Oscillations

AP Physique 1 · Topic 7 · ⁨Sujet 7⁩

Train · ⁨Entrainer⁩

Video lesson for this topic · ⁨Leçon vidéo pour ce sujet⁩ Open the video page · ⁨Ouvrir la page vidéo⁩

7.1

Defining Simple Harmonic Motion · ⁨Définir le mouvement harmonique simple⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 7.1.A: Describe simple harmonic motion.

7.1.A.1 Simple harmonic motion is a special case of periodic motion.
7.1.A.2 SHM results when the magnitude of the restoring force exerted on an object is proportional to that object's displacement from its equilibrium position.
- Equation: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i A restoring force is a force that is exerted in a direction opposite to the object's displacement from an equilibrium position.
- 7.1.A.2.ii An equilibrium position is a location at which the net force exerted on an object or system is zero.
- 7.1.A.2.iii The motion of a pendulum with a small angular displacement can be modeled as simple harmonic motion because the restoring torque is proportional to the angular displacement.

Français

Objectif d'apprentissage 7.1.A : Décrire le mouvement harmonique simple.

7.1.A.1 Le mouvement harmonique simple est un cas particulier du mouvement périodique.
7.1.A.2 Le MHS résulte lorsque la grandeur de la force de rappel exercée sur un objet est proportionnelle au déplacement de cet objet par rapport à sa position d'équilibre.
- Équation : $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i Une force de rappel est une force exercée dans une direction opposée au déplacement de l'objet par rapport à une position d'équilibre.
- 7.1.A.2.ii Une position d'équilibre est un endroit où la force nette exercée sur un objet ou un système est nulle.
- 7.1.A.2.iii Le mouvement d'un pendule avec un petit angle de déviation peut être modélisé comme un mouvement harmonique simple car le couple de rappel est proportionnel à l'angle de déviation.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Simple harmonic motion

Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) is a back-and-forth oscillation 振动 caused by a restoring force 回复力 that is proportional to the displacement from equilibrium and always points back toward it: $F=-kx$. A mass on a spring and (for small angles) a pendulum are the standard examples. Because the force grows with displacement, the motion is smooth and repeating, tracing a sine curve in time.

The test for SHM is exactly this: acceleration proportional to displacement and opposite in direction, $a=-\dfrac{k}{m}x$. A pendulum only obeys it for small swings, where $\sin\theta\approx\theta$; large swings are not quite SHM.

Français

Mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple 简谐运动 (SHM) est une oscillation 振动 aller-retour causée par une force de rappel 回复力 proportionnelle au déplacement par rapport à l'équilibre et toujours dirigée vers celui-ci : $F=-kx$. Une masse sur un ressort et (pour petits angles) un pendule sont les exemples standards. Comme la force croît avec le déplacement, le mouvement est régulier et répétitif, tracé comme une courbe sinusoïdale dans le temps.

Dans le MHS, l'accélération pointe toujours vers l'équilibre, opposée au déplacement — Dans le SHM, l'accélération pointe toujours vers l'équilibre, opposée au déplacement

Le test du SHM est exactement ceci : accélération proportionnelle au déplacement et opposée en direction, $a=-\dfrac{k}{m}x$. Un pendule n'obéit à cette loi que pour des oscillations petites, où $\sin\theta\approx\theta$ ; les grandes oscillations ne sont pas tout à fait du SHM.

Un ressort sous charge : la loi de Hooke F = −kx est la force de rappel qui produit le MHS — Un ressort sous charge : la loi de Hooke F = −kx est la force de rappel qui produit le SHM

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
Simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/	简谐运动	jiǎn xié yùn dòng
oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/	振动	zhèn dòng
restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/	回复力	huí fù lì
period/ˈpɪərɪəd/	周期	zhōu qī
frequency/ˈfriːkwənsi/	频率	pín lǜ

7.2

Frequency and Period of SHM · ⁨Fréquence et période du SHM⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 7.2.A: Describe the frequency and period of an object exhibiting SHM.

