Menara Miring Pisa telah miring selama lebih dari delapan ratus tahun — namun tidak runtuh. Mengapa? Seluruh berat menara bekerja pada satu titik: pusat gravitasasinya…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
4.1
Turning effects of forces · Efek tumpu gaya
Syllabus · Silabus
English
understand that the weight of an object may be taken as acting at a single point known as its centre of gravity
define and apply the moment of a force
understand that a couple is a pair of forces that acts to produce rotation only
define and apply the torque of a couple
Bahasa Indonesia
pahami bahwa berat benda dapat dianggap bekerja pada satu titik tunggal yang disebut pusat gravitasi
definisikan dan terapkan torsi gaya
pahami bahwa kopel adalah sepasang gaya yang bekerja untuk menghasilkan rotasi saja
definisikan dan terapkan torsi kopel
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
English
The principle of moments
Centre of gravity
The weight 重力 of a large object can be treated as acting at one single point, called the centre of gravity 重心 (the same as the centre of mass 质心 in a uniform gravitational field). For a uniform, regular shape — a rectangle, a sphere, a uniform rod — the centre of gravity is at the middle.
When you draw a free-body diagram 受力图, always put the weight arrow at the centre of gravity.
For an irregular shape, find the centre of gravity by experiment. Hang the object freely from a pin: in equilibrium it settles with its centre of gravity vertically below the pin, because only then does the weight have no moment about the pin. A plumb line 铅垂线 hung from the same pin marks that vertical. Hang the object from a second point and draw the second line; the centre of gravity is where the two lines cross. The same fact answers the exam's "explain why the sheet hangs like this": its centre of gravity is directly below the support, so the weight's line of action passes through the pivot and there is no resultant torque.
For a non-uniform 非均匀 bar, the centre of gravity is not at the middle. Find it by balancing the bar on a pivot, or by taking moments: if the bar's weight $W$ balances a known weight, the distance of its centre of gravity from the pivot is the one moment that makes the two sides equal.
Moment of a force
The moment 力矩 of a force about a point is
$$M = F \cdot d,$$
where $F$ is the size of the force 力 and $d$ is the perpendicular distance 垂直距离 from the point to the line of action 作用线 of the force. Unit: $\text{N m}$.
If the force acts at angle $\theta$ to a lever arm 力臂 of length $r$ from the pivot 支点, then $d = r\sin\theta$, so $M = F r\sin\theta$. Only the part of the force perpendicular 垂直 to the lever arm makes it turn.
Worked example. A force of $50\ \text{N}$ is applied to the end of a spanner $0.40\ \text{m}$ long, at $30°$ to the spanner. Find the moment of the force about the nut.
A moment is either clockwise 顺时针 or anticlockwise 逆时针 about the chosen point.
Couple and torque
A couple 力偶 is a pair of forces that are:
equal in size,
opposite in direction,
with their lines of action a perpendicular distance apart.
A couple makes the body turn only — its resultant force is zero, so it gives no straight-line acceleration.
The torque 力偶矩 of a couple is the turning effect it makes:
$$\tau = F \cdot d,$$
where $F$ is the size of one force and $d$ is the perpendicular distance between the two lines of action. Unit: $\text{N m}$. The torque is the same about any point — a special property of couples.
A common multiple-choice trap: two equal forces in the same direction are not a couple (they have a resultant force and cause translation 平动). A couple needs equal size and opposite direction.
Watch the distance in the formula. For a couple of two forces $F$ each acting a distance $d$ from a central pivot, on opposite sides, the perpendicular distance between the two lines of action is $2d$, so the torque is $F \times 2d = 2Fd$. Taking moments about the pivot gives the same answer, $Fd + Fd$. The two-mark definition wants both parts: the product of one of the forces and the perpendicular distance between the lines of action of the forces.
Bahasa Indonesia
Prinsip momen
Pusat gravitasi
Berat benda besar dapat dianggap bekerja pada satu titik tunggal, disebut pusat gravitasi (sama dengan pusat massa dalam medan gravitasi seragam). Untuk bentuk seragam dan teratur — persegi panjang, bola, batang seragam — pusat gravitasinya berada di tengah.
Saat menggambar diagram benda-bebas, selalu letakkan panah berat di pusat gravitasi.
Untuk bentuk tidak beraturan, tentukan pusat gravitasi melalui eksperimen. Gantungkan benda secara bebas dari sebuah pin: dalam kesetimbangan, benda akan stabil dengan pusat gravitasinya secara vertikal tepat di bawah pin, karena hanya dengan demikian berat tidak memiliki momen terhadap pin. Sebuah benang plumb yang digantung dari pin yang sama menandai garis vertikal tersebut. Gantungkan benda dari titik kedua dan gambar garis kedua; pusat gravitasi berada di persimpangan kedua garis. Fakta yang sama menjawab soal ujian "jelaskan mengapa lembaran menggantung seperti itu": pusat gravitasinya berada tepat di bawah penyangga, sehingga garis kerja berat melewati poros dan tidak ada torsi resultan.
