Probabilités, variables aléatoires et distributions de probabilité

AP Statistiques · Sujet 4

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4.1

Motifs Aléatoires et Non-Aléatoires

Programme

Compréhension durable (VAR-1) : Étant donné que la variation peut être aléatoire ou non, les conclusions sont incertaines.

Objectif d'apprentissage VAR-1.F : Identifier les questions suggérées par les motifs dans les données. [Compétence 1.A]

VAR-1.F.1 Les motifs dans les données ne signifient pas nécessairement que la variation n'est pas aléatoire.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Quelque chose est aléatoire si les résultats individuels sont incertains mais qu'un modèle régulier émerge sur de nombreuses répétitions. Les résultats à court terme semblent erratiques ; les fréquences relatives à long terme se stabilisent. Cette stabilité à long terme est ce qui rend la probabilité utile.

4.2

Estimer des probabilités à l'aide de simulations

Programme

Compréhension durable (UNC-2) : La simulation nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-2.A : Estimer les probabilités à l'aide de simulations. [Compétence 3.A]

UNC-2.A.1 Un processus aléatoire génère des résultats déterminés par le hasard.
UNC-2.A.2 Un résultat est la conséquence d'un essai d'un processus aléatoire.
UNC-2.A.3 Un événement est un ensemble de résultats.
UNC-2.A.4 La simulation est un moyen de modéliser des événements aléatoires, de sorte que les résultats simulés correspondent étroitement aux résultats réels. Tous les résultats possibles sont associés à une valeur à déterminer par le hasard. Enregistrer les comptes des résultats simulés et le total des comptes.
UNC-2.A.5 La fréquence relative d'un résultat ou d'un événement dans des données simulées ou empiriques peut être utilisée pour estimer la probabilité de ce résultat ou événement.
UNC-2.A.6 La loi des grands nombres stipule que les probabilités simulées (empiriques) ont tendance à se rapprocher de la vraie probabilité lorsque le nombre d'essais augmente.
- Exemples illustratifs pour UNC-2.A :
  - Un résultat : Obtenir une valeur particulière sur un dé à six faces est l'un des six résultats possibles.
  - Un événement : Lors du lancer de deux dés à six faces, un événement serait une somme de sept. L'ensemble correspondant des résultats serait $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ et $(6, 1)$, où les paires ordonnées indiquent (valeur de la face sur un dé, valeur de la face sur l'autre dé).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une simulation imite un processus de hasard en utilisant des chiffres aléatoires ou la technologie. Étapes : énoncer le modèle, attribuer des chiffres aux résultats, effectuer de nombreux essais et enregistrer la proportion d'essais répondant à la condition. La proportion résultante estime la probabilité – plus d'essais donnent une meilleure estimation.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
random/ˈrændəm/	随机	suí jī
simulation/ˌsɪmjʊˈleɪʃn/	模拟	mó nǐ

4.3

Introduction à la Probabilité

Programme

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.A : Calculer les probabilités pour des événements et leurs compléments. [Compétence 3.A]

VAR-4.A.1 L'espace échantillonnal d'un processus aléatoire est l'ensemble de tous les résultats possibles non chevauchants.
VAR-4.A.2 Si toutes les issues de l'espace sample sont également probables, alors la probabilité qu'un événement E se produise est définie comme la fraction : $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1, inclus.
VAR-4.A.4 La probabilité du complément d'un événement E, $E'$ ou $E^{C}$ (c'est-à-dire non E), est égale à $1 - P(E)$.

Objectif d'apprentissage VAR-4.B : Interpréter les probabilités pour des événements. [Compétence 4.B]

VAR-4.B.1 Les probabilités d'événements dans des situations répétitives peuvent être interprétées comme la fréquence relative avec laquelle l'événement se produira à long terme.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La probabilité 概率 d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui donne sa fréquence relative à long terme. L'espace échantillon 样本空间 est l'ensemble de tous les résultats possibles. Pour un événement $A$, la règle du complément 补 : $P(A^c)=1-P(A)$. Les probabilités de tous les résultats s'additionnent à $1$.

