Trigonométrie

Le théorème de Pythagore 勾股定理 relie les trois côtés d'un triangle rectangle 直角三角形 (un triangle 三角形 avec un angle $90^{\circ}$). Si le côté le plus long (l'hypoténuse 斜边, opposé à l'angle droit) est $c$, alors

Utilisez-le pour trouver un côté manquant.

Exemple résolu. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $13\text{ cm}$ et un petit côté de $5\text{ cm}$. Trouver l'autre petit côté.

Étiquetez les côtés par rapport à l'angle utilisé : l'opposé 对边 (face à l'angle), l'adjacent 邻边 (à côté de l'angle), et l'hypoténuse. Les trois rapports sont le sinus 正弦, le cosinus 余弦 et le tangente ratio 正切 (sin, cos, tan) :

Retenez-les comme SOH-CAH-TOA. Pour trouver un angle, utilisez l'inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).

Exemple résolu (trouver un côté). Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est $10\text{ cm}$ et l'angle est $30^{\circ}$. Trouver le côté opposé.

Exemple résolu (trouver un angle). Le côté opposé est $4\text{ cm}$ et le côté adjacent est $3\text{ cm}$.

L'angle d'élévation 仰角 est l'angle vers le haut depuis l'horizontale jusqu'à un objet au-dessus de vous. L'angle d'abaissement 俯角 est l'angle vers le bas depuis l'horizontale jusqu'à un objet en dessous de vous. La distance la plus courte d'un point à une ligne est la distance perpendiculaire 垂直.

Exemple résolu. D'un point $50\text{ m}$ du pied d'une tour, l'angle d'élévation vers le sommet est $40^{\circ}$. Trouver la hauteur de la tour.

Vous devez connaître ces valeurs exactes sans calculatrice.

Pour $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$ :

• $y = \sin x$ est une onde partant de $0$, atteignant un pic à $90^{\circ}$, revenant à $0$ à $180^{\circ}$, descendant à $-1$ à $270^{\circ}$.
• $y = \cos x$ est la même onde mais partant de $1$.
• $y = \tan x$ monte raide et se répète tous les $180^{\circ}$.

Une équation trigonométrique 三角方程 a souvent plusieurs réponses dans cette plage. Utilisez le graphique (ou la symétrie de l'onde) pour les trouver toutes.

Exemple résolu. Résolvez $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Une réponse est $x = 60^{\circ}$. L'onde sinusoïdale est aussi $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ à $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Donc $x = 60^{\circ}$ ou $120^{\circ}$.

Exemple résolu. Résolvez $2\cos x + 1 = 0$ pour $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.

Pour n'importe quel triangle (pas seulement rectangle), avec des côtés $a, b, c$ opposés aux angles $A, B, C$ :

Utilisez la règle du sinus 正弦定理 lorsque vous avez un côté et son angle opposé. Utilisez la règle du cosinus 余弦定理 lorsque vous avez deux côtés et l'angle compris entre eux, ou les trois côtés. Avec la règle du sinus, faites attention au cas ambigu 两解情况, où un angle peut être aigu ou obtus.

L'aire de n'importe quel triangle est

Exemple résolu. Un triangle a $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ et l'angle compris entre eux $A = 40^{\circ}$. Trouvez le côté $a$.

En trois dimensions, trouvez un triangle rectangle à l'intérieur du solide, puis appliquez Pythagore ou la trigonométrie dessus. Une tâche courante est l'angle entre une ligne et une surface plane (un plan 平面).

Exemple résolu. Une boîte a une base $6\text{ cm}$ par $8\text{ cm}$ et une hauteur $5\text{ cm}$. Trouver l'angle entre une diagonale spatiale et la base.

D'abord la diagonale de la base : $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. Cette diagonale et la hauteur forment un triangle rectangle, donc l'angle $\theta$ avec la base est

• Utilisez Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$) lorsqu'il n'y a pas d'angle ; utilisez SOH-CAH-TOA lorsqu'un angle est impliqué.
• L'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit. Étiquetez les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) par rapport à l'angle utilisé.
• Pour trouver un angle, utilisez l'inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$), et vérifiez que votre calculatrice est réglée sur les degrés.
• Pour un triangle sans angle droit, utilisez la loi des sinus ou la loi des cosinus — la loi des cosinus lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle compris entre eux.