Menentukan pusat gravitasi: digantung bebas, benda akan stabil dengan pusat gravitasinya secara vertikal tepat di bawah pin, sehingga dua benang plumb dari dua pin bersilangan di sana
Untuk batang tidak seragam, pusat gravitasinya tidak berada di tengah. Tentukan dengan menyeimbangkan batang pada poros, atau dengan menghitung momen: jika berat batang $W$ menyeimbangkan berat yang diketahui, jarak pusat gravitasinya dari poros adalah momen yang membuat kedua sisi setara.
Momen gaya
Momen gaya terhadap suatu titik adalah
$$M = F \cdot d,$$
di mana $F$ adalah besaran gaya dan $d$ adalah jarak tegak lurus dari titik ke garis kerja gaya. Satuan: $\text{N m}$.
Jika gaya bekerja pada sudut $\theta$ terhadap tongkat pengungkit sepanjang $r$ dari poros, maka $d = r\sin\theta$, sehingga $M = F r\sin\theta$. Hanya komponen gaya yang tegak lurus terhadap tongkat pengungkit yang membuatnya berputar.
Contoh terpecahkan. Gaya sebesar $50\ \text{N}$ diterapkan pada ujung kunci pas sepanjang $0.40\ \text{m}$, pada sudut $30°$ terhadap kunci pas. Hitunglah momen gaya terhadap mur.
Momen bergantung pada jarak tegak lurus $d$ dari titik putar ke garis kerja gaya
Momen bisa searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam terhadap titik yang dipilih.
Pasangan gaya dan torsi
Sepasang gaya adalah sepasang gaya yang:
besarannya sama,
arahnya berlawanan,
dengan garis kerjanya berjarak tegak lurus satu sama lain.
Sepasang gaya menyebabkan benda hanya berputar — resultan gayanya nol, sehingga tidak menghasilkan percepatan linear.
Torsi dari sepasang gaya adalah efek putarannya:
$$\tau = F \cdot d,$$
di mana $F$ adalah besaran salah satu gaya dan $d$ adalah jarak tegak lurus antara kedua garis kerja. Satuan: $\text{N m}$. Torsinya sama terhadap titik manapun — sifat khusus dari pasangan gaya.
*Pasangan gaya: dua gaya yang sama besar dan berlawanan, terpisah jarak, menghasilkan torsi
Jebakan pilihan ganda yang umum: dua gaya yang sama besar dalam arah yang sama bukan merupakan pasangan gaya (karena memiliki resultan gaya dan menyebabkan translasi). Pasangan gaya memerlukan besaran yang sama dan arah berlawanan.
Perhatikan jarak dalam rumus. Untuk pasangan gaya dari dua gaya $F$ masing-masing bekerja pada jarak $d$ dari engsel pusat, di sisi yang berlawanan, jarak tegak lurus antara kedua garis kerja adalah $2d$, sehingga torsinya adalah $F \times 2d = 2Fd$. Mengambil momen tentang engsel memberikan jawaban yang sama, $Fd + Fd$. Definisi bernilai dua poin membutuhkan kedua bagian tersebut: hasil kali salah satu gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja kedua gaya.
Explore · Jelajahi
Balance the see-saw · Seimbangkan ayunan-ayunan
Put a weight on each side and slide it in or out. A small weight far from the pivot can balance a big weight close in — the beam is level when force × distance matches on both sides. · Letakkan beban di masing-masing sisi dan geser masuk atau keluar. Beban kecil yang jauh dari tumpu dapat menyeimbangkan beban besar yang dekat — batang mendatar ketika gaya × jarak seimbang di kedua sisi.
understand that, when there is no resultant force and no resultant torque, a system is in equilibrium
use a vector triangle to represent coplanar forces in equilibrium
Bahasa Indonesia
nyatakan dan terapkan prinsip torsi
pahami bahwa, ketika tidak ada gaya resultan dan tidak ada torsi resultan, suatu sistem berada dalam keseimbangan
gunakan segitiga vektor untuk merepresentasikan gaya koplanar dalam keseimbangan
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
English
Conditions for equilibrium
A body is in equilibrium 平衡 when:
the resultant force 合力 is zero (no straight-line acceleration), AND
the resultant moment about any point is zero (no angular acceleration 角加速度).
Both must hold. A body with no resultant force can still be turning; a body with no resultant moment can still be moving in a straight line.
The classic multiple-choice case: four forces, two equal pairs pointing in opposite directions but not along the same lines. The resultant force is zero, so the centre of mass does not accelerate, but the pairs form couples with a resultant torque, so the object spins faster and faster while its centre of mass moves at constant velocity. Only when both conditions hold is the body in equilibrium.
Principle of moments
For a body that is not turning, the total clockwise moment about any point equals the total anticlockwise moment about the same point. This is the principle of moments 力矩原理.
To solve a balance problem:
Choose a pivot — usually where an unknown force acts, so that force drops out (its distance is zero).
List every force and its perpendicular distance from the pivot.
Set $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
Use $\sum F = 0$ if you need a second equation.
A ruler balanced on a pivot with masses on each side is solved this way. For a heavy uniform rod, remember to include its weight acting at its centre of gravity. Stated for the marks: for a body in equilibrium, the sum of the clockwise moments about any point equals the sum of the anticlockwise moments about that same point.
Worked example. A uniform beam of length $4.0\ \text{m}$ is pivoted at its centre. A $40\ \text{N}$ weight hangs $1.5\ \text{m}$ from the pivot on one side. How far from the pivot, on the other side, must a $30\ \text{N}$ weight hang to balance the beam?
