Énergie et moment cinétique des systèmes en rotation

AP Physique 1 · Topic 6 · ⁨Sujet 6⁩

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6.1

Rotational Kinetic Energy · ⁨Énergie cinétique rotative⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.1.A: Describe the rotational kinetic energy of a rigid system in terms of the rotational inertia and angular velocity of that rigid system.

6.1.A.1 The rotational kinetic energy of an object or rigid system is related to the rotational inertia and angular velocity of the rigid system and is given by the equation $K = \frac{1}{2} I \omega^2$.
- 6.1.A.1.i The rotational inertia of an object about a fixed axis can be used to show that the rotational kinetic energy of that object is equivalent to its translational kinetic energy, which is its total kinetic energy.
- 6.1.A.1.ii The total kinetic energy of a rigid system is the sum of its rotational kinetic energy due to its rotation about its center of mass and the translational kinetic energy due to the linear motion of its center of mass.
6.1.A.2 A rigid system can have rotational kinetic energy while its center of mass is at rest due to the individual points within the rigid system having linear speed and, therefore, kinetic energy.
6.1.A.3 Rotational kinetic energy is a scalar quantity.

Français

Objectif d'apprentissage 6.1.A : Décrire l'énergie cinétique de rotation d'un système rigide en termes de son inertie de rotation et de sa vitesse angulaire.

6.1.A.1 L'énergie cinétique de rotation d'un objet ou d'un système rigide est liée à l'inertie de rotation et à la vitesse angulaire du système rigide et est donnée par l'équation $K = \frac{1}{2} I \omega^2$.
- 6.1.A.1.i L'inertie de rotation d'un objet autour d'un axe fixe peut être utilisée pour montrer que l'énergie cinétique de rotation de cet objet est équivalente à son énergie cinétique de translation, qui est son énergie cinétique totale.
- 6.1.A.1.ii L'énergie cinétique totale d'un système rigide est la somme de son énergie cinétique de rotation due à sa rotation autour de son centre de masse et de son énergie cinétique de translation due au mouvement linéaire de son centre de masse.
6.1.A.2 Un système rigide peut avoir de l'énergie cinétique de rotation alors que son centre de masse est au repos, en raison des points individuels à l'intérieur du système rigide ayant une vitesse linéaire et donc de l'énergie cinétique.
6.1.A.3 L'énergie cinétique de rotation est une grandeur scalaire.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A spinning object has rotational kinetic energy 转动动能, the rotational twin of $\tfrac12 mv^2$:

$$K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^2.$$

An object that both moves and spins (like a rolling ball) has both translational and rotational kinetic energy, and its total is $K=\tfrac12 mv^2+\tfrac12 I\omega^2$.

Français

Un objet en rotation possède de l'énergie cinétique rotative 转动动能, le jumeau rotatif de $\tfrac12 mv^2$ :

$$K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^2.$$

Un objet qui se déplace et tourne simultanément (comme une bille roulant) possède à la fois l'énergie cinétique de translation et l'énergie cinétique rotative, et sa valeur totale est $K=\tfrac12 mv^2+\tfrac12 I\omega^2$.

6.2

Torque and Work · ⁨Couple et travail⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.2.A: Describe the work done on a rigid system by a given torque or collection of torques.

6.2.A.1 A torque can transfer energy into or out of an object or rigid system if the torque is exerted over an angular displacement.
6.2.A.2 The amount of work done on a rigid system by a torque is related to the magnitude of that torque and the angular displacement through which the rigid system rotates during the interval in which that torque is exerted.
- Equation: $W = \tau \Delta\theta$
6.2.A.3 Work done on a rigid system by a given torque can be found from the area under the curve of a graph of torque as a function of angular position.

Français

Objectif d'apprentissage 6.2.A : Décrire le travail effectué sur un système rigide par un couple donné ou un ensemble de couples.

6.2.A.1 Un couple peut transférer de l'énergie vers ou hors d'un objet ou d'un système rigide si le couple est exercé sur un déplacement angulaire.
6.2.A.2 La quantité de travail effectué sur un système rigide par un couple est liée à la magnitude de ce couple et au déplacement angulaire par lequel le système rigide tourne pendant l'intervalle durant lequel ce couple est exercé.
- Équation : $W = \tau \Delta\theta$
6.2.A.3 Le travail effectué sur un système rigide par un couple donné peut être trouvé à partir de l'aire sous la courbe d'un graphique du couple en fonction de la position angulaire.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A torque acting through an angular displacement does work, changing rotational kinetic energy:

$$W=\tau\,\Delta\theta,\qquad P=\tau\omega.$$

This is the rotational form of $W=Fd$ and $P=Fv$, and it extends the work–energy theorem to rotation.

