AP Statistiques

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.A : Identifier les questions à répondre, basé sur la variation dans des données à une variable. [Compétence 1.A]

• VAR-1.A.1 Les nombres peuvent transmettre des informations significatives lorsqu'ils sont placés dans un contexte.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.B : Identifier les variables dans un ensemble de données. [Compétence 2.A]

• VAR-1.B.1 Une variable est une caractéristique qui change d'un individu à l'autre.

Objectif d'apprentissage VAR-1.C : Classer les types de variables. [Compétence 2.A]

• VAR-1.C.1 Une variable catégorielle prend des valeurs qui sont des noms de catégories ou des étiquettes de groupes.
• VAR-1.C.2 Une variable quantitative est celle qui prend des valeurs numériques pour une quantité mesurée ou comptée.
  • Exemples illustratifs pour VAR-1.C :
    • Variables catégorielles :
      • Main dominante
      • Groupe d'âge (jeune ou vieux)
      • Diplôme le plus élevé obtenu
    • Variables quantitatives :
      • Âge d'une structure
      • Taille d'un enfant
      • Concentration d'un échantillon

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.A : Représenter des données catégorielles à l'aide de tableaux de fréquences ou de fréquences relatives. [Compétence 2.B]

• UNC-1.A.1 Un tableau de fréquences donne le nombre de cas tombant dans chaque catégorie. Un tableau de fréquences relatives donne la proportion de cas tombant dans chaque catégorie.

Objectif d'apprentissage UNC-1.B : Décrire des données catégorielles représentées dans des tableaux de fréquences ou relatives. [Compétence 2.A]

• UNC-1.B.1 Les pourcentages, les fréquences relatives et les taux fournissent toutes les mêmes informations que les proportions.
• UNC-1.B.2 Les effectifs et les fréquences relatives des données catégorielles révèlent des informations qui peuvent être utilisées pour justifier des affirmations sur les données dans leur contexte.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.C : Représenter graphiquement des données catégorielles. [Compétence 2.B]

• UNC-1.C.1 Les diagrammes en barres (ou graphiques en barres) sont utilisés pour afficher les fréquences (effectifs) ou les fréquences relatives (proportions) pour des données catégorielles.
• UNC-1.C.2 La hauteur ou la longueur de chaque barre dans un graphique en barres correspond soit au nombre, soit à la proportion d'observations tombant dans chaque catégorie.
• UNC-1.C.3 Il existe de nombreuses autres façons de représenter les fréquences (effectifs) ou les fréquences relatives (proportions) pour des données catégorielles.

Objectif d'apprentissage UNC-1.D : Décrire des données catégorielles représentées graphiquement. [Compétence 2.A]

• UNC-1.D.1 Les représentations graphiques d'une variable catégorielle révèlent des informations qui peuvent être utilisées pour justifier des affirmations sur les données dans leur contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-1.E : Comparer plusieurs ensembles de données catégorielles. [Compétence 2.D]

• UNC-1.E.1 Des tableaux de fréquences, des diagrammes en barres ou d'autres représentations peuvent être utilisés pour comparer deux ensembles de données ou plus concernant la même variable catégorielle.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.F : Classer les types de variables quantitatives. [Compétence 2.A]

• UNC-1.F.1 Une variable discrète peut prendre un nombre dénombrable de valeurs. Le nombre de valeurs peut être fini ou infiniment dénombrable, comme avec les nombres entiers.
• UNC-1.F.2 Une variable continue peut prendre infiniment de valeurs, mais ces valeurs ne peuvent pas être comptées. Peu importe à quel point l'intervalle entre deux valeurs d'une variable continue est petit, il est toujours possible de déterminer une autre valeur entre elles.
  • Exemples illustratifs pour UNC-1.F :
    • Une variable discrète :
      • Nombre d'étudiants dans une classe
    • Une variable continue :
      • Taille d'un enfant

Objectif d'apprentissage UNC-1.G : Représenter graphiquement des données quantitatives. [Compétence 2.B]

• UNC-1.G.1 Dans un histogramme, la hauteur de chaque barre indique le nombre ou la proportion d'observations qui tombent dans l'intervalle correspondant à cette barre. Modifier les largeurs d'intervalle peut changer l'apparence de l'histogramme.
• UNC-1.G.2 Dans un diagramme tiges et feuilles, chaque valeur de données est divisée en une « tige » (le premier chiffre ou les premiers chiffres) et une « feuille » (généralement le dernier chiffre).
• UNC-1.G.3 Un nuage de points représente chaque observation par un point, dont la position sur l'axe horizontal correspond à la valeur de données de cette observation, avec des valeurs presque identiques empilées les unes sur les autres.
• UNC-1.G.4 Un graphique cumulatif représente le nombre ou la proportion d'un ensemble de données inférieur ou égal à un nombre donné.
• UNC-1.G.5 Il existe de nombreuses autres façons de représenter graphiquement les distributions de données quantitatives.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.H : Décrire les caractéristiques des distributions de données quantitatives. [Compétence 2.A]

• UNC-1.H.1 Les descriptions de la distribution de données quantitatives incluent la forme, le centre et la variabilité (dispersion), ainsi que toute caractéristique inhabituelle telle que des valeurs aberrantes, des intervalles, des amas ou plusieurs pics.
• UNC-1.H.2 Pour les données à une variable, les valeurs aberrantes sont des points de données anormalement petits ou grands par rapport au reste des données.
• UNC-1.H.3 Une distribution est asymétrique vers la droite (asymétrie positive) si la queue droite est plus longue que la gauche. Une distribution est asymétrique vers la gauche (asymétrie négative) si la queue gauche est plus longue que la droite. Une distribution est symétrique si la moitié gauche est l'image miroir de la moitié droite.
• UNC-1.H.4 Les graphiques univariés avec un seul pic principal sont appelés unimodaux. Les graphiques avec deux pics proéminents sont bimodaux. Un graphique où chaque hauteur de barre est approximativement la même (pas de pics proéminents) est approximativement uniforme.
• UNC-1.H.5 Un intervalle est une région d'une distribution entre deux valeurs de données où il n'y a pas de données observées.
• UNC-1.H.6 Les amas sont des concentrations de données généralement séparées par des intervalles.
• UNC-1.H.7 La statistique descriptive n'attribue pas les propriétés d'un ensemble de données à une population plus large, mais peut fournir la base pour des conjectures destinées à être testées ultérieurement.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.I : Calculer les mesures de centre et de position pour les données quantitatives. [Compétence 2.C]

• UNC-1.I.1 Une statistique est un résumé numérique de données d'échantillon.
• UNC-1.I.2 La moyenne est la somme de toutes les valeurs de données divisée par le nombre de valeurs. Pour un échantillon, la moyenne est notée $x$-barre : $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$, où $x_i$ représente le $i^{\text{th}}$ point de données dans l'échantillon et $n$ représente le nombre de valeurs de données dans l'échantillon.
• UNC-1.I.3 La médiane d'un ensemble de données est la valeur centrale lorsque les données sont ordonnées. Lorsque le nombre de points de données est pair, la médiane peut prendre n'importe quelle valeur entre les deux valeurs centrales. En statistiques AP, la valeur la plus couramment utilisée pour la médiane d'un ensemble de données avec un nombre pair de valeurs est la moyenne des deux valeurs centrales.
• UNC-1.I.4 Le premier quartile, Q1, est la médiane de la moitié de l'ensemble de données ordonnées allant du minimum à la position de la médiane. Le troisième quartile, Q3, est la médiane de la moitié de l'ensemble de données ordonnées allant de la position de la médiane au maximum. Q1 et Q3 forment les limites pour les 50 % centraux des valeurs dans un ensemble de données ordonné.
• UNC-1.I.5 Le $p^{\text{th}}$ percentile est interprété comme la valeur qui a $p\%$ des données inférieures ou égales à elle.

Objectif d'apprentissage UNC-1.J : Calculer les mesures de variabilité pour les données quantitatives. [Compétence 2.C]

• UNC-1.J.1 Trois mesures de variabilité (ou dispersion) couramment utilisées dans une distribution sont l'étendue, l'étendue interquartile et l'écart-type.
• UNC-1.J.2 L'étendue est définie comme la différence entre la valeur maximale de données et la valeur minimale de données. L'étendue interquartile (EIQ) est définie comme la différence entre le troisième et le premier quartile : $Q3 - Q1$. À la fois l'étendue et l'étendue interquartile sont des moyens possibles de mesurer la variabilité de la distribution d'une variable quantitative.
• UNC-1.J.3 L'écart-type est un moyen de mesurer la variabilité de la distribution d'une variable quantitative. Pour un échantillon, l'écart-type est noté $s$ : $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2}$. Le carré de l'écart-type de l'échantillon, $s^2$, est appelé la variance de l'échantillon.
• UNC-1.J.4 Changer les unités de mesure affecte les valeurs des statistiques calculées.

Objectif d'apprentissage UNC-1.K : Expliquer le choix d'une mesure particulière de centre et/ou de variabilité pour décrire un ensemble de données quantitatives. [Compétence 4.B]

• UNC-1.K.1 Il existe de nombreuses méthodes pour déterminer les valeurs aberrantes. Deux méthodes fréquemment utilisées dans ce cours sont :
  • UNC-1.K.1.i Une valeur aberrante est une valeur supérieure à $1.5 \times \text{IQR}$ au-dessus du troisième quartile ou inférieure à $1.5 \times \text{IQR}$ en dessous du premier quartile.
  • UNC-1.K.1.ii Une valeur aberrante est une valeur située à 2 écarts-types ou plus au-dessus, ou en dessous, de la moyenne.
• UNC-1.K.2 La moyenne, l'écart-type et l'étendue sont considérés comme non résistants (ou non robustes) car ils sont influencés par les valeurs aberrantes. La médiane et l'EIQ sont considérés comme résistants (ou robustes), car les valeurs aberrantes ne modifient pas grandement (si du tout) leur valeur.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.L : Représenter graphiquement les statistiques récapitulatives pour les données quantitatives. [Compétence 2.B]

• UNC-1.L.1 Ensemble, la valeur minimale de données, le premier quartile (Q1), la médiane, le troisième quartile (Q3) et la valeur maximale de données constituent le résumé à cinq nombres.
• UNC-1.L.2 Un diagramme en boîte est une représentation graphique du résumé à cinq nombres (minimum, premier quartile, médiane, troisième quartile, maximum). La boîte représente les 50 % centraux des données, avec une ligne à la médiane et les extrémités de la boîte correspondant aux quartiles. Des lignes (« moustaches ») s'étendent des quartiles vers le point le plus extrême qui n'est pas une valeur aberrante, et les valeurs aberrantes sont indiquées par leur propre symbole au-delà de celui-ci.

Objectif d'apprentissage UNC-1.M : Décrire les statistiques récapitulatives des données quantitatives représentées graphiquement. [Compétence 2.A]

• UNC-1.M.1 Les statistiques récapitulatives des données quantitatives, ou d'ensembles de données quantitatives, peuvent être utilisées pour justifier des affirmations sur les données dans leur contexte.
• UNC-1.M.2 Si une distribution est relativement symétrique, alors la moyenne et la médiane sont relativement proches l'une de l'autre. Si une distribution est asymétrique vers la droite, alors la moyenne est généralement à droite de la médiane. Si la distribution est asymétrique vers la gauche, alors la moyenne est généralement à gauche de la médiane.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.N : Comparer les représentations graphiques pour plusieurs ensembles de données quantitatives. [Compétence 2.D]

• UNC-1.N.1 N'importe quelle représentation graphique, p. ex., histogrammes, diagrammes en boîte côte à côte, etc., peut être utilisée pour comparer deux ou plusieurs échantillons indépendants sur le centre, la variabilité, les amas, les intervalles, les valeurs aberrantes et d'autres caractéristiques.

Objectif d'apprentissage UNC-1.O : Comparer les statistiques récapitulatives pour plusieurs ensembles de données quantitatives. [Compétence 2.D]

• UNC-1.O.1 N'importe quelles résumés numériques (p. ex., moyenne, écart-type, fréquence relative, etc.) peuvent être utilisés pour comparer deux ou plusieurs échantillons indépendants.

Compréhension durable (VAR-2) : La distribution normale peut être utilisée pour représenter certaines distributions de population.