The beam's own weight acts at the centre (the pivot), so it has no moment. Setting clockwise $=$ anticlockwise moments:
$$40 \times 1.5 = 30 \times d \quad\Rightarrow\quad d = \frac{60}{30} = 2.0\ \text{m}.$$
Worked example. A uniform rod of length $L$ and weight $W = 28\ \text{N}$ is hinged to a wall at one end and held horizontal by a wire from its other end. The wire makes $40°$ with the rod. Find the tension $T$ in the wire.
Take moments about the hinge, so the unknown hinge force drops out. The weight acts at the centre, a distance $L/2$ from the hinge: its moment is $W \times L/2$, clockwise. The tension acts at the end, but not at right angles to the rod, so its moment is $T\sin 40° \times L$, anticlockwise (only the component of $T$ perpendicular to the rod turns it). Equate them:
$$T \sin 40° \times L = W \times \frac{L}{2} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{28}{2 \sin 40°} = 22\ \text{N}.$$
The length $L$ cancels, which is why the question need not give it. If a load hangs from the rod as well, add its moment on the clockwise side. This is the shape of almost every moments question: choose the pivot where the unknown force acts, use the perpendicular component of any angled force, and let unknown lengths cancel.
Worked example. A uniform beam of weight $200\ \text{N}$ and length $9.0\ \text{m}$ rests on two supports, X at $1.0\ \text{m}$ from the left end and Y at $6.5\ \text{m}$. A person of weight $700\ \text{N}$ stands $1.7\ \text{m}$ from Y, beyond it. Find the force from each support.
Two unknown forces, $R_{\text{X}}$ and $R_{\text{Y}}$, so take moments about X to remove $R_{\text{X}}$. The beam's weight acts at its centre, $3.5\ \text{m}$ from X; Y is $5.5\ \text{m}$ from X; the person is $7.2\ \text{m}$ from X:
Then the resultant force is zero: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, so $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. A negative answer means the beam would lift off X: with the person that far past Y, X must hold the beam down, not up. Questions often ask where a person can stand before the beam tips; that is the position at which $R_{\text{X}}$ becomes zero.
Vector triangle
Three forces in the same plane that are in equilibrium can be drawn as a closed vector triangle 矢量三角形 — drawn tip-to-tail, the three arrows come back to the start. This is a drawing method instead of splitting into components 分量.
Use the sine rule 正弦定理 or the cosine rule 余弦定理 on the triangle to find unknown sizes or directions, or draw the triangle to scale on graph paper.
You can also split each force into horizontal 水平 and vertical 竖直 components and set $\sum F_{x} = 0$ and $\sum F_{y} = 0$.
To draw the triangle for the marks: draw the weight first (vertical, to scale), then add the other two forces tip to tail in their real directions, so the third arrow closes the triangle; label every side with its force and mark the angles. For a block resting on a slope the three forces are the weight (vertical), the normal contact force (perpendicular to the slope) and friction (along the slope), so the triangle is right-angled with the weight as the hypotenuse. For a picture hanging from a string over a pin, the two equal tensions make an isosceles triangle with the weight. The test of any answer is that the triangle closes; if it does not, the object is not in equilibrium.
Worked example. A pulley of negligible weight is held by a spring. A single cable passes under the pulley, and each side of the cable makes $30°$ with the vertical. The tension in the cable is $T = 60\ \text{N}$. Find the force from the spring and the extension of the spring, given its spring constant is $2000\ \text{N m}^{-1}$.
Because it is one continuous cable, the tension is the same on both sides. The two tensions pull down and outwards; their horizontal components cancel and their vertical components add, so the spring must pull up with $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. From Hooke's law (topic 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. If the angle to the vertical grows, $\cos\theta$ falls, so the spring force and extension fall: the cable is pulling more sideways and less upwards.
Bahasa Indonesia
Syarat keseimbangan
Sebuah benda berada dalam keseimbangan ketika:
resultan gaya adalah nol (tidak ada percepatan linear), DAN
resultan momen tentang titik apa pun adalah nol (tidak ada percepatan sudut).
Keduanya harus terpenuhi. Benda tanpa resultan gaya masih bisa berputar; benda tanpa resultan momen masih bisa bergerak lurus.
Kasus pilihan ganda klasik: empat gaya, dua pasangan sama besar mengarah ke arah berlawanan tetapi tidak pada garis kerja yang sama. Resultan gayanya nol, sehingga pusat massa tidak mengalami percepatan, namun pasangan-pasangan tersebut membentuk pasangan gaya dengan resultan torsi, sehingga benda berputar semakin cepat sementara pusat massanya bergerak dengan kecepatan konstan. Hanya ketika kedua syarat terpenuhi benda tersebut berada dalam keseimbangan.
Prinsip momen
Untuk benda yang tidak berputar, total momen searah jarum jam tentang titik mana pun sama dengan total momen berlawanan arah jarum jam tentang titik yang sama. Ini disebut prinsip momen.
Untuk menyelesaikan masalah kesetimbangan:
Pilih engsel — biasanya di tempat gaya tak diketahui bekerja, sehingga gaya tersebut hilang (jaraknya nol).
