IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨Aperçu de la feuille⁩

Géométrie

Mathématiques IGCSE · Topic 4 · ⁨Sujet 4⁩

Train · ⁨Entrainer⁩
Video lesson for this topic · ⁨Leçon vidéo pour ce sujet⁩ Open the video page · ⁨Ouvrir la page vidéo⁩
13:25

Géométrie

Regardez attentivement une ruche. Chaque alvéole est un hexagone — six côtés droits, tous identiques. Pas des carrés. Pas des pentagones. Des hexagones. Les abeilles n'ont jamais étudié la géométrie, mais…

English narration · English + 中文 subtitles burned in · ⁨Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés⁩

English

This handout covers Topic 4, Geometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. In the exam you must give reasons using the correct names below, not just the numbers.

Français

Cette fiche couvre le Sujet 4, Géométrie. Les parties marquées (Étendu) sont uniquement testées sur les papers Étendus ; tout le reste concerne les deux niveaux. En examen, vous devez donner des raisons en utilisant les noms corrects ci-dessous, pas seulement les nombres.

4.1

Lines and angles · ⁨Droites et angles⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon.
Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • parallèle • perpendiculaire • azimut • angle droit • angles aigus, obtus et réflexifs • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • réseaux • solides simples. Comprend les termes suivants : Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze. Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone.
Solides simples : • cube • parallélépipède • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère (le terme « hémisphère » n'est pas requis) • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Comprend les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc • secteur • segment.
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium.
Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • plan • parallèle • perpendiculaire • médiatrice • cap • angle droit • angles aigus, obtus et réfléchi • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • développés • solides. Inclut les termes suivants. Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze.
Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone. Solides : • cube • parallélépipède rectangulaire • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère • hémisphère • tronc de pyramide/cône • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Inclut les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc majeur et mineur • secteur • segment.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

A corner where two lines meet is a vertex 顶点. Two lines are parallel 平行 if they never meet, and perpendicular 垂直 if they meet at a right angle. Angles are named by their size:

Name Size
acute angle 锐角 less than $90^{\circ}$
right angle 直角 exactly $90^{\circ}$
obtuse angle 钝角 between $90^{\circ}$ and $180^{\circ}$
reflex angle 优角 between $180^{\circ}$ and $360^{\circ}$

We name an angle with three letters, e.g. angle $ABC$ is the angle at $B$.

Français

Un coin où deux droites se rencontrent est un sommet 顶点. Deux droites sont parallèles 平行 si elles ne se rencontrent jamais, et perpendiculaires 垂直 si elles se coupent à angle droit. Les angles sont nommés selon leur taille :

Nom Taille
angle aigu 锐角 inférieur à $90^{\circ}$
angle droit 直角 exactement $90^{\circ}$
angle obtus 钝角 entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$
angle plat/renflé 优角 entre $180^{\circ}$ et $360^{\circ}$
Quatre angles tracés depuis un sommet : un petit angle aigu, un angle droit marqué avec un carré, un angle obtus large, et un angle reflex avec un grand arc
Angles par taille : aigu (sous $90^\circ$), droit ($90^\circ$, montré par un carré), obtus ($90^\circ$–$180^\circ$) et renflé ($180^\circ$–$360^\circ$).

Nous nommons un angle avec trois lettres, ex. l'angle $ABC$ est l'angle au point $B$.

Explore · ⁨Explorer⁩

Forme et angle lab

Classez les faits angulaires selon la caractéristique du diagramme qui les crée.

4.6

Angle facts · ⁨Faits sur les angles⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet sont égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à trois lettres pour les angles est requise, ex. : angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaitre et utiliser les propriétés des angles des polygones réguliers. Comprend les angles extérieurs et intérieurs, ainsi que la somme des angles.
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles autour d'un point sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à 3 lettres pour les angles est requise, ex. angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications pour leurs réponses.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaître et utiliser les propriétés angulaires des polygones réguliers et irréguliers. Inclut les angles extérieurs et intérieurs, et la somme des angles.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

Learn these basic facts. Each one is a valid reason in the exam.

  • Angles at a point add up to $360^{\circ}$.
  • Angles on a straight line add up to $180^{\circ}$.
  • Vertically opposite angles 对顶角 (made by two crossing lines) are equal.

Worked example. Three angles on a straight line are $x$, $50^{\circ}$ and $70^{\circ}$. Find $x$.

$$x + 50 + 70 = 180 \;\Rightarrow\; x = 60^{\circ}.$$
Français

Apprenez ces faits de base. Chacun est une raison valide en examen.

Trois angles a, b et c autour d'un point, où a + b + c = 360 degrés
Les angles autour d'un point totalisent 360 degrés
Deux angles a et b sur une ligne droite, où a + b = 180 degrés
Angles sur une droite totalisent 180 degrés
  • Les angles autour d'un point s'additionnent à $360^{\circ}$.
  • Les angles sur une ligne droite s'additionnent à $180^{\circ}$.
  • Les angles opposés par le sommet 对顶角 (formés par deux droites sécantes) sont égaux.

Exemple résolu. Trois angles sur une ligne droite mesurent $x$, $50^{\circ}$ et $70^{\circ}$. Trouvez $x$.

$$x + 50 + 70 = 180 \;\Rightarrow\; x = 60^{\circ}.$$
Explore · ⁨Explorer⁩

Laboratoire sur les lignes parallèles et les polygones

Choisissez la règle d'angle qui permet de résoudre chaque diagramme.