Objectif d'apprentissage VAR-2.A : Comparer une distribution de données au modèle de distribution normale. [Compétence 2.D]

• VAR-2.A.1 Un paramètre est une synthèse numérique d'une population.
• VAR-2.A.2 Certains ensembles de données peuvent être décrits comme approximativement normalement distribués. Une courbe normale a une forme de cloche et est symétrique. Les paramètres d'une distribution normale sont la moyenne de la population, $\mu$, et l'écart-type de la population, $\sigma$.
• VAR-2.A.3 Pour une distribution normale, environ 68% des observations se trouvent dans 1 écart-type de la moyenne, environ 95% des observations se trouvent dans 2 écarts-types de la moyenne, et environ 99.7% des observations se trouvent dans 3 écarts-types de la moyenne. C'est ce qu'on appelle la règle empirique.
• VAR-2.A.4 De nombreuses variables peuvent être modélisées par une distribution normale.
  • Exemples illustratifs pour VAR-2.A :
    • Variables qui peuvent être modélisées par une distribution normale :
      • Température corporelle
      • Poids d'une tranche de pain

Objectif d'apprentissage VAR-2.B : Déterminer des proportions et des percentiles à partir d'une distribution normale. [Compétence 3.A]

• VAR-2.B.1 Une score standardisé pour une valeur de données particulière est calculé comme (valeur de données − moyenne)/(écart-type), et mesure le nombre d'écarts-types qu'une valeur de données se trouve au-dessus ou en dessous de la moyenne.
• VAR-2.B.2 Un exemple de score standardisé est un score $z$, qui est calculé comme $z\text{-score} = \left(\dfrac{x_i - \mu}{\sigma}\right)$. Un score $z$ mesure combien d'écarts-types une valeur de données est éloignée de la moyenne.
• VAR-2.B.3 La technologie, telle qu'une calculatrice, une table de loi normale standardisée ou une sortie générée par ordinateur, peut être utilisée pour trouver la proportion de valeurs de données situées sur un intervalle donné d'une variable aléatoire normalement distribuée.
• VAR-2.B.4 Étant donné l'aire d'une région sous la courbe de la distribution normale, il est possible d'utiliser la technologie, telle qu'une calculatrice, une table de loi normale standardisée ou une sortie générée par ordinateur, pour estimer les paramètres de certaines populations.

Objectif d'apprentissage VAR-2.C : Comparer les mesures de position relative dans des ensembles de données. [Compétence 2.D]

• VAR-2.C.1 Les percentiles et les scores $z$ peuvent être utilisés pour comparer les positions relatives de points au sein d'un ensemble de données ou entre des ensembles de données.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.D : Identifier les questions à répondre concernant les relations potentielles dans les données. [Compétence 1.A]

• VAR-1.D.1 Les motifs et associations apparents dans les données peuvent être aléatoires ou non.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.P : Comparer les représentations numériques et graphiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.D]

• UNC-1.P.1 Les graphiques à barres côte à côte, les graphiques à barres segmentés et les diagrammes en mosaïque sont des exemples de graphiques à barres pour une variable catégorielle, détaillés par catégories d'une autre variable catégorielle.
• UNC-1.P.2 Les représentations graphiques de deux variables catégorielles peuvent être utilisées pour comparer des distributions et/ou déterminer si les variables sont associées.
• UNC-1.P.3 Un tableau croisé, également appelé tableau de contingence, est utilisé pour résumer deux variables catégorielles. Les entrées dans les cellules peuvent être des comptes de fréquences ou des fréquences relatives.
• UNC-1.P.4 Une fréquence relative jointe est une fréquence de cellule divisée par le total pour l'ensemble du tableau.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.Q : Calculer les statistiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.C]

• UNC-1.Q.1 Les fréquences relatives marginales sont les totaux de ligne et de colonne dans un tableau croisé divisés par le total pour l'ensemble du tableau.
• UNC-1.Q.2 Une fréquence relative conditionnelle est une fréquence relative pour une partie spécifique du tableau de contingence (p. ex., fréquences de cellules dans une ligne divisées par le total pour cette ligne).

Objectif d'apprentissage UNC-1.R : Comparer les statistiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.D]

• UNC-1.R.1 Les statistiques récapitulatives pour deux variables catégorielles peuvent être utilisées pour comparer des distributions et/ou déterminer si les variables sont associées.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.S : Représenter des données quantitatives bivariées à l'aide de nuages de points. [Compétence 2.B]

• UNC-1.S.1 Un ensemble de données quantitatives bivariées consiste en des observations de deux variables quantitatives différentes faites sur des individus dans un échantillon ou une population.
• UNC-1.S.2 Un nuage de points montre deux valeurs numériques pour chaque observation, l'une correspondant à la valeur sur l'axe $x$ et l'autre correspondant à la valeur sur l'axe $y$.
• UNC-1.S.3 Une variable explicative est une variable dont les valeurs sont utilisées pour expliquer ou prédire les valeurs correspondantes pour la variable réponse.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.A : Décrire les caractéristiques d'un nuage de points. [Compétence 2.A]

• DAT-1.A.1 Une description d'un nuage de points comprend la forme, la direction, la force et les caractéristiques inhabituelles.
• DAT-1.A.2 La direction de l'association montrée dans un nuage de points, s'il y en a une, peut être décrite comme positive ou négative.
• DAT-1.A.3 Une association positive signifie qu'à mesure que les valeurs d'une variable augmentent, les valeurs de l'autre variable ont tendance à augmenter. Une association négative signifie qu'à mesure que les valeurs d'une variable augmentent, les valeurs de l'autre variable ont tendance à diminuer.
• DAT-1.A.4 La forme de l'association montrée dans un nuage de points, s'il y en a une, peut être décrite comme linéaire ou non-linéaire à divers degrés.
• DAT-1.A.5 La force de l'association est la mesure dans laquelle les points individuels suivent un motif spécifique, p. ex., linéaire, et peut être montrée dans un nuage de points. La force peut être décrite comme forte, modérée ou faible.
• DAT-1.A.6 Les caractéristiques inhabituelles d'un nuage de points incluent des regroupements de points ou des points présentant des écarts relativement importants entre la valeur de la variable réponse et une valeur prédite pour cette variable.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.B : Déterminer la corrélation pour une relation linéaire. [Compétence 2.C]

• DAT-1.B.1 La corrélation, $r$, donne la direction et quantifie la force de l'association linéaire entre deux variables quantitatives.
• DAT-1.B.2 Le coefficient de corrélation peut être calculé par : $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Cependant, le moyen le plus courant de déterminer $r$ est d'utiliser une technologie.
• DAT-1.B.3 Un coefficient de corrélation proche de 1 ou de $-1$ ne signifie pas nécessairement qu'un modèle linéaire est approprié.

Objectif d'apprentissage DAT-1.C : Interpréter la corrélation pour une relation linéaire. [Compétence 4.B]

• DAT-1.C.1 La corrélation, $r$, est sans unité, et toujours comprise entre $-1$ et 1, inclus. Une valeur de $r = 0$ indique qu'il n'y a aucune association linéaire. Une valeur de $r = 1$ ou de $r = -1$ indique qu'il y a une association linéaire parfaite.
• DAT-1.C.2 Une relation perçue ou réelle entre deux variables ne signifie pas que les changements dans une variable causent des changements dans l'autre. Autrement dit, la corrélation n'implique pas nécessairement la causalité.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.D : Calculer une valeur de réponse prédite en utilisant un modèle de régression linéaire. [Compétence 2.C]

• DAT-1.D.1 Un modèle de régression linéaire simple est une équation qui utilise une variable explicative, $x$, pour prédire la variable réponse, $y$.
• DAT-1.D.2 La valeur de réponse prédite, notée $\hat{y}$, est calculée comme $\hat{y} = a + bx$, où $a$ est l'ordonnée à l'origine $y$ et $b$ est la pente de la droite de régression, et $x$ est la valeur de la variable explicative.
• DAT-1.D.3 L'extrapolation consiste à prédire une valeur de réponse en utilisant une valeur pour la variable explicative qui se situe au-delà de l'intervalle des valeurs de $x$ utilisées pour déterminer la droite de régression. La valeur prédite est moins fiable en tant qu'estimation plus nous extrapolons.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.E : Représenter les différences entre les réponses mesurées et prédites à l'aide de graphiques de résidus. [Compétence 2.B]

• DAT-1.E.1 Le résidu est la différence entre la valeur réelle et la valeur prédite : $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Un graphique de résidus est un graphique des résidus par rapport aux valeurs de la variable explicative ou aux valeurs de réponse prédites.

Objectif d'apprentissage DAT-1.F : Décrire la forme de l'association des données bivariées à l'aide de graphiques de résidus. [Compétence 2.A]

• DAT-1.F.1 L'apparente randomisation dans un graphique de résidus pour un modèle linéaire est une preuve d'une forme linéaire à l'association entre les variables.
• DAT-1.F.2 Les graphiques de résidus peuvent être utilisés pour examiner l'adéquation d'un modèle sélectionné.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.G : Estimer les paramètres du modèle de la droite de régression des moindres carrés. [Compétence 2.C]

• DAT-1.G.1 Le modèle de régression des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus et contient le point $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 La pente, $b$, de la droite de régression peut être calculée comme $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ où $r$ est la corrélation entre $x$ et $y$, $s_y$ est l'écart-type échantillonnal de la variable réponse, $y$, et $s_x$ est l'écart-type échantillonnal de la variable explicative, $x$.
• DAT-1.G.3 Parfois, l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite n'a pas d'interprétation logique dans le contexte.
• DAT-1.G.4 En régression linéaire simple, $r^2$ est le carré de la corrélation, $r$. On l'appelle également le coefficient de détermination. $r^2$ représente la proportion de variation de la variable réponse expliquée par la variable explicative dans le modèle.

Objectif d'apprentissage DAT-1.H : Interpréter les coefficients du modèle de la droite de régression des moindres carrés. [Compétence 4.B]

• DAT-1.H.1 Les coefficients du modèle de régression des moindres carrés sont la pente estimée et l'ordonnée à l'origine $y$.
• DAT-1.H.2 La pente est la quantité dont la valeur $y$ prédite change pour chaque augmentation d'une unité de $x$.
• DAT-1.H.3 La valeur de l'ordonnée à l'origine $y$ est la valeur prédite de la variable de réponse lorsque la variable explicative est égale à $0$. La formule pour l'ordonnée à l'origine $y$, $a$, est $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.I : Identifier les points influents en régression. [Compétence 2.A]

• DAT-1.I.1 Un point aberrant en régression est un point qui ne suit pas la tendance générale montrée dans le reste des données et présente un grand résidu lorsque la Droite de Régression des Moindres Carrés (DRMC) est calculée.
• DAT-1.I.2 Un point à fort levier en régression a une valeur $x$ nettement plus grande ou plus petite que celle des autres observations.
• DAT-1.I.3 Un point influent en régression est tout point dont la suppression modifie substantiellement la relation. Cela peut se traduire par une pente, une ordonnée à l'origine $y$ et/ou une corrélation très différentes. Les valeurs aberrantes et les points à forte levier sont souvent influents.

Objectif d'apprentissage DAT-1.J : Calculer une réponse prédite en utilisant une droite de régression des moindres carrés pour un ensemble de données transformées. [Compétence 2.C]

• DAT-1.J.1 Les transformations de variables, telles que l'évaluation du logarithme naturel de chaque valeur de la variable réponse ou le carré de chaque valeur de la variable explicative, peuvent être utilisées pour créer des ensembles de données transformées, qui peuvent être plus linéaires que les données non transformées.
• DAT-1.J.2 Une augmentation de l'aléatoire dans les diagrammes de résidus après transformation des données et/ou un mouvement de $r^2$ vers une valeur plus proche de 1 offre la preuve que la droite de régression des moindres carrés pour les données transformées est un modèle plus approprié à utiliser pour prédire les réponses à la variable explicative que la droite de régression pour les données non transformées.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.E : Identifier les questions à répondre concernant les méthodes de collecte de données. [Compétence 1.A]

• VAR-1.E.1 Les méthodes de collecte de données qui ne reposent pas sur le hasard aboutissent à des conclusions non fiables.

Compréhension essentielle (DAT-2) : La façon dont nous collectons les données influence ce que nous pouvons et ne pouvons pas dire sur une population.

Objectif d'apprentissage DAT-2.A : Identifier le type d'étude. [Compétence 1.C]

• DAT-2.A.1 Une population consiste en tous les éléments ou sujets d'intérêt.
• DAT-2.A.2 Un échantillon sélectionné pour l'étude est un sous-ensemble de la population.
• DAT-2.A.3 Dans une étude observationnelle, les traitements ne sont pas imposés. Les enquêteurs examinent les données pour un échantillon d'individus (rétrospectif) ou suivent un échantillon d'individus vers l'avenir en collectant des données (prospectif) afin d'enquêter sur un sujet d'intérêt concernant la population. Un sondage est un type d'étude observationnelle qui collecte des données auprès d'un échantillon dans le but d'en apprendre davantage sur la population dont l'échantillon provient.
• DAT-2.A.4 Dans une expérience, différentes conditions (traitements) sont assignées aux unités expérimentales (participants ou sujets).

Objectif d'apprentissage DAT-2.B : Identifier les généralisations et déterminations appropriées basées sur des études observationnelles. [Compétence 4.A]

• DAT-2.B.1 Il n'est approprié de faire des généralisations sur une population que sur la base d'échantillons sélectionnés aléatoirement ou autrement représentatifs de cette population.
• DAT-2.B.2 Un échantillon n'est généralisable que vers la population à partir de laquelle il a été sélectionné.
• DAT-2.B.3 Il n'est pas possible de déterminer des relations causales entre les variables en utilisant des données collectées dans une étude observationnelle.

Compréhension essentielle (DAT-2) : La façon dont nous collectons les données influence ce que nous pouvons et ne pouvons pas dire sur une population.