7.2.A.1 The period of SHM is related to the frequency $f$ of the object's motion by the following equation:
- Equation: $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i The period of an object–ideal-spring oscillator is given by the equation $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii The period of a simple pendulum displaced by a small angle is given by the equation $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Français

Objectif d'apprentissage 7.2.A : Décrire la fréquence et la période d'un objet présentant un MHS.

7.2.A.1 La période du MHS est liée à la fréquence $f$ du mouvement de l'objet par l'équation suivante :
- Équation : $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i La période d'un oscillateur objet-ressort idéal est donnée par l'équation $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii La période d'un pendule simple déplacé d'un petit angle est donnée par l'équation $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

The period 周期 $T$ is the time for one full cycle.
The frequency 频率 $f=\dfrac{1}{T}$ is cycles per second (hertz).

For SHM these depend only on the system, not on the amplitude:

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

So a stiffer spring or smaller mass oscillates faster; a longer pendulum swings slower.

Worked example. A $0.25\ \text{kg}$ mass hangs on a spring of stiffness $k=100\ \text{N/m}$. Its period is

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

Worked example. A pendulum clock ticks with a period of exactly $2.0\ \text{s}$. How long is it? Rearranging $T=2\pi\sqrt{L/g}$,

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

Notice the amplitude never entered – a wide or narrow swing keeps the same time, which is what makes pendulums good clocks.

Français

La période 周期 $T$ est le temps pour un cycle complet.
La fréquence 频率 $f=\dfrac{1}{T}$ correspond aux cycles par seconde (hertz).

Pour le SHM, elles dépendent uniquement du système, pas de l'amplitude :

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Ainsi, un ressort plus rigide ou une masse plus petite oscille plus vite ; un pendule plus long oscille plus lentement.

Exemple résolu. Une masse $0.25\ \text{kg}$ est suspendue à un ressort de raideur $k=100\ \text{N/m}$. Sa période est

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

Exemple résolu. Une horloge à pendule tique avec une période exacte de $2.0\ \text{s}$. Quelle est sa longueur ? En réarrangeant $T=2\pi\sqrt{L/g}$ ,

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

Remarquez que l'amplitude n'est jamais entrée – un balancement large ou étroit garde le même temps, ce qui rend les pendules de bons chronomètres.

Un ensemble de diapasons de différentes tailles — Fourches d'accord : une fourche plus longue et plus lourde vibre plus lentement, donnant une fréquence plus basse

Explore · ⁨Explorer⁩

Mesurer la période d'oscillation d'un pendule

La période d'un pendule dépend de sa longueur et de la gravité, pas de sa masse ou de son (petit) amplitude : $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Allongez-le et chaque oscillation prend plus de temps.

7.3

Representing and Analyzing SHM · ⁨Représentation et analyse du SHM⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 7.3.A: Describe the displacement, velocity, and acceleration of an object exhibiting SHM.

7.3.A.1 For an object exhibiting SHM, the displacement of that object measured from its equilibrium position can be represented by the equations $x = A\cos(2\pi ft)$ or $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i Minima, maxima, and zeros of displacement, velocity, and acceleration are features of harmonic motion.
- 7.3.A.1.ii Recognizing the positions or times at which the displacement, velocity, and acceleration for SHM have extrema or zeros can help in qualitatively describing the behavior of the motion.
7.3.A.2 Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will not change the period of that system.
7.3.A.3 Properties of SHM can be determined and analyzed using graphical representations.

Français

Objectif d'apprentissage 7.3.A : Décrire le déplacement, la vitesse et l'accélération d'un objet présentant un MHS.

