Jari-jari bintang
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | suhu |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | hukum pergeseran Wien |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | hukum Stefan-Boltzmann |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | benda hitam |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | panjang gelombang |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | konstanta Stefan-Boltzmann |
Tidak ada teleskop yang dapat melihat bintang sebagai cakram
- Setiap bintang kecuali Matahari tampak sebagai titik bahkan di teleskop terbesar. Cakramnya terlalu kecil untuk dire solves.
- Namun, jari-jari bintang ribuan tahun cahaya menjauh adalah perhitungan rutin, dan dilakukan dari dua hal yang bisa Anda ukur: warna dan kecerahannya.
- Warna memberikan suhu permukaan. Kecerahan dan jarak memberikan total daya. Kedua hal itu bersama-sama memberikan ukuran.
- Pelajaran ini adalah hukum pergeseran Wien dan hukum Stefan-Boltzmann, serta rantai tiga langkah yang menghubungkannya.
Hukum pergeseran Wien
- Benda panas memancarkan spektrum hitam (blackbody) kontinu yang puncaknya berada pada panjang gelombang yang ditentukan oleh suhunya:
- Panjang gelombang pada mana intensitas adalah maksimum berbanding terbalik dengan suhu termodinamika. Katakan "panjang gelombang intensitas maksimum", bukan hanya "panjang gelombangnya".
- Suhu harus dalam kelvin, dan hukum ini menggambarkan puncak kurva kontinu, bukan garis spektral.
- Lebih panas berarti biru: bintang merah dekat $3000\ \text{K}$ memuncak di inframerah, Matahari dekat $5800\ \text{K}$ memuncak di sekitar $500\ \text{nm}$, dan bintang biru-putih dekat $20000\ \text{K}$ memuncak di ultraviolet.
Lebih panas, lebih tinggi, dan lebih ke kiri
Bintang yang lebih panas memiliki puncak spektral (hukum Wien) pada panjang gelombang yang ____.
$\lambda_{\max}T = b$, sehingga $T$ yang lebih tinggi berarti $\lambda_{\max}$ yang lebih kecil — menuju warna biru.
Manakah yang termasuk dalam pernyataan Hukum Pergeseran Wien? Pilih semua yang berlaku.
Ini berkaitan dengan puncak kurva benda hitam kontinu, bukan garis-garisnya. Menyebutkan hanya panjang gelombang akan kehilangan poin; sebutkan panjang gelombang intensitas maksimum.
Contoh terpecahkan: mengambil suhu bintang
- Spektrum bintang memuncak di $500\ \text{nm}$. Temukan suhu permukaannya.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Ubah nanometer ke meter terlebih dahulu. Konstantanya dalam meter kelvin, sehingga panjang gelombang dalam nm menghasilkan suhu yang meleset $10^9$.
- Pengukuran ini adalah alasan utama mengapa warna bintang berguna: warna sama dengan suhu.
Spektrum bintang memuncak pada $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. Berapakah suhu permukaannya? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — sekitar Matahari.
Pasangkan setiap bintang dengan tempat spektrumnya memuncak.
Semakin panas, semakin pendek puncaknya. Satu pengukuran ini menjelaskan mengapa warna bintang berguna: warna adalah suhu.
Hukum Stefan-Boltzmann
- Anggaplah bintang sebagai bola benda hitam berjari-jari $r$ pada suhu permukaan $T$:
- $\sigma$ adalah konstanta Stefan-Boltzmann-.
- Dua ketergantungan, dan keduanya sangat berbeda kekuatannya. $L \propto r^2$: dua kali jari-jari, empat kali luminositas. $L \propto T^4$: dua kali suhu, enam belas kali luminositas.
- Jadi kesalahan kecil pada suhu menghasilkan kesalahan besar pada luminositas, oleh karena itu panjang gelombang puncak harus dibaca dengan hati-hati.
Kecerahan dan jejari sebuah bintang
L ∝ r²
Bagi suhu permukaan tertentu, kecerahan sebuah bintang bertambah dengan KUASA DUA jejari-nya (hukum Stefan).
Hukum Stefan–Boltzmann memberikan luminositas bintang sebagai:
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — sangat bergantung pada jari-jari dan suhu.
Menggunakan $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, manakah yang benar? Pilih semua yang berlaku.
L berbanding dengan r^2 dan T^4. Pangkat empat inilah mengapa panjang gelombang puncak harus dibaca dengan hati-hati dan dikoreksi untuk redshift.