Probability runs from 0 (impossible) to 1 (certain)

Les quatre as d'un jeu de cartes — Un jeu de cartes est une source classique de probabilité : 52 issues également probables facilitent le comptage des chances

Explorer

Explorer la probabilité avec des dés

Probabilité est la fraction à long terme du nombre de fois qu'un résultat se produit. Lancez les dés plusieurs fois et observez les proportions expérimentales converger vers les valeurs théoriques.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/	概率	gài lǜ

4.4

Événements Mutuellement Exclusifs

Programme

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.C : Expliquer pourquoi deux événements sont (ou ne sont pas) mutuellement exclusifs. [Compétence 4.B]

VAR-4.C.1 La probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux, parfois appelée probabilité conjointe, est la probabilité de l'intersection de $A$ et $B$, notée $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Deux événements sont mutuellement exclusifs ou disjoints s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Donc $P(A \cap B) = 0$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Deux événements sont mutuellement exclusifs (disjoints) s'ils ne peuvent pas tous deux se produire. Alors la règle d'addition se simplifie :

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

En général, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ – soustrayez le chevauchement afin qu'il ne soit pas compté deux fois.

Un diagramme de Venn : la superposition est l'intersection de deux événements

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/	互斥	hù chì

4.5

Probabilité Conditionnelle

Programme

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.D : Calculer les probabilités conditionnelles. [Compétence 3.A]

VAR-4.D.1 La probabilité que l'événement $A$ se produise sachant que l'événement $B$ s'est produit est appelée probabilité conditionnelle et notée $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 La règle de multiplication stipule que la probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux est égale à la probabilité que l'événement $A$ se produise multipliée par la probabilité que l'événement $B$ se produise, sachant que $A$ s'est produit. Cela se note $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Probabilité conditionnelle

Le conditional probability 条件概率 of $A$ given $B$ is

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

C'est la chance de $A$ une fois que vous savez que $B$ s'est produit. Les tableaux à double entrée facilitent cela : restreignez-vous à la ligne/colonne pour $B$, puis trouvez la part de $A$.

Sur un arbre de probabilités, multipliez les probabilités le long des branches

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Mettre à jour une probabilité avec de nouvelles informations

Probabilité conditionnelle $P(B\mid A)$ est la chance que $B$ se produise une fois que vous savez que $A$ s'est produit. Modifiez les probabilités des branches et observez comment le conditionnement reshape le résultat.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	条件概率	tiáo jiàn gài lǜ

4.6

Événements indépendants et réunions d'événements

Programme

Compréhension durable (VAR-4) : La probabilité d'un événement aléatoire peut être quantifiée.

Objectif d'apprentissage VAR-4.E : Calculer les probabilités pour des événements indépendants et pour l'union de deux événements. [Compétence 3.A]

VAR-4.E.1 Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, savoir si l'événement $A$ s'est produit (ou se produira) ne change pas la probabilité que l'événement $B$ se produise.
VAR-4.E.2 Si, et seulement si, les événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ et $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 La probabilité que l'événement $A$ ou l'événement $B$ (ou les deux) se produise est la probabilité de l'union de $A$ et $B$, notée $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 La règle d'addition stipule que la probabilité que l'événement $A$ ou l'événement $B$ ou les deux se produise est égale à la probabilité que l'événement $A$ se produise plus la probabilité que l'événement $B$ se produise moins la probabilité que les deux événements $A$ et $B$ se produisent. Cela se note $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les événements sont indépendants 独立 si connaître l'un ne change pas la probabilité de l'autre : $P(A\mid B)=P(A)$. La règle de multiplication se simplifie alors :

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

L'indépendance n'est pas la même chose que l'exclusion mutuelle – les événements mutuellement exclusifs avec une probabilité non nulle sont en fait dépendants (si l'un se produit, l'autre ne peut pas).

Un diagramme de l'espace des énumérations liste chaque issue également probable

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Combiner des événements avec un diagramme de Venn

Pour une union $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — vous soustrayez l'intersection afin qu'elle ne soit pas comptée deux fois. Changez l'opération pour voir chaque région s'illuminer.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
sample space/ˈsæmpl speɪs/	样本空间	yàng běn kōng jiān
complement/ˈkɒmplɪmənt/	补	bǔ
independent/ˌɪndɪˈpendənt/	独立	dú lì
random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/	随机变量	suí jī biàn liàng
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	概率分布	gài lǜ fēn bù

4.7

Random Variables and Probability Distributions

Programme

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.A : Représenter la distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 2.B]