4.6

Angles in parallel lines · ⁨Angles dans les droites parallèles⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet sont égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à trois lettres pour les angles est requise, ex. : angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaitre et utiliser les propriétés des angles des polygones réguliers. Comprend les angles extérieurs et intérieurs, ainsi que la somme des angles.
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles autour d'un point sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à 3 lettres pour les angles est requise, ex. angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications pour leurs réponses.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaître et utiliser les propriétés angulaires des polygones réguliers et irréguliers. Inclut les angles extérieurs et intérieurs, et la somme des angles.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

When a line crosses two parallel lines:

  • Corresponding angles 同位角 (in matching positions, an "F" shape) are equal.
  • Alternate angles 内错角 (opposite sides of the crossing line, a "Z" shape) are equal.
  • Co-interior angles 同旁内角 (a "C" shape) add up to $180^{\circ}$; we say they are supplementary 互补.

Worked example. A straight line crosses two parallel lines. One angle is $110^{\circ}$. The co-interior angle $y$ satisfies $110 + y = 180$, so $y = 70^{\circ}$.

Français

Lorsqu'une droite traverse deux droites parallèles :

  • Les angles correspondants 同位角 (en positions correspondantes, forme de "F") sont égaux.
  • Les angles alternes-internes 内错角 (côtés opposés de la sécante, forme de "Z") sont égaux.
  • Les angles consécutifs-internes 同旁内角 (forme de "C") s'additionnent à $180^{\circ}$ ; nous disons qu'ils sont supplémentaires 互补.

Exemple résolu. Une ligne droite traverse deux droites parallèles. Un angle mesure $110^{\circ}$. L'angle consécutif-interne $y$ satisfait $110 + y = 180$, donc $y = 70^{\circ}$.

Deux lignes parallèles traversées par une transversale, montrée trois fois : angles correspondants en forme de F, angles alternes en forme de Z, et angles consécutifs intérieurs en forme de C
Angles correspondants (F) et alternes (Z) sont égaux ; les angles consécutifs (C) s'additionnent à $180^\circ$.
Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
vertex/ˈvɜːteks/ 顶点 dǐng diǎn
parallel/ˈpærəlel/ 平行 píng xíng
perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ 垂直 chuí zhí
acute angle/əˈkjuːt ˈæŋɡl/ 锐角 ruì jiǎo
right angle/raɪt ˈæŋɡl/ 直角 zhí jiǎo
obtuse angle/ɒbˈtjuːs ˈæŋɡl/ 钝角 dùn jiǎo
reflex angle/ˈriːfleks ˈæŋɡl/ 优角 yōu jiǎo
vertically opposite angles/ˈvɜːtɪkli ˈɒpəzɪt ˈæŋɡlz/ 对顶角 duì dǐng jiǎo
corresponding angles/ˌkɒrɪˈspɒndɪŋ ˈæŋɡlz/ 同位角 tóng wèi jiǎo
alternate angles/ɔːlˈtɜːnət ˈæŋɡlz/ 内错角 nèi cuò jiǎo
co-interior angles/kəʊ ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡlz/ 同旁内角 tóng páng nèi jiǎo
supplementary/ˌsʌplɪˈmentəri/ 互补 hù bǔ
4.1

Triangles
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon.
Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • parallèle • perpendiculaire • azimut • angle droit • angles aigus, obtus et réflexifs • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • réseaux • solides simples. Comprend les termes suivants : Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze. Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone.
Solides simples : • cube • parallélépipède • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère (le terme « hémisphère » n'est pas requis) • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Comprend les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc • secteur • segment.
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium.
Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • plan • parallèle • perpendiculaire • médiatrice • cap • angle droit • angles aigus, obtus et réfléchi • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • développés • solides. Inclut les termes suivants. Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze.
Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone. Solides : • cube • parallélépipède rectangulaire • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère • hémisphère • tronc de pyramide/cône • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Inclut les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc majeur et mineur • secteur • segment.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

A triangle 三角形 has three sides and angles that add up to $180^{\circ}$.

Type Property
equilateral 等边 all sides equal, all angles $60^{\circ}$
isosceles 等腰 two sides equal, two angles equal
scalene 不等边 all sides and angles different
right-angled has one right angle

Worked example. A triangle has angles $x$, $2x$ and $90^{\circ}$. Find $x$.

$$x + 2x + 90 = 180 \;\Rightarrow\; 3x = 90 \;\Rightarrow\; x = 30^{\circ}.$$
Français

Un triangle 三角形 a trois côtés et des angles s'additionnant à $180^{\circ}$.

Un triangle avec les angles a, b et c, où a + b + c = 180 degrés
Les trois angles d'un triangle totalisent 180 degrés
Type Propriété
équilatéral 等边 tous les côtés égaux, tous les angles $60^{\circ}$
isoscèle 等腰 deux côtés égaux, deux angles égaux
scalène 不等边 tous les côtés et angles différents
rectangle possède un angle droit

Exemple résolu. Un triangle a des angles $x$, $2x$ et $90^{\circ}$. Trouvez $x$.

$$x + 2x + 90 = 180 \;\Rightarrow\; 3x = 90 \;\Rightarrow\; x = 30^{\circ}.$$
Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
triangle/ˈtraɪæŋɡl/ 三角形 sān jiǎo xíng
equilateral/ˌiːkwɪˈlætərəl/ 等边 děng biān
isosceles/aɪˈsɒsəliːz/ 等腰 děng yāo
scalene/ˈskeɪliːn/ 不等边 bù děng biān
quadrilateral/ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ 四边形 sì biān xíng
square/skweə/ 正方形 zhèng fāng xíng
4.1

