Explorer les données à deux variables

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.D : Identifier les questions à répondre concernant les relations potentielles dans les données. [Compétence 1.A]

• VAR-1.D.1 Les motifs et associations apparents dans les données peuvent être aléatoires ou non.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.P : Comparer les représentations numériques et graphiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.D]

• UNC-1.P.1 Les graphiques à barres côte à côte, les graphiques à barres segmentés et les diagrammes en mosaïque sont des exemples de graphiques à barres pour une variable catégorielle, détaillés par catégories d'une autre variable catégorielle.
• UNC-1.P.2 Les représentations graphiques de deux variables catégorielles peuvent être utilisées pour comparer des distributions et/ou déterminer si les variables sont associées.
• UNC-1.P.3 Un tableau croisé, également appelé tableau de contingence, est utilisé pour résumer deux variables catégorielles. Les entrées dans les cellules peuvent être des comptes de fréquences ou des fréquences relatives.
• UNC-1.P.4 Une fréquence relative jointe est une fréquence de cellule divisée par le total pour l'ensemble du tableau.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.Q : Calculer les statistiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.C]

• UNC-1.Q.1 Les fréquences relatives marginales sont les totaux de ligne et de colonne dans un tableau croisé divisés par le total pour l'ensemble du tableau.
• UNC-1.Q.2 Une fréquence relative conditionnelle est une fréquence relative pour une partie spécifique du tableau de contingence (p. ex., fréquences de cellules dans une ligne divisées par le total pour cette ligne).

Objectif d'apprentissage UNC-1.R : Comparer les statistiques pour deux variables catégorielles. [Compétence 2.D]

• UNC-1.R.1 Les statistiques récapitulatives pour deux variables catégorielles peuvent être utilisées pour comparer des distributions et/ou déterminer si les variables sont associées.

Compréhension durable (UNC-1) : Les représentations graphiques et statistiques nous permettent d'identifier et de représenter les caractéristiques clés des données.

Objectif d'apprentissage UNC-1.S : Représenter des données quantitatives bivariées à l'aide de nuages de points. [Compétence 2.B]

• UNC-1.S.1 Un ensemble de données quantitatives bivariées consiste en des observations de deux variables quantitatives différentes faites sur des individus dans un échantillon ou une population.
• UNC-1.S.2 Un nuage de points montre deux valeurs numériques pour chaque observation, l'une correspondant à la valeur sur l'axe $x$ et l'autre correspondant à la valeur sur l'axe $y$.
• UNC-1.S.3 Une variable explicative est une variable dont les valeurs sont utilisées pour expliquer ou prédire les valeurs correspondantes pour la variable réponse.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.A : Décrire les caractéristiques d'un nuage de points. [Compétence 2.A]

• DAT-1.A.1 Une description d'un nuage de points comprend la forme, la direction, la force et les caractéristiques inhabituelles.
• DAT-1.A.2 La direction de l'association montrée dans un nuage de points, s'il y en a une, peut être décrite comme positive ou négative.
• DAT-1.A.3 Une association positive signifie qu'à mesure que les valeurs d'une variable augmentent, les valeurs de l'autre variable ont tendance à augmenter. Une association négative signifie qu'à mesure que les valeurs d'une variable augmentent, les valeurs de l'autre variable ont tendance à diminuer.
• DAT-1.A.4 La forme de l'association montrée dans un nuage de points, s'il y en a une, peut être décrite comme linéaire ou non-linéaire à divers degrés.
• DAT-1.A.5 La force de l'association est la mesure dans laquelle les points individuels suivent un motif spécifique, p. ex., linéaire, et peut être montrée dans un nuage de points. La force peut être décrite comme forte, modérée ou faible.
• DAT-1.A.6 Les caractéristiques inhabituelles d'un nuage de points incluent des regroupements de points ou des points présentant des écarts relativement importants entre la valeur de la variable réponse et une valeur prédite pour cette variable.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.B : Déterminer la corrélation pour une relation linéaire. [Compétence 2.C]

• DAT-1.B.1 La corrélation, $r$, donne la direction et quantifie la force de l'association linéaire entre deux variables quantitatives.
• DAT-1.B.2 Le coefficient de corrélation peut être calculé par : $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Cependant, le moyen le plus courant de déterminer $r$ est d'utiliser une technologie.
• DAT-1.B.3 Un coefficient de corrélation proche de 1 ou de $-1$ ne signifie pas nécessairement qu'un modèle linéaire est approprié.