Objectif d'apprentissage DAT-2.C : Identifier une méthode d'échantillonnage, étant donné une description d'une étude. [Compétence 1.C]

• DAT-2.C.1 Lorsqu'un élément d'une population ne peut être sélectionné qu'une seule fois, on parle d'échantillonnage sans remise. Lorsqu'un élément de la population peut être sélectionné plus d'une fois, on parle d'échantillonnage avec remise.
• DAT-2.C.2 Un échantillon aléatoire simple (EAS) est un échantillon dans lequel chaque groupe de taille donnée a une chance égale d'être choisi. Cette méthode est la base de nombreux types de mécanismes d'échantillonnage. Quelques exemples de mécanismes utilisés pour obtenir des EAS incluent la numérotation des individus et l'utilisation d'un générateur de nombres aléatoires pour sélectionner lesquels inclure dans l'échantillon, en ignorant les répétitions, l'utilisation d'une table de nombres aléatoires, ou le tirage d'une carte d'un jeu de cartes sans remise.
• DAT-2.C.3 Un échantillon aléatoire stratifié implique la division d'une population en groupes séparés, appelés strates, basés sur des attributs ou caractéristiques partagées (groupement homogène). À l'intérieur de chaque strate, un échantillon aléatoire simple est sélectionné, et les unités sélectionnées sont combinées pour former l'échantillon.
• DAT-2.C.4 Un échantillon par grappes implique la division d'une population en petits groupes, appelés grappes. Idéalement, il y a de l'hétérogénéité au sein de chaque grappe, et les grappes sont similaires les unes aux autres dans leur composition. Un échantillon aléatoire simple de grappes est sélectionné à partir de la population pour former l'échantillon de grappes. Les données sont collectées auprès de toutes les observations dans les grappes sélectionnées.
• DAT-2.C.5 Un échantillon aléatoire systématique est une méthode selon laquelle les membres de l'échantillon d'une population sont sélectionnés selon un point de départ aléatoire et un intervalle fixe et périodique.
• DAT-2.C.6 Un recensement sélectionne tous les éléments/sujets d'une population.

Objectif d'apprentissage DAT-2.D : Expliquer pourquoi une méthode d'échantillonnage particulière est ou n'est pas appropriée pour une situation donnée. [Compétence 1.C]

• DAT-2.D.1 Il y a des avantages et des inconvénients pour chaque méthode d'échantillonnage dépendant de la question à répondre et de la population à partir de laquelle l'échantillon sera tiré.

Compréhension essentielle (DAT-2) : La façon dont nous collectons les données influence ce que nous pouvons et ne pouvons pas dire sur une population.

Objectif d'apprentissage DAT-2.E : Identifier les sources potentielles de biais dans les méthodes d'échantillonnage. [Compétence 1.C]

• DAT-2.E.1 Le biais se produit lorsque certaines réponses sont systématiquement favorisées par rapport à d'autres.
• DAT-2.E.2 Lorsqu'un échantillon est composé entièrement de volontaires ou de personnes qui choisissent de participer, l'échantillon ne sera généralement pas représentatif de la population (biais de réponse volontaire).
• DAT-2.E.3 Lorsqu'une partie de la population a une probabilité réduite d'être incluse dans l'échantillon, celui-ci ne sera généralement pas représentatif de la population (biais de sous-couverture).
• DAT-2.E.4 Les individus sélectionnés pour l'échantillon pour lesquels les données ne peuvent être obtenues (ou qui refusent de répondre) peuvent différer de ceux pour lesquels les données peuvent être obtenues (biais de non-réponse).
• DAT-2.E.5 Des problèmes dans l'instrument ou le processus de collecte des données entraînent un biais de réponse. Exemples : questions confuses ou orientantes (biais de formulation des questions) et réponses auto-déclarées.
• DAT-2.E.6 Les méthodes d'échantillonnage non aléatoires (par exemple, échantillons choisis par commodité ou par réponse volontaire) introduisent un potentiel de biais car elles n'utilisent pas le hasard pour sélectionner les individus.

Compréhension durable (VAR-3) : Une expérience bien conçue peut établir des preuves de relations causales.

Objectif d'apprentissage VAR-3.A : Identifier les composantes d'une expérience. [Compétence 1.C]

• VAR-3.A.1 Les unités expérimentales sont les individus (qui peuvent être des personnes ou d'autres objets d'étude) auxquels des traitements sont assignés. Lorsque les unités expérimentales consistent en des personnes, elles sont parfois désignées comme participants ou sujets.
• VAR-3.A.2 Une variable explicative (ou facteur) dans une expérience est une variable dont les niveaux sont manipulés intentionnellement. Les niveaux ou combinaisons de niveaux de la variable explicative(s) sont appelés traitements.
• VAR-3.A.3 Une variable réponse dans une expérience est un résultat provenant des unités expérimentales qui est mesuré après l'administration des traitements.
• VAR-3.A.4 Une variable de confusion dans une expérience est une variable liée à la variable explicative et influençant la variable réponse, pouvant créer une fausse perception d'association entre les deux.

Objectif d'apprentissage VAR-3.B : Décrire les éléments d'une expérience bien conçue. [Compétence 1.B]

• VAR-3.B.1 Une expérience bien conçue doit comprendre ce qui suit :
  • a. Comparaisons d'au moins deux groupes de traitement, dont l'un pourrait être un groupe témoin.
  • b. Affectation/allocation aléatoire des traitements aux unités expérimentales.
  • c. Réplication (plus d'une unité expérimentale dans chaque groupe de traitement).
  • d. Contrôle des variables de confusion potentielles lorsque cela est approprié.

Objectif d'apprentissage VAR-3.C : Comparer les conceptions et méthodes expérimentales. [Compétence 1.C]

• VAR-3.C.1 Dans une conception entièrement randomisée, les traitements sont assignés aux unités expérimentales complètement au hasard. L'affectation aléatoire tend à équilibrer les effets des variables non contrôlées (de confusion) afin que les différences dans les réponses puissent être attribuées aux traitements.
• VAR-3.C.2 Les méthodes pour affecter aléatoirement des traitements aux unités expérimentales dans une conception entièrement randomisée incluent l'utilisation d'un générateur de nombres aléatoires, d'une table de valeurs aléatoires, du tirage de jetons sans remise, etc.
• VAR-3.C.3 Dans une expérience simple-aveugle, les sujets ne savent pas quel traitement ils reçoivent, mais les membres de l'équipe de recherche le savent, ou vice versa.
• VAR-3.C.4 Dans une expérience double-aveugle, ni les sujets ni les membres de l'équipe de recherche interagissant avec eux ne savent quel traitement un sujet reçoit.
• VAR-3.C.5 Un groupe témoin est un ensemble d'unités expérimentales ne recevant ni un traitement d'intérêt ni un traitement contenant une substance inactive (placebo), afin de déterminer si le traitement d'intérêt a un effet.
• VAR-3.C.6 L'effet placebo se produit lorsque les unités expérimentales ont une réponse à un placebo.
• VAR-3.C.7 Pour les conceptions à blocs complets randomisés, les traitements sont assignés complètement au hasard au sein de chaque bloc.
• VAR-3.C.8 Le blocage garantit qu'au début de l'expérience, les unités au sein de chaque bloc sont similaires les unes aux autres concernant au moins une variable de blocage. Une conception à blocs randomisés aide à séparer la variabilité naturelle des différences dues à la variable de blocage.
• VAR-3.C.9 Une conception par paires appariées est un cas particulier d'une conception à blocs randomisés. En utilisant une variable de blocage, les sujets (qu'ils soient des personnes ou non) sont disposés en paires appariées sur des facteurs pertinents. Les paires appariées peuvent se former naturellement ou par l'expérimentateur. Chaque paire reçoit les deux traitements en assignant aléatoirement un traitement à un membre de la paire et en attribuant ultérieurement le traitement restant au second membre de la paire. Alternativement, chaque sujet peut recevoir les deux traitements.

Compréhension durable (VAR-3) : Une expérience bien conçue peut établir des preuves de relations causales.

Objectif d'apprentissage VAR-3.D : Expliquer pourquoi une conception expérimentale particulière est appropriée. [Compétence 1.C]

• VAR-3.D.1 Il y a des avantages et des inconvénients pour chaque conception expérimentale selon la question d'intérêt, les ressources disponibles et la nature des unités expérimentales.

Compréhension durable (VAR-3) : Une expérience bien conçue peut établir des preuves de relations causales.

Objectif d'apprentissage VAR-3.E : Interpréter les résultats d'une expérience bien conçue. [Compétence 4.B]

• VAR-3.E.1 L'inférence statistique attribue des conclusions basées sur des données à la distribution d'où proviennent ces données.
• VAR-3.E.2 L'affectation aléatoire des traitements aux unités expérimentales permet aux chercheurs de conclure que certains changements observés sont si importants qu'il est peu probable qu'ils soient dus au hasard. De tels changements sont dits statistiquement significatifs.
• VAR-3.E.3 Des différences statistiquement significatives entre ou parmi les groupes de traitement expérimental constituent des preuves que les traitements ont causé l'effet.
• VAR-3.E.4 Si les unités expérimentales utilisées dans une expérience sont représentatives d'un plus grand groupe d'unités, les résultats d'une expérience peuvent être généralisés à ce plus grand groupe. Une sélection aléatoire des unités expérimentales offre de meilleures chances que celles-ci soient représentatives.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.F : Identifier les questions suggérées par les motifs dans les données. [Compétence 1.A]

• VAR-1.F.1 Les motifs dans les données ne signifient pas nécessairement que la variation n'est pas aléatoire.

Compréhension durable (UNC-2) : La simulation nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-2.A : Estimer les probabilités à l'aide de simulations. [Compétence 3.A]

• UNC-2.A.1 Un processus aléatoire génère des résultats déterminés par le hasard.
• UNC-2.A.2 Un résultat est la conséquence d'un essai d'un processus aléatoire.
• UNC-2.A.3 Un événement est un ensemble de résultats.
• UNC-2.A.4 La simulation est un moyen de modéliser des événements aléatoires, de sorte que les résultats simulés correspondent étroitement aux résultats réels. Tous les résultats possibles sont associés à une valeur à déterminer par le hasard. Enregistrer les comptes des résultats simulés et le total des comptes.
• UNC-2.A.5 La fréquence relative d'un résultat ou d'un événement dans des données simulées ou empiriques peut être utilisée pour estimer la probabilité de ce résultat ou événement.
• UNC-2.A.6 La loi des grands nombres stipule que les probabilités simulées (empiriques) ont tendance à se rapprocher de la vraie probabilité lorsque le nombre d'essais augmente.
  • Exemples illustratifs pour UNC-2.A :
    • Un résultat : Obtenir une valeur particulière sur un dé à six faces est l'un des six résultats possibles.
    • Un événement : Lors du lancer de deux dés à six faces, un événement serait une somme de sept. L'ensemble correspondant des résultats serait $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ et $(6, 1)$, où les paires ordonnées indiquent (valeur de la face sur un dé, valeur de la face sur l'autre dé).

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.A : Calculer les probabilités pour des événements et leurs compléments. [Compétence 3.A]

• VAR-4.A.1 L'espace échantillonnal d'un processus aléatoire est l'ensemble de tous les résultats possibles non chevauchants.
• VAR-4.A.2 Si toutes les issues de l'espace sample sont également probables, alors la probabilité qu'un événement E se produise est définie comme la fraction : $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
• VAR-4.A.3 La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1, inclus.
• VAR-4.A.4 La probabilité du complément d'un événement E, $E'$ ou $E^{C}$ (c'est-à-dire non E), est égale à $1 - P(E)$.

Objectif d'apprentissage VAR-4.B : Interpréter les probabilités pour des événements. [Compétence 4.B]

• VAR-4.B.1 Les probabilités d'événements dans des situations répétitives peuvent être interprétées comme la fréquence relative avec laquelle l'événement se produira à long terme.

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.C : Expliquer pourquoi deux événements sont (ou ne sont pas) mutuellement exclusifs. [Compétence 4.B]

• VAR-4.C.1 La probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux, parfois appelée probabilité conjointe, est la probabilité de l'intersection de $A$ et $B$, notée $P(A \cap B)$.
• VAR-4.C.2 Deux événements sont mutuellement exclusifs ou disjoints s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Donc $P(A \cap B) = 0$.