Quadrilaterals · ⁨Quadrilatères⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon.
Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • parallèle • perpendiculaire • azimut • angle droit • angles aigus, obtus et réflexifs • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • réseaux • solides simples. Comprend les termes suivants : Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze. Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone.
Solides simples : • cube • parallélépipède • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère (le terme « hémisphère » n'est pas requis) • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Comprend les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc • secteur • segment.
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium.
Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • plan • parallèle • perpendiculaire • médiatrice • cap • angle droit • angles aigus, obtus et réfléchi • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • développés • solides. Inclut les termes suivants. Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze.
Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone. Solides : • cube • parallélépipède rectangulaire • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère • hémisphère • tronc de pyramide/cône • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Inclut les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc majeur et mineur • secteur • segment.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

A quadrilateral 四边形 has four sides and angles that add up to $360^{\circ}$.

Shape Property
square 正方形 four equal sides, four right angles
rectangle 矩形 opposite sides equal, four right angles
parallelogram 平行四边形 opposite sides parallel and equal
rhombus 菱形 four equal sides, opposite sides parallel
kite 鸢形 two pairs of equal sides next to each other
trapezium 梯形 one pair of parallel sides
Français

Un quadrilatère 四边形 a quatre côtés et des angles s'additionnant à $360^{\circ}$.

Forme Propriété
carré 正方形 quatre côtés égaux, quatre angles droits
rectangle 矩形 côtés opposés égaux, quatre angles droits
parallélogramme 平行四边形 côtés opposés parallèles et égaux
losange 菱形 quatre côtés égaux, côtés opposés parallèles
kite 鸢形 deux paires de côtés égaux adjacents
trapezium 梯形 une paire de côtés parallèles
Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
rectangle/ˈrektæŋɡl/ 矩形 jǔ xíng
parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ 平行四边形 píng xíng sì biān xíng
rhombus/ˈrɒmbəs/ 菱形 líng xíng
kite/kaɪt/ 鸢形 yuān xíng
trapezium/trəˈpiːzɪəm/ 梯形 tī xíng
4.6

Polygons · ⁨Polygones⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet sont égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à trois lettres pour les angles est requise, ex. : angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaitre et utiliser les propriétés des angles des polygones réguliers. Comprend les angles extérieurs et intérieurs, ainsi que la somme des angles.
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles autour d'un point sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à 3 lettres pour les angles est requise, ex. angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications pour leurs réponses.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaître et utiliser les propriétés angulaires des polygones réguliers et irréguliers. Inclut les angles extérieurs et intérieurs, et la somme des angles.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

A polygon 多边形 is a shape with straight sides. A regular polygon 正多边形 has all sides and all angles equal.

Sides Name
5 pentagon 五边形
6 hexagon 六边形
8 octagon 八边形
10 decagon 十边形

For a polygon with $n$ sides:

$$\text{sum of interior angles} = (n - 2) \times 180^{\circ}, \qquad \text{sum of exterior angles} = 360^{\circ}.$$

The interior angle 内角 and the exterior angle 外角 at each corner add up to $180^{\circ}$.

Worked example. Find each interior angle of a regular hexagon.

The exterior angle is $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, so each interior angle is $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Français
Un alvéolaire hexagonal
Un alvéolaire tesselle le plan avec des hexagones réguliers.

Un polygone 多边形 est une forme à côtés droits. Un polygone régulier 正多边形 a tous ses côtés et tous ses angles égaux.

Côtés Nom
5 pentagone 五边形
6 hexagone 六边形
8 octogone 八边形
10 décagone 十边形

Pour un polygone ayant $n$ côtés :

$$\text{sum of interior angles} = (n - 2) \times 180^{\circ}, \qquad \text{sum of exterior angles} = 360^{\circ}.$$

L'angle intérieur 内角 et l'angle extérieur 外角 à chaque sommet s'additionnent pour faire $180^{\circ}$.

Exemple résolu. Trouver chaque angle intérieur d'un hexagone régulier.

L'angle extérieur est $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$, donc chaque angle intérieur est $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Un hexagone régulier avec un angle intérieur marqué 120 degrés et un angle extérieur de 60 degrés où un côté est prolongé
À chaque sommet les angles intérieur et extérieur s'additionnent à $180^\circ$ ; un hexagone régulier a $60^\circ$ angles extérieurs et $120^\circ$ angles intérieurs.
Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
polygon/ˈpɒlɪɡən/ 多边形 duō biān xíng
regular polygon/ˈreɡjʊlə ˈpɒlɪɡən/ 正多边形 zhèng duō biān xíng
pentagon/ˈpentæɡən/ 五边形 wǔ biān xíng
hexagon/ˈheksæɡən/ 六边形 liù biān xíng
octagon/ˈɒktæɡən/ 八边形 bā biān xíng
decagon/dɪˈkæɡən/ 十边形 shí biān xíng
interior angle/ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡl/ 内角 nèi jiǎo
exterior angle/ekˈstɪərɪə ˈæŋɡl/ 外角 wài jiǎo
line symmetry/laɪn ˈsɪmətri/ 轴对称 zhóu duì chèn
rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ 旋转对称 xuán zhuǎn duì chèn
plane of symmetry/pleɪn ɒv ˈsɪmətri/ 对称面 duì chèn miàn
axis of symmetry/ˈæksɪs ɒv ˈsɪmətri/ 对称轴 duì chèn zhóu
4.5

