensions, which is the area under the line. Within the limit of proportionality the force rises uniformly from $0$ to $F$, so the average force is $\tfrac{1}{2}F$ and the work is $\tfrac{1}{2}Fx$. On a force–extension graph the gradient is the spring constant.
Hooke's-law material
When Hooke's law holds, the $F$ against $x$ graph is a straight line through the origin. The area under it from $0$ to $x$ is a triangle:
$$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x = \tfrac{1}{2} k x^{2}.$$
This is the elastic potential energy 弹性势能 stored in a spring or wire stretched within its limit of proportionality. An equal form:
$$E_{\text{P}} = \frac{F^{2}}{2k}.$$
Worked example. A spring of spring constant $50\ \text{N m}^{-1}$ is stretched by $0.20\ \text{m}$, within its limit of proportionality. Find the elastic potential energy stored.
Worked example. A wire of spring constant $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ is already extended by $2.0\ \text{mm}$. Find the work done to increase its extension to $3.0\ \text{mm}$.
The stored energy rises from $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ to $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. This is the trapezium under the line between the two extensions, not $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Because $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ at fixed $k$, doubling the extension of a wire stores four times the energy ($0.65\ \text{J}$ becomes $2.6\ \text{J}$), and a stored energy gives the extension as $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: a spring of $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ storing $0.32\ \text{J}$ is compressed by $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. For two wires joined end to end the tension is the same in both, so the total energy stored is $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ with each wire's own extension.
Non-Hooke material
For a graph that is not a straight line (a stretched rubber band, or a spring past its limit of proportionality), find the area by counting grid squares or by using trapezia 梯形. The same idea holds: the area under the force–extension graph is the work done on the material. To estimate the work done up to the breaking point, count the squares under the whole curve (part squares as halves) and multiply by the energy one square represents, the force step multiplied by the extension step; saying that the area was found by counting squares is the "explain your reasoning" mark.
Comparing stored energy
A common multiple-choice case: two materials are stretched by the same force, or by the same extension. Using $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:
same $F$, smaller $k$ (less stiff) → larger $x$ → more energy stored.
same $x$, larger $k$ (stiffer) → larger $F$ → more energy stored.
A sketch of $E_{\text{P}}$ against extension or compression is a curve through the origin that gets steeper ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), not a straight line. Of two wires of the same length and area under the same load, the one with the smaller Young modulus extends more and so stores more energy.
When a stretched spring is released onto a mass, the elastic potential energy becomes kinetic energy 动能 (and gravitational potential energy if the mass rises). Set $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ equal to $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (plus any $mgh$) to find the speed or height.
Bahasa Indonesia
Usaha yang dilakukan dalam meregangkan material dari $0$ ke perpanjangan $x$, saat beban bertambah dari $0$ ke $F$, adalah area di bawah grafik gaya–perpanjangan.
*Usaha yang dilakukan meregangkan material adalah area di bawah grafik gaya–perpanjangan
Mengapa area: usaha adalah gaya dikali jarak tempuh, namun di sini gaya bertambah saat material meregang, sehingga usahanya adalah jumlah $F\,\Delta x$ atas banyak perpanjangan kecil, yang merupakan area di bawah garis. Dalam batas proporsionalitas, gaya naik secara seragam dari $0$ ke $F$, sehingga rata-rata gaya adalah $\tfrac{1}{2}F$ dan usahanya adalah $\tfrac{1}{2}Fx$. Pada grafik gaya–perpanjangan, gradien adalah konstanta pegas.
Material Hukum Hooke
Ketika hukum Hooke berlaku, grafik $F$ terhadap $x$ adalah garis lurus melalui titik asal. Area di bawahnya dari $0$ ke $x$ berbentuk segitiga:
$$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x = \tfrac{1}{2} k x^{2}.$$
Ini adalah energi potensial elastis yang tersimpan dalam pegas atau kawat yang diregangkan dalam batas proporsionalitasnya. Bentuk setara:
$$E_{\text{P}} = \frac{F^{2}}{2k}.$$
Contoh dikerjakan. Sebuah pegas dengan konstanta pegas $50\ \text{N m}^{-1}$ diregangkan oleh $0.20\ \text{m}$, dalam batas proporsionalitasnya. Temukan energi potensial elastis yang tersimpan.