Worked example. A motor applies a steady torque of $8.0\ \text{N m}$ to a flywheel while it turns through $10\ \text{rad}$. The work done is $W=\tau\,\Delta\theta=8.0\times10=80\ \text{J}$, and if the flywheel started from rest this all becomes rotational kinetic energy.

Français

Un couple agissant sur un déplacement angulaire effectue un travail, modifiant l'énergie cinétique rotative :

$$W=\tau\,\Delta\theta,\qquad P=\tau\omega.$$

Ceci est la forme rotative de $W=Fd$ et $P=Fv$, et étend le théorème du travail et de l'énergie à la rotation.

Exemple résolu. Un moteur applique un couple constant de $8.0\ \text{N m}$ à un volant tout en celui-ci tournant d'un angle de $10\ \text{rad}$. Le travail effectué est $W=\tau\,\Delta\theta=8.0\times10=80\ \text{J}$, et si le volant partait du repos, tout cela devient de l'énergie cinétique rotative.

Explore · ⁨Explorer⁩

Équilibrer les couples sur une balançoire

Le couple est le produit de la force par la distance perpendiculaire, $\tau = Fd$. La poutre est équilibrée lorsque les couples de chaque côté sont égaux — déplacez les forces et les distances pour trouver le point d'équilibre.

6.3

Angular Momentum and Angular Impulse · ⁨Quantité de mouvement angulaire et impulsion angulaire⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.3.A: Describe the angular momentum of an object or rigid system.

6.3.A.1 The magnitude of the angular momentum of a rigid system about a specific axis can be described with the equation $L = I\omega$.
6.3.A.2 The magnitude of the angular momentum of an object about a given point is $L = rmv \sin\theta$.
- 6.3.A.2.i The selection of the axis about which an object is considered to rotate influences the determination of the angular momentum of that object.
- 6.3.A.2.ii The measured angular momentum of an object traveling in a straight line depends on the distance between the reference point and the object, the mass of the object, the speed of the object, and the angle between the radial distance and the velocity of the object.

Learning Objective 6.3.B: Describe the angular impulse delivered to an object or rigid system by a torque.

6.3.B.1 Angular impulse is defined as the product of the torque exerted on an object or rigid system and the time interval during which the torque is exerted.
- Equation: $\text{angular impulse} = \tau \Delta t$
6.3.B.2 Angular impulse has the same direction as the torque exerted on the object or system.
6.3.B.3 The angular impulse delivered to an object or rigid system by a torque can be found from the area under the curve of a graph of the torque as a function of time.

Learning Objective 6.3.C: Relate the change in angular momentum of an object or rigid system to the angular impulse given to that object or rigid system.

6.3.C.1 The magnitude of the change in angular momentum can be described by comparing the magnitudes of the final and initial angular momenta of the object or rigid system: $\Delta L = L - L_0$
6.3.C.2 A rotational form of the impulse–momentum theorem relates the angular impulse delivered to an object or rigid system and the change in angular momentum of that object or rigid system.
- 6.3.C.2.i The angular impulse exerted on an object or rigid system is equal to the change in angular momentum of that object or rigid system.
  - Equation: $\Delta L = \tau \Delta t$
- 6.3.C.2.ii The rotational form of the impulse–momentum theorem is a direct result of the rotational form of Newton's second law of motion for cases in which rotational inertia is constant: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{\Delta L}{\Delta t} = I \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = I\alpha$
6.3.C.3 The net torque exerted on an object is equal to the slope of the graph of the angular momentum of an object as a function of time.
6.3.C.4 The angular impulse delivered to an object is equal to the area under the curve of a graph of the net external torque exerted on an object as a function of time.

Boundary statement: While AP Physics 1 expects that students can mathematically manipulate the magnitude of angular momentum using one-dimensional vector conventions, the direction of angular momentum and angular impulse is beyond the scope of the course.

Français

Objectif d'apprentissage 6.3.A : Décrire le moment cinétique d'un objet ou d'un système rigide.