Symmetry · ⁨Symétrie⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
Recognise line symmetry and order of rotational symmetry in two dimensions. Includes properties of triangles, quadrilaterals and polygons directly related to their symmetries.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
Reconnaître la symétrie axiale et l'ordre de symétrie de rotation en deux dimensions. Comprend les propriétés des triangles, quadrilatères et polygones directement liées à leurs symétries.
English
Subject content Notes and examples
1 Recognise line symmetry and order of rotational symmetry in two dimensions. Includes properties of triangles, quadrilaterals and polygons directly related to their symmetries.
2 Recognise symmetry properties of prisms, cylinders, pyramids and cones. e.g. identify planes and axes of symmetry.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Reconnaître la symétrie axiale et l'ordre de symétrie de rotation en deux dimensions. Inclut les propriétés des triangles, quadrilatères et polygones directement liées à leurs symétries.
2 Reconnaître les propriétés de symétrie des prismes, cylindres, pyramides et cônes. ex. identifier les plans et axes de symétrie.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English
  • A shape has line symmetry 轴对称 if a mirror line splits it into two matching halves.
  • A shape has rotational symmetry 旋转对称 if it fits onto itself as you turn it. The order is how many times it fits in one full turn.

For solids (Extended), a flat slice that splits the solid into mirror halves is a plane of symmetry 对称面, and a line you can spin it around is an axis of symmetry 对称轴.

Français
Le Taj Mahal reflété, montrant sa symétrie
Le Taj Mahal possède une ligne de symétrie nette au centre.
  • Une forme a une symétrie axiale 轴对称 si une ligne miroir la divise en deux moitiés identiques.
  • Une forme a une symétrie rotationnelle 旋转对称 si elle coïncide avec elle-même lors d'une rotation. L'ordre correspond au nombre de fois qu'elle se superpose en un tour complet.

Pour les solides (Étendu), une tranche plane qui divise le solide en deux moitiés miroirs est un plan de symétrie 对称面, et un axe autour duquel on peut le faire tourner est un axe de symétrie 对称轴.

Explore · ⁨Explorer⁩

Symétrie comme réflexion

Une figure possède une symétrie axiale si sa réflexion ne la modifie pas. Reflectez la figure et observez ce qui est préservé.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
net/net/ 展开图 zhǎn kāi tú
scale drawing/skeɪl ˈdrɔːɪŋ/ 比例图 bǐ lì tú
solids/ˈsɒlɪdz/ 几何体 jǐ hé tǐ
4.1

Circles: the parts · ⁨Cercles : les parties⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • parallel • perpendicular • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • simple solids. Includes the following terms: Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium. Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon.
Simple solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere (term ‘hemisphere’ not required) • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • parallèle • perpendiculaire • azimut • angle droit • angles aigus, obtus et réflexifs • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • réseaux • solides simples. Comprend les termes suivants : Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze. Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone.
Solides simples : • cube • parallélépipède • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère (le terme « hémisphère » n'est pas requis) • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Comprend les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc • secteur • segment.
English
Subject content Notes and examples
1 Use and interpret the following geometrical terms: • point • vertex • line • plane • parallel • perpendicular • perpendicular bisector • bearing • right angle • acute, obtuse and reflex angles • interior and exterior angles • similar • congruent • scale factor. Candidates are not expected to show that two shapes are congruent.
2 Use and interpret the vocabulary of: • triangles • special quadrilaterals • polygons • nets • solids. Includes the following terms. Triangles: • equilateral • isosceles • scalene • right-angled. Quadrilaterals: • square • rectangle • kite • rhombus • parallelogram • trapezium.
Polygons: • regular and irregular polygons • pentagon • hexagon • octagon • decagon. Solids: • cube • cuboid • prism • cylinder • pyramid • cone • sphere • hemisphere • frustum • face • surface • edge.
3 Use and interpret the vocabulary of a circle. Includes the following terms: • centre • radius (plural radii) • diameter • circumference • semicircle • chord • tangent • major and minor arc • sector • segment.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Utiliser et interpréter les termes géométriques suivants : • point • sommet • ligne • plan • parallèle • perpendiculaire • médiatrice • cap • angle droit • angles aigus, obtus et réfléchi • angles intérieurs et extérieurs • semblable • congruent • facteur d'échelle. Les candidats ne sont pas attendus de démontrer que deux formes sont congruentes.
2 Utiliser et interpréter le vocabulaire de : • triangles • quadrilatères spéciaux • polygones • développés • solides. Inclut les termes suivants. Triangles : • équilatéral • isocèle • scalène • rectangle. Quadrilatères : • carré • rectangle • cerf-volant • losange • parallélogramme • trapèze.
Polygones : • polygones réguliers et irréguliers • pentagone • hexagone • octogone • décagone. Solides : • cube • parallélépipède rectangulaire • prisme • cylindre • pyramide • cône • sphère • hémisphère • tronc de pyramide/cône • face • surface • arête.
3 Utiliser et interpréter le vocabulaire d'un cercle. Inclut les termes suivants : • centre • rayon (pluriel rayons) • diamètre • circonférence • demi-cercle • corde • tangente • arc majeur et mineur • secteur • segment.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English
Term Meaning
circle 圆 all points the same distance from a centre
centre 圆心 the middle point
radius 半径 centre to edge (plural radii)
diameter 直径 right across through the centre ($= 2 \times$ radius)
circumference 圆周 the distance all the way round
chord 弦 a straight line joining two points on the circle
arc 弧 part of the circumference
sector 扇形 a "pizza slice" between two radii
segment 弓形 the region cut off by a chord
semicircle 半圆 half a circle
tangent 切线 a line that touches the circle at one point
Français
Terme Signification
cercle 圆 tous les points situés à égale distance d'un centre
centre 圆心 le point central
rayon 半径 du centre au bord (pluriel rayons)
diamètre 直径 traversant tout droit par le centre ($= 2 \times$ rayons)
circonférence 圆周 la distance totale sur le contour
corde 弦 une droite reliant deux points du cercle
arc 弧 partie de la circonférence
secteur 扇形 une « part de pizza » entre deux rayons
segment 弓形 la région délimitée par une corde
demi-cercle 半圆 la moitié d'un cercle
tangente 切线 une ligne qui touche le cercle en un seul point
Un cercle étiqueté avec son centre O, un rayon, un diamètre traversant le centre, une corde, une tangente touchant en un point, et la circonférence
Les principales parties d'un cercle : une corde joint deux points, tandis qu'une tangente ne touche qu'en un point.
Quatre petits cercles montrant un secteur ombragé, un segment ombragé, un arc mis en évidence, et un demi-cercle ombragé
Un secteur est une part entre deux rayons, un segment est délimité par une corde, un arc fait partie de la circonférence, et un demi-cercle représente la moitié du cercle.
Explore · ⁨Explorer⁩