Contoh terpecahkan: luminositas bintang mirip Matahari
- Sebuah bintang memiliki jari-jari $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ dan suhu permukaan $5800\ \text{K}$. Temukan luminositasnya.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Kuadratkan jari-jari dan pangkatkan suhu ke keempat. Pada kalkulator, lakukan $T^4$ sebagai langkah tersendiri dan periksa magnitudonya: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Jika suhu bintang menggandakan (jari-jari sama), luminositasnya dikalikan dengan:
$L \propto T^{4}$, sehingga menggandakan $T$ menghasilkan $2^{4} = 16$ kali luminositas.
Luminositas sama, bintang berlawanan
- Karena $L$ bergantung pada kedua $r$ dan $T$, dua bintang yang sangat berbeda dapat memiliki luminositas yang sama.
- Raksasa merah itu dingin, sehingga $T^4$-nya kecil, tetapi ukurannya raksasa, dan $r^2$ mengompensasinya.
- Katai putih itu sangat panas tetapi kecil: $T^4$ yang besar berhadapan dengan $r^2$ yang sangat kecil.
- Whenever jawaban terlihat mengejutkan, periksa dengan cara ini. Sebuah bintang $140$ kali lebih terang dari Matahari tetapi hanya $1.6$ kali lebih panas harus jauh lebih besar, karena $L \propto r^2T^4$.
Susun tiga langkah untuk memperkirakan jari-jari bintang secara berurutan.
Setiap langkah adalah satu baris. Jaga presisi penuh L dan T hingga akhir, karena T dipangkatkan empat.
Mengestimasi jari-jari, dalam tiga langkah
- Satu. Ukur $\lambda_{\text{max}}$ dan dapatkan $T$ dari hukum Wien.
- Dua. Dapatkan $L$, biasanya dari fluks dan jarak: $L = 4\pi d^2 F$.
- Tiga. Selesaikan hukum Stefan-Boltzmann untuk jari-jari:
- Setiap langkah adalah satu baris. Pertahankan keseluruhan presisi dari $L$ dan $T$ hingga akhir, karena $T$ dipangkatkan empat dan pembulatan terlalu dini akan mahal.
Menggabungkan hukum Wien dan hukum Stefan–Boltzmann memungkinkan kita memperkirakan jari-jari bintang.
Wien memberikan $T$, fluks dan jarak memberikan $L$, kemudian $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Sinar matahari memiliki fluks 1370 W/m^2 pada jarak 1.50e11 m dan spektrum Matahari memuncak pada 500 nm. Berapakah jari-jari Matahari, dalam satuan 1e8 m?
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, maka r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m berbanding nilai yang diterima 6.96e8 m. Tiga rumus satu baris, tiada resolusi teleskop diperlukan.
Contoh terpecahkan: jari-jari Matahari, dari nol
- Cahaya matahari di Bumi memiliki fluks $1370\ \text{W/m}^2$ pada $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, dan spektrum Matahari memuncak pada $500\ \text{nm}$. Estimasi jari-jari Matahari.
- Luminositas: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Suhu: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Jari-jari: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- Nilai yang diterima adalah $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Tiga rumus satu baris, tidak perlu resolusi teleskop.
Dalam $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ dan $F = L/(4\pi d^2)$, panjang $r$ dan $d$ bermaksud perkara yang sama.
r ialah jejari bintang itu sendiri; d ialah jaraknya dari kita. Menukar keduanya adalah kesilapan paling biasa dalam topik ini, dan kedua-duanya berbeza banyak ordo magnitud.
⟦⟧ Nilai yang sering terlewat
- Hukum Wien berkaitan dengan panjang gelombang intensitas maksimum, dan $T$ harus dalam kelvin.
- Konversi $\lambda_{\text{max}}$ ke meter; konstanta $b$ berada dalam meter-kelvin.
- Dalam $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ adalah jari-jari bintang; dalam $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ adalah jarak ke kita. Dua panjang yang berbeda, dan menukarnya adalah kesalahan paling umum dalam topik ini.
- Pertahankan presisi penuh hingga baris terakhir, karena $T$ dipangkatkan empat.
- Untuk galaksi yang menjauh, koreksi puncak yang diamati sebelum menggunakan hukum Wien, atau suhunya akan keluar terlalu rendah.
Anda telah memahaminya
- Hukum perpindahan Wien: panjang gelombang intensitas maksimum berbanding terbalik dengan suhu termodinamika, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, sehingga luminositas sebanding dengan kuadrat jari-jari dan pangkat empat suhu
- sebuah jari-jari datang dalam tiga langkah: $\lambda_{\text{max}} \to T$, lalu $F$ dan $d \to L$, lalu $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- pisahkan $r$ (bintang) dan $d$ (ke kita), dan pertahankan presisi penuh hingga akhir karena $T^4$