Catat setiap gaya dan jarak tegak lurusnya dari engsel.
Gunakan $\sum F = 0$ jika Anda memerlukan persamaan kedua.
Penggaris yang seimbang di atas engsel dengan massa di kedua sisinya diselesaikan dengan cara ini. Untuk batang seragam yang berat, ingatlah untuk menyertakan beratnya yang bekerja di pusat gravitasinya. Ditulis untuk nilai soal: untuk benda dalam keseimbangan, jumlah momen searah jarum jam tentang titik mana pun sama dengan jumlah momen berlawanan arah jarum jam tentang titik yang sama.
Contoh pengerjaan. Balok seragam sepanjang $4.0\ \text{m}$ dipivot di tengahnya. Beban $40\ \text{N}$ digantung $1.5\ \text{m}$ dari pivot di satu sisi. Berapa jauh dari pivot, di sisi lainnya, beban $30\ \text{N}$ harus digantung untuk menyeimbangkan balok?
Berat batang sendiri bekerja di tengah (di engsel), sehingga tidak memiliki momen. Menyetel momen searah jarum jam $=$ momen berlawanan arah jarum jam:
$$40 \times 1.5 = 30 \times d \quad\Rightarrow\quad d = \frac{60}{30} = 2.0\ \text{m}.$$
Beban pada penggaris yang diseimbangkan pada titik tumpu — digunakan untuk menguji prinsip momenKran menara adalah masalah momen: momen balok penyeimbang tentang tiang menyeimbangkan momen beban
Contoh terpecahkan. Batang seragam sepanjang $L$ dan berat $W = 28\ \text{N}$ disambung ke dinding di satu ujung dan dijaga tetap horizontal oleh kawat dari ujung lainnya. Kawat tersebut membentuk sudut $40°$ terhadap batang. Tentukan tegangan $T$ dalam kawat tersebut.
Batang bersambung yang diikat kawat: mengambil momen tentang engsel menghilangkan gaya engsel yang tak diketahui
Ambil momen tentang engsel, sehingga gaya engsel yang tak diketahui hilang. Berat bekerja di tengah, sejauh $L/2$ dari engsel: momennya adalah $W \times L/2$, searah jarum jam. Tegangan bekerja di ujung, tetapi tidak tegak lurus terhadap batang, sehingga momennya adalah $T\sin 40° \times L$, berlawanan arah jarum jam (hanya komponen dari $T$ yang tegak lurus terhadap batang yang memutarkannya). Samakan keduanya:
$$T \sin 40° \times L = W \times \frac{L}{2} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{28}{2 \sin 40°} = 22\ \text{N}.$$
Panjang $L$ saling menghilangkan, itulah sebabnya pertanyaan tidak perlu memberikannya. Jika ada beban yang digantung dari batang juga, tambahkan momennya di sisi searah jarum jam. Ini adalah pola hampir setiap soal momen: pilih engsel tempat gaya tak diketahui bekerja, gunakan komponen tegak lurus dari gaya miring apa pun, dan biarkan panjang tak diketahui saling menghilangkan.
Contoh terpecahkan. Balok seragam beratnya $200\ \text{N}$ dan panjangnya $9.0\ \text{m}$ bertumpu pada dua penyangga, X pada $1.0\ \text{m}$ dari ujung kiri dan Y pada $6.5\ \text{m}$. Seseorang beratnya $700\ \text{N}$ berdiri $1.7\ \text{m}$ dari Y, melewati posisinya. Tentukan gaya dari masing-masing penyangga.
Balok pada dua penyangga: momen tentang satu penyangga memberikan gaya penyangga lainnya; jumlah gaya kemudian memberikan yang pertama
Dua gaya tak diketahui, $R_{\text{X}}$ dan $R_{\text{Y}}$, jadi ambil momen terhadap X untuk menghilangkan $R_{\text{X}}$. Berat balok bekerja di tengahnya, $3.5\ \text{m}$ dari X; Y terletak $5.5\ \text{m}$ dari X; orang tersebut terletak $7.2\ \text{m}$ dari X:
Kemudian resultan gayanya nol: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, sehingga $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Jawaban negatif berarti balok akan terangkat dari X: dengan orang itu sedemikian jauh melewati Y, X harus menahan balok ke bawah, bukan ke atas. Soal sering bertanya di mana seseorang bisa berdiri sebelum balok terbalik; itu adalah posisi di mana $R_{\text{X}}$ menjadi nol.
Segitiga vektor
Tiga gaya dalam bidang yang sama dan berada dalam kesetimbangan dapat digambarkan sebagai segitiga vektor tertutup — digambar ujung ke ekor, ketiga panah kembali ke titik awal. Ini adalah metode gambar alih-alih memecahnya menjadi komponen.
Tiga gaya dalam kesetimbangan membentuk segitiga vektor tertutup
Gunakan aturan sinus atau aturan kosinus pada segitiga untuk mencari besaran atau arah yang tidak diketahui, atau gambarlah segitiga dengan skala pada kertas grafik.
Anda juga dapat memecah setiap gaya menjadi komponen horizontal dan vertikal serta menetapkan $\sum F_{x} = 0$ dan $\sum F_{y} = 0$.
