Cette fiche couvre le Sujet 7, Transformations et vecteurs. Les parties marquées (Étendu) ne sont testées que dans les examens Étendus ; tout le reste est pour les deux niveaux. Le sujet des vecteurs dans son ensemble est Étendu.
Transformations et vecteurs
Mathématiques IGCSE · Sujet 7
7:56
Transformations et vecteurs
Regardez ce mur. Il semble compliqué — des centaines de formes emboîtées. Mais personne n'a dessiné chaque pièce. Quelqu'un a dessiné une petite forme, puis l'a déplacée encore…
Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés
7.1
Transformations
Programme
| Contenu subjectif | Notes et exemples |
|---|---|
| Reconnaître, décrire et tracer les transformations suivantes : | Les questions ne concerneront pas des combinaisons de transformations. Une règle doit être utilisée pour tous les bords droits. |
| 1 Reflection d'une forme dans une ligne verticale ou horizontale. | |
| 2 Rotation d'une forme autour de l'origine, des sommets ou des milieux des arêtes de la forme, par des multiples de 90°. | |
| 3 Agrandissement d'une forme à partir d'un centre par un facteur d'échelle. | Facteurs d'échelle positifs et fractionnaires uniquement. |
| 4 Translation d'une forme par un vecteur $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformations | Notes et exemples |
|---|---|
| Reconnaître, décrire et tracer les transformations suivantes : | Les questions peuvent impliquer des combinaisons de transformations. Une règle doit être utilisée pour tous les segments droits. |
| 1 Réflexion d'une forme dans une ligne droite. | |
| 2 Rotation d'une forme autour d'un centre par des multiples de 90°. | |
| 3 Agrandissement d'une forme à partir d'un centre selon un facteur d'échelle. | Des facteurs d'échelle positifs, fractionnaires et négatifs peuvent être utilisés. |
| 4 Translation d'une forme par un vecteur $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
Source : Programme Cambridge International
Une transformation 变换 change la position ou la taille d'une forme. L'original est l'objet et le résultat est l'image. Il y a quatre types. Lorsqu'on demande de décrire une transformation, il faut nommer le type et donner tous les détails ci-dessous.
Réflexion
Une réflexion 反射 retourne la forme sur une ligne miroir 对称轴. Chaque point image est à la même distance de la ligne que le point objet, de l'autre côté.
- Pour le décrire, donnez l'équation de la droite miroir (pour Core, une ligne horizontale ou verticale ; Extended permet toute ligne telle que $y = x$).
Exemple résolu. Reflétez le point $(3, 2)$ par rapport à l'axe $y$. Seul le signe de $x$ change : l'image est $(-3, 2)$. (Sur l'axe $x$ ce serait $(3, -2)$.)
Rotation
Une rotation 旋转 fait pivoter la forme autour d'un point fixe, le centre 中心 de rotation, par des multiples de $90^{\circ}$.
- Pour la décrire, donnez le centre, l'angle et la direction (horaire ou antihoraire).
Exemple résolu. Faites tourner $(3, 1)$ de $90^{\circ}$ dans le sens antihoraire autour de l'origine. La règle est $(x, y) \to (-y, x)$, donc l'image est $(-1, 3)$.
Agrandissement
Un agrandissement 放大 change la taille par un facteur d'échelle 比例因子 $k$, mesuré depuis un centre fixe. Chaque distance du centre est multipliée par $k$.
- Pour le décrire, donnez le centre et le facteur d'échelle. Un facteur d'échelle fractionnaire (entre 0 et 1) rend la forme plus petite. Pour Étendu, $k$ peut aussi être négatif (l'image apparaît de l'autre côté du centre).
Exemple résolu. Agrandissez $(1, 2)$ depuis l'origine avec un facteur d'échelle $2$. Multipliez les deux coordonnées : l'image est $(2, 4)$.
Traduction
Une translation 平移 glisse la forme sans la tourner, selon un vecteur 向量 écrit sous forme de vecteur colonne 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ vers la droite, $y$ vers le haut).
Exemple résolu. Translatez $(5, 3)$ de $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ : déplacez $2$ vers la gauche et $4$ vers le haut pour obtenir $(3, 7)$.
(Étendu : une question peut demander de combiner deux transformations et de décrire la transformation unique ayant le même effet.)