Contoh terpecahkan. Sebuah kawat dengan konstanta pegas $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ sudah diperpanjang sejauh $2.0\ \text{mm}$. Hitung usaha yang diperlukan untuk memperpanjangnya menjadi $3.0\ \text{mm}$.
Energi tersimpan naik dari $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ ke $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Ini adalah trapesium di bawah garis antara kedua perpanjangan tersebut, bukan $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Karena $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ pada $k$ tetap, menggandakan perpanjangan kawat menyimpan empat kali energi ($0.65\ \text{J}$ menjadi $2.6\ \text{J}$), dan energi tersimpan memberikan perpanjangan sebagai $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: sebuah pegas dengan $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ yang menyimpan $0.32\ \text{J}$ terkompresi sejauh $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Untuk dua kawat yang disambungkan ujung demi ujung, tegangan sama di keduanya, sehingga total energi tersimpan adalah $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ dengan perpanjangan masing-masing kawat.
Bahan Non-Hooke
Untuk grafik yang bukan garis lurus (karet yang diregangkan, atau pegas melewati batas proporsionalnya), hitung luas dengan menghitung kotak grid atau menggunakan trapesia. Prinsip yang sama berlaku: luas di bawah grafik gaya–perpanjangan adalah usaha yang dilakukan pada bahan tersebut. Untuk memperkirakan usaha hingga titik putus, hitung kotak di bawah seluruh kurva (kotak parsial dihitung sebagai setengah) dan kalikan dengan energi yang diwakili satu kotak, yaitu langkah gaya dikali langkah perpanjangan; menyatakan bahwa luas ditemukan dengan menghitung kotak adalah poin "jelaskan alasanmu".
Membandingkan energi tersimpan
Kasus pilihan ganda umum: dua bahan diregangkan oleh gaya yang sama, atau oleh perpanjangan yang sama. Menggunakan $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:
$F$ sama, $k$ lebih kecil (kurang kaku) → $x$ lebih besar → energi tersimpan lebih banyak.
$x$ sama, $k$ lebih besar (lebih kaku) → $F$ lebih besar → energi tersimpan lebih banyak.
Sketsa $E_{\text{P}}$ terhadap perpanjangan atau kompresi adalah kurva melalui titik asal yang semakin curam ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), bukan garis lurus. Dari dua kawat dengan panjang dan luas penampang yang sama di bawah beban yang sama, yang memiliki modulus Young lebih kecil mengalami perpanjangan lebih besar dan sehingga menyimpan lebih banyak energi.
Ketika pegas yang diregangkan dilepaskan ke atas suatu massa, energi potensial elastis berubah menjadi energi kinetik (dan energi potensial gravitasi jika massa naik). Set $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ sama dengan $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (ditambah apa pun $mgh$) untuk menemukan kecepatan atau ketinggian.
6.2
Definitions the examiner accepts · Definisi yang diterima oleh penguji
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
Hooke's law
the extension is directly proportional to the applied force, provided the limit of proportionality is not exceeded
spring constant
the force per unit extension
limit of proportionality
the point beyond which the extension is no longer proportional to the applied force
elastic limit
the maximum force (or extension) for which the material returns to its original length when the force is removed
elastic deformation
the material returns to its original length (shape) when the force is removed
plastic deformation
the material does not return to its original length when the force is removed; a permanent extension remains
stress
the force per unit cross-sectional area
strain
the extension per unit original length
Young modulus
the ratio of stress to strain (within the limit of proportionality)
elastic potential energy
the energy stored in an object because it has been stretched or compressed
Bahasa Indonesia
Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.