Arc et secteur

Faites glisser l'angle et le rayon pour voir l'arc (partie de la circonférence) et le secteur (tranche de gâteau) qu'il coupe.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
circle/ˈsɜːkl/ 圆 yuán
centre/ˈsentə/ 圆心 yuán xīn
radius/ˈreɪdɪəs/ 半径 bàn jìng
diameter/daɪˈæmɪtə/ 直径 zhí jìng
circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ 圆周 yuán zhōu
chord/kɔːd/ 弦 xián
arc/ɑːk/ 弧 hú
sector/ˈsektə/ 扇形 shàn xíng
segment/ˈseɡmənt/ 弓形 gōng xíng
tangent/ˈtændʒənt/ 切线 qiè xiàn
cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ 圆内接四边形 yuán nèi jiē sì biān xíng
alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ 弦切角定理 xián qiē jiǎo dìng lǐ
4.7 4.8

Circle theorems · ⁨Théorèmes sur le cercle⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
Calculate unknown angles and give explanations using the following geometrical properties of circles: • angle in a semicircle = 90° • angle between tangent and radius = 90°. Candidates will be expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
Calculer des angles inconnus et donner des explications en utilisant les propriétés géométriques suivantes des cercles : • angle inscrit dans un demi-cercle = 90° • angle entre une tangente et un rayon = 90°. Les candidats seront attendus d'utiliser les propriétés géométriques listées dans le programme lors de la justification des réponses.
English
Subject content Notes and examples
Calculate unknown angles and give explanations using the following geometrical properties of circles: • angle in a semicircle = 90° • angle between tangent and radius = 90° • angle at the centre is twice the angle at the circumference • angles in the same segment are equal • opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180° (supplementary) • alternate segment theorem. Candidates are expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
Calculer des angles inconnus et donner des explications en utilisant les propriétés géométriques suivantes des cercles : • angle dans un demi-cercle = 90° • angle entre tangente et rayon = 90° • angle au centre est double de l'angle à la circonférence • angles dans le même segment égaux • angles opposés d'un quadrilatère cyclique complémentaires à 180° (supplémentaires) • théorème de l'angle alterné. Les candidats sont attendus d'utiliser les propriétés géométriques listées dans le programme lors de la justification de leurs réponses.
English
Subject content Notes and examples
Use the following symmetry properties of circles: • equal chords are equidistant from the centre • the perpendicular bisector of a chord passes through the centre • tangents from an external point are equal in length. Candidates are expected to use the geometrical properties listed in the syllabus when giving reasons for answers.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
Utiliser les propriétés de symétrie suivantes des cercles : • cordes égales sont équidistantes du centre • la médiatrice d'une corde passe par le centre • les tangentes issues d'un point extérieur sont égales en longueur. Les candidats sont attendus d'utiliser les propriétés géométriques listées dans le programme lors de la justification de leurs réponses.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English
Angle in a semicircle: always 90 degrees
Angle at the centre: always double

Use these to find unknown angles, always giving the reason.

For both levels:

  • The angle in a semicircle is $90^{\circ}$.
  • The angle between a tangent and a radius is $90^{\circ}$.

Extended (theorems I):

  • The angle at the centre is twice the angle at the circumference (standing on the same arc).
  • Angles in the same segment are equal.
  • Opposite angles of a cyclic quadrilateral 圆内接四边形 add up to $180^{\circ}$.
  • The alternate segment theorem 弦切角定理: the angle between a tangent and a chord equals the angle in the other segment.

Extended (theorems II): equal chords are the same distance from the centre; the perpendicular bisector of a chord passes through the centre; two tangents from the same outside point are equal in length.

Worked example. A, B, C are on a circle. The angle at the circumference $ABC$ is $40^{\circ}$. Find the angle $AOC$ at the centre $O$.