VAR-5.A.1 Les valeurs d'une variable aléatoire sont les résultats numériques du comportement aléatoire.
VAR-5.A.2 Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Chaque valeur a une probabilité associée. La somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles doit être égale à 1.
VAR-5.A.3 Une distribution de probabilité peut être représentée sous forme de graphique, de tableau ou de fonction montrant les probabilités associées aux valeurs d'une variable aléatoire.
VAR-5.A.4 Une distribution de probabilité cumulative peut être représentée sous forme de tableau ou de fonction montrant la probabilité d'être inférieur ou égal à chaque valeur de la variable aléatoire.
- Exemples illustratifs pour VAR-5.A : Résultats d'essais d'un processus aléatoire :
  - La somme des résultats pour le lancer de deux dés
  - Le nombre de chiots dans une portée sélectionnée au hasard chez une certaine race de chien

Objectif d'apprentissage VAR-5.B : Interpréter une distribution de probabilité. [Compétence 4.B]

VAR-5.B.1 Une interprétation d'une distribution de probabilité fournit des informations sur la forme, le centre et la dispersion d'une population et permet de tirer des conclusions sur la population d'intérêt.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une variable aléatoire attribue un nombre à chaque issue d'un processus hasardeux. Une distribution de probabilité liste chaque valeur possible avec sa probabilité (elles s'additionnent à $1$). Une distribution peut être discrète (un tableau de valeurs) ou continue (un modèle sous une courbe comme la normale).

4.8

Moyenne et écart-type des variables aléatoires

Programme

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.C : Calculer les paramètres d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 3.B]

VAR-5.C.1 Une valeur numérique mesurant une caractéristique d'une population ou la distribution d'une variable aléatoire est connue sous le nom de paramètre, qui est une valeur unique et fixe.
VAR-5.C.2 La moyenne, ou valeur attendue, pour une variable aléatoire discrète $X$ est $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 L'écart-type pour une variable aléatoire discrète $X$ est $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Objectif d'apprentissage VAR-5.D : Interpréter les paramètres d'une variable aléatoire discrète. [Compétence 4.B]

VAR-5.D.1 Les paramètres d'une variable aléatoire discrète doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population spécifique.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La moyenne (valeur attendue) d'une variable aléatoire discrète est la moyenne pondérée par les probabilités :

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

L'écart type $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ mesure l'écart typique par rapport à la moyenne. La valeur attendue est la moyenne des résultats à long terme, et non une valeur que l'on s'attend à obtenir sur un essai unique.

Exemple résolu. Un jeu paie $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (une issue $-1$) avec une probabilité $0.8$. La valeur attendue est

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

donc sur de nombreuses parties, vous gagnez environ $20$ centimes par partie en moyenne, bien qu'aucune partie unique ne donne exactement cela.

4.9

Combinaison de Variables Aléatoires

Programme

Compréhension durable (VAR-5) : Les distributions de probabilité peuvent être utilisées pour modéliser la variation dans les populations.

Objectif d'apprentissage VAR-5.E : Calculer les paramètres des combinaisons linéaires de variables aléatoires. [Compétence 3.B]

VAR-5.E.1 Pour les variables aléatoires $X$ et $Y$ et les nombres réels $a$ et $b$, la moyenne de $aX + bY$ est $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Deux variables aléatoires sont indépendantes si le fait de connaître des informations sur l'une d'elles ne modifie pas la distribution de probabilité de l'autre.
VAR-5.E.3 Pour des variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ et des nombres réels $a$ et $b$, la moyenne de $aX + bY$ est $a\mu_x + b\mu_y$, et la variance de $aX + bY$ est $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Objectif d'apprentissage VAR-5.F : Décrire les effets des transformations linéaires des paramètres des variables aléatoires. [Compétence 3.C]

VAR-5.F.1 Pour $Y = a + bX$, la distribution de probabilité de la variable aléatoire transformée, $Y$, a la même forme que la distribution de probabilité pour $X$, tant que $a > 0$ et $b > 0$. La moyenne de $Y$ est $\mu_y = a + b\mu_x$. L'écart-type de $Y$ est $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque vous additionnez ou soustrayez des variables aléatoires, les moyennes s'additionnent : $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. Si $X$ et $Y$ sont indépendants, les variances s'additionnent (même lors de la soustraction) :

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Prenez la racine carrée pour l'écart type. De plus, mise à l'échelle : $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ et $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

4.10

Introduction à la distribution binomiale

Programme

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.A : Estimer les probabilités de variables aléatoires binomiales en utilisant des données de simulation. [Compétence 3.A]

