Inférence pour les données catégorielles : proportions

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.H : Identifier les questions suggérées par la variation des formes des distributions d'échantillons prélevés dans la même population. [Compétence 1.A]

• VAR-1.H.1 La variation des formes des distributions de données peut être aléatoire ou non.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.A : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une proportion de population. [Compétence 1.D]

• UNC-4.A.1 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une proportion à échantillon unique concernant une variable catégorielle est un intervalle de type $z$ à échantillon unique pour une proportion.

Objectif d'apprentissage UNC-4.B : Vérifier les conditions pour le calcul des intervalles de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.C]

• UNC-4.B.1 Afin de faire les hypothèses nécessaires pour l'inférence sur les proportions de population, les moyennes et les pentes, nous devons vérifier l'indépendance dans les méthodes de collecte de données et la sélection de la distribution d'échantillonnage appropriée.
• UNC-4.B.2 Afin de calculer un intervalle de confiance pour estimer une proportion de population, $p$, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage soit approximativement normale.
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$, où $N$ est la taille de la population.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Pour les variables catégorielles, vérifier que le nombre de succès, $n\hat{p}$, et le nombre d'échecs, $n(1-\hat{p})$ sont tous deux d'au moins 10 afin que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande pour soutenir une hypothèse de normalité.

Objectif d'apprentissage UNC-4.C : Déterminer la marge d'erreur pour une taille d'échantillon donnée et une estimation de la taille d'échantillon qui entraînerait une marge d'erreur donnée pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.C.1 Sur la base des données d'échantillon, l'erreur standard d'une statistique est une estimation de l'écart-type de cette statistique. L'erreur standard de $\hat{p}$ est $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
• UNC-4.C.2 Une marge d'erreur indique la quantité dont une valeur d'une statistique d'échantillon peut varier par rapport à la valeur du paramètre de population correspondant.
• UNC-4.C.3 Pour les variables catégorielles, la marge d'erreur est la valeur critique ($z^*$) multipliée par l'erreur standard (ES) de la statistique pertinente, ce qui équivaut à $z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ pour une proportion à échantillon unique.
• UNC-4.C.4 La formule de la marge d'erreur peut être réarrangée pour résoudre $n$, la taille minimale d'échantillon nécessaire pour obtenir une marge d'erreur donnée. À cette fin, utiliser une estimation pour $\hat{p}$ ou utiliser $\hat{p} = 0.5$ afin de trouver une borne supérieure pour la taille de l'échantillon qui résultera en une marge d'erreur donnée.

Objectif d'apprentissage UNC-4.D : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.D.1 En général, une estimation par intervalle peut être construite comme estimation ponctuelle ± (marge d'erreur). Pour une proportion à échantillon unique, l'estimation par intervalle est $\hat{p} \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les estimations par intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.
• UNC-4.D.2 Les valeurs critiques représentent les limites englobant le milieu C% de la distribution normale standard, où C% est un niveau de confiance approximatif pour une proportion.

Objectif d'apprentissage UNC-4.E : Calculer une estimation par intervalle basée sur un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.E.1 Les intervalles de confiance pour les proportions de population peuvent être utilisés pour calculer des estimations par intervalle avec des unités spécifiées.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.F : Interpréter un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.B]

• UNC-4.F.1 Un intervalle de confiance pour une proportion de population contient soit la proportion de population, soit il ne la contient pas, car chaque intervalle est basé sur des données d'échantillon aléatoires, qui varient d'un échantillon à l'autre.
• UNC-4.F.2 Nous avons C% de confiance que l'intervalle de confiance pour une proportion de population capture la proportion de population.
• UNC-4.F.3 Dans un échantillonnage aléatoire répété avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la proportion de population.
• UNC-4.F.4 L'interprétation d'un intervalle de confiance pour une proportion à un échantillon doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.
  • Exemples illustratifs pour UNC-4.F.4 : Pour interpréter un intervalle de confiance de 99 % allant de (0.268, 0.292), basé sur la proportion d'élèves de douzième année issus d'un échantillon représentatif au niveau national ayant répondu correctement à une question particulière à choix multiples : « Nous sommes 99 pour cent confiants que l'intervalle allant de 0.268 à 0.292 contient la proportion populationnelle de tous les élèves de douzième année aux États-Unis qui répondraient correctement à cette question » (2011 FRQ 6(a)).

