Inférence pour les données catégorielles : Khi-deux (Chi-Square)

AP Statistiques · Sujet 8

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8.1

Mes résultats sont-ils inattendus ?

Programme

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.J : Identifier les questions suggérées par une variation entre les effectifs observés et attendus dans des données catégorielles. [Compétence 1.A]

VAR-1.J.1 La variation entre ce que nous trouvons et ce que nous nous attendions à trouver peut être aléatoire ou non.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque les données sont des comptages répartis dans plusieurs catégories, nous testons si les comptages observés diffèrent de ceux prédits par une affirmation. L'outil est la statistique chi-carré 卡方 ($\chi^2$), qui additionne les écarts standardisés entre les comptages observés et attendus :

$$\chi^2=\sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}.$$

Une grande valeur de $\chi^2$ signifie que les comptages observés sont loin des valeurs attendues – preuve contre l'affirmation. La distribution chi-carré est asymétrique à droite et dépend de ses degrés de liberté 自由度.

8.2

Préparer un bon test d'ajustement

Programme

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.A : Décrire les distributions du khi-deux. [Compétence 3.C]

VAR-8.A.1 Les effectifs attendus des données catégorielles sont des effectifs cohérents avec l'hypothèse nulle. En général, un effectif attendu est une taille d'échantillon multipliée par une probabilité.

La statistique du khi-deux mesure la distance entre les effectifs observés et attendus par rapport aux effectifs attendus.

Les distributions du khi-deux ont des valeurs positives et sont asymétriques à droite. Au sein d'une famille de courbes de densité, l'asymétrie devient moins prononcée avec l'augmentation des degrés de liberté.

Objectif d'apprentissage VAR-8.B : Identifier les hypothèses nulle et alternative dans un test pour la distribution de proportions dans un ensemble de données catégorielles. [Compétence 1.F]

VAR-8.B.1 Pour un test d'ajustement du khi-deux, l'hypothèse nulle spécifie les proportions nulles pour chaque catégorie, et l'hypothèse alternative est qu'au moins l'une de ces proportions n'est pas telle que spécifiée dans l'hypothèse nulle.

Objectif d'apprentissage VAR-8.C : Identifier une méthode de test appropriée pour une distribution de proportions dans un ensemble de données catégorielles. [Compétence 1.E]

VAR-8.C.1 En considérant une distribution de proportions pour une variable catégorielle, le test approprié est le test du khi-deux pour l'ajustement.

Objectif d'apprentissage VAR-8.D : Calculer les effectifs attendus pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.A]

VAR-8.D.1 Les effectifs attendus pour un test d'ajustement du khi-deux sont (taille de l'échantillon)(proportion nulle).

Objectif d'apprentissage VAR-8.E : Vérifier les conditions pour faire des inférences statistiques lors du test d'ajustement pour une distribution du khi-deux. [Compétence 4.C]

VAR-8.E.1 Afin de faire des inférences statistiques pour un test d'ajustement du khi-deux, nous devons vérifier les points suivants :
- a. Pour vérifier l'indépendance :
  - i. Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire ou d'une expérience randomisée.
  - ii. Lors de l'échantillonnage sans remise, vérifier que $n \leq 10\%N$.
- b. Le test du khi-deux pour l'ajustement devient plus précis avec davantage d'observations, donc des grands effectifs doivent être utilisés (forme).
  - i. Un contrôle conservateur pour les grands effectifs est que tous les effectifs attendus doivent être supérieurs à 5.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le test du chi-carré (χ²)

Un test d'ajustement (GOF) 拟合优度 vérifie si une variable catégorielle suit une distribution prétendue (ex. "le dé est équitable"). Hypothèses :

$$H_0:\text{the distribution is as claimed}\qquad H_a:\text{at least one proportion differs}.$$

Comptage attendu pour chaque catégorie $=n\times(\text{claimed proportion})$. Conditions : échantillon aléatoire, tous les comptages attendus $\ge 5$, et condition des 10 %.