7.3.A.1 Pour un objet présentant un MHS, le déplacement de cet objet mesuré par rapport à sa position d'équilibre peut être représenté par les équations $x = A\cos(2\pi ft)$ ou $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i Les minima, maxima et zéros du déplacement, de la vitesse et de l'accélération sont des caractéristiques du mouvement harmonique.
- 7.3.A.1.ii Reconnaître les positions ou les moments où le déplacement, la vitesse et l'accélération pour un MHS ont des extrema ou des zéros peut aider à décrire qualitativement le comportement du mouvement.
7.3.A.2 Changer l'amplitude d'un système présentant un MHS ne changera pas la période de ce système.
7.3.A.3 Les propriétés du MHS peuvent être déterminées et analysées à l'aide de représentations graphiques.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

The displacement varies sinusoidally: $x(t)=A\cos(\omega t)$ (or sine), where $A$ is the amplitude 振幅 (maximum displacement) and $\omega=2\pi f$ is the angular frequency 角频率. Reading the motion:

At the extremes ($x=\pm A$): displacement and restoring force are maximum, so acceleration is maximum, but velocity is zero.
At equilibrium 平衡 ($x=0$): force and acceleration are zero, but speed is maximum.

Velocity and acceleration are also sinusoidal, shifted in phase 相位 from the displacement – velocity leads displacement by a quarter cycle, and acceleration is exactly opposite to displacement.

Read the figure as a story: where $x$ is largest (the turning point), $v$ has just fallen to zero and $a$ is at its most negative, hauling the mass back; a quarter-cycle later the mass races through the middle at top speed with zero acceleration.

Français

Le déplacement varie sinusoidalement : $x(t)=A\cos(\omega t)$ (ou sinus), où $A$ est l'amplitude 振幅 (déplacement maximal) et $\omega=2\pi f$ est la fréquence angulaire 角频率. Lire le mouvement :

Le déplacement varie sinusoïdalement avec le temps dans le mouvement harmonique simple — Le déplacement varie sinusoïdalement avec le temps dans un mouvement harmonique simple

Aux extrémités ($x=\pm A$) : le déplacement et la force de rappel sont maximaux, donc l'accélération est maximale, mais la vitesse est nulle.
À l'équilibre 平衡 ($x=0$) : la force et l'accélération sont nulles, mais la vitesse est maximale.

La vitesse et l'accélération sont également sinusoïdales, décalées en phase 相位 par rapport au déplacement – la vitesse précède le déplacement d'un quart de cycle, et l'accélération est exactement opposée au déplacement.

Déplacement, vitesse et accélération dans le MHS, chacun décalé d'un quart de cycle — Déplacement, vitesse et accélération dans le SHM, chacun séparé d'un quart de cycle

Lire la figure comme une histoire : là où $x$ est le plus grand (point de retournement), $v$ vient de tomber à zéro et $a$ est à son plus négatif, tirant la masse vers le retour ; un quart de cycle plus tard, la masse traverse le milieu à vitesse maximale avec une accélération nulle.

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
amplitude/ˈæmplɪtjuːd/	振幅	zhèn fú
angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/	角频率	jiǎo pín lǜ
phase/feɪz/	相位	xiàng wèi
equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	平衡	píng héng

7.4

Energy of Simple Harmonic Oscillators · ⁨Énergie des oscillateurs harmoniques simples⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 7.4.A: Describe the mechanical energy of a system exhibiting SHM.

7.4.A.1 The total energy of a system exhibiting SHM is the sum of the system's kinetic and potential energies.
- Equation: $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Conservation of energy indicates that the total energy of a system exhibiting SHM is constant.
7.4.A.3 The kinetic energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's potential energy is at a minimum.
7.4.A.4 The potential energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's kinetic energy is at a minimum.
- 7.4.A.4.i The minimum kinetic energy of a system exhibiting SHM is zero.
- 7.4.A.4.ii Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will change the maximum potential energy of the system and, therefore, the total energy of the system.
- Relevant equation for a spring–object system: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

Français

Objectif d'apprentissage 7.4.A : Décrire l'énergie mécanique d'un système présentant un MHS.