Objectif d'apprentissage UNC-4.G : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.D]

• UNC-4.G.1 Un intervalle de confiance pour une proportion de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.H : Identifier les relations entre la taille de l'échantillon, la largeur d'un intervalle de confiance, le niveau de confiance et la marge d'erreur pour une proportion de population. [Compétence 4.A]

• UNC-4.H.1 Lorsque toutes les autres choses restent égales, la largeur de l'intervalle de confiance pour une proportion de population a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente. Pour une proportion de population, la largeur de l'intervalle est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.H.2 Pour un échantillon donné, la largeur de l'intervalle de confiance pour une proportion de population augmente lorsque le niveau de confiance augmente.
• UNC-4.H.3 La largeur d'un intervalle de confiance pour une proportion de population est exactement le double de la marge d'erreur.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.D : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une proportion de population. [Compétence 1.F]

• VAR-6.D.1 L'hypothèse nulle est la situation supposée correcte sauf preuve du contraire, et l'hypothèse alternative est la situation pour laquelle des preuves sont recueillies.
• VAR-6.D.2 Pour les hypothèses concernant les paramètres, l'hypothèse nulle contient une référence d'égalité (=, ≥, ou ≤), tandis que l'hypothèse alternative contient une inégalité stricte (<, >, ou ≠). Le type d'inégalité dans l'hypothèse alternative est basé sur la question d'intérêt. Les hypothèses alternatives avec < or > sont appelées unilatérales, et les hypothèses alternatives avec ≠ sont appelées bilatérales. Bien que l'hypothèse nulle pour un test unilatéral puisse inclure un symbole d'inégalité, elle est toujours testée à la limite de l'égalité.
• VAR-6.D.3 L'hypothèse nulle pour une proportion de population est : $H_0 : p = p_0$, où $p_0$ est la valeur hypothétisée nulle pour la proportion de population.
• VAR-6.D.4 Une hypothèse alternative unilatérale pour une proportion est soit $H_a : p < p_0$ soit $H_a : p > p_0$. Une hypothèse alternative bilatérale est $H_a : p_1 \neq p_2$.
• VAR-6.D.5 Pour un test $z$ à échantillon unique pour une proportion de population, l'hypothèse nulle spécifie une valeur pour la proportion de population, souvent indiquant aucune différence ou effet.

Objectif d'apprentissage VAR-6.E : Identifier une méthode de test appropriée pour une proportion de population. [Compétence 1.E]

• VAR-6.E.1 Pour une variable catégorielle unique, la méthode de test appropriée pour une proportion de population est un test $z$ à un échantillon pour une proportion de population.

Objectif d'apprentissage VAR-6.F : Vérifier les conditions pour effectuer une inférence statistique lors du test d'une proportion de population. [Compétence 4.C]

• VAR-6.F.1 Afin de faire une inférence statistique lors du test d'une proportion de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. En supposant que $H_0$ est vraie $(p = p_0)$, vérifier que le nombre de succès, $np_0$, et le nombre d'échecs, $n(1-p_0)$ sont tous deux d'au moins 10 afin que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande pour soutenir une hypothèse de normalité.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.G : Calculer une statistique de test appropriée et une valeur $p$ pour une proportion de population. [Compétence 3.E]

• VAR-6.G.1 La distribution de la statistique de test en supposant que l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) peut être soit une distribution de randomisation, soit, lorsqu'un modèle probabiliste est supposé vrai, une distribution théorique ($z$).
• VAR-6.G.2 Lors de l'utilisation d'un test $z$, la statistique de test standardisée peut s'écrire : $\text{test statistic} = \dfrac{\text{sample statistic} - \text{null value of the parameter}}{\text{standard deviation of the statistic}}$. On appelle cela une statistique $z$ pour les proportions.
• VAR-6.G.3 La statistique de test pour une proportion de population est : $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.
• VAR-6.G.4 Une valeur $p$ est la probabilité d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que la statistique de test observée lorsque l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste sont supposés vrais. Le niveau de significativité peut être donné ou déterminé par le chercheur.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.A : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une proportion de population. [Compétence 4.B]