Untuk menggambar segitiga untuk soal: gambarlah berat terlebih dahulu (vertikal, sesuai skala), lalu tambahkan dua gaya lainnya ujung ke ekor dalam arah aslinya, sehingga panah ketiga menutup segitiga; beri label setiap sisi dengan gayanya dan tandai sudutnya. Untuk balok yang diam di atas bidang miring, ketiga gayanya adalah berat (vertikal), gaya kontak normal (tegak lurus terhadap bidang miring) dan gesekan (sejajar dengan bidang miring), sehingga segitiganya siku-siku dengan berat sebagai hipotenusa. Untuk lukisan yang tergantung pada tali di atas paku, dua tegangan yang sama membentuk segitiga sama kaki dengan berat. Uji dari setiap jawaban adalah bahwa segitiga tersebut tertutup; jika tidak, benda tersebut tidak dalam kesetimbangan.
Contoh terpecahkan. Katrol dengan berat yang dapat diabaikan dipegang oleh sebuah pegas. Sebuah kabel tunggal melewati bawah katrol, dan masing-masing sisi kabel membuat sudut $30°$ terhadap vertikal. Tegangan dalam kabel adalah $T = 60\ \text{N}$. Tentukan gaya dari pegas dan perpanjangan pegas, given konstanta pegasnya adalah $2000\ \text{N m}^{-1}$.
Katrol yang dipegang oleh pegas: dua tegangan dalam satu kabel adalah sama, dan gaya pegas menyeimbangkan komponen vertikal mereka
Karena ini adalah kabel yang berkelanjutan, tegangan sama di kedua sisi. Dua tegangan menarik ke bawah dan ke luar; komponen horizontalnya saling meniadakan dan komponen vertikalnya menjumlah, sehingga pegas harus menarik ke atas dengan $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. Dari hukum Hooke (topik 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Jika sudut terhadap vertikal membesar, $\cos\theta$ turun, sehingga gaya pegas dan perpanjangannya turun: kabel menarik lebih banyak ke samping dan kurang ke atas.
Explore · Jelajahi
Forces in equilibrium · Gaya dalam kesetimbangan
When forces are balanced the resultant is zero — the vectors form a closed loop. Drag the arrows to keep them cancelling. · Ketika gaya seimbang, resultannya nol — vektor-vektornya membentuk loop tertutup. Seret panah agar tetap saling meniadakan.
derive, from the definitions of pressure and density, the equation for hydrostatic pressure$\Delta p = \rho g \Delta h$
use the equation $\Delta p = \rho g \Delta h$
understand that the upthrust acting on an object in a fluid is due to a difference in hydrostatic pressure
calculate the upthrust acting on an object in a fluid using the equation $F = \rho g V$ (Archimedes' principle)
Bahasa Indonesia
definisikan dan gunakan kepadatan
definisikan dan gunakan tekanan
turunkan, dari definisi tekanan dan kepadatan, persamaan untuk tekanan hidrostatik$\Delta p = \rho g \Delta h$
gunakan persamaan $\Delta p = \rho g \Delta h$
pahami bahwa gaya apung yang bekerja pada benda dalam fluida disebabkan oleh perbedaan tekanan hidrostatik
hitung gaya apung yang bekerja pada benda dalam fluida menggunakan persamaan $F = \rho g V$ (Prinsip Archimedes)
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
English
Density 密度 is the mass per unit volume:
$$\rho = \frac{m}{V}.$$
Unit: $\text{kg m}^{-3}$ (or $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). Density is a scalar 标量.
Some useful densities to know:
water: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
air at room conditions: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
iron / steel: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$
Measuring density is a practical question in disguise. For a cuboid, measure the mass on a balance and the three side lengths with a rule or calipers, then $\rho = m / (xyz)$. Because density is a product and quotient, the percentage uncertainty in $\rho$ is the sum of the percentage uncertainties in $m$, $x$, $y$ and $z$ (topic 1). A zero error on the balance, or a rule whose end is worn, is a systematic error; repeating the readings does not remove it, but subtracting the zero reading does.
Worked example. A block has mass $(120 \pm 1)\ \text{g}$ and sides $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ and $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Find its density and the percentage uncertainty.
$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. The percentage uncertainties are $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ and $5.0\%$, so the density is uncertain by $12\%$, about $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. The shortest side contributes most, which is why a question asks which measurement to improve first.
Bahasa Indonesia
Gunung es mengapung dengan sebagian besar volumenya tersembunyi: es sedikit kurang padat daripada air.
udara pada kondisi ruang: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
besi / baja: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$
Mengukur kepadatan adalah soal praktik yang disembunyikan. Untuk balok persegi panjang, ukur massanya menggunakan neraca dan tiga panjang sisinya dengan penggaris atau jangka sorong, lalu $\rho = m / (xyz)$. Karena kepadatan adalah hasil kali dan hasil bagi, ketidakpastian persentase dalam $\rho$ adalah jumlah dari ketidakpastian persentase dalam $m$, $x$, $y$ dan $z$ (topik 1). Kesalahan nol pada neraca, atau penggaris yang ujungnya aus, adalah kesalahan sistematis; mengulang pembacaan tidak menghapusnya, tetapi mengurangi pembacaan nol dapat melakukannya.