La distribution du chi-carré et sa zone de rejet dans la queue droite — La distribution du chi-carré est asymétrique à droite. Une grande statistique atterrit dans la queue droite ombrée au-delà de la valeur critique – c'est là que vous rejetez le modèle.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
chi-square/kaɪ skweə/	卡方	kǎ fāng
degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/	自由度	zì yóu dù

8.3

Exécuter un test d'ajustement

Programme

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.F : Calculer la statistique appropriée pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.E]

VAR-8.F.1 La statistique de test pour le test du khi-deux pour l'ajustement est
- Équation : $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, avec $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
VAR-8.F.2 La distribution de la statistique de test en supposant que l'hypothèse nulle est vraie (distribution nulle) peut être soit une distribution de randomisation, soit, lorsqu'un modèle probabiliste est supposé être vrai, une distribution théorique (khi-deux).

Objectif d'apprentissage VAR-8.G : Déterminer la valeur p $p$ pour le test de significativité du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 3.E]

VAR-8.G.1 La valeur p $p$ pour un test du khi-deux pour l'ajustement avec un certain nombre de degrés de liberté est trouvée à l'aide de la table appropriée ou de la sortie générée par ordinateur.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.I : Interpréter la valeur p $p$ pour le test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 4.B]

DAT-3.I.1 Une interprétation de la valeur p $p$ pour le test du khi-deux pour l'ajustement est la probabilité, étant donné que l'hypothèse nulle et le modèle de probabilité sont vrais, d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus que la valeur observée.

Objectif d'apprentissage DAT-3.J : Justifier une affirmation sur la population basée sur les résultats d'un test du khi-deux pour l'ajustement. [Compétence 4.E]

DAT-3.J.1 Une décision de rejeter ou de ne pas rejeter l'hypothèse nulle est basée sur la comparaison de la valeur p $p$ au niveau de significativité, $\alpha$.
DAT-3.J.2 Les résultats d'un test du khi-deux pour l'ajustement peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Calculez $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ avec $df=(\text{number of categories})-1$. Trouvez la valeur de $p$ à partir de la distribution du chi-carré (queue supérieure), comparez-la à $\alpha$, et concluez en contexte. Un grand composant de la somme indique la catégorie qui s'écarte le plus.

Le chi-carré compare les comptages observés avec ceux attendus sous l'hypothèse nulle

Exemple résolu. Un dé lancé $60$ fois donne les comptages $8,10,12,9,11,10$. S'il est équitable, chaque comptage attendu est $60/6=10$, donc

$$\chi^2=\frac{(8-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}+\frac{(12-10)^2}{10}+\frac{(9-10)^2}{10}+\frac{(11-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}=0.4+0+0.4+0.1+0.1+0=1.0,$$

avec $df=6-1=5$. Écrivez chaque catégorie, y compris les deux qui correspondent exactement à leur comptage attendu et ajoutent donc $0$ – la somme porte sur les six catégories, et $df$ compte les catégories, pas seulement celles qui diffèrent. Cette valeur de $\chi^2$ est faible (une grande valeur de $p$), donc nous ne rejetons pas $H_0$ – aucune preuve que le dé est truqué.

Explorer

Explorer la distribution chi-deux et sa valeur p

La valeur p est l'aire dans la queue droite au-delà de votre statistique de test, donc une $\chi^2$ plus grande signifie une valeur p plus petite. Faites glisser $\chi^2$ pour observer cette zone rétrécir, et faites glisser dl pour voir toute la famille changer de forme — fortement asymétrique à droite à faible dl, plus symétrique lorsque dl augmente.

8.4

Comptages attendus dans les tableaux à double entrée

Programme

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.H : Calculer les effectifs attendus pour les tableaux à double entrée de données catégorielles. [Compétence 3.A]

VAR-8.H.1 L'effectif attendu dans une cellule particulière d'un tableau à double entrée de données catégorielles peut être calculé en utilisant la formule :
- Équation : $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour un tableau à double entrée, le comptage attendu dans une cellule (sous "aucune association") est

$$E=\frac{(\text{row total})\times(\text{column total})}{\text{grand total}}.$$

C'est le comptage que vous observeriez si les variables de ligne et de colonne étaient non liées.