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.D : Calculer les probabilités conditionnelles. [Compétence 3.A]

• VAR-4.D.1 La probabilité que l'événement $A$ se produise sachant que l'événement $B$ s'est produit est appelée probabilité conditionnelle et notée $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• VAR-4.D.2 La règle de multiplication stipule que la probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux est égale à la probabilité que l'événement $A$ se produise multipliée par la probabilité que l'événement $B$ se produise, sachant que $A$ s'est produit. Cela se note $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.E : Calculer les probabilités pour des événements indépendants et pour l'union de deux événements. [Compétence 3.A]

• VAR-4.E.1 Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, savoir si l'événement $A$ s'est produit (ou se produira) ne change pas la probabilité que l'événement $B$ se produise.
• VAR-4.E.2 Si, et seulement si, les événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ et $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• VAR-4.E.3 La probabilité que l'événement $A$ ou l'événement $B$ (ou les deux) se produise est la probabilité de l'union de $A$ et $B$, notée $P(A \cup B)$.
• VAR-4.E.4 La règle d'addition stipule que la probabilité que l'événement $A$ ou l'événement $B$ ou les deux se produise est égale à la probabilité que l'événement $A$ se produise plus la probabilité que l'événement $B$ se produise moins la probabilité que les deux événements $A$ et $B$ se produisent. Cela se note $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.A : Représenter la distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 2.B]

• VAR-5.A.1 Les valeurs d'une variable aléatoire sont les résultats numériques du comportement aléatoire.
• VAR-5.A.2 Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Chaque valeur a une probabilité associée. La somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles doit être égale à 1.
• VAR-5.A.3 Une distribution de probabilité peut être représentée sous forme de graphique, de tableau ou de fonction montrant les probabilités associées aux valeurs d'une variable aléatoire.
• VAR-5.A.4 Une distribution de probabilité cumulative peut être représentée sous forme de tableau ou de fonction montrant la probabilité d'être inférieur ou égal à chaque valeur de la variable aléatoire.
  • Exemples illustratifs pour VAR-5.A : Résultats d'essais d'un processus aléatoire :
    • La somme des résultats pour le lancer de deux dés
    • Le nombre de chiots dans une portée sélectionnée au hasard chez une certaine race de chien

Objectif d'apprentissage VAR-5.B : Interpréter une distribution de probabilité. [Compétence 4.B]

• VAR-5.B.1 Une interprétation d'une distribution de probabilité fournit des informations sur la forme, le centre et la dispersion d'une population et permet de tirer des conclusions sur la population d'intérêt.

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.C : Calculer les paramètres d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 3.B]

• VAR-5.C.1 Une valeur numérique mesurant une caractéristique d'une population ou la distribution d'une variable aléatoire est connue sous le nom de paramètre, qui est une valeur unique et fixe.
• VAR-5.C.2 La moyenne, ou valeur attendue, pour une variable aléatoire discrète $X$ est $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
• VAR-5.C.3 L'écart-type pour une variable aléatoire discrète $X$ est $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Objectif d'apprentissage VAR-5.D : Interpréter les paramètres d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 4.B]

• VAR-5.D.1 Les paramètres d'une variable aléatoire discrète doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population spécifique.

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.E : Calculer les paramètres des combinaisons linéaires de variables aléatoires. [Compétence 3.B]

• VAR-5.E.1 Pour les variables aléatoires $X$ et $Y$ et les nombres réels $a$ et $b$, la moyenne de $aX + bY$ est $a\mu_x + b\mu_y$.
• VAR-5.E.2 Deux variables aléatoires sont indépendantes si le fait de connaître des informations sur l'une d'elles ne modifie pas la distribution de probabilité de l'autre.
• VAR-5.E.3 Pour des variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ et des nombres réels $a$ et $b$, la moyenne de $aX + bY$ est $a\mu_x + b\mu_y$, et la variance de $aX + bY$ est $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Objectif d'apprentissage VAR-5.F : Décrire les effets des transformations linéaires des paramètres des variables aléatoires. [Compétence 3.C]

• VAR-5.F.1 Pour $Y = a + bX$, la distribution de probabilité de la variable aléatoire transformée, $Y$, a la même forme que la distribution de probabilité pour $X$, tant que $a > 0$ et $b > 0$. La moyenne de $Y$ est $\mu_y = a + b\mu_x$. L'écart-type de $Y$ est $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.A : Estimer les probabilités de variables aléatoires binomiales en utilisant des données de simulation. [Compétence 3.A]

• UNC-3.A.1 Une distribution de probabilité peut être construite en utilisant les règles de probabilité ou estimée avec une simulation utilisant des générateurs de nombres aléatoires.
• UNC-3.A.2 Une variable aléatoire binomiale, $X$, compte le nombre de succès dans $n$ essais indépendants répétés, chaque essai ayant deux issues possibles (succès ou échec), avec la probabilité de succès $p$ et la probabilité d'échec $1 - p$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.B : Calculer les probabilités pour une distribution binomiale. [Compétence 3.A]

• UNC-3.B.1 La probabilité qu'une variable aléatoire binomiale, $X$, ait exactement $x$ succès pour $n$ essais indépendants, lorsque la probabilité de succès est $p$, est calculée comme $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. C'est la fonction de probabilité binomiale.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.C : Calculer les paramètres d'une distribution binomiale. [Compétence 3.B]

• UNC-3.C.1 Si une variable aléatoire est binomiale, sa moyenne, $\mu_x$, est $np$ et son écart-type, $\sigma_x$, est $\sqrt{np(1 - p)}$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.D : Interpréter les probabilités et les paramètres d'une distribution binomiale. [Compétence 4.B]

• UNC-3.D.1 Les probabilités et les paramètres d'une distribution binomiale doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population ou situation spécifique.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.E : Calculer les probabilités pour des variables aléatoires géométriques. [Compétence 3.A]

• UNC-3.E.1 Pour une série d'essais indépendants, une variable aléatoire géométrique, $X$, donne le numéro de l'essai auquel survient le premier succès. Chaque essai a deux issues possibles (succès ou échec) avec la probabilité de succès $p$ et la probabilité d'échec $1 - p$.
• UNC-3.E.2 La probabilité que le premier succès pour des essais indépendants répétés avec une probabilité de succès $p$ survienne à l'essai $x$ est calculée comme $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. C'est la fonction de probabilité géométrique.

Objectif d'apprentissage UNC-3.F : Calculer les paramètres d'une distribution géométrique. [Compétence 3.B]

• UNC-3.F.1 Si une variable aléatoire est géométrique, sa moyenne, $\mu_x$, est $\dfrac{1}{p}$ et son écart-type, $\sigma_x$, est $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.G : Interpréter les probabilités et les paramètres d'une distribution géométrique. [Compétence 4.B]

• UNC-3.G.1 Les probabilités et les paramètres d'une distribution géométrique doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population ou situation spécifique.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.G : Identifier les questions suggérées par la variation des statistiques pour des échantillons collectés dans la même population. [Compétence 1.A]

• VAR-1.G.1 La variation des statistiques pour des échantillons prélevés dans la même population peut être aléatoire ou non.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.A : Calculer la probabilité qu'une valeur particulière se trouve dans un intervalle donné d'une distribution normale. [Compétence 3.A]

• VAR-6.A.1 Une variable aléatoire continue est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un domaine spécifié. Chaque intervalle dans le domaine a une probabilité associée.
• VAR-6.A.2 Une variable aléatoire continue avec une distribution normale est couramment utilisée pour décrire des populations. La distribution d'une variable aléatoire normale peut être décrite par une courbe normale ou en « forme de cloche ».
• VAR-6.A.3 L'aire sous une courbe normale sur un intervalle donné représente la probabilité qu'une valeur particulière se trouve dans cet intervalle.
  • Exemples illustratifs pour VAR-6.A : Variable aléatoire continue : Si l'on regarde une horloge à un moment aléatoire, la probabilité que l'aiguille des minutes soit entre 3 et 6 est un quart.

Objectif d'apprentissage VAR-6.B : Déterminer l'intervalle associé à une aire donnée dans une distribution normale. [Compétence 3.A]

• VAR-6.B.1 Les bornes d'un intervalle associé à une zone donnée dans une distribution normale peuvent être déterminées à l'aide de scores $z$ ou de technologies, telles qu'une calculatrice, une table de la loi normale standard ou des sorties générées par ordinateur.
• VAR-6.B.2 Les intervalles associés à une aire donnée dans une distribution normale peuvent être déterminés en attribuant des inégalités appropriées aux bornes des intervalles :
  • a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ signifie que le bas $p\%$ de valeurs se trouvent à gauche de $x_a$.
  • b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ signifie que $p\%$ de valeurs se trouvent entre $x_a$ et $x_b$.
  • c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ signifie que les $p\%$ plus élevés de valeurs se trouvent à droite de $x_b$.
  • d. Pour déterminer les valeurs les plus extrêmes $p\%$, il faut diviser l'aire associée à $p\%$ en deux parties égales de part et d'autre de la distribution : $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ et $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ signifie que la moitié des $p\%$ valeurs les plus extrêmes se trouvent à gauche de $x_a$ et la moitié des $p\%$ valeurs les plus extrêmes se trouvent à droite de $x_b$.

Objectif d'apprentissage VAR-6.C : Déterminer l'opportunité d'utiliser la distribution normale pour approximer les probabilités pour des distributions inconnues. [Compétence 3.C]

• VAR-6.C.1 Les distributions normales sont symétriques et en « forme de cloche ». Par conséquent, elles peuvent être utilisées pour approximer des distributions ayant des caractéristiques similaires.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.H : Estimer les distributions d'échantillonnage en utilisant la simulation. [Compétence 3.C]

• UNC-3.H.1 Une distribution d'échantillonnage d'une statistique est la distribution des valeurs de cette statistique pour tous les échantillons possibles d'une taille donnée provenant d'une population donnée.
• UNC-3.H.2 Le théorème central limite (TCL) stipule que lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, une distribution d'échantillonnage de la moyenne d'une variable aléatoire sera approximativement normalement distribuée.
• UNC-3.H.3 Le théorème central limite exige que les valeurs de l'échantillon soient indépendantes les unes des autres et que $n$ soit suffisamment grand.
• UNC-3.H.4 Une distribution de randomisation est un ensemble de statistiques générées par simulation en supposant des valeurs connues pour les paramètres. Pour une expérience randomisée, cela signifie réallouer/réattribuer à nouveau aléatoirement les valeurs de la variable réponse aux groupes de traitement.
• UNC-3.H.5 La distribution d'échantillonnage d'une statistique peut être simulée en générant des échantillons aléatoires répétés à partir d'une population.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.I : Expliquer pourquoi un estimateur est ou n'est pas sans biais. [Compétence 4.B]

• UNC-3.I.1 Lors de l'estimation d'un paramètre de population, un estimateur est sans biais si, en moyenne, la valeur de l'estimateur est égale au paramètre de la population.

Objectif d'apprentissage UNC-3.J : Calculer des estimations pour un paramètre de population. [Compétence 3.B]

• UNC-3.J.1 Lors de l'estimation d'un paramètre de population, un estimateur présente une variabilité qui peut être modélisée à l'aide de probabilités.
• UNC-3.J.2 Une statistique d'échantillon est un estimateur ponctuel du paramètre de population correspondant.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.K : Déterminer les paramètres d'une distribution d'échantillonnage pour les proportions d'échantillon. [Compétence 3.B]

• UNC-3.K.1 Pour des échantillons indépendants (tirage avec remise) d'une variable catégorielle provenant d'une population avec proportion de population $p$, la distribution d'échantillonnage de la proportion d'échantillon, $\hat{p}$, a une moyenne, $\mu_{\hat{p}} = p$ et un écart-type, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
• UNC-3.K.2 Si le tirage est effectué sans remise, l'écart-type de la proportion d'échantillon est inférieur à celui donné par la formule ci-dessus. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 10 % de la taille de la population, la différence est négligeable.

Objectif d'apprentissage UNC-3.L : Déterminer si une distribution d'échantillonnage pour une proportion d'échantillon peut être décrite comme approximativement normale. [Compétence 3.C]

• UNC-3.L.1 Pour une variable catégorielle, la distribution d'échantillonnage de la proportion d'échantillon, $\hat{p}$, aura une distribution approximativement normale, à condition que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande : $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Objectif d'apprentissage UNC-3.M : Interpréter les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une proportion d'échantillon. [Compétence 4.B]

• UNC-3.M.1 Les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une proportion d'échantillon doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population spécifique.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.N : Déterminer les paramètres d'une distribution d'échantillonnage pour une différence de proportions d'échantillon. [Compétence 3.B]

• UNC-3.N.1 Pour une variable catégorielle, lors d'un tirage aléatoire avec remise de deux populations indépendantes avec proportions de population $p_1$ et $p_2$, la distribution d'échantillonnage de la différence de proportions d'échantillon $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ a une moyenne, $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ et un écart-type, $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
• UNC-3.N.2 Si le tirage est effectué sans remise, l'écart-type de la différence de proportions d'échantillon est inférieur à celui donné par la formule ci-dessus. Si les tailles d'échantillon sont inférieures à 10 % des tailles de population, la différence est négligeable.

Objectif d'apprentissage UNC-3.O : Déterminer si une distribution d'échantillonnage pour une différence de proportions d'échantillon peut être décrite comme approximativement normale. [Compétence 3.C]

• UNC-3.O.1 La distribution d'échantillonnage de la différence de proportions d'échantillon $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ aura une distribution approximativement normale à condition que les tailles d'échantillon soient suffisamment grandes : $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.P : Interpréter les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une différence de proportions. [Compétence 4.B]

• UNC-3.P.1 Les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une différence de proportions doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte de populations spécifiques.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.Q : Déterminer les paramètres d'une distribution d'échantillonnage pour les moyennes d'échantillon. [Compétence 3.B]

• UNC-3.Q.1 Pour une variable numérique, lors d'un tirage aléatoire avec remise d'une population avec moyenne $\mu$ et écart-type, $\sigma$, la distribution d'échantillonnage de la moyenne d'échantillon a une moyenne $\mu_{\bar{x}} = \mu$ et un écart-type $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• UNC-3.Q.2 Si le tirage est effectué sans remise, l'écart-type de la moyenne d'échantillon est inférieur à celui donné par la formule ci-dessus. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 10 % de la taille de la population, la différence est négligeable.