• DAT-3.A.1 La valeur $p$ est la proportion des valeurs de la distribution nulle qui sont aussi extrêmes ou plus extrêmes que la valeur observée de la statistique de test. Il s'agit de :
  • a. La proportion supérieure ou égale à la valeur observée de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est >.
  • b. La proportion inférieure ou égale à la valeur observée de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est <.
  • c. La proportion inférieure ou égale à l'opposé de la valeur absolue de la statistique de test plus la proportion supérieure ou égale à la valeur absolue de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est ≠.
• DAT-3.A.2 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de significativité pour une proportion à échantillon unique doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que le modèle probabiliste et l'hypothèse nulle sont vrais, c'est-à-dire en supposant que la vraie proportion de population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.B : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de signification pour une proportion de population. [Compétence 4.E]

• DAT-3.B.1 Le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité prédéterminée de rejeter l'hypothèse nulle étant donné qu'elle est vraie.
• DAT-3.B.2 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité, $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, rejeter l'hypothèse nulle. Si la valeur $p$ $> \alpha$, ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.3 Rejeter l'hypothèse nulle signifie qu'il existe des preuves statistiques suffisantes pour soutenir l'hypothèse alternative. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle signifie qu'il existe des preuves statistiques insuffisantes pour soutenir l'hypothèse alternative.
• DAT-3.B.4 La conclusion concernant l'hypothèse alternative doit être formulée dans le contexte.
• DAT-3.B.5 Un test de signification peut conduire à rejeter ou non rejeter l'hypothèse nulle, mais ne peut jamais conduire à conclure ou prouver que l'hypothèse nulle est vraie. L'absence de preuves statistiques pour l'hypothèse alternative n'est pas la même chose que des preuves pour l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.6 Les petites valeurs $p$ indiquent que la valeur observée de la statistique de test serait inhabituelle si l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste étaient vrais, fournissant ainsi des preuves en faveur de l'alternative. Plus la valeur $p$ est faible, plus les preuves statistiques en faveur de l'hypothèse alternative sont convaincantes.
• DAT-3.B.7 Les valeurs $p$ qui ne sont pas faibles indiquent que la valeur observée de la statistique de test ne serait pas inhabituelle si l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste étaient vrais, ne fournissant donc pas de preuves statistiques convaincantes en faveur de l'hypothèse alternative, ni ne fournissant de preuves que l'hypothèse nulle est vraie.
• DAT-3.B.8 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : p = p_0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.9 Les résultats d'un test de signification pour une proportion de population peuvent servir de raisonnement statistique pour répondre à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Compréhension durable (UNC-5) : Les probabilités d'erreurs de type I et de type II influencent l'inférence.

Objectif d'apprentissage UNC-5.A : Identifier les erreurs de type I et de type II. [Compétence 1.B]

• UNC-5.A.1 Une erreur de type I se produit lorsque l'hypothèse nulle est vraie et est rejetée (positif faux).
• UNC-5.A.2 Une erreur de type II se produit lorsque l'hypothèse nulle est fausse et n'est pas rejetée (négatif faux).
  • Tableau des erreurs : Avec la valeur réelle de la population en haut ($H_0$ vraie ; $H_a$ vraie) et la décision sur le côté (Rejeter $H_0$ ; Ne pas rejeter $H_0$) : Rejeter $H_0$ quand $H_0$ vraie = Erreur de Type I ; Rejeter $H_0$ quand $H_a$ vraie = Décision correcte ; Ne pas rejeter $H_0$ quand $H_0$ vraie = Décision correcte ; Ne pas rejeter $H_0$ quand $H_a$ vraie = Erreur de Type II.

Objectif d'apprentissage UNC-5.B : Calculer la probabilité d'une erreur de type I et de type II. [Compétence 3.A]

• UNC-5.B.1 Le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité de commettre une erreur de Type I, si l'hypothèse nulle est vraie.
• UNC-5.B.2 La puissance d'un test est la probabilité qu'un test rejette correctement une hypothèse nulle fausse.
• UNC-5.B.3 La probabilité de commettre une erreur de Type II $= 1 - power$.

Objectif d'apprentissage UNC-5.C : Identifier les facteurs qui affectent la probabilité d'erreurs dans les tests de signification. [Compétence 4.A]

• UNC-5.C.1 La probabilité d'une erreur de type II diminue lorsque l'un des événements suivants se produit, à condition que les autres ne changent pas :
  • i. La taille de l'échantillon augmente.
  • ii. Augmentation du niveau de significativité ($\alpha$) d'un test.
  • iii. L'erreur standard diminue.
  • iv. La vraie valeur du paramètre est plus éloignée de l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage UNC-5.D : Interpréter les erreurs de type I et de type II. [Compétence 4.B]

• UNC-5.D.1 Qu'une erreur de type I ou de type II soit plus conséquente dépend de la situation.
• UNC-5.D.2 Puisque le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité d'une erreur de Type I, les conséquences d'une erreur de Type I influencent les décisions concernant un niveau de significativité.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.I : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une comparaison de proportions de population. [Compétence 1.D]

• UNC-4.I.1 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une comparaison à deux échantillons de proportions pour une variable catégorielle est un intervalle de type $z$ à deux échantillons pour une différence entre les proportions de population.