Exemple résolu. Dans un tableau à double entrée, le total de ligne d'une cellule est $40$, son total de colonne est $50$, et le total général est $200$. Son comptage attendu est $E=\dfrac{40\times50}{200}=10$. Répéter pour chaque cellule donne le tableau attendu à comparer avec l'observé.

Un tableur organise les comptages catégoriels avant un test du chi-carré

8.5

Homogénéité ou Indépendance ?

Programme

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.I : Identifier les hypothèses nulle et alternative pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 1.F]

VAR-8.I.1 Les hypothèses appropriées pour un test du khi-deux pour l'homogénéité sont :

$H_0$ : Il n'y a pas de différence dans les distributions d'une variable catégorielle entre les populations ou les traitements.

$H_a$ : Il y a une différence dans les distributions d'une variable catégorielle entre les populations ou les traitements.
VAR-8.I.2 Les hypothèses appropriées pour un test du khi-deux pour l'indépendance sont :

$H_0$ : Il n'y a pas d'association entre deux variables catégorielles dans une population donnée, ou les deux variables catégorielles sont indépendantes.

$H_a$ : Deux variables catégorielles dans une population sont associées ou dépendantes.

Objectif d'apprentissage VAR-8.J : Identifier une méthode d'essai appropriée pour comparer des distributions dans des tableaux à double entrée de données catégorielles. [Compétence 1.E]

VAR-8.J.1 Lors de la comparaison de distributions pour déterminer si les proportions de chaque catégorie pour des données catégorielles collectées auprès de différentes populations sont identiques, le test approprié est le test du khi-deux pour l'homogénéité.
VAR-8.J.2 Pour déterminer si les variables de ligne et de colonne dans un tableau à double entrée de données catégorielles pourraient être associées dans la population d'où les données ont été échantillonnées, le test approprié est le test du khi-deux pour l'indépendance.

Objectif d'apprentissage VAR-8.K : Vérifier les conditions permettant de faire des inférences statistiques lors du test d'une distribution du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité. [Compétence 4.C]

VAR-8.K.1 Afin de faire des inférences statistiques pour un test du khi-deux sur des tableaux à double entrée (homogénéité ou indépendance), nous devons vérifier ce qui suit :
- a. Pour vérifier l'indépendance :
  - i. Pour un test d'indépendance : Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire simple.
  - ii. Pour un test d'homogénéité : Les données doivent être collectées à l'aide d'un échantillon aléatoire stratifié ou d'une expérience randomisée.
  - iii. Lors d'un échantillonnage sans replacement, vérifiez que $n \leq 10\%N$.
- b. Les tests du khi-deux pour l'indépendance et l'homogénéité deviennent plus précis avec davantage d'observations, donc des comptes élevés doivent être utilisés (forme).
  - i. Un contrôle conservateur pour les grands effectifs est que tous les effectifs attendus doivent être supérieurs à 5.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Deux tests utilisent la même mathématique de $\chi^2$ mais répondent à des questions différentes :

Test d'homogénéité 同质性 : les distributions d'une variable catégorielle sont-elles les mêmes chez plusieurs populations ou groupes (échantillons/traitements séparés) ?
Test d'indépendance 独立性 : deux variables catégorielles sont-elles associées au sein d'une seule population (un échantillon, deux variables mesurées) ?

La conception (plusieurs échantillons contre un seul échantillon) détermine quel nom et quelles hypothèses utiliser.

8.6

Exécuter un test d'homogénéité ou d'indépendance

Programme

Compréhension durable (VAR-8) : La distribution du khi-deux peut être utilisée pour modéliser une variation.

Objectif d'apprentissage VAR-8.L : Calculer la statistique appropriée pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 3.E]

VAR-8.L.1 La statistique de test appropriée pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance est la statistique du khi-deux :
- Équation : $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$, avec des degrés de liberté égaux à : $(number\ of\ rows - 1)(number\ of\ columns - 1)$.