Objectif d'apprentissage UNC-3.R : Déterminer si une distribution d'échantillonnage d'une moyenne d'échantillon peut être décrite comme approximativement normale. [Compétence 3.C]

• UNC-3.R.1 Pour une variable numérique, si la distribution de la population peut être modélisée par une distribution normale, la distribution d'échantillonnage de la moyenne d'échantillon, $\bar{x}$, peut être modélisée par une distribution normale.
• UNC-3.R.2 Pour une variable numérique, si la distribution de la population ne peut pas être modélisée par une distribution normale, la distribution d'échantillonnage de la moyenne d'échantillon, $\bar{x}$, peut être modélisée approximativement par une distribution normale, à condition que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande, par exemple supérieure ou égale à 30.

Objectif d'apprentissage UNC-3.S : Interpréter les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une moyenne d'échantillon. [Compétence 4.B]

• UNC-3.S.1 Les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une moyenne d'échantillon doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population spécifique.

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.T : Déterminer les paramètres d'une distribution d'échantillonnage pour une différence de moyennes d'échantillon. [Compétence 3.B]

• UNC-3.T.1 Pour une variable numérique, lors d'un tirage aléatoire avec remise de deux populations indépendantes avec moyennes de population $\mu_1$ et $\mu_2$ et écarts-types de population $\sigma_1$ et $\sigma_2$, la distribution d'échantillonnage de la différence de moyennes d'échantillon $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ a une moyenne $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ et un écart-type, $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
• UNC-3.T.2 Si le tirage est effectué sans remise, l'écart-type de la différence de moyennes d'échantillon est inférieur à celui donné par la formule ci-dessus. Si les tailles d'échantillon sont inférieures à 10 % des tailles de population, la différence est négligeable.

Objectif d'apprentissage UNC-3.U : Déterminer si une distribution d'échantillonnage d'une différence de moyennes d'échantillon peut être décrite comme approximativement normale. [Compétence 3.C]

• UNC-3.U.1 La distribution d'échantillonnage de la différence de moyennes d'échantillon $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ peut être modélisée par une distribution normale si les deux distributions de population peuvent être modélisées par une distribution normale.
• UNC-3.U.2 La distribution d'échantillonnage de la différence de moyennes d'échantillon $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ peut être modélisée approximativement par une distribution normale si les deux distributions de population ne peuvent pas être modélisées par une distribution normale mais que les deux tailles d'échantillon sont supérieures ou égales à 30.

Objectif d'apprentissage UNC-3.V : Interpréter les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une différence de moyennes d'échantillon. [Compétence 4.B]

• UNC-3.V.1 Les probabilités et les paramètres pour une distribution d'échantillonnage pour une différence de moyennes d'échantillon doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte de populations spécifiques.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.H : Identifier les questions suggérées par la variation des formes des distributions d'échantillons prélevés dans la même population. [Compétence 1.A]

• VAR-1.H.1 La variation des formes des distributions de données peut être aléatoire ou non.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.A : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une proportion de population. [Compétence 1.D]

• UNC-4.A.1 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une proportion à échantillon unique concernant une variable catégorielle est un intervalle de type $z$ à échantillon unique pour une proportion.

Objectif d'apprentissage UNC-4.B : Vérifier les conditions pour le calcul des intervalles de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.C]

• UNC-4.B.1 Afin de faire les hypothèses nécessaires pour l'inférence sur les proportions de population, les moyennes et les pentes, nous devons vérifier l'indépendance dans les méthodes de collecte de données et la sélection de la distribution d'échantillonnage appropriée.
• UNC-4.B.2 Afin de calculer un intervalle de confiance pour estimer une proportion de population, $p$, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage soit approximativement normale.
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$, où $N$ est la taille de la population.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Pour les variables catégorielles, vérifier que le nombre de succès, $n\hat{p}$, et le nombre d'échecs, $n(1-\hat{p})$ sont tous deux d'au moins 10 afin que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande pour soutenir une hypothèse de normalité.

Objectif d'apprentissage UNC-4.C : Déterminer la marge d'erreur pour une taille d'échantillon donnée et une estimation de la taille d'échantillon qui entraînerait une marge d'erreur donnée pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.C.1 Sur la base des données d'échantillon, l'erreur standard d'une statistique est une estimation de l'écart-type de cette statistique. L'erreur standard de $\hat{p}$ est $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
• UNC-4.C.2 Une marge d'erreur indique la quantité dont une valeur d'une statistique d'échantillon peut varier par rapport à la valeur du paramètre de population correspondant.
• UNC-4.C.3 Pour les variables catégorielles, la marge d'erreur est la valeur critique ($z^*$) multipliée par l'erreur standard (ES) de la statistique pertinente, ce qui équivaut à $z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ pour une proportion à échantillon unique.
• UNC-4.C.4 La formule de la marge d'erreur peut être réarrangée pour résoudre $n$, la taille minimale d'échantillon nécessaire pour obtenir une marge d'erreur donnée. À cette fin, utiliser une estimation pour $\hat{p}$ ou utiliser $\hat{p} = 0.5$ afin de trouver une borne supérieure pour la taille de l'échantillon qui résultera en une marge d'erreur donnée.

Objectif d'apprentissage UNC-4.D : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.D.1 En général, une estimation par intervalle peut être construite comme estimation ponctuelle ± (marge d'erreur). Pour une proportion à échantillon unique, l'estimation par intervalle est $\hat{p} \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les estimations par intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.
• UNC-4.D.2 Les valeurs critiques représentent les limites englobant le milieu C% de la distribution normale standard, où C% est un niveau de confiance approximatif pour une proportion.

Objectif d'apprentissage UNC-4.E : Calculer une estimation par intervalle basée sur un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.E.1 Les intervalles de confiance pour les proportions de population peuvent être utilisés pour calculer des estimations par intervalle avec des unités spécifiées.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.F : Interpréter un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.B]

• UNC-4.F.1 Un intervalle de confiance pour une proportion de population contient soit la proportion de population, soit il ne la contient pas, car chaque intervalle est basé sur des données d'échantillon aléatoires, qui varient d'un échantillon à l'autre.
• UNC-4.F.2 Nous avons C% de confiance que l'intervalle de confiance pour une proportion de population capture la proportion de population.
• UNC-4.F.3 Dans un échantillonnage aléatoire répété avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la proportion de population.
• UNC-4.F.4 L'interprétation d'un intervalle de confiance pour une proportion à un échantillon doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.
  • Exemples illustratifs pour UNC-4.F.4 : Pour interpréter un intervalle de confiance de 99 % allant de (0.268, 0.292), basé sur la proportion d'élèves de douzième année issus d'un échantillon représentatif au niveau national ayant répondu correctement à une question particulière à choix multiples : « Nous sommes 99 pour cent confiants que l'intervalle allant de 0.268 à 0.292 contient la proportion populationnelle de tous les élèves de douzième année aux États-Unis qui répondraient correctement à cette question » (2011 FRQ 6(a)).

Objectif d'apprentissage UNC-4.G : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une proportion de population. [Compétence 4.D]

• UNC-4.G.1 Un intervalle de confiance pour une proportion de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.H : Identifier les relations entre la taille de l'échantillon, la largeur d'un intervalle de confiance, le niveau de confiance et la marge d'erreur pour une proportion de population. [Compétence 4.A]

• UNC-4.H.1 Lorsque toutes les autres choses restent égales, la largeur de l'intervalle de confiance pour une proportion de population a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente. Pour une proportion de population, la largeur de l'intervalle est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.H.2 Pour un échantillon donné, la largeur de l'intervalle de confiance pour une proportion de population augmente lorsque le niveau de confiance augmente.
• UNC-4.H.3 La largeur d'un intervalle de confiance pour une proportion de population est exactement le double de la marge d'erreur.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.D : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une proportion de population. [Compétence 1.F]

• VAR-6.D.1 L'hypothèse nulle est la situation supposée correcte sauf preuve du contraire, et l'hypothèse alternative est la situation pour laquelle des preuves sont recueillies.
• VAR-6.D.2 Pour les hypothèses concernant les paramètres, l'hypothèse nulle contient une référence d'égalité (=, ≥, ou ≤), tandis que l'hypothèse alternative contient une inégalité stricte (<, >, ou ≠). Le type d'inégalité dans l'hypothèse alternative est basé sur la question d'intérêt. Les hypothèses alternatives avec < or > sont appelées unilatérales, et les hypothèses alternatives avec ≠ sont appelées bilatérales. Bien que l'hypothèse nulle pour un test unilatéral puisse inclure un symbole d'inégalité, elle est toujours testée à la limite de l'égalité.
• VAR-6.D.3 L'hypothèse nulle pour une proportion de population est : $H_0 : p = p_0$, où $p_0$ est la valeur hypothétisée nulle pour la proportion de population.
• VAR-6.D.4 Une hypothèse alternative unilatérale pour une proportion est soit $H_a : p < p_0$ soit $H_a : p > p_0$. Une hypothèse alternative bilatérale est $H_a : p_1 \neq p_2$.
• VAR-6.D.5 Pour un test $z$ à échantillon unique pour une proportion de population, l'hypothèse nulle spécifie une valeur pour la proportion de population, souvent indiquant aucune différence ou effet.

Objectif d'apprentissage VAR-6.E : Identifier une méthode de test appropriée pour une proportion de population. [Compétence 1.E]

• VAR-6.E.1 Pour une variable catégorielle unique, la méthode de test appropriée pour une proportion de population est un test $z$ à un échantillon pour une proportion de population.

Objectif d'apprentissage VAR-6.F : Vérifier les conditions pour effectuer une inférence statistique lors du test d'une proportion de population. [Compétence 4.C]

• VAR-6.F.1 Afin de faire une inférence statistique lors du test d'une proportion de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. En supposant que $H_0$ est vraie $(p = p_0)$, vérifier que le nombre de succès, $np_0$, et le nombre d'échecs, $n(1-p_0)$ sont tous deux d'au moins 10 afin que la taille de l'échantillon soit suffisamment grande pour soutenir une hypothèse de normalité.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.G : Calculer une statistique de test appropriée et une valeur $p$ pour une proportion de population. [Compétence 3.E]

• VAR-6.G.1 La distribution de la statistique de test en supposant que l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) peut être soit une distribution de randomisation, soit, lorsqu'un modèle probabiliste est supposé vrai, une distribution théorique ($z$).
• VAR-6.G.2 Lors de l'utilisation d'un test $z$, la statistique de test standardisée peut s'écrire : $\text{test statistic} = \dfrac{\text{sample statistic} - \text{null value of the parameter}}{\text{standard deviation of the statistic}}$. On appelle cela une statistique $z$ pour les proportions.
• VAR-6.G.3 La statistique de test pour une proportion de population est : $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.
• VAR-6.G.4 Une valeur $p$ est la probabilité d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que la statistique de test observée lorsque l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste sont supposés vrais. Le niveau de significativité peut être donné ou déterminé par le chercheur.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.A : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une proportion de population. [Compétence 4.B]

• DAT-3.A.1 La valeur $p$ est la proportion des valeurs de la distribution nulle qui sont aussi extrêmes ou plus extrêmes que la valeur observée de la statistique de test. Il s'agit de :
  • a. La proportion supérieure ou égale à la valeur observée de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est >.
  • b. La proportion inférieure ou égale à la valeur observée de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est <.
  • c. La proportion inférieure ou égale à l'opposé de la valeur absolue de la statistique de test plus la proportion supérieure ou égale à la valeur absolue de la statistique de test, si l'hypothèse alternative est ≠.
• DAT-3.A.2 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de significativité pour une proportion à échantillon unique doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que le modèle probabiliste et l'hypothèse nulle sont vrais, c'est-à-dire en supposant que la vraie proportion de population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.B : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de signification pour une proportion de population. [Compétence 4.E]

• DAT-3.B.1 Le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité prédéterminée de rejeter l'hypothèse nulle étant donné qu'elle est vraie.
• DAT-3.B.2 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité, $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, rejeter l'hypothèse nulle. Si la valeur $p$ $> \alpha$, ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.3 Rejeter l'hypothèse nulle signifie qu'il existe des preuves statistiques suffisantes pour soutenir l'hypothèse alternative. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle signifie qu'il existe des preuves statistiques insuffisantes pour soutenir l'hypothèse alternative.
• DAT-3.B.4 La conclusion concernant l'hypothèse alternative doit être formulée dans le contexte.
• DAT-3.B.5 Un test de signification peut conduire à rejeter ou non rejeter l'hypothèse nulle, mais ne peut jamais conduire à conclure ou prouver que l'hypothèse nulle est vraie. L'absence de preuves statistiques pour l'hypothèse alternative n'est pas la même chose que des preuves pour l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.6 Les petites valeurs $p$ indiquent que la valeur observée de la statistique de test serait inhabituelle si l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste étaient vrais, fournissant ainsi des preuves en faveur de l'alternative. Plus la valeur $p$ est faible, plus les preuves statistiques en faveur de l'hypothèse alternative sont convaincantes.
• DAT-3.B.7 Les valeurs $p$ qui ne sont pas faibles indiquent que la valeur observée de la statistique de test ne serait pas inhabituelle si l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste étaient vrais, ne fournissant donc pas de preuves statistiques convaincantes en faveur de l'hypothèse alternative, ni ne fournissant de preuves que l'hypothèse nulle est vraie.
• DAT-3.B.8 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : p = p_0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.B.9 Les résultats d'un test de signification pour une proportion de population peuvent servir de raisonnement statistique pour répondre à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Compréhension durable (UNC-5) : Les probabilités d'erreurs de type I et de type II influencent l'inférence.