UNC-3.A.1 Une distribution de probabilité peut être construite en utilisant les règles de probabilité ou estimée avec une simulation utilisant des générateurs de nombres aléatoires.
UNC-3.A.2 Une variable aléatoire binomiale, $X$, compte le nombre de succès dans $n$ essais indépendants répétés, chaque essai ayant deux issues possibles (succès ou échec), avec la probabilité de succès $p$ et la probabilité d'échec $1 - p$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.B : Calculer les probabilités pour une distribution binomiale. [Compétence 3.A]

UNC-3.B.1 La probabilité qu'une variable aléatoire binomiale, $X$, ait exactement $x$ succès pour $n$ essais indépendants, lorsque la probabilité de succès est $p$, est calculée comme $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. C'est la fonction de probabilité binomiale.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La loi binomiale

Un cadre binomial (BINS) : un nombre fixe $n$ d'Indépendants essais, chacun avec deux issues (succès/échec) et la même probabilité de succès $p$. La variable aléatoire $X=$ est le nombre de succès. Sa probabilité :

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

The binomial distribution, with mean n times p

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Modéliser une distribution binomiale

Une distribution binomiale compte les succès dans $n$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité $p$. Modifiez $n$ et $p$ et observez les barres se déplacer et s'étaler.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
mean (expected value)/miːn/	期望值	qī wàng zhí
binomial/baɪˈnəʊmɪəl/	二项	èr xiàng
geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/	几何	jǐ hé

4.11

Paramètres d'une distribution binomiale

Programme

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.C : Calculer les paramètres d'une distribution binomiale. [Compétence 3.B]

UNC-3.C.1 Si une variable aléatoire est binomiale, sa moyenne, $\mu_x$, est $np$ et son écart-type, $\sigma_x$, est $\sqrt{np(1 - p)}$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.D : Interpréter les probabilités et les paramètres d'une distribution binomiale. [Compétence 4.B]

UNC-3.D.1 Les probabilités et les paramètres d'une distribution binomiale doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population ou situation spécifique.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

For a binomial $X$ with $n$ trials and success probability $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Utilisez ceci pour les questions « combien de succès attendons-nous, et varient-ils beaucoup ».

Exemple résolu. Un joueur marque $70\%$ des lancers francs. Sur $n=10$ tirs, la probabilité d'avoir exactement $8$ marques est

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

et le nombre attendu de marques est $\mu=np=10(0.7)=7$, avec $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

4.12

La Distribution Géométrique

Programme

Compréhension durable (UNC-3) : Le raisonnement probabiliste nous permet d'anticiper des motifs dans les données.

Objectif d'apprentissage UNC-3.E : Calculer les probabilités pour des variables aléatoires géométriques. [Compétence 3.A]

UNC-3.E.1 Pour une série d'essais indépendants, une variable aléatoire géométrique, $X$, donne le numéro de l'essai auquel survient le premier succès. Chaque essai a deux issues possibles (succès ou échec) avec la probabilité de succès $p$ et la probabilité d'échec $1 - p$.
UNC-3.E.2 La probabilité que le premier succès pour des essais indépendants répétés avec une probabilité de succès $p$ survienne à l'essai $x$ est calculée comme $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. C'est la fonction de probabilité géométrique.

Objectif d'apprentissage UNC-3.F : Calculer les paramètres d'une distribution géométrique. [Compétence 3.B]

UNC-3.F.1 Si une variable aléatoire est géométrique, sa moyenne, $\mu_x$, est $\dfrac{1}{p}$ et son écart-type, $\sigma_x$, est $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Objectif d'apprentissage UNC-3.G : Interpréter les probabilités et les paramètres d'une distribution géométrique. [Compétence 4.B]

UNC-3.G.1 Les probabilités et les paramètres d'une distribution géométrique doivent être interprétés en utilisant des unités appropriées et dans le contexte d'une population ou situation spécifique.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un cadre géométrique 几何 est similaire au cadre binomial mais avec pas de $n$ fixe : on continue d'essayer jusqu'à ce qu'il y ait un premier succès. La variable aléatoire $Y=$ est l'essai du premier succès :

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

Ainsi, le nombre attendu d'essais jusqu'au premier succès est $1/p$.

4.12

Conseils d'examen

Une probabilité se situe dans $[0,1]$ ; utilisez le complément ($1-P$) et ajoutez les événements mutuellement exclusifs.
Pour les événements indépendants, multipliez ; pour « et/ou », utilisez la règle d'addition générale et les règles conditionnelles.
Expected value = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Reconnaître les cadres binomiaux (fixe $n$, deux issues, probabilité constante $p$) et géométriques.
Dessinez un arbre ou un tableau pour les problèmes multi-étapes et multipliez le long des branches.

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