Objectif d'apprentissage VAR-8.M : Déterminer la valeur $p$ pour un test de signification du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité. [Compétence 3.E]

VAR-8.M.1 La valeur $p$ pour un test du khi-deux pour l'indépendance ou l'homogénéité pour un nombre de degrés de liberté est trouvée à l'aide de la table appropriée ou de la technologie.
VAR-8.M.2 Pour un test d'indépendance ou d'homogénéité pour un tableau à double entrée, la valeur $p$ est la proportion de valeurs dans une distribution du khi-deux avec des degrés de liberté appropriés qui sont égales ou supérieures à la statistique de test.

Compréhension durable (DAT-3) : Les tests de significativité nous permettent de prendre des décisions concernant des hypothèses dans un contexte particulier.

Objectif d'apprentissage DAT-3.K : Interpréter la valeur $p$ pour le test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 4.B]

DAT-3.K.1 Une interprétation de la valeur $p$ pour le test du chi-deux d'homogénéité ou d'indépendance est la probabilité, sous l'hypothèse nulle et le modèle probabiliste supposés vrais, d'obtenir une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que la valeur observée.

Objectif d'apprentissage DAT-3.L : Justifier une affirmation concernant la population basée sur les résultats d'un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance. [Compétence 4.E]

DAT-3.L.1 Une décision de rejeter ou de ne pas rejeter l'hypothèse nulle pour un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance est basée sur la comparaison de la valeur $p$ au niveau de signification, $\alpha$.
DAT-3.L.2 Les résultats d'un test du khi-deux pour l'homogénéité ou l'indépendance peuvent servir de raisonnement statistique pour soutenir la réponse à une question de recherche sur la population qui a été échantillonnée (indépendance) ou les populations qui ont été échantillonnées (homogénéité).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Calculez les comptages attendus, puis $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ sur toutes les cellules, avec

$$df=(\text{rows}-1)(\text{columns}-1).$$

Conditions : données aléatoires, tous les comptages attendus $\ge 5$, condition des 10 %. Trouvez la valeur de $p$, comparez-la à $\alpha$, et concluez en contexte – preuve d'une différence entre les groupes (homogénéité) ou d'une association (indépendance).

8.7

Choisir la bonne procédure catégorielle

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence de sélection d'une procédure d'inférence appropriée maintenant que les étudiants disposent d'un éventail d'options. Les étudiants devraient avoir l'occasion de pratiquer quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs aux inférences pour des données catégorielles.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Décider par la configuration : une variable catégorielle contre une distribution claimée $\Rightarrow$ goodness-of-fit ; un échantillon croisé par deux variables $\Rightarrow$ indépendance ; plusieurs échantillons/groupes comparés $\Rightarrow$ homogénéité. Comparer juste deux proportions peut utiliser soit un test de différence de proportions $z$, soit un test du chi-carré, mais seulement pour une alternative bilatérale, où elles concordent exactement ($\chi^2=z^2$). Un test du chi-carré est toujours bilatéral, donc il ne peut pas donner une conclusion directionnelle : si $H_a$ est unilatérale (par exemple $p_1>p_2$), utiliser le test $z$.

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De quel test chi-deux s'agit-il ?

Les trois tests utilisent la même arithmétique $\chi^2$, donc les points sont gagnés en nommant le bon test. Le design décide — combien d'échantillons ont été pris, et combien de variables ont été mesurées sur chaque unité.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
goodness-of-fit (GOF)/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/	拟合优度	nǐ hé yōu dù
Test for homogeneity/test fɔː ˈhɒməʊdʒneɪti/	同质性	tóng zhì xìng
Test for independence/test fɔː ˌɪndɪˈpendəns/	独立性	dú lì xìng

8.7

Conseils d'examen

Utilisez $\chi^2=\sum\tfrac{(O-E)^2}{E}$ pour les données catégorielles ; divisez toujours par le comptage attendu.
Choisissez le bon test : ajustement (une variable), indépendance, ou homogénéité (tableau à double entrée).
Calculez les comptages attendus comme $\tfrac{\text{row total}\times\text{column total}}{\text{grand total}}$ et vérifiez qu'ils sont tous $\ge5$.
Une grande valeur de $\chi^2$ (petite valeur p) signifie que les comptages observés diffèrent des values attendues davantage que par hasard.
Énoncez correctement les degrés de liberté (catégories $-1$, ou $(r-1)(c-1)$).

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