Mathématiques IGCSE · Topic 3 · Sujet 3
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Géométrie analytique
Regardez une ville comme celle-ci depuis le haut et chaque coin de rue a une adresse : tant de blocs de large, tant de blocs de haut. Deux nombres, et vous savez exactement où vous…
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This handout covers Topic 3, Coordinate geometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels.
Cette fiche couvre le Sujet 3, Géométrie analytique. Les parties marquées (Étendu) ne sont testées que sur les papers Étendus ; tout le reste est pour les deux niveaux.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use and interpret Cartesian coordinates in two dimensions. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Utiliser et interpréter les coordonnées cartésiennes en deux dimensions. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A point on a graph is described by its coordinates 坐标, sometimes called Cartesian coordinates, written $(x, y)$. The first number is the across value and the second is the up value.
So the point $(3, -2)$ is found by going $3$ to the right and $2$ down.
Un point sur un graphique est décrit par ses coordonnées 坐标, parfois appelées coordonnées cartésiennes, notées $(x, y)$. Le premier nombre est la valeur horizontale et le second est la valeur verticale.
Ainsi, le point $(3, -2)$ se trouve en allant $3$ vers la droite et $2$ vers le bas.
y = mx + c
Chaque point a des coordonnées (x, y). Une ligne droite est l'ensemble des points où y dépend de x d'une manière fixe.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | 坐标 | zuò biāo |
| axes/ˈæksɪz/ | 坐标轴 | zuò biāo zhóu |
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | 水平 | shuǐ píng |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | 竖直 | shù zhí |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | 原点 | yuán diǎn |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | 象限 | xiàng xiàn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'un graphique linéaire sous la forme $y = mx + c$. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous les formes $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine $y$ d'un graphique à partir d'une équation, ex. : trouver la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite ayant l'équation $y = 6x + 3$. Les candidats sont attendus de donner les équations d'une droite sous leur forme entièrement simplifiée. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'une droite. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous différentes formes, ex. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine ($y$) d'un graphique à partir d'une équation, ex. trouver la pente et l'ordonnée à l'origine ($y$) du graphique d'équation $5x + 4y = 8$. Les candidats sont attendus de donner des équations de droites sous une forme entièrement simplifiée. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Most straight lines can be written as
where $m$ is the gradient 斜率 (steepness) and $c$ is the intercept 截距 — the $y$-value where the line crosses the $y$-axis.
A line may also be given as $ax + by = c$. Rearrange it into $y = mx + c$ to read off the gradient and intercept.
Worked example. Find the gradient and $y$-intercept of $5x + 4y = 8$.
So the gradient is $-\tfrac{5}{4}$ and the $y$-intercept is $2$.
La plupart des droites peuvent s'écrire sous la forme
où $m$ est la pente 斜率 (raideur) et $c$ est l'ordonnée à l'origine 截距 — la valeur $y$ où la droite coupe l'axe $y$.
Une droite peut aussi être donnée sous la forme $ax + by = c$. Réarrangez-la en $y = mx + c$ pour lire la pente et l'ordonnée à l'origine.
Exemple résolu. Trouvez la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de $5x + 4y = 8$.
Donc la pente est $-\tfrac{5}{4}$ et l'ordonnée à l'origine $y$ est $2$.
y = ax + b
Faites glisser la pente et l'ordonnée à l'origine. a est la pente (raideur) et b est l'endroit où la ligne croise l'axe y.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient of a straight line. | From a grid only. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente d'une droite. | À partir d'une grille uniquement. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Find the gradient of a straight line. | |
| 2 Calculate the gradient of a straight line from the coordinates of two points on it. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Trouver la pente d'une droite. | |
| 2 Calculer la pente d'une droite à partir des coordonnées de deux points situés dessus. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
The gradient measures how steep a line is:
A positive gradient goes up to the right; a negative gradient goes down to the right.
Worked example. Find the gradient of the line through $(1, 2)$ and $(4, 11)$.
La pente mesure la raideur d'une droite :
Une pente positive monte vers la droite ; une pente négative descend vers la droite.
Exemple résolu. Trouvez la pente de la droite passant par $(1, 2)$ et $(4, 11)$.
y = ax + b
Le gradient a mesure la raideur — élévation sur course.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 斜率 | xié lǜ |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | 截距 | jié jù |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | 数值表 | shù zhí biǎo |
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | 线段 | xiàn duàn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Equations will be given in the form $y = mx + c$ (e.g. $y = -2x + 5$), unless a table of values is given. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Tracer des droites pour des équations linéaires. | Les équations seront données sous la forme $y = mx + c$ (ex. : $y = -2x + 5$), sauf si un tableau de valeurs est fourni. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Draw straight-line graphs for linear equations. | Examples include: • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Tracer des droites pour des équations linéaires. | Exemples : • $y = -2x + 5$ • $y = 7 - 4x$ • $3x + 2y = 5$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
To draw $y = mx + c$, the quickest way is:
You can also make a small table of values 数值表: choose two or three $x$-values, work out $y$, and plot the points.