The angle at the centre is twice the angle at the circumference: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Français
Angle dans un demi-cercle : toujours 90 degrés
Angle au centre : toujours le double

Utilisez-les pour trouver des angles inconnus, en indiquant toujours la raison.

Pour les deux niveaux :

  • L'angle dans un demi-cercle est $90^{\circ}$.
  • L'angle entre une tangente et un rayon est $90^{\circ}$.
Deux cercles : dans le premier, un triangle tracé sur un diamètre a un angle droit au point du cercle ; dans le second, une tangente rencontre un rayon à angle droit
Deux théorèmes pour les deux niveaux : l'angle dans un demi-cercle est $90^\circ$, et une tangente rencontre un rayon à $90^\circ$.

Étendu (théorèmes I) :

  • L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence (sur le même arc).
  • Les angles dans le même segment sont égaux.
  • Les angles opposés d'un quadrilatère cyclique 圆内接四边形 totalisent $180^{\circ}$.
  • Le théorème du segment alternatif 弦切角定理 : l'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle dans l'autre segment.

Étendu (théorèmes II) : cordes égales sont à égale distance du centre ; la médiatrice d'une corde passe par le centre ; deux tangentes issues du même point extérieur ont la même longueur.

Exemple résolu. A, B, C sont sur un cercle. L'angle à la circonférence $ABC$ mesure $40^{\circ}$. Trouver l'angle $AOC$ au centre $O$.

L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence : $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Un cercle avec les points A, B, C dessus et le centre O ; l'angle au centre AOC mesure 80 degrés et l'angle à la circonférence ABC mesure 40 degrés, sur le même arc
L'angle au centre ($80^\circ$) est le double de l'angle à la circonférence ($40^\circ$) sur le même arc.
Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/ 半圆 bàn yuán
4.4

Similar shapes · ⁨Figures semblables⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
Calculate lengths of similar shapes.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
Calculer les longueurs de formes similaires.
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate lengths of similar shapes.
2 Use the relationships between lengths and areas of similar shapes and lengths, surface areas and volumes of similar solids. Includes use of scale factor, e.g.
$$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$
3 Solve problems and give simple explanations involving similarity. Includes showing that two triangles are similar using geometric reasons.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer les longueurs de formes semblables.
2 Utiliser les relations entre les longueurs et les aires de formes semblables, et entre les longueurs, les aires de surface et les volumes de solides semblables. Inclut l'utilisation du facteur d'échelle, ex.
$$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$
3 Résoudre des problèmes et fournir des explications simples impliquant la similitude. Inclut la démonstration que deux triangles sont semblables en utilisant des raisons géométriques.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

Two shapes are similar 相似 if one is an enlargement of the other: same angles, and all sides multiplied by the same scale factor 比例因子 $k$. (Shapes that are exactly the same size and shape are congruent 全等.)

For similar shapes and solids:

$$\frac{\text{area of } A}{\text{area of } B} = k^{2}, \qquad \frac{\text{volume of } A}{\text{volume of } B} = k^{3}.$$

Worked example. Two similar solids have lengths in the ratio $2 : 3$. The smaller has volume $40\text{ cm}^{3}$. Find the volume of the larger.

The volume ratio is $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. So the larger volume is $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Français

Deux figures sont semblables 相似 si l'une est une agrandissement de l'autre : mêmes angles, et tous les côtés multipliés par le même facteur d'échelle 比例因子 $k$. (Les figures de même taille et même forme sont congruentes 全等.)

Une rangée de six poupées matriochkes du même motif, mais de tailles différentes
Les poupées matriochkes sont des figures semblables : chacune a la même forme que les autres, simplement multipliée par un facteur d'échelle

Pour les figures et solides semblables :

$$\frac{\text{area of } A}{\text{area of } B} = k^{2}, \qquad \frac{\text{volume of } A}{\text{volume of } B} = k^{3}.$$

Exemple résolu. Deux solides semblables ont des longueurs dans le rapport $2 : 3$. Le plus petit a un volume de $40\text{ cm}^{3}$. Trouver le volume du plus grand.

Le rapport des volumes est $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. Donc le volume du plus grand est $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.

Explore · ⁨Explorer⁩

Formes similaires — agrandissement

Les formes similaires ont la même forme mais une taille différente. Un agrandissement met à l'échelle toutes les longueurs par le même facteur ; les angles restent identiques.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
similar/ˈsɪmɪlə/ 相似 xiāng sì
scale factor/skeɪl ˈfæktə/ 比例因子 bǐ lì yīn zi
congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ 全等 quán děng
4.6