Objectif d'apprentissage UNC-5.A : Identifier les erreurs de type I et de type II. [Compétence 1.B]

• UNC-5.A.1 Une erreur de type I se produit lorsque l'hypothèse nulle est vraie et est rejetée (positif faux).
• UNC-5.A.2 Une erreur de type II se produit lorsque l'hypothèse nulle est fausse et n'est pas rejetée (négatif faux).
  • Tableau des erreurs : Avec la valeur réelle de la population en haut ($H_0$ vraie ; $H_a$ vraie) et la décision sur le côté (Rejeter $H_0$ ; Ne pas rejeter $H_0$) : Rejeter $H_0$ quand $H_0$ vraie = Erreur de Type I ; Rejeter $H_0$ quand $H_a$ vraie = Décision correcte ; Ne pas rejeter $H_0$ quand $H_0$ vraie = Décision correcte ; Ne pas rejeter $H_0$ quand $H_a$ vraie = Erreur de Type II.

Objectif d'apprentissage UNC-5.B : Calculer la probabilité d'une erreur de type I et de type II. [Compétence 3.A]

• UNC-5.B.1 Le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité de commettre une erreur de Type I, si l'hypothèse nulle est vraie.
• UNC-5.B.2 La puissance d'un test est la probabilité qu'un test rejette correctement une hypothèse nulle fausse.
• UNC-5.B.3 La probabilité de commettre une erreur de Type II $= 1 - power$.

Objectif d'apprentissage UNC-5.C : Identifier les facteurs qui affectent la probabilité d'erreurs dans les tests de signification. [Compétence 4.A]

• UNC-5.C.1 La probabilité d'une erreur de type II diminue lorsque l'un des événements suivants se produit, à condition que les autres ne changent pas :
  • i. La taille de l'échantillon augmente.
  • ii. Augmentation du niveau de significativité ($\alpha$) d'un test.
  • iii. L'erreur standard diminue.
  • iv. La vraie valeur du paramètre est plus éloignée de l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage UNC-5.D : Interpréter les erreurs de type I et de type II. [Compétence 4.B]

• UNC-5.D.1 Qu'une erreur de type I ou de type II soit plus conséquente dépend de la situation.
• UNC-5.D.2 Puisque le niveau de significativité, $\alpha$, est la probabilité d'une erreur de Type I, les conséquences d'une erreur de Type I influencent les décisions concernant un niveau de significativité.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.I : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une comparaison de proportions de population. [Compétence 1.D]

• UNC-4.I.1 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une comparaison à deux échantillons de proportions pour une variable catégorielle est un intervalle de type $z$ à deux échantillons pour une différence entre les proportions de population.

Objectif d'apprentissage UNC-4.J : Vérifier les conditions pour le calcul d'intervalles de confiance pour une différence entre proportions de population. [Compétence 4.C]

• UNC-4.J.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une différence entre proportions, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est approximativement normale (forme).
    • i. Pour les variables catégorielles, vérifier que $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$, et $n_2\left(1-\hat{p}_2\right)$ sont tous tous supérieurs ou égaux à une valeur prédéterminée, généralement 5 ou 10.

Objectif d'apprentissage UNC-4.K : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une comparaison de proportions de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.K.1 Pour une comparaison de proportions, l'estimation par intervalle est $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$.
  • Énoncé clarifiant : Les formules pour les estimations par intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur-type pertinentes fournies sur la feuille de formules.

Objectif d'apprentissage UNC-4.L : Calculer une estimation par intervalle basée sur un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 3.D]

• UNC-4.L.1 Les intervalles de confiance pour une différence de proportions peuvent être utilisés pour calculer des estimations par intervalle avec des unités spécifiées.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.M : Interpréter un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 4.B]

• UNC-4.M.1 Dans un échantillonnage aléatoire répété avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la différence dans les proportions de population.
• UNC-4.M.2 L'interprétation d'un intervalle de confiance pour une différence entre proportions de population doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.N : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une différence de proportions. [Compétence 4.D]

• UNC-4.N.1 Un intervalle de confiance pour une différence de proportions de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.H : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une différence de deux proportions de population. [Compétence 1.F]

• VAR-6.H.1 Pour un test à deux échantillons pour une différence de deux proportions, l'hypothèse nulle spécifie une valeur de $0$ pour la différence dans les proportions de population, indiquant aucune différence ou effet.
• VAR-6.H.2 L'hypothèse nulle pour une différence de proportions est : $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$.
• VAR-6.H.3 Une hypothèse alternative unilatérale pour une différence de proportions est $H_a : p_1 < p_2$, ou, $H_a : p_1 > p_2$. Une hypothèse alternative bilatérale pour une différence de proportions est $H_a : p_1 \neq p_2$.

Objectif d'apprentissage VAR-6.I : Identifier une méthode de test appropriée pour la différence de deux proportions de population. [Compétence 1.E]

• VAR-6.I.1 Pour une variable catégorielle unique, la méthode de test appropriée pour la différence de deux proportions de population est un test $z$ à deux échantillons pour une différence entre deux proportions de population.

Objectif d'apprentissage VAR-6.J : Vérifier les conditions permettant de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence de deux proportions de population. [Compétence 4.C]

• VAR-6.J.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence entre des proportions de population, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Pour l'échantillon combiné, définissez la proportion combinée (ou groupée), $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$. En supposant que $H_0$ est vraie $(p_1 - p_2 = 0$ ou $p_1 = p_2)$, vérifiez que $n_1\hat{p}_c$, $n_1\left(1-\hat{p}_c\right)$, $n_2\hat{p}_c$, et $n_2\left(1-\hat{p}_c\right)$ sont tous supérieurs ou égaux à une valeur prédéterminée, généralement soit 5 ou 10.

Compréhension durable (VAR-6) : La distribution normale peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-6.K : Calculer une statistique de test appropriée pour la différence de deux proportions de population. [Compétence 3.E]

• VAR-6.K.1 La statistique de test pour une différence de proportions est : $z = \dfrac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}$, où $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$.
  • Éclaircissement : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées, car elles peuvent être construites sur la base de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur type pour chacune des statistiques de test pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.C : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une différence de proportions de population. [Compétence 4.B]

• DAT-3.C.1 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de significativité pour une différence entre deux proportions de population doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que les vraies proportions de population sont égales les unes aux autres.

Objectif d'apprentissage DAT-3.D : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une différence de proportions de populations. [Compétence 4.E]

• DAT-3.D.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au niveau de significativité $\alpha$. Si la valeur $p\text{-value} \leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : p_1 = p_2$, ou $H_0 : p_1 - p_2 = 0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.D.2 Les résultats d'un test de significativité pour une différence de deux proportions de populations peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche concernant les deux populations qui ont été échantillonnées.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.I : Identifier les questions suggérées par les probabilités d'erreurs dans l'inférence statistique. [Compétence 1.A]

• VAR-1.I.1 La variation aléatoire peut entraîner des erreurs dans l'inférence statistique.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.A : Décrire les distributions $t$. [Compétence 3.C]

• VAR-7.A.1 Lorsque $s$ est utilisé au lieu de $\sigma$ pour calculer une statistique de test, la distribution correspondante, connue sous le nom de distribution $t$, diffère de la distribution normale par sa forme, car une plus grande partie de la surface est allouée aux queues de la courbe de densité que dans une distribution normale.
• VAR-7.A.2 À mesure que les degrés de liberté augmentent, la surface dans les queues d'une distribution $t$ diminue.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.O : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une moyenne de population, y compris la différence de moyenne entre des valeurs appariées. [Compétence 1.D]

• UNC-4.O.1 Parce que $\sigma$ est généralement inconnu pour les distributions de variables quantitatives, la procédure d'intervalle de confiance appropriée pour estimer la moyenne de population d'une variable quantitative pour un échantillon est un intervalle de type $t$ à échantillon unique pour une moyenne.
• UNC-4.O.2 Pour une variable quantitative, $X$, qui suit une distribution normale, la distribution de $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ est une distribution $t$ avec $n-1$ degrés de liberté.
• UNC-4.O.3 Les paires appariées peuvent être considérées comme un seul échantillon de paires. Une fois les différences entre les paires de valeurs trouvées, l'inférence pour les intervalles de confiance se fait comme pour une moyenne de population.

Objectif d'apprentissage UNC-4.P : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.C]

• UNC-4.P.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une moyenne de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$, où $N$ est la taille de la population.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
    • ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Q : Déterminer la marge d'erreur pour une taille d'échantillon donnée pour un intervalle de type $t$ à échantillon unique. [Compétence 3.D]

• UNC-4.Q.1 La valeur critique $t^*$ avec $n-1$ degrés de liberté peut être trouvée à l'aide d'un tableau ou d'une sortie générée par ordinateur.
• UNC-4.Q.2 L'erreur standard pour une moyenne d'échantillon est donnée par $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, où $s$ est l'écart-type de l'échantillon.
• UNC-4.Q.3 Pour un intervalle de type $t$ à échantillon unique pour une moyenne, la marge d'erreur est la valeur critique ($t^*$) multipliée par l'erreur standard ($SE$), ce qui équivaut à $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.R : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 3.D]

• UNC-4.R.1 L'estimateur ponctuel pour une moyenne de population est la moyenne de l'échantillon, $\overline{x}$.
• UNC-4.R.2 Pour la moyenne de population pour un seul échantillon avec écart-type de population inconnu, l'intervalle de confiance est $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Déclaration aux limites : Les formules pour les estimations d'intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.S : Interpréter un intervalle de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.B]

• UNC-4.S.1 Un intervalle de confiance pour une moyenne de population contient soit la moyenne de population, soit il ne la contient pas, car chaque intervalle est basé sur des données provenant d'un échantillon aléatoire, qui varie d'un échantillon à l'autre.
• UNC-4.S.2 Nous sommes confiants à C% que l'intervalle de confiance pour une moyenne de population capture la moyenne de population.
• UNC-4.S.3 Une interprétation d'un intervalle de confiance pour une moyenne de population inclut une référence à l'échantillon prélevé et des détails sur la population qu'il représente.
  • Exemples illustratifs pour UNC-4.S.3 : Pour interpréter un intervalle de confiance à 96% pour la longueur moyenne des pieds pour toutes les empreintes trouvées dans une grotte basé sur un échantillon particulier d'empreintes aléatoirement sélectionné dans la grotte : « Nous sommes confiants à 96% que la longueur moyenne des pieds pour toutes les empreintes trouvées dans la grotte tombe dans l'intervalle de confiance » (basé sur FRQ 2000 2).

Objectif d'apprentissage UNC-4.T : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.D]

• UNC-4.T.1 Un intervalle de confiance pour une moyenne de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.U : Identifier les relations entre la taille de l'échantillon, la largeur d'un intervalle de confiance, le niveau de confiance et la marge d'erreur pour une moyenne de population. [Compétence 4.A]

• UNC-4.U.1 Lorsque tout le reste reste constant, la largeur d'un intervalle de confiance pour une moyenne de population a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente.
• UNC-4.U.2 Pour une seule moyenne, la largeur de l'intervalle est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.U.3 Pour un échantillon donné, la largeur de l'intervalle de confiance pour une moyenne de population augmente lorsque le niveau de confiance augmente.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.B : Identifier une méthode de test appropriée pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 1.E]

• VAR-7.B.1 Le test approprié pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu est un $t$-test à un échantillon pour une moyenne de population.
• VAR-7.B.2 Les paires appariées peuvent être considérées comme un seul échantillon de paires. Une fois les différences entre les paires de valeurs trouvées, l'inférence pour les tests de significativité se fait comme pour une moyenne de population.

Objectif d'apprentissage VAR-7.C : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une moyenne de population avec $\sigma$ inconnu, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 1.F]

• VAR-7.C.1 L'hypothèse nulle d'un test $t$ à un échantillon pour la moyenne d'une population est $H_0 : \mu = \mu_0$, où $\mu_0$ est la valeur hypothétisée. Selon la situation, l'hypothèse alternative est $H_a : \mu < \mu_0$, ou $H_a : \mu > \mu_0$, ou $H_a : \mu \neq \mu_0$.
• VAR-7.C.2 Lors du calcul de la différence moyenne, $\mu_d$, entre les valeurs dans une paire appariée, il est important de définir l'ordre de la soustraction.