Contoh terpecahkan. Sebuah balok memiliki massa $(120 \pm 1)\ \text{g}$ dan sisi-sisi $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ dan $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Temukan kepadatannya dan ketidakpastian persentasenya.
$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. Ketidakpastian persentasenya adalah $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ dan $5.0\%$, sehingga kepadatannya tidak pasti sebesar $12\%$, sekitar $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. Sisi terpendek memberikan kontribusi terbesar, itulah sebabnya pertanyaan meminta pengukuran mana yang perlu diperbaiki terlebih dahulu.
Pressure 压强 is the force per unit area, where the force acts at right angles to the surface:
$$p = \frac{F}{A}.$$
Unit: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. Pressure is a scalar.
The force is the one pressing at right angles to the surface, and the area is the area of contact. A tree trunk of weight $9.0\ \text{kN}$ standing on a post of diameter $0.28\ \text{m}$ presses with $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; the same weight on a wider post gives a smaller pressure. Convert diameters to radii, and centimetres to metres, before squaring.
Hydrostatic pressure
Take a column of fluid 流体 with density $\rho$, cross-sectional area 横截面积$A$ and height $\Delta h$. Its weight is
$$W = m g = (\rho \cdot A \cdot \Delta h) \cdot g.$$
This weight presses down on the area $A$ at the bottom, so the extra pressure at the bottom compared with the top is
$$\Delta p = \frac{W}{A} = \rho g \Delta h.$$
This is the hydrostatic pressure 流体静压强 equation. It depends only on the density of the fluid and the depth 深度 — the shape of the container does not matter.
Worked example. Find the extra pressure due to the water at the bottom of a swimming pool $2.5\ \text{m}$ deep. (Water density $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)
$$\Delta p = \rho g \Delta h = 1000 \times 9.81 \times 2.5 \approx 2.5 \times 10^{4}\ \text{Pa}.$$
For a submarine at depth $h$ below the surface, the pressure from the water is $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. For the total pressure, add the atmospheric pressure 大气压强 at the surface (about $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).
Upthrust and Archimedes' principle
When an object is submerged 浸没 in a fluid, the pressure at the bottom of the object is greater than the pressure at the top (by $\rho g \Delta h$, where $\Delta h$ is the object's height). This difference gives a net upward force called the upthrust 浮力.
For an object of volume $V$ (the volume of fluid displaced 排开), the upthrust is
This is Archimedes' principle 阿基米德原理: the upthrust on a body in a fluid equals the weight of the fluid it pushes aside.
Worked example. A metal block of volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ is fully submerged in water. Find the upthrust on it. (Water density $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)
For a fully submerged object, $V$ is its full volume. For a floating 漂浮 object, $V$ is only the volume below the surface — the object floats when the upthrust on the part below the surface equals its weight.
Whether an object floats at all depends on densities: for a fully submerged object the ratio of upthrust to weight is $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, so it floats if it is less dense than the fluid and sinks if it is denser. Halving the object's density doubles that ratio; changing its volume or the depth changes nothing.
Worked example. A cylinder of mass $11\ \text{kg}$ and diameter $0.78\ \text{m}$ floats upright in water of density $990\ \text{kg m}^{-3}$. Find the depth $y$ of its base below the surface.
Floating means upthrust $=$ weight. The submerged volume is the base area times the depth, $A y$, with $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:
$$\rho g A y = m g \quad\Rightarrow\quad y = \frac{m}{\rho A} = \frac{11}{990 \times 0.478} = 0.023\ \text{m}.$$
Each extra newton of load on the cylinder needs an extra $1 / (\rho g A)$ of depth, so the depth rises in a straight line with the added weight, wherever on the cylinder it is placed.
Force balance with upthrust
A block held under water by a string tied to the bottom of the container is in equilibrium under three vertical forces: weight (down), tension 张力 (down), upthrust (up). Set $F_{\text{upthrust}} = W + T$ to find the tension.
A submerged block hanging from a newton meter 弹簧测力计 reads less than its weight in air, because of the upthrust: reading $= W - F_{\text{upthrust}}$.
Worked example. A cylinder of weight $25.0\ \text{N}$ hangs from a newton meter fully submerged in water, and the meter reads $10.0\ \text{N}$. Find the volume of the cylinder.
The upthrust is the missing $15.0\ \text{N}$, and upthrust $= \rho g V$, so $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. The same method finds the density of the cylinder: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.
The upthrust depends on the fluid density and the displaced volume, not on the object's material or depth (for an incompressible 不可压缩 fluid). On a planet with smaller $g$, the upthrust is smaller in the same ratio as the weight, so a floating object still floats with the same fraction below the surface.
Bahasa Indonesia
Tekanan adalah gaya per satuan luas, di mana gaya tersebut bekerja tegak lurus terhadap permukaan:
$$p = \frac{F}{A}.$$
Satuan: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. Tekanan adalah besaran skalar.
Gaya adalah gaya yang menekan tegak lurus terhadap permukaan, dan luas adalah area kontak. Batang pohon dengan berat $9.0\ \text{kN}$ berdiri di atas tiang berdiameter $0.28\ \text{m}$ menekan dengan $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; berat yang sama di atas tiang yang lebih lebar menghasilkan tekanan yang lebih kecil. Ubah diameter menjadi jari-jari, dan sentimeter menjadi meter, sebelum dikuadratkan.