Objectif d'apprentissage DAT-1.C : Interpréter la corrélation pour une relation linéaire. [Compétence 4.B]

• DAT-1.C.1 La corrélation, $r$, est sans unité, et toujours comprise entre $-1$ et 1, inclus. Une valeur de $r = 0$ indique qu'il n'y a aucune association linéaire. Une valeur de $r = 1$ ou de $r = -1$ indique qu'il y a une association linéaire parfaite.
• DAT-1.C.2 Une relation perçue ou réelle entre deux variables ne signifie pas que les changements dans une variable causent des changements dans l'autre. Autrement dit, la corrélation n'implique pas nécessairement la causalité.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.D : Calculer une valeur de réponse prédite en utilisant un modèle de régression linéaire. [Compétence 2.C]

• DAT-1.D.1 Un modèle de régression linéaire simple est une équation qui utilise une variable explicative, $x$, pour prédire la variable réponse, $y$.
• DAT-1.D.2 La valeur de réponse prédite, notée $\hat{y}$, est calculée comme $\hat{y} = a + bx$, où $a$ est l'ordonnée à l'origine $y$ et $b$ est la pente de la droite de régression, et $x$ est la valeur de la variable explicative.
• DAT-1.D.3 L'extrapolation consiste à prédire une valeur de réponse en utilisant une valeur pour la variable explicative qui se situe au-delà de l'intervalle des valeurs de $x$ utilisées pour déterminer la droite de régression. La valeur prédite est moins fiable en tant qu'estimation plus nous extrapolons.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.E : Représenter les différences entre les réponses mesurées et prédites à l'aide de graphiques de résidus. [Compétence 2.B]

• DAT-1.E.1 Le résidu est la différence entre la valeur réelle et la valeur prédite : $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 Un graphique de résidus est un graphique des résidus par rapport aux valeurs de la variable explicative ou aux valeurs de réponse prédites.

Objectif d'apprentissage DAT-1.F : Décrire la forme de l'association des données bivariées à l'aide de graphiques de résidus. [Compétence 2.A]

• DAT-1.F.1 L'apparente randomisation dans un graphique de résidus pour un modèle linéaire est une preuve d'une forme linéaire à l'association entre les variables.
• DAT-1.F.2 Les graphiques de résidus peuvent être utilisés pour examiner l'adéquation d'un modèle sélectionné.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.G : Estimer les paramètres du modèle de la droite de régression des moindres carrés. [Compétence 2.C]

• DAT-1.G.1 Le modèle de régression des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus et contient le point $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 La pente, $b$, de la droite de régression peut être calculée comme $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$ où $r$ est la corrélation entre $x$ et $y$, $s_y$ est l'écart-type échantillonnal de la variable réponse, $y$, et $s_x$ est l'écart-type échantillonnal de la variable explicative, $x$.
• DAT-1.G.3 Parfois, l'ordonnée à l'origine $y$ de la droite n'a pas d'interprétation logique dans le contexte.
• DAT-1.G.4 En régression linéaire simple, $r^2$ est le carré de la corrélation, $r$. On l'appelle également le coefficient de détermination. $r^2$ représente la proportion de variation de la variable réponse expliquée par la variable explicative dans le modèle.

Objectif d'apprentissage DAT-1.H : Interpréter les coefficients du modèle de la droite de régression des moindres carrés. [Compétence 4.B]

• DAT-1.H.1 Les coefficients du modèle de régression des moindres carrés sont la pente estimée et l'ordonnée à l'origine $y$.
• DAT-1.H.2 La pente est la quantité dont la valeur $y$ prédite change pour chaque augmentation d'une unité de $x$.
• DAT-1.H.3 La valeur de l'ordonnée à l'origine $y$ est la valeur prédite de la variable de réponse lorsque la variable explicative est égale à $0$. La formule pour l'ordonnée à l'origine $y$, $a$, est $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Compréhension durable (DAT-1) : Les modèles de régression peuvent nous permettre de prédire les réponses aux changements d'une variable explicative.

Objectif d'apprentissage DAT-1.I : Identifier les points influents en régression. [Compétence 2.A]

• DAT-1.I.1 Un point aberrant en régression est un point qui ne suit pas la tendance générale montrée dans le reste des données et présente un grand résidu lorsque la Droite de Régression des Moindres Carrés (DRMC) est calculée.
• DAT-1.I.2 Un point à fort levier en régression a une valeur $x$ nettement plus grande ou plus petite que celle des autres observations.
• DAT-1.I.3 Un point influent en régression est tout point dont la suppression modifie substantiellement la relation. Cela peut se traduire par une pente, une ordonnée à l'origine $y$ et/ou une corrélation très différentes. Les valeurs aberrantes et les points à forte levier sont souvent influents.

Objectif d'apprentissage DAT-1.J : Calculer une réponse prédite en utilisant une droite de régression des moindres carrés pour un ensemble de données transformées. [Compétence 2.C]

• DAT-1.J.1 Les transformations de variables, telles que l'évaluation du logarithme naturel de chaque valeur de la variable réponse ou le carré de chaque valeur de la variable explicative, peuvent être utilisées pour créer des ensembles de données transformées, qui peuvent être plus linéaires que les données non transformées.
• DAT-1.J.2 Une augmentation de l'aléatoire dans les diagrammes de résidus après transformation des données et/ou un mouvement de $r^2$ vers une valeur plus proche de 1 offre la preuve que la droite de régression des moindres carrés pour les données transformées est un modèle plus approprié à utiliser pour prédire les réponses à la variable explicative que la droite de régression pour les données non transformées.