Objectif d'apprentissage VAR-7.D : Vérifier les conditions pour le test d'une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 4.C]

• VAR-7.D.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une moyenne de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}$ est approximativement normale (forme) :
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
    • ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.E : Calculer un test statistique approprié pour une moyenne de population, y compris la différence moyenne entre les valeurs dans les paires appariées. [Compétence 3.E]

• VAR-7.E.1 Pour une seule variable quantitative lorsqu'un échantillonnage aléatoire avec remise est effectué à partir d'une population qui peut être modélisée avec une distribution normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{\overline{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ suit une distribution $t$ avec $n - 1$ degrés de liberté.

Déclaration aux limites : Les formules pour les test statistiques n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.E : Interpréter la valeur $p$ d'un test de significativité pour une moyenne de population, y compris la différence de moyenne entre les valeurs appariées. [Compétence 4.B]

• DAT-3.E.1 L'interprétation de la valeur $p$ d'un test de signification pour une moyenne de population doit reconnaître que la valeur $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que la moyenne réelle de la population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage DAT-3.F : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une moyenne de population. [Compétence 4.E]

• DAT-3.F.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au seuil de signification $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \mu = \mu_0$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.F.2 Les résultats d'un test de significativité pour une moyenne de population peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.V : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.D]

• UNC-4.V.1 Considérons un échantillon aléatoire simple de population 1 de taille $n_1$, de moyenne $\mu_1$ et d'écart-type $\sigma_1$ et un second échantillon aléatoire simple de population 2 de taille $n_2$, de moyenne $\mu_2$ et d'écart-type $\sigma_2$. Si les distributions des populations 1 et 2 sont normales ou si both $n_1$ et $n_2$ sont supérieures à 30, alors la distribution d'échantillonnage de la différence des moyennes, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est également normale. La moyenne pour la distribution d'échantillonnage de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est $\mu_1 - \mu_2$. L'écart-type de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ est $\sqrt{\dfrac{(\sigma_1)^2}{n_1} + \dfrac{(\sigma_2)^2}{n_2}}$.
• UNC-4.V.2 La procédure d'intervalle de confiance appropriée pour une variable quantitative avec deux échantillons indépendants est un intervalle de confiance à deux échantillons $t$ pour une différence entre les moyennes des populations.

Objectif d'apprentissage UNC-4.W : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 4.C]

• UNC-4.W.1 Afin de calculer des intervalles de confiance pour estimer une différence de moyennes de population, nous devons vérifier l'indépendance et que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide de deux échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Pour vérifier que la distribution d'échantillonnage de $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2)$ devrait être approximativement normale (forme) :
    • i. Si les distributions observées sont asymétriques, both $n_1$ et $n_2$ should be greater than 30.

Objectif d'apprentissage UNC-4.X : Déterminer la marge d'erreur pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.X.1 Pour la différence de deux moyennes d'échantillon, la marge d'erreur est la valeur critique ($t^*$) multipliée par l'erreur standard ($SE$) de la différence de deux moyennes.
• UNC-4.X.2 L'erreur standard pour la différence de deux moyennes d'échantillon avec des écarts-types d'échantillon, $s_1$ et $s_2$, est $\sqrt{\dfrac{(s_1)^2}{n_1} + \dfrac{(s_2)^2}{n_2}}$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Y : Calculer un intervalle de confiance approprié pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 3.D]

• UNC-4.Y.1 L'estimateur ponctuel pour la différence de deux moyennes de population est la différence des moyennes d'échantillon, $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$.
• UNC-4.Y.2 Pour une différence de deux moyennes de population où les écarts-types de population ne sont pas connus, l'intervalle de confiance est $(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm t^* \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ où $\pm t^*$ sont les valeurs critiques pour le C% central d'une distribution $t$ avec les degrés de liberté appropriés qui peuvent être trouvés à l'aide de la technologie.

Déclaration aux limites : Les formules pour les estimations d'intervalle n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites à partir de la formule générale du test statistique et des formules d'erreur standard pertinentes qui sont fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.Z : Interpréter un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.B]

• UNC-4.Z.1 Lors d'échantillonnages aléatoires répétés avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la différence des moyennes de population.
• UNC-4.Z.2 Une interprétation pour un intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes de population doit inclure une référence aux échantillons prélevés et des détails sur les populations qu'ils représentent.
  • Exemples illustratifs pour UNC-4.Z.2 : Pour interpréter un intervalle de confiance pour une différence entre les temps de réponse moyens de deux casernes de pompiers (nord - sud) : « D’après ces échantillons, on peut être 95 % confiant que la différence entre les temps de réponse moyens de la population (nord - sud) se situe entre -2.37 minutes et 0.37 minutes » (2009 FRQ 4).

Objectif d'apprentissage UNC-4.AA : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.D]

• UNC-4.AA.1 Un intervalle de confiance pour une différence de moyennes de population fournit un intervalle de valeurs qui peut fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AB : Identifier les effets de la taille de l'échantillon sur la largeur d'un intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes. [Compétence 4.A]

• UNC-4.AB.1 Lorsque tout reste égal par ailleurs, la largeur de l'intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes a tendance à diminuer lorsque les tailles d'échantillon augmentent.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.F : Identifier une sélection appropriée d'une méthode de test pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.E]

• VAR-7.F.1 Pour une variable quantitative, le test approprié pour une différence de deux moyennes de population est un test t $t$ à deux échantillons pour une différence de deux moyennes de population.

Objectif d'apprentissage VAR-7.G : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour une différence de deux moyennes de population. [Compétence 1.F]

• VAR-7.G.1 L'hypothèse nulle pour un test $t$ à deux échantillons pour une différence de deux moyennes de population, $\mu_1$ et $\mu_2$, est : $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. L'hypothèse alternative est $H_a : \mu_1 - \mu_2 < 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 > 0$, ou $H_a : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$, ou $H_a : \mu_1 > \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 < \mu_2$, ou $H_a : \mu_1 \neq \mu_2$.

Objectif d'apprentissage VAR-7.H : Vérifier les conditions pour le test de significativité pour la différence de deux moyennes de population. [Compétence 4.C]

• VAR-7.H.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test d'une différence entre les moyennes de population, nous devons vérifier l'indépendance et le fait que la distribution d'échantillonnage soit approximativement normale :
  • a. Les observations individuelles doivent être indépendantes :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'échantillons aléatoires simples ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors du tirage sans remise, vérifiez que $n_1 \leq 10\%N_1$ et $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. La distribution d'échantillonnage de $\overline{x}_1 - \overline{x}_2$ doit être approximativement normale (forme).
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, both $n_1$ et $n_2$ should be greater than 30.
    • ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon doit être exempte d'asymétrie forte et de valeurs aberrantes. Cela doit être vérifié POUR LES DEUX échantillons.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.I : Calculer une statistique de test appropriée pour une différence de deux moyennes. [Compétence 3.E]

• VAR-7.I.1 Pour une seule variable quantitative, des données collectées à l'aide d'échantillons aléatoires indépendants ou d'une expérience randomisée provenant de deux populations, dont chacune peut être modélisée par une distribution normale, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ est une approximate $t$-distribution avec des degrés de liberté qui peuvent être trouvés à l'aide d'une technologie. Les degrés de liberté se situent entre le plus petit de $n_1 - 1$ et $n_2 - 1$ et $n_1 + n_2 - 2$.
  • Exemples illustratifs pour VAR-7.I.1: Dans une étude comparant les temps de récupération moyens pour deux procédures chirurgicales visant à réparer un ligament croisé antérieur (LCA) déchiré, le groupe ayant reçu l'une des procédures avait une taille d'échantillon de 110, tandis que le groupe ayant reçu l'autre procédure avait une taille d'échantillon de 100. Les degrés de liberté se situent entre 100 (le plus petit de 110 et 100) et 208 (110 + 100 - 2). Les degrés de liberté peuvent être déterminés à l'aide d'un logiciel. Si la statistique de test pour cette étude est $t \approx 7.13$, alors la valeur $p$-p est la surface supérieure à 7.13 pour une distribution $t$-t avec $df = 207.18$ (2018 FRQ 4).

Déclaration limite : Les formules pour les statistiques de test n'apparaissent pas explicitement sur la Feuille de formules AP Statistics fournie avec l'examen AP Statistics. Cependant, ces formules ne doivent pas être mémorisées, car elles peuvent être construites sur la base de la formule générale de la statistique de test et des formules d'erreur standard pour chacune des statistiques de test pertinentes fournies sur la feuille de formules.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.G : Interpréter la valeur $p$ d'un test de signification pour une différence de moyennes de population. [Compétence 4.B]

• DAT-3.G.1 Une interprétation de la valeur p $p$ d'un test de significativité pour une différence de deux moyennes de population à deux échantillons doit reconnaître que la valeur p $p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que les vraies moyennes de population sont égales les unes aux autres.

Objectif d'apprentissage DAT-3.H : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test de significativité pour une différence de deux moyennes de population dans le contexte. [Compétence 4.E]

• DAT-3.H.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur $p$ au seuil de signification $\alpha$. Si la valeur $p$ $\leq \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, ou $H_0 : \mu_1 = \mu_2$. Si la valeur $p$ $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.H.2 Les résultats d'un test de significativité pour un test à deux échantillons pour une différence entre deux moyennes de population peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur les populations qui ont été échantillonnées.

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélectionner une procédure d'inférence appropriée, maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants devraient avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'inférence impliquant des proportions ou des moyennes.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.J : Identifier les questions suggérées par une variation entre les effectifs observés et attendus dans des données catégorielles. [Compétence 1.A]

• VAR-1.J.1 La variation entre ce que nous trouvons et ce que nous nous attendions à trouver peut être aléatoire ou non.

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.A : Décrire les distributions du khi-deux. [Compétence 3.C]

• VAR-8.A.1 Les effectifs attendus des données catégorielles sont des effectifs cohérents avec l'hypothèse nulle. En général, un effectif attendu est une taille d'échantillon multipliée par une probabilité.

La statistique du khi-deux mesure la distance entre les effectifs observés et attendus par rapport aux effectifs attendus.

Les distributions du khi-deux ont des valeurs positives et sont asymétriques à droite. Au sein d'une famille de courbes de densité, l'asymétrie devient moins prononcée avec l'augmentation des degrés de liberté.

Objectif d'apprentissage VAR-8.B : Identifier les hypothèses nulle et alternative dans un test pour la distribution de proportions dans un ensemble de données catégorielles. [Compétence 1.F]

• VAR-8.B.1 Pour un test d'ajustement du khi-deux, l'hypothèse nulle spécifie les proportions nulles pour chaque catégorie, et l'hypothèse alternative est qu'au moins l'une de ces proportions n'est pas telle que spécifiée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage VAR-8.C : Identifier une méthode de test appropriée pour une distribution de proportions dans un ensemble de données catégorielles. [Compétence 1.E]

• VAR-8.C.1 En considérant une distribution de proportions pour une variable catégorielle, le test approprié est le test du khi-deux pour l'ajustement.

Objectif d'apprentissage VAR-8.D : Calculer les effectifs attendus pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.A]

• VAR-8.D.1 Les effectifs attendus pour un test d'ajustement du khi-deux sont (taille de l'échantillon)(proportion nulle).

Objectif d'apprentissage VAR-8.E : Vérifier les conditions pour faire des inférences statistiques lors du test d'ajustement pour une distribution du khi-deux. [Compétence 4.C]

• VAR-8.E.1 Afin de faire des inférences statistiques pour un test d'ajustement du khi-deux, nous devons vérifier les points suivants :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
  • b. Le test du khi-deux pour l'ajustement devient plus précis avec davantage d'observations, donc des grands effectifs doivent être utilisés (forme).
    • i. Un contrôle conservateur pour les grands effectifs est que tous les effectifs attendus doivent être supérieurs à 5.

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.F : Calculer la statistique appropriée pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.E]

• VAR-8.F.1 La statistique de test pour le test du khi-deux pour l'ajustement est
  • Équation : $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, avec $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
• VAR-8.F.2 La distribution de la statistique de test en supposant que l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) peut être soit une distribution de randomisation, soit, lorsqu'un modèle probabiliste est supposé être vrai, une distribution théorique (khi-deux).

Objectif d'apprentissage VAR-8.G : Déterminer la valeur p $p$ pour le test de significativité du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.E]

• VAR-8.G.1 La valeur p $p$ pour un test du khi-deux pour l'ajustement avec un certain nombre de degrés de liberté est trouvée à l'aide de la table appropriée ou de la sortie générée par ordinateur.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.I : Interpréter la valeur p $p$ pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 4.B]

• DAT-3.I.1 Une interprétation de la valeur p $p$ pour le test du khi-deux pour l'ajustement est la probabilité, étant donné que l'hypothèse nulle et le modèle de probabilité sont vrais, d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus que la valeur observée.

Objectif d'apprentissage DAT-3.J : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 4.E]

• DAT-3.J.1 Une décision de rejeter ou de ne pas rejeter l'hypothèse nulle est basée sur la comparaison de la valeur p $p$ au niveau de significativité, $\alpha$.
• DAT-3.J.2 Les résultats d'un test du khi-deux pour l'ajustement peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.H : Calculer les effectifs attendus pour les tableaux à double entrée de données catégorielles. [Compétence 3.A]

• VAR-8.H.1 L'effectif attendu dans une cellule particulière d'un tableau à double entrée de données catégorielles peut être calculé en utilisant la formule :
  • Équation : $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.I : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 1.F]

• VAR-8.I.1 Les hypothèses appropriées pour un test du khi-deux pour l'homogénéité sont :

  $H_0$ : Il n'y a pas de différence dans les distributions d'une variable catégorielle entre les populations ou les traitements.

  $H_a$ : Il y a une différence dans les distributions d'une variable catégorielle entre les populations ou les traitements.

• VAR-8.I.2 Les hypothèses appropriées pour un test du khi-deux pour l'indépendance sont :

  $H_0$ : Il n'y a pas d'association entre deux variables catégorielles dans une population donnée, ou les deux variables catégorielles sont indépendantes.

  $H_a$ : Deux variables catégorielles dans une population sont associées ou dépendantes.

Objectif d'apprentissage VAR-8.J : Identifier une méthode d'essai appropriée pour comparer des distributions dans des tableaux à double entrée de données catégorielles. [Compétence 1.E]

• VAR-8.J.1 Lors de la comparaison de distributions pour déterminer si les proportions de chaque catégorie pour des données catégorielles collectées auprès de différentes populations sont identiques, le test approprié est le test du khi-deux pour l'homogénéité.
• VAR-8.J.2 Pour déterminer si les variables de ligne et de colonne dans un tableau à double entrée de données catégorielles pourraient être associées dans la population d'où les données ont été échantillonnées, le test approprié est le test du khi-deux pour l'indépendance.

Objectif d'apprentissage VAR-8.K : Vérifier les conditions permettant de faire des inférences statistiques lors du test d'une distribution du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité. [Compétence 4.C]

• VAR-8.K.1 Afin de faire des inférences statistiques pour un test du khi-deux sur des tableaux à double entrée (homogénéité ou indépendance), nous devons vérifier ce qui suit :
  • a. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Pour un test d'indépendance : Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire simple.
    • ii. Pour un test d'homogénéité : Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire stratifié ou d'une expérience randomisée.
    • iii. Lors d'un échantillonnage sans replacement, vérifiez que $n \leq 10\%N$.
  • b. Les tests du khi-deux pour l'indépendance et l'homogénéité deviennent plus précis avec davantage d'observations, donc des comptes élevés doivent être utilisés (forme).
    • i. Un contrôle conservateur pour les grands effectifs est que tous les effectifs attendus doivent être supérieurs à 5.

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.L : Calculer la statistique appropriée pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 3.E]

• VAR-8.L.1 La statistique de test appropriée pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance est la statistique du khi-deux :
  • Équation : $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, avec des degrés de liberté égaux à : $(number\ of\ rows - 1)(number\ of\ columns - 1)$.

Objectif d'apprentissage VAR-8.M : Déterminer la valeur $p$ pour un test de signification du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité. [Compétence 3.E]

• VAR-8.M.1 La valeur $p$ pour un test du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité pour un nombre de degrés de liberté est trouvée à l'aide de la table appropriée ou de la technologie.
• VAR-8.M.2 Pour un test d'indépendance ou d'homogénéité pour un tableau à double entrée, la valeur $p$ est la proportion de valeurs dans une distribution du khi-deux avec des degrés de liberté appropriés qui sont égales ou supérieures à la statistique de test.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.K : Interpréter la valeur $p$ pour le test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 4.B]

• DAT-3.K.1 Une interprétation de la valeur $p$ pour le test du chi-deux d'homogénéité ou d'indépendance est la probabilité, sous l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste supposés vrais, d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que la valeur observée.

Objectif d'apprentissage DAT-3.L : Justifier une affirmation concernant la population basée sur les résultats d'un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 4.E]

• DAT-3.L.1 Une décision de rejeter ou de ne pas rejeter l'hypothèse nulle pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance est basée sur la comparaison de la valeur $p$ au niveau de signification, $\alpha$.
• DAT-3.L.2 Les résultats d'un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée (indépendance) ou les populations qui ont été échantillonnées (homogénéité).

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélection d'une procédure d'inférence appropriée maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants devraient avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs aux inférences pour des données catégorielles.

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.K : Identifier les questions suggérées par la variation dans les nuages de points. [Compétence 1.A]

• VAR-1.K.1 La variation des positions des points par rapport à une ligne théorique peut être aléatoire ou non aléatoire.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AC : Identifier une procédure d'intervalle de confiance appropriée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.D]

• UNC-4.AC.1 Considérez une variable réponse, $y$, qui est linéairement liée à une variable explicative, $x$. Pour un échantillon aléatoire simple de $n$ observations, la droite de régression de l'échantillon, $\hat{y} = a + bx$, est une estimation de la droite de régression de la population $\mu_y = \alpha + \beta x$. Pour une observation particulière, $(x_i, y_i)$, le résidu de la droite de régression de l'échantillon, $y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + bx_i)$, est une estimation de $y_i - (\alpha + \beta x_i)$, l'écart de la variable réponse par rapport à la droite de régression de la population. Pour tous les points $(x, y)$ dans la population, l'écart-type de tous les écarts de la variable réponse par rapport à la droite de régression de la population, $\sigma$, peut être estimé par l'écart-type des résidus de la droite de régression de l'échantillon, $s = \sqrt{\dfrac{\sum\left(y_i - \hat{y}_i\right)^2}{n-2}}$. (Remarque : Cette formule utilise $n-2$ au dénominateur au lieu de $n-1$ car deux paramètres, $\alpha$ et $\beta$, doivent être estimés pour obtenir les valeurs prédites à partir de la droite de régression des moindres carrés.)
• UNC-4.AC.2 Pour un échantillon aléatoire simple de $n$ observations, soit $b$ représentant la pente d'une droite de régression de l'échantillon. Alors la moyenne de la distribution d'échantillonnage pour $b$ est égale à la pente de la population : $\mu_b = \beta$. L'écart-type de la distribution d'échantillonnage pour $b$ est $\sigma_b = \dfrac{\sigma}{\sigma_x \sqrt{n}}$, où $\sigma_x = \sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}$.
• UNC-4.AC.3 L'intervalle de confiance approprié pour la pente d'un modèle de régression est un intervalle de confiance $t$ pour la pente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AD : Vérifier les conditions pour calculer des intervalles de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.C]

• UNC-4.AD.1 Afin de calculer un intervalle de confiance pour estimer la pente d'une droite de régression, nous devons vérifier ce qui suit :
  • a. La relation réelle entre $x$ et $y$ est linéaire. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier la linéarité.
  • b. L'écart-type pour $y$, $\sigma_y$, ne varie pas avec $x$. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier des écarts-types approximativement égaux pour toutes les $x$.
  • c. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \le 10\% N$.
  • d. Pour une valeur particulière de $x$, les réponses (valeurs $y$) sont approximativement normalement distribuées. L'analyse de représentations graphiques des résidus peut être utilisée pour vérifier la normalité.
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AE : Déterminer la marge d'erreur donnée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.D]

• UNC-4.AE.1 Pour la pente d'une droite de régression, la marge d'erreur est la valeur critique $\left(t^*\right)$ multipliée par l'erreur standard ($SE$) de la pente.
• UNC-4.AE.2 L'erreur standard pour la pente d'une droite de régression avec un écart-type de l'échantillon, $s$, est $SE = \dfrac{s}{s_x \sqrt{n-1}}$, où $s$ est l'estimation de $\sigma$ et $s_x$ est l'écart-type de l'échantillon des valeurs $x$.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AF : Calculer un intervalle de confiance approprié pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.D]

• UNC-4.AF.1 L'estimateur ponctuel pour la pente d'un modèle de régression est la pente de la droite de meilleure ajustement, $b$.
• UNC-4.AF.2 Pour la pente d'un modèle de régression, l'estimation par intervalle est $b \pm t^* \left(SE_b\right)$.

Compréhension durable (UNC-4) : Un intervalle de valeurs doit être utilisé pour estimer des paramètres, afin de tenir compte de l'incertitude.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AG : Interpréter un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.B]

• UNC-4.AG.1 Dans des échantillonnages aléatoires répétés avec la même taille d'échantillon, environ C% des intervalles de confiance créés captureront la pente du modèle de régression, c.-à-d. la vraie pente de la droite de régression de la population.
• UNC-4.AG.2 Une interprétation pour un intervalle de confiance pour la pente d'une droite de régression doit inclure une référence à l'échantillon pris et des détails sur la population qu'il représente.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AH : Justifier une affirmation basée sur un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.D]

• UNC-4.AH.1 Un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression fournit un intervalle de valeurs qui peuvent fournir des preuves suffisantes pour soutenir une affirmation particulière dans le contexte.

Objectif d'apprentissage UNC-4.AI : Identifier les effets de la taille de l'échantillon sur la largeur d'un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.A]

• UNC-4.AI.1 Lorsque tout reste égal ailleurs, la largeur de l'intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression a tendance à diminuer lorsque la taille de l'échantillon augmente.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.J : Identifier la sélection appropriée d'une méthode de test pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.E]

• VAR-7.J.1 Le test approprié pour la pente d'un modèle de régression est un test $t$ pour une pente.

Objectif d'apprentissage VAR-7.K : Identifier les hypothèses nulle et alternative appropriées pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 1.F]

• VAR-7.K.1 L'hypothèse nulle pour un test $t$ pour une pente est : $H_0 : \beta = \beta_0$, où $\beta_0$ est la valeur hypothétique de l'hypothèse nulle. L'hypothèse alternative est $H_0 : \beta < \beta_0$ ou $H_0 : \beta > \beta_0$, ou $H_0 : \beta \neq \beta_0$.

Objectif d'apprentissage VAR-7.L : Vérifier les conditions pour le test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.C]

• VAR-7.L.1 Afin de faire des inférences statistiques lors du test pour la pente d'un modèle de régression, nous devons vérifier ce qui suit :
  • a. La relation réelle entre $x$ et $y$ est linéaire. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier la linéarité.
  • b. L'écart-type pour $y$, $\sigma_y$, ne varie pas avec $x$. L'analyse des résidus peut être utilisée pour vérifier des écarts-types approximativement égaux pour toutes les $x$.
  • c. Pour vérifier l'indépendance :
    • i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
    • ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \le 10\% N$.
  • d. Pour une valeur particulière de $x$, les réponses (valeurs $y$) sont approximativement normalement distribuées. L'analyse de représentations graphiques des résidus peut être utilisée pour vérifier la normalité.
    • i. Si la distribution observée est asymétrique, $n$ doit être supérieur à 30.
    • ii. Si la taille de l'échantillon est inférieure à 30, la distribution des données de l'échantillon ne doit pas présenter d'asymétrie forte ni de valeurs aberrantes.

Compréhension durable (VAR-7) : La distribution $t$ peut être utilisée pour modéliser la variation.

Objectif d'apprentissage VAR-7.M : Calculer une statistique de test appropriée pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 3.E]

• VAR-7.M.1 La distribution de la pente d'un modèle de régression en supposant que toutes les conditions sont remplies et l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) suit une distribution $t$.
• VAR-7.M.2 Pour la régression linéaire simple, lorsque l'échantillonnage aléatoire provient d'une population dont la réponse peut être modélisée par une distribution normale pour chaque valeur de la variable explicative, la distribution d'échantillonnage de $t = \dfrac{b - \beta}{SE_b}$ suit une distribution $t$ avec des degrés de liberté égaux à $n - 2$. Lors du test de la pente dans un modèle de régression linéaire simple avec un seul paramètre, la pente, le test de la pente a $df = n - 1$.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.M : Interpréter la valeur-$p$ d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.B]

• DAT-3.M.1 Une interprétation de la valeur-$p$ d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression doit reconnaître que la valeur-$p$ est calculée en supposant que l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire en supposant que la pente réelle de la population est égale à la valeur particulière indiquée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage DAT-3.N : Justifier une affirmation sur la population sur la base des résultats d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression. [Compétence 4.E]

• DAT-3.N.1 Une décision formelle compare explicitement la valeur-$p$ au seuil de signification-$\alpha$. Si la valeur-$p$ est $\le \alpha$, alors rejeter l'hypothèse nulle, $H_0 : \beta = \beta_0$. Si la valeur-$p$ est $> \alpha$, alors ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
• DAT-3.N.2 Les résultats d'un test de signification pour la pente d'un modèle de régression peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche concernant cet échantillon.

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à sélectionner une procédure d'inférence appropriée maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants doivent avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'inférence.