Bearings · ⁨Orientation (Bearing)⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of three-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet sont égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à trois lettres pour les angles est requise, ex. : angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaitre et utiliser les propriétés des angles des polygones réguliers. Comprend les angles extérieurs et intérieurs, ainsi que la somme des angles.
English
Subject content Notes and examples
1 Calculate unknown angles and give simple explanations using the following geometrical properties: • sum of angles at a point = 360° • sum of angles at a point on a straight line = 180° • vertically opposite angles are equal • angle sum of a triangle = 180° and angle sum of a quadrilateral = 360°. Knowledge of 3-letter notation for angles is required, e.g. angle $ABC$. Candidates are expected to use the correct geometrical terminology when giving reasons for answers.
2 Calculate unknown angles and give geometric explanations for angles formed within parallel lines: • corresponding angles are equal • alternate angles are equal • co-interior angles sum to 180° (supplementary).
3 Know and use angle properties of regular and irregular polygons. Includes exterior and interior angles, and angle sum.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Calculer des angles inconnus et donner des explications simples en utilisant les propriétés géométriques suivantes : • somme des angles autour d'un point = 360° • somme des angles autour d'un point sur une ligne droite = 180° • angles opposés par le sommet égaux • somme des angles d'un triangle = 180° et somme des angles d'un quadrilatère = 360°. La connaissance de la notation à 3 lettres pour les angles est requise, ex. angle $ABC$. Les candidats sont attendus d'utiliser la terminologie géométrique correcte lorsqu'ils donnent des justifications pour leurs réponses.
2 Calculer des angles inconnus et donner des explications géométriques pour les angles formés entre des droites parallèles : • angles correspondants sont égaux • angles alternes-internes sont égaux • angles consécutifs internes s'additionnent à 180° (supplémentaires).
3 Connaître et utiliser les propriétés angulaires des polygones réguliers et irréguliers. Inclut les angles extérieurs et intérieurs, et la somme des angles.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English

A bearing 方位角 gives a direction as a three-figure angle, measured clockwise 顺时针 from north, from $000^{\circ}$ to $360^{\circ}$. So due east is $090^{\circ}$ and due south is $180^{\circ}$.

Worked example. The bearing of $B$ from $A$ is $025^{\circ}$. Find the bearing of $A$ from $B$.

The return (back) bearing differs by $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

Français

Une orientation 方位角 donne une direction sous la forme d'un angle à trois chiffres, mesuré horairement 顺时针 depuis le nord, de $000^{\circ}$ à $360^{\circ}$. Ainsi, l'est exact est $090^{\circ}$ et le sud exact est $180^{\circ}$.

Exemple résolu. L'orientation de $B$ depuis $A$ est $025^{\circ}$. Trouver l'orientation de $A$ depuis $B$.

L'orientation inverse (retour) diffère de $180^{\circ}$ : $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.

Deux diagrammes boussole : l'orientation de B depuis A mesurée 025 degrés horairement depuis le nord, et l'orientation de A depuis B mesurée 205 degrés
Une orientation est mesurée horairement depuis le nord en trois chiffres ; l'orientation inverse diffère de $180^\circ$.
Explore · ⁨Explorer⁩

Itinéraire des cap bearings

Suivez comment mesurer correctement un cap bearing depuis le nord.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
bearing/ˈbeərɪŋ/ 方位角 fāng wèi jiǎo
clockwise/ˈklɒkwaɪz/ 顺时针 shùn shí zhēn
4.2 4.3

Constructions, nets and solids · ⁨Constructions, patrons et solides⁩
Syllabus · ⁨Programme⁩
English
Subject content Notes and examples
1 Measure and draw lines and angles. A ruler should be used for all straight edges. Constructions of perpendicular bisectors and angle bisectors are not required.
2 Construct a triangle, given the lengths of all sides, using a ruler and pair of compasses only. e.g. construct a rhombus by drawing two triangles. Construction arcs must be shown.
3 Draw, use and interpret nets. Examples include: • draw nets of cubes, cuboids, prisms and pyramids • use measurements from nets to calculate volumes and surface areas.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Mesurer et tracer des lignes et des angles. Une règle doit être utilisée pour tous les bords droits. Les constructions de médiatrices et de bissectrices ne sont pas requises.
2 Construire un triangle, connaissant la longueur de tous les côtés, en utilisant uniquement une règle et un compas. Ex. : construire un losange en traçant deux triangles. Les arcs de construction doivent être visibles.
3 Tracer, utiliser et interpréter des réseaux. Exemples incluent : • tracer des réseaux de cubes, parallélépipèdes, prismes et pyramides • utiliser les mesures des réseaux pour calculer des volumes et des surfaces.
English
Subject content Notes and examples
1 Draw and interpret scale drawings. A ruler must be used for all straight edges.
2 Use and interpret three-figure bearings. Bearings are measured clockwise from north (000° to 360°). e.g. find the bearing of A from B if the bearing of B from A is 025°.
Includes an understanding of the terms north, east, south and west. e.g. point D is due east of point C.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Tracer et interpréter des dessins à l'échelle. Une règle doit être utilisée pour tous les bords droits.
2 Utiliser et interpréter les azimuts à trois chiffres. Les azimuts se mesurent dans le sens horaire à partir du nord (000° à 360°). Ex. : trouver l'azimut de A depuis B si l'azimut de B depuis A est 025°.
Comprend la compréhension des termes nord, est, sud et ouest. Ex. : le point D est exactement à l'est du point C.
English
Subject content Notes and examples
1 Draw and interpret scale drawings. A ruler must be used for all straight edges.
2 Use and interpret three-figure bearings. Bearings are measured clockwise from north ($000^{\circ}$ to $360^{\circ}$). e.g. find the bearing of $A$ from $B$ if the bearing of $B$ from $A$ is $025^{\circ}$. Includes an understanding of the terms north, east, south and west. e.g. point $D$ is due east of point $C$.
Français
Contenu subjectif Notes et exemples
1 Tracer et interpréter des dessins à l'échelle. Une règle doit être utilisée pour tous les bords droits.
2 Utiliser et interpréter les caps à trois chiffres. Les caps sont mesurés dans le sens horaire à partir du nord ($000^{\circ}$ à $360^{\circ}$). ex. trouver le cap de $A$ par rapport à $B$ si le cap de $B$ par rapport à $A$ est $025^{\circ}$. Inclut la compréhension des termes nord, est, sud et ouest. ex. le point $D$ est exactement à l'est du point $C$.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Source : Programme Cambridge International⁩

English
  • To construct 作图 a triangle from three given sides, draw the base with a ruler, then use a pair of compasses 圆规 to mark each other side as an arc. Leave the construction arcs showing.
  • A net 展开图 is a flat shape that folds up into a solid. You can use a net to work out surface areas.
  • A scale drawing 比例图 shows a real object smaller (or larger) by a fixed scale, such as $1\text{ cm}$ to $5\text{ m}$.