Ambil kolom fluida dengan kepadatan $\rho$, luas penampang$A$ dan tinggi $\Delta h$. Beratnya adalah
$$W = m g = (\rho \cdot A \cdot \Delta h) \cdot g.$$
Berat ini menekan ke bawah pada area $A$ di bagian bawah, sehingga tambahan tekanan di bagian bawah dibandingkan dengan bagian atas adalah
$$\Delta p = \frac{W}{A} = \rho g \Delta h.$$
Ini adalah persamaan tekanan hidrostatik. Ini hanya bergantung pada kepadatan fluida dan kedalaman — bentuk wadah tidak berpengaruh.
Contoh terpecahkan. Temukan tambahan tekanan akibat air di dasar kolam renang $2.5\ \text{m}$ dalam. (Kepadatan air $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)
$$\Delta p = \rho g \Delta h = 1000 \times 9.81 \times 2.5 \approx 2.5 \times 10^{4}\ \text{Pa}.$$
Kolom cairan dengan luas $A$: beratnya menentukan tambahan tekanan pada kedalaman di bawahnya
Untuk kapal selam pada kedalaman $h$ di bawah permukaan, tekanan dari air adalah $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Untuk tekanan total, tambahkan tekanan atmosfer di permukaan (sekitar $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).
Gaya apung dan Prinsip Archimedes
Ketika suatu benda tercelup dalam fluida, tekanan di bagian bawah benda lebih besar daripada tekanan di bagian atas (selisih $\rho g \Delta h$, di mana $\Delta h$ adalah tinggi benda). Perbedaan ini menghasilkan gaya bersih ke atas yang disebut gaya apung.
Gaya apung muncul karena tekanan pada bagian bawah benda lebih besar daripada pada bagian atas
Untuk benda dengan volume $V$ (volume fluida yang dipindahkan), gaya apungnya adalah
Ini adalah prinsip Archimedes: gaya apung pada sebuah benda dalam fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkannya.
Contoh terpecahkan. Sebuah balok logam dengan volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ dicelupkan sepenuhnya dalam air. Tentukan gaya apung yang bekerja padanya. (Kerapatan air $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)
Untuk benda yang tercelup sepenuhnya, $V$ adalah volumenya seluruhnya. Untuk benda yang mengapung, $V$ hanyalah volume di bawah permukaan — benda mengapung ketika gaya apung pada bagian di bawah permukaan sama dengan beratnya.
Apakah suatu benda dapat mengapung atau tidak bergantung pada kerapatan: untuk benda yang tercelup sepenuhnya rasio antara gaya apung terhadap berat adalah $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, sehingga benda tersebut akan mengapung jika kerapatannya lebih rendah dari fluida dan tenggelam jika lebih tinggi. Mengurangi setengah kerapatan benda menggandakan rasio tersebut; mengubah volumenya atau kedalaman tidak mengubah apa-apa.
Contoh terpecahkan. Sebuah silinder dengan massa $11\ \text{kg}$ dan diameter $0.78\ \text{m}$ mengapung tegak di dalam air dengan kerapatan $990\ \text{kg m}^{-3}$. Tentukan kedalaman $y$ dasar silinder di bawah permukaan.
Mengapung berarti gaya apung $=$ berat. Volume yang tercelup adalah luas alas dikalikan kedalaman, $A y$, dengan $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:
$$\rho g A y = m g \quad\Rightarrow\quad y = \frac{m}{\rho A} = \frac{11}{990 \times 0.478} = 0.023\ \text{m}.$$
Setiap新增 newton beban pada silinder memerlukan tambahan $1 / (\rho g A)$ kedalaman, sehingga kedalaman meningkat secara linear seiring bertambahnya beban, di mana pun beban tersebut diletakkan pada silinder.
Benda yang mengapung akan tenggelam hingga gaya apung pada bagian yang tercelup sama dengan beratnya
Keseimbangan gaya dengan gaya apung
Sebuah balok yang diikat di bawah air oleh tali yang diikatkan ke dasar wadah berada dalam kesetimbangan di bawah tiga gaya vertikal: berat (ke bawah), tegangan (ke bawah), gaya apung (ke atas). Tetapkan $F_{\text{upthrust}} = W + T$ untuk menemukan tegangan.
Sebuah balok tercelup yang digantung pada neraca pegas menunjukkan bacaan kurang dari beratnya di udara, karena adanya gaya apung: bacaan $= W - F_{\text{upthrust}}$.
Contoh terpecahkan. Sebuah silinder dengan berat $25.0\ \text{N}$ digantung pada neraca pegas dan dicelupkan sepenuhnya dalam air, dan meter menunjukkan $10.0\ \text{N}$. Tentukan volume silinder tersebut.
Gaya apung adalah kekurangan $15.0\ \text{N}$, dan gaya apung $= \rho g V$, sehingga $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Metode yang sama digunakan untuk mencari kerapatan silinder: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.
Gaya apung bergantung pada kerapatan fluida dan volume yang dipindahkan, bukan pada material benda atau kedalaman (untuk fluida tak termampatkan). Di planet dengan gravitasi $g$ yang lebih kecil, gaya apung juga lebih kecil dalam rasio yang sama dengan berat, sehingga benda yang mengapung tetap mengapung dengan fraksi yang sama di bawah permukaan.