7.4.A.1 L'énergie totale d'un système présentant un MHS est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.
- Équation : $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 La conservation de l'énergie indique que l'énergie totale d'un système présentant un MHS est constante.
7.4.A.3 L'énergie cinétique d'un système présentant un MHS est maximale lorsque son énergie potentielle est minimale.
7.4.A.4 L'énergie potentielle d'un système présentant un MHS est maximale lorsque son énergie cinétique est minimale.
- 7.4.A.4.i L'énergie cinétique minimale d'un système présentant un MHS est nulle.
- 7.4.A.4.ii Changer l'amplitude d'un système présentant un MHS changera l'énergie potentielle maximale du système et, par conséquent, l'énergie totale du système.
- Équation pertinente pour un système ressort-objet: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Energy conservation: KE ⇄ PE

Energy sloshes between kinetic and potential while the total stays constant (no friction):

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

At the extremes it is all potential; at equilibrium it is all kinetic (maximum speed). Because $E\propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.

Worked example. A $0.50\ \text{kg}$ mass on a spring of stiffness $k=200\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A=0.10\ \text{m}$. Find its maximum speed. All the energy is kinetic at the equilibrium point, so $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$:

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

The energy method is faster than tracking the sine functions when you only need the greatest speed.

Français

Conservation de l'énergie : KE ⇄ PE

L'énergie alterne entre cinétique et potentielle tandis que le total reste constant (pas de frottement) :

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

Aux extrémités, c'est tout potentiel ; à l'équilibre, c'est tout cinétique (vitesse maximale). Comme $E\propto A^2$, doubler l'amplitude quadruple l'énergie.

L'énergie cinétique et potentielle s'échangent sur un cycle tandis que l'énergie totale reste constante — L'énergie cinétique et potentielle s'échangent au cours d'un cycle tandis que l'énergie totale reste constante

Exemple résolu. Une masse $0.50\ \text{kg}$ sur un ressort de raideur $k=200\ \text{N/m}$ oscille avec une amplitude $A=0.10\ \text{m}$. Trouver sa vitesse maximale. Toute l'énergie est cinétique au point d'équilibre, donc $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$ :

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

La méthode énergétique est plus rapide que le suivi des fonctions sinusoïdales lorsque vous n'avez besoin que de la vitesse maximale.

Explore · ⁨Explorer⁩

Échanger énergie cinétique et potentielle dans un mouvement harmonique simple

Dans le mouvement harmonique simple, l'énergie alterne entre cinétique (maximum au centre) et potentielle (maximum aux extrémités), tandis que le total reste constant.

7.4

Exam tips · ⁨Conseils d'examen⁩

English

Test for SHM: the acceleration must be proportional to the displacement and directed back toward the middle ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
The period does not depend on amplitude — use $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (spring) or $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (pendulum, small angles).
Speed is maximum at the middle (all kinetic) and zero at the extremes (all potential); acceleration is largest at the extremes.
Use energy ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$) to find the maximum speed quickly: $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$.
Total energy $\propto A^2$, so doubling the amplitude quadruples the energy.

Français

Test du SHM : l'accélération doit être proportionnelle au déplacement et dirigée vers le centre ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
La période ne dépend pas de l'amplitude – utilisez $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (ressort) ou $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (pendule, petits angles).
La vitesse est maximale au milieu (tout cinétique) et nulle aux extrémités (tout potentiel) ; l'accélération est la plus grande aux extrémités.
Utilisez l'énergie ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$) pour trouver rapidement la vitesse maximale : $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$ .
Énergie totale $\propto A^2$, donc doubler l'amplitude quadruple l'énergie.

Interactive lessons on this topic · ⁨Leçons interactives sur ce sujet⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.⁩

Past Papers · ⁨Épreuves Passées⁩

More topics in AP Physique 1 · ⁨Plus de sujets dans AP Physique 1⁩