Objectif d'apprentissage UNC-4.J : Vérifier les conditions pour le calcul d'intervalles de confiance pour une différence entre proportions de population. [Compétence 4.C]

• UNC-4.J.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une différence entre proportions, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est approximativement normale (forme).
    • i. Pour les variables catégorielles, vérifier que $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$, et $n_2\left(1-\hat{p}_2\right)$ sont tous tous supérieurs ou égaux à une valeur prédéterminée, généralement 5 ou 10.

Objectif d'apprentissage UNC-4.K : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une comparaison de proportions de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.K.1 Pour une comparaison de proportions, l'estimation par intervalle est $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les estimations par intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.

Objectif d'apprentissage UNC-4.L : Calculer une estimation par intervalle basée sur un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 3.D]

• UNC-4.L.1 Les intervalles de confiance pour une différence de proportions peuvent être utilisés pour calculer des estimations par intervalle avec des unités spécifiées.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.M : Interpréter un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 4.B]

• UNC-4.M.1 Dans un échantillonnage aléatoire répété avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la différence dans les proportions de population.
• UNC-4.M.2 L'interprétation d'un intervalle de confiance pour une différence entre proportions de population doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.N : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 4.D]

• UNC-4.N.1 Un intervalle de confiance pour une différence de proportions de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.H : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une différence de deux proportions de population. [Compétence 1.F]

• VAR-6.H.1 Pour un test à deux échantillons pour une différence de deux proportions, l'hypothèse nulle spécifie une valeur de $0$ pour la différence dans les proportions de population, indiquant aucune différence ou effet.
• VAR-6.H.2 L'hypothèse nulle pour une différence de proportions est : $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$.
• VAR-6.H.3 Une hypothèse alternative unilatérale pour une différence de proportions est $H_a : p_1 < p_2$, ou, $H_a : p_1 > p_2$. Une hypothèse alternative bilatérale pour une différence de proportions est $H_a : p_1 \neq p_2$.

Objectif d'apprentissage VAR-6.I : Identifier une méthode de test appropriée pour la différence de deux proportions de population. [Compétence 1.E]

• VAR-6.I.1 Pour une variable catégorielle unique, la méthode de test appropriée pour la différence de deux proportions de population est un test $z$ à deux échantillons pour une différence entre deux proportions de population.

Objectif d'apprentissage VAR-6.J : Vérifier les conditions permettant de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence de deux proportions de population. [Compétence 4.C]

• VAR-6.J.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence entre des proportions de population, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Pour l'échantillon combiné, définissez la proportion combinée (ou groupée), $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$. En supposant que $H_0$ est vraie $(p_1 - p_2 = 0$ ou $p_1 = p_2)$, vérifiez que $n_1\hat{p}_c$, $n_1\left(1-\hat{p}_c\right)$, $n_2\hat{p}_c$, et $n_2\left(1-\hat{p}_c\right)$ sont tous supérieurs ou égaux à une valeur prédéterminée, généralement soit 5 ou 10.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.K : Calculer une statistique de test appropriée pour la différence de deux proportions de population. [Compétence 3.E]

• VAR-6.K.1 La statistique de test pour une différence de proportions est : $z = \dfrac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$, où $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$.
  • Éclaircissement : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites sur la base de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur type pour chacune des statistiques de test pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.C : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une différence de proportions de population. [Compétence 4.B]

• DAT-3.C.1 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de significativité pour une différence entre deux proportions de population doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que les vraies proportions de population sont égales les unes aux autres.

Objectif d'apprentissage DAT-3.D : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une différence de proportions de populations. [Compétence 4.E]

• DAT-3.D.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité $\alpha$. Si la valeur $p\text{-value} \leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.D.2 Les résultats d'un test de significativité pour une différence de deux proportions de populations peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche concernant les deux populations qui ont été échantillonnées.