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Transformation d'une forme
Traduisez, réfléchissez, rotatez ou agrandissez la forme et regardez où elle atterrit.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 变换 | biàn huàn |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| mirror line/ˈmɪrə laɪn/ | 对称轴 | duì chèn zhóu |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | 旋转 | xuán zhuǎn |
| centre/ˈsentə/ | 中心 | zhōng xīn |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 放大 | fàng dà |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | 比例因子 | bǐ lì yīn zi |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | 平移 | píng yí |
7.2
Vecteurs en deux dimensions (Étendu)
Programme
| Vecteurs en deux dimensions | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Décrire une translation à l'aide d'un vecteur représenté par $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ ou $\mathbf{a}$. | Les vecteurs seront imprimés sous la forme $\overrightarrow{AB}$ ou $\mathbf{a}$. |
| 2 Additionner et soustraire des vecteurs. | |
| 3 Multiplier un vecteur par un scalaire. |
Source : Programme Cambridge International
Un vecteur a à la fois une grandeur et une direction. Il peut s'écrire sous forme de vecteur colonne, comme $\overrightarrow{AB}$ (de $A$ à $B$), ou en gras comme $\mathbf{a}$.
- Ajouter ou soustraire en travaillant séparément sur les nombres du haut et du bas.
- Multiplier par un scalaire 标量 (un nombre ordinaire) en multipliant les deux nombres.
Exemple résolu. Oui $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, alors
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad 3\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
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Addition de vecteurs
Faites glisser deux vecteurs et ajoutez-les bout à bout pour obtenir le résultant.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| vector/ˈvektə/ | 向量 | xiàng liàng |
| column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/ | 列向量 | liè xiàng liàng |
| scalar/ˈskeɪlə/ | 标量 | biāo liàng |
7.3
Grandeur d'un vecteur (Étendu)
Programme
| Module d'un vecteur | Notes et exemples |
|---|---|
| Calculer le module d'un vecteur $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ comme $\sqrt{x^2 + y^2}$. | Les modules des vecteurs sont désignés par des barres de module, ex. : • $|\mathbf{a}|$ est le module de $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ est le module de $\overrightarrow{AB}$. |
Source : Programme Cambridge International
La grandeur 模 (longueur) d'un vecteur se trouve avec Pythagore. Pour $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.$$
Exemple résolu. La grandeur de $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ est $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Vocabulaire
Entrainer
| Anglais | Chinois | Pinyin |
|---|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 模 | mó |
| directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/ | 有向线段 | yǒu xiàng xiàn duàn |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | 位置向量 | wèi zhì xiàng liàng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | 共线 | gòng xiàn |
| coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/ | 共面 | gòng miàn |
7.4
Géométrie vectorielle (Étendu)
Programme
| Géométrie vectorielle | Notes et exemples |
|---|---|
| 1 Représenter des vecteurs par des segments orientés. | |
| 2 Utiliser des vecteurs position. | |
| 3 Utiliser la somme et la différence de deux vecteurs ou plus pour exprimer des vecteurs donnés en fonction de deux vecteurs coplanaires. | |
| 4 Utiliser des vecteurs pour raisonner et résoudre des problèmes géométriques. | Exemples incluent : • montrer que des vecteurs sont parallèles • montrer que 3 points sont alignés • résoudre des problèmes vectoriels impliquant des rapports et des similitudes. |
Source : Programme Cambridge International
Un vecteur peut être tracé comme un segment orienté 有向线段 (une flèche). Le vecteur position 位置向量 d'un point est le vecteur allant de l'origine $O$ à ce point.
Une idée clé : le vecteur de $A$ à $B$ est
$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a},$$
où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont les vecteurs positions de $A$ et $B$.
Deux vecteurs sont parallèles 平行 si l'un est un multiple scalaire de l'autre (par exemple $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Trois points sont alignés 共line (sur une même droite) si les vecteurs entre eux sont parallèles et partagent un point. Vous pouvez exprimer n'importe quel vecteur en fonction de deux vecteurs coplanaires 共面.
Exemple résolu. $O$ est l'origine, avec $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ et $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ est le milieu de $AB$. Trouvez $\overrightarrow{OM}$ en fonction de $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$.
$$\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + \tfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}).$$
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Géométrie vectorielle
résultante = a + b
Combinez des vecteurs pour atteindre un point — la résultante est le trajet direct.
7.4
Conseils d'examen
- Décrivez complètement chaque transformation : une translation (un vecteur), une réflexion (la ligne miroir), une rotation (centre, angle et direction), un agrandissement (centre et facteur d'échelle).
- Un facteur d'échelle négatif renverse l'image à travers le centre ; un fractionnaire (entre 0 et 1) la réduit.
- Ajoutez les vecteurs bout à bout — additionnez les nombres du haut, puis ceux du bas. La grandeur d'un vecteur provient de Pythagore appliqué à ses composantes.
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (fin moins début). Deux vecteurs sont parallèles si l'un est un multiple scalaire de l'autre.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.