Istilah
Definisi
Hukum Hooke
perpanjangan berbanding lurus dengan gaya yang diberikan, asalkan batas proporsionalitas tidak dilampaui
Konstanta pegas
gaya per satuan perpanjangan
Batas proporsionalitas
titik di mana perpanjangan不再 lagi berbanding lurus dengan gaya yang diberikan
Batas elastis
gaya maksimum (atau perpanjangan) di mana bahan kembali ke panjang aslinya ketika gaya dilepas
Deformasi elastis
bahan kembali ke panjang aslinya (bentuk) ketika gaya dilepas
Deformasi plastis
bahan tidak kembali ke panjang aslinya ketika gaya dilepas; perpanjangan permanen tersisa
Tegangan
gaya per satuan luas penampang melintang
Regangan
perpanjangan per satuan panjang awal
Modulus Young
rasio tegangan terhadap regangan (dalam batas proporsionalitas)
Energi potensial elastis
energi yang tersimpan dalam benda karena telah diregangkan atau dikompresi
6.2
Exam tips · Tips ujian
English
Hooke's law ($F = kx$) holds only up to the limit of proportionality.
Stress $= F/A$, strain $= x/L$, Young modulus $=$ stress$/$strain (gradient of the straight part of the stress-strain graph) — watch the units (Pa).
Energy stored $=$area under the force-extension graph$= \frac{1}{2}Fx$ in the elastic region.
Distinguish elastic (returns to shape) from plastic (permanent) deformation.
Common mistakes
Using the diameter as the radius in $A = \pi r^{2}$, or leaving an area in $\text{mm}^{2}$. Halve the diameter first; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
Reading the work done off a length–force graph as the whole area down to the axis. Only the triangle above $L_{0}$ is work.
Treating stored energy as proportional to extension. It goes as $x^{2}$: double the extension, four times the energy; and the work done between two extensions is the difference of two $\tfrac{1}{2}kx^{2}$ values.
Stating Hooke's law without its condition. "Provided the limit of proportionality is not exceeded" is part of the law.
Swapping the limit of proportionality (the end of the straight line) and the elastic limit (the end of elastic behaviour, a little beyond it).
Saying a thicker wire has a larger Young modulus. The modulus is the material's; the thicker wire has a larger spring constant.
Bahasa Indonesia
Hukum Hooke ($F = kx$) hanya berlaku hingga batas proporsionalitas.
Tegangan $= F/A$, regangan $= x/L$, Modulus Young $=$ stress$/$strain (gradien bagian lurus dari grafik tegangan-regangan) — perhatikan satuannya (Pa).
Energi tersimpan $=$luas di bawah grafik gaya-perpanjangan$= \frac{1}{2}Fx$ di daerah elastis.
Bedakan elastis (kembali ke bentuk) dari plastis (permanen) deformasi.
Kesalahan umum
Menggunakan diameter sebagai jari-jari dalam $A = \pi r^{2}$, atau meninggalkan luas dalam $\text{mm}^{2}$. Bagilah diameter terlebih dahulu; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
Membaca usaha yang dilakukan dari grafik panjang–gaya sebagai seluruh area hingga sumbu. Hanya segitiga di atas $L_{0}$ yang merupakan usaha.
Memperlakukan energi tersimpan sebanding dengan perpanjangan. Hal ini mengikuti $x^{2}$: gandakan perpanjangan, empat kali energi; dan usaha yang dilakukan antara dua perpanjangan adalah selisih dari dua nilai $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
Menyatakan hukum Hooke tanpa kondisinya. "Asalkan batas proporsionalitas tidak dilampaui" adalah bagian dari hukum tersebut.
Menukar batas proporsionalitas (ujung garis lurus) dan batas elastis (ujung perilaku elastis, sedikit melewatinya).
Mengatakan kawat yang lebih tebal memiliki modulus Young yang lebih besar. Modulus adalah sifat material; kawat yang lebih tebal memiliki konstanta pegas yang lebih besar.
Interactive lessons on this topic · Pelajaran interaktif untuk topik ini
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Pilih satu dan situs mengikuti Anda — catatan, kertas, video, dan latihan semua terbuka di sana.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Ketik untuk mencari catatan, pelajaran, kode, kosakata, dan pertanyaan soal lama di setiap mata pelajaran.
*Mesin uji (tarik) universal modern meregangkan sampel dan mencatat gaya dan perpanjangan
*Karet gelang kembali ke panjang aslinya, namun area antara pembebanan dan pembongkaran adalah energi yang hilang sebagai energi termal