Common solids 几何体 and their parts:

Solid Note
cube 立方体 / cuboid 长方体 box shapes
prism 棱柱 the same shape all along its length
cylinder 圆柱 a circular prism
pyramid 棱锥 / cone 圆锥 come to a point
sphere 球 / hemisphere 半球 a ball / half a ball
frustum 平截头体 a cone or pyramid with the top cut off

A flat side of a solid is a face 面, two faces meet at an edge 棱, and the whole outside is its surface 表面.

Français
  • Pour construire 作图 un triangle à partir de trois côtés donnés, tracer la base avec une règle, puis utiliser un compas 圆规 pour marquer chaque autre côté sous forme d'arc. Laisser les arcs de construction visibles.
  • Un patron 展开图 est une forme plate qui se plie pour former un solide. On peut utiliser un patron pour calculer les aires.
  • Un dessin à l'échelle 比例图 montre un objet réel plus petit (ou plus grand) selon une échelle fixe, comme $1\text{ cm}$ à $5\text{ m}$.
Un patron de cube à six faces carrées égales, et un patron de cylindre composé de deux cercles chacun de π r² et d'un rectangle de 2πr par h
Déplier un solide donne son patron. Additionner les aires des pièces permet d'obtenir l'aire totale : un cylindre a une aire de $2\pi r^{2} + 2\pi r h$.

Solides courants 几何体 et leurs parties :

Solide Remarque
cube 立方体 / prisme rectangulaire 长方体 formes en boîte
prisme 棱柱 la même forme sur toute sa longueur
cylindre 圆柱 un prisme circulaire
pyramide 棱锥 / cône 圆锥 convergent vers un point
sphère 球 / hémisphère 半球 une boule / la moitié d'une boule
tronc 平截头体 un cône ou une pyramide dont le sommet a été coupé

Une face plane d'un solide est une face 面, deux faces se rencontrent à une arête 棱, et l'ensemble de l'extérieur constitue sa surface 表面.

Explore · ⁨Explorer⁩

Laboratoire de construction et solide

Classifiez les tâches de géométrie selon l'outil ou la représentation nécessaires.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩
English · ⁨Anglais⁩ Chinese · ⁨Chinois⁩ Pinyin
construct/ˈkɒnstrʌkt/ 作图 zuò tú
compasses/ˈkʌmpəsɪz/ 圆规 yuán guī
cube/kjuːb/ 立方体 lì fāng tǐ
cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ 长方体 cháng fāng tǐ
prism/ˈprɪzəm/ 棱柱 léng zhù
cylinder/ˈsɪlɪndə/ 圆柱 yuán zhù
pyramid/ˈpɪrəmɪd/ 棱锥 léng zhuī
cone/kəʊn/ 圆锥 yuán zhuī
sphere/sfɪə/ 球 qiú
hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ 半球 bàn qiú
frustum/ˈfrʌstəm/ 平截头体 píng jié tóu tǐ
face/feɪs/ 面 miàn
edge/edʒ/ 棱 léng
surface/ˈsɜːfɪs/ 表面 biǎo miàn
4.2 4.3

Exam tips · ⁨Conseils d'examen⁩
English
  • Angles on a straight line add to $180°$, around a point to $360°$, and in a triangle to $180°$. Give a reason for every step of an angle question.
  • Learn the circle theorems: the angle at the centre is twice the angle at the circumference; the angle in a semicircle is $90°$; angles in the same segment are equal; opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180°$.
  • The exterior angles of any polygon add to $360°$, and each interior angle + its exterior angle = $180°$.
  • Bearings are measured clockwise from north and always written with three figures (e.g. $072°$).
Français
  • Les angles sur une ligne droite s'additionnent à $180°$, autour d'un point à $360°$, et dans un triangle à $180°$. Indiquer une raison pour chaque étape d'un problème d'angles.
  • Apprendre les théorèmes du cercle : l'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence ; l'angle dans un demi-cercle est $90°$ ; les angles dans le même segment sont égaux ; les angles opposés d'un quadrilatère cyclique s'additionnent à $180°$.
  • Les angles extérieurs de n'importe quel polygone s'additionnent à $360°$, et chaque angle intérieur + son angle extérieur = $180°$.
  • Les orientations sont mesurées horairement depuis le nord et toujours écrites avec trois chiffres (ex. : $072°$).

Interactive lessons on this topic · ⁨Leçons interactives sur ce sujet⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.⁩

Past Papers · ⁨Épreuves Passées⁩

More topics in Mathématiques IGCSE · ⁨Plus de sujets dans Mathématiques IGCSE⁩

Log in or create account · ⁨Se connecter ou créer un compte⁩

IGCSE, A-Level & AP