Explore · Jelajahi
Pressure with depth · Tekanan dengan kedalaman
p = ρg·h
Pressure is proportional to depth — the gradient is ρg. · Tekanan berbanding lurus dengan kedalaman — gradiennya adalah ρg.
Definitions the examiner accepts · Definisi yang diterima oleh penguji
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
centre of gravity
the point at which the whole weight of an object may be considered to act
moment of a force
the product of the force and the perpendicular distance from the point to the line of action of the force
couple
a pair of equal and opposite forces whose lines of action do not coincide, which produces rotation only
torque of a couple
the product of one of the forces and the perpendicular distance between the lines of action of the forces
principle of moments
for a body in equilibrium, the sum of the clockwise moments about any point equals the sum of the anticlockwise moments about that point
equilibrium
the state of a body on which the resultant force and the resultant torque are both zero
density
mass per unit volume
pressure
force per unit area, where the force acts at right angles to the surface
upthrust
the upward force on a body in a fluid caused by the pressure being greater on its lower surface than on its upper surface
Archimedes' principle
the upthrust on a body in a fluid is equal to the weight of the fluid displaced by the body
Bahasa Indonesia
Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.
Istilah
Definisi
titik berat
titik di mana seluruh berat benda dapat dianggap bekerja
momen gaya
hasil kali gaya dan jarak tegak lurus dari titik ke garis kerja gaya
sepasang gaya
sepasang gaya yang sama besar dan berlawanan arah whose lines of action do not coincide, which produces rotation only
torsi dari sepasang gaya
hasil kali salah satu gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja kedua gaya tersebut
prinsip momen
untuk benda dalam kesetimbangan, jumlah momen searah jarum jam tentang titik manapun sama dengan jumlah momen berlawanan arah jarum jam tentang titik itu
kesetimbangan
keadaan benda di mana resultan gaya dan resultan torsi keduanya nol
kerapatan
massa per satuan volume
tekanan
gaya per satuan area, di mana gaya bekerja tegak lurus terhadap permukaan
gaya apung
gaya ke atas pada benda dalam fluida yang disebabkan oleh tekanan yang lebih besar pada permukaannya yang bawah dibandingkan permukaannya yang atas
prinsip Archimedes
gaya apung pada benda dalam fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut
4.3
Exam tips · Tips ujian
English
Take moments about a chosen pivot; for equilibrium, total clockwise $=$ total anticlockwise moments and the resultant force is zero.
A body in equilibrium under three forces gives a closed triangle of forces.
Fluid pressure $= \rho g h$; upthrust $=$ weight of fluid displaced (Archimedes).
Distinguish mass, weight and density, and give the base unit each time.
Common mistakes
Resolving with $\cos\theta$ where the geometry needs $\sin\theta$. Draw the triangle and check which side the angle is next to before choosing.
Substituting the weight of the object where the question is about the upthrust on it. Upthrust is the weight of the fluid displaced, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
Leaving out the weight of a uniform beam. It acts at the centre, and it has a moment about any pivot that is not at the centre.
Using the distance along the rod for an angled force. The moment needs the perpendicular distance, or the perpendicular component of the force.
Taking the torque of a couple as $Fd$ with $d$ measured from the pivot. The distance is between the two lines of action, so a symmetric couple gives $2Fd$.
Bahasa Indonesia
Ambil torsi terhadap titik tumpu yang dipilih; untuk kesetimbangan, total torsi searah jarum jam $=$ total torsi berlawanan arah jarum jam dan resultan gaya adalah nol.
Benda dalam kesetimbangan di bawah tiga gaya membentuk segitiga gaya tertutup.
Tekanan fluida $= \rho g h$; gaya apung $=$ berat fluida yang dipindahkan (Archimedes).
Bedakan massa, berat, dan kerapatan, serta berikan satuan dasar masing-masing setiap kali.
Kesalahan umum
Resolusi dengan $\cos\theta$ di mana geometri membutuhkan $\sin\theta$. Gambar segitiganya dan periksa sisi mana sudutnya berada sebelum memilih.
Mengganti berat benda di tempat pertanyaan berkaitan dengan gaya apung padanya. Gaya apung adalah berat fluida yang dipindahkan, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
Melewatkan berat balok seragam. Beratnya bekerja di tengah, dan memiliki momen tentang titik tumpu manapun yang bukan di tengah.
Menggunakan jarak sepanjang batang untuk gaya miring. Momen memerlukan jarak tegak lurus, atau komponen tegak lurus dari gaya.
Mengambil torsi sepasang gaya sebagai $Fd$ dengan $d$ diukur dari titik tumpu. Jaraknya adalah antara dua garis kerja, jadi sepasang gaya simetris memberikan $2Fd$.
Interactive lessons on this topic · Pelajaran interaktif untuk topik ini
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Pilih satu dan situs mengikuti Anda — catatan, kertas, video, dan latihan semua terbuka di sana.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Ketik untuk mencari catatan, pelajaran, kode, kosakata, dan pertanyaan soal lama di setiap mata pelajaran.
*Pasangan gaya: dua gaya yang sama besar dan berlawanan, terpisah jarak, menghasilkan torsi