Pour tracer $y = mx + c$, la méthode la plus rapide consiste à :
Vous pouvez également faire un petit tableau de valeurs 数值表 : choisissez deux ou trois valeurs $x$, calculez $y$, et tracez les points.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph in the form $y = mx + c$. | Questions may: • use and request lines in the forms $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with the equation $y = 6x + 3$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'un graphique linéaire sous la forme $y = mx + c$. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous les formes $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine $y$ d'un graphique à partir d'une équation, ex. : trouver la pente et l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite ayant l'équation $y = 6x + 3$. Les candidats sont attendus de donner les équations d'une droite sous leur forme entièrement simplifiée. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Interpret and obtain the equation of a straight-line graph. | Questions may: • use and request lines in different forms, e.g. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • involve finding the equation when the graph is given • ask for the gradient or $y$-intercept of a graph from an equation, e.g. find the gradient and $y$-intercept of the graph with equation $5x + 4y = 8$. Candidates are expected to give equations of a line in a fully simplified form. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Interpréter et obtenir l'équation d'une droite. | Les questions peuvent : • utiliser et demander des droites sous différentes formes, ex. $ax + by = c$, $y = mx + c$, $x = k$ • impliquer la recherche de l'équation lorsque le graphique est donné • demander la pente ou l'ordonnée à l'origine ($y$) d'un graphique à partir d'une équation, ex. trouver la pente et l'ordonnée à l'origine ($y$) du graphique d'équation $5x + 4y = 8$. Les candidats sont attendus de donner des équations de droites sous une forme entièrement simplifiée. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
If you know the gradient $m$ and one point on the line, put the point into $y = mx + c$ to find $c$.
Worked example. A line has gradient $3$ and passes through $(1, 2)$. Find its equation.
So the equation is $y = 3x - 1$. (If you are given two points, first find the gradient, then do this.)
Si vous connaissez la pente $m$ et un point sur la droite, remplacez le point dans $y = mx + c$ pour trouver $c$.
Exemple résolu. Une droite a une pente $3$ et passe par $(1, 2)$. Trouvez son équation.
L'équation est donc $y = 3x - 1$. (Si on vous donne deux points, trouvez d'abord la pente, puis faites cela.)
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Calculate the length of a line segment. | |
| 2 Find the coordinates of the midpoint of a line segment. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Calculer la longueur d'un segment de droite. | |
| 2 Trouver les coordonnées du milieu d'un segment de droite. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
A line segment 线段 is the straight piece between two points.
To find the length 长度 of the segment between $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$, use Pythagoras' theorem 勾股定理 on the horizontal and vertical gaps:
To find the midpoint 中点 (the point exactly in the middle), average the coordinates:
Worked example. Find the length and midpoint of the segment from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
Un segment de droite 线段 est la portion droite entre deux points.
Pour trouver la longueur 长度 du segment entre $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, utilisez le théorème de Pythagore 勾股定理 sur les écarts horizontal et vertical :
Pour trouver le milieu 中点 (le point exactement au centre), faites la moyenne des coordonnées :
Exemple résolu. Trouvez la longueur et le milieu du segment reliant $(1, 2)$ à $(4, 6)$.
le milieu est à mi-chemin entre les extrémités
Bougez le long d'un segment et voyez le milieu comme étant à mi-chemin.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| length/leŋθ/ | 长度 | cháng dù |
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | 勾股定理 | gōu gǔ dìng lǐ |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 | zhōng diǎn |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line parallel to a given line. | e.g. find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente et l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée. | Ex. : trouver l'équation de la droite parallèle à $y = 4x - 1$ passant par $(1, -3)$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Parallel 平行 lines never meet, so they have the same gradient.
Worked example. Find the equation of the line parallel to $y = 4x - 1$ that passes through $(1, -3)$.
The gradient is also $4$. Put the point in:
so the line is $y = 4x - 7$.
Des droites parallèles 平行 ne se rencontrent jamais, donc elles ont la même pente.
Exemple résolu. Trouvez l'équation de la droite parallèle à $y = 4x - 1$ qui passe par $(1, -3)$.
La pente est aussi $4$. Remplacez le point :
donc la droite est $y = 4x - 7$.
y = ax + b
Parallèle lignes partagent un gradient ; perpendiculaire gradients multiplient à −1.
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Find the gradient and equation of a straight line perpendicular to a given line. | Examples include: • find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$ • find the equation of the perpendicular bisector of the line joining the points $(-3, 8)$ and $(9, -2)$. |
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Trouver la pente et l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée. | Exemples : • trouver la pente d'une droite perpendiculaire à $2y = 3x + 1$ • trouver l'équation de la médiatrice de la droite reliant les points $(-3, 8)$ et $(9, -2)$. |
Source: Cambridge International syllabus · Source : Programme Cambridge International
Two lines are perpendicular 垂直 if they meet at a right angle 直角. Their gradients multiply to $-1$:
In words: flip the fraction and change the sign.
Worked example. Find the gradient of a line perpendicular to $2y = 3x + 1$.
Rearrange: $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, so the gradient is $\tfrac{3}{2}$. The perpendicular gradient is $-\tfrac{2}{3}$.
The perpendicular bisector 垂直平分线 of a segment cuts it in half at a right angle. To find its equation: get the midpoint, then use the perpendicular gradient through that midpoint.
Worked example. Find the perpendicular bisector of the segment joining $(-3, 8)$ and $(9, -2)$.
Through $(3, 3)$: $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. So the bisector is
Deux droites sont perpendiculaires 垂直 si elles se coupent à un angle droit 直角. Le produit de leurs pentes est $-1$ :
En mots : inverser la fraction et changer le signe.
Exemple résolu. Trouvez la pente d'une droite perpendiculaire à $2y = 3x + 1$.
Réarranger : $y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$, donc la pente est $\tfrac{3}{2}$. La pente perpendiculaire est $-\tfrac{2}{3}$.
La médiatrice 垂直平分线 d'un segment le coupe en deux à angle droit. Pour trouver son équation : obtenez le milieu, puis utilisez la pente perpendiculaire passant par ce milieu.
Exemple résolu. Trouvez la médiatrice du segment reliant $(-3, 8)$ et $(9, -2)$.
Passant par $(3, 3)$ : $\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$. Donc la médiatrice est
| English · Anglais | Chinese · Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 | chuí zhí |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | 直角 | zhí jiǎo |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直平分线 | chuí zhí píng fēn xiàn |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
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