6.3.A.1 La magnitude du moment cinétique d'un système rigide par rapport à un axe spécifique peut être décrite avec l'équation $L = I\omega$.
6.3.A.2 La magnitude du moment cinétique d'un objet par rapport à un point donné est $L = rmv \sin\theta$.
- 6.3.A.2.i Le choix de l'axe autour duquel un objet est considéré en rotation influence la détermination du moment cinétique de cet objet.
- 6.3.A.2.ii Le moment cinétique mesuré d'un objet se déplaçant en ligne droite dépend de la distance entre le point de référence et l'objet, de la masse de l'objet, de la vitesse de l'objet et de l'angle entre la distance radiale et la vitesse de l'objet.

Objectif d'apprentissage 6.3.B : Décrire l'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide par un couple.

6.3.B.1 L'impulsion angulaire est définie comme le produit du couple exercé sur un objet ou un système rigide et de l'intervalle de temps durant lequel le couple est exercé.
- Équation : $\text{angular impulse} = \tau \Delta t$
6.3.B.2 L'impulsion angulaire a la même direction que le couple exercé sur l'objet ou le système.
6.3.B.3 L'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide par un couple peut être trouvée à partir de l'aire sous la courbe d'un graphique du couple en fonction du temps.

Objectif d'apprentissage 6.3.C : Relier le changement de moment cinétique d'un objet ou d'un système rigide à l'impulsion angulaire donnée à cet objet ou à ce système rigide.

6.3.C.1 La magnitude du changement de moment cinétique peut être décrite en comparant les magnitudes des moments cinétiques final et initial de l'objet ou du système rigide : $\Delta L = L - L_0$
6.3.C.2 Une forme de rotation du théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement relie l'impulsion angulaire délivrée à un objet ou à un système rigide et le changement de moment cinétique de cet objet ou de ce système rigide.
- 6.3.C.2.i L'impulsion angulaire exercée sur un objet ou un système rigide est égale au changement de moment cinétique de cet objet ou de ce système rigide.
  - Équation: $\Delta L = \tau \Delta t$
- 6.3.C.2.ii La forme de rotation du théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement est une conséquence directe de la forme de rotation de la deuxième loi de Newton du mouvement pour les cas où l'inertie de rotation est constante : $\tau_{\text{net}} = \dfrac{\Delta L}{\Delta t} = I \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = I\alpha$
6.3.C.3 Le couple net exercé sur un objet est égal à la pente du graphique du moment cinétique d'un objet en fonction du temps.
6.3.C.4 L'impulsion angulaire délivrée à un objet est égale à l'aire sous la courbe d'un graphique du couple externe net exercé sur un objet en fonction du temps.

Énoncé de limite : Bien qu'AP Physics 1 s'attende à ce que les étudiants puissent manipuler mathématiquement la magnitude du moment cinétique en utilisant les conventions vectorielles unidimensionnelles, la direction du moment cinétique et de l'impulsion angulaire dépasse le programme du cours.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Angular momentum 角动量 is the rotational version of linear momentum:

$$L=I\omega.$$

A net torque acting over time delivers an angular impulse 角冲量 that changes it: $\tau\,\Delta t=\Delta L$ – the rotational impulse–momentum theorem.

Français

Quantité de mouvement angulaire 角动量 est la version rotative de la quantité de mouvement linéaire :

$$L=I\omega.$$

Un couple net agissant sur une période de temps délivre une impulsion angulaire 角冲量 qui la modifie : $\tau\,\Delta t=\Delta L$ – le théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement angulaire.

6.4

Conservation of Angular Momentum · ⁨Conservation de la quantité de mouvement angulaire⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.4.A: Describe the behavior of a system using conservation of angular momentum.

6.4.A.1 The total angular momentum of a system about a rotational axis is the sum of the angular momenta of the system's constituent parts about that axis.
6.4.A.2 Any change to a system's angular momentum must be due to an interaction between the system and its surroundings.
- 6.4.A.2.i The angular impulse exerted by one object or system on a second object or system is equal and opposite to the angular impulse exerted by the second object or system on the first. This is a direct result of Newton's third law.
- 6.4.A.2.ii A system may be selected so that the total angular momentum of that system is constant.
- 6.4.A.2.iii The angular speed of a nonrigid system may change without the angular momentum of the system changing if the system changes shape by moving mass closer to or further from the rotational axis.
- 6.4.A.2.iv If the total angular momentum of a system changes, that change will be equivalent to the angular impulse exerted on the system.

Learning Objective 6.4.B: Describe how the selection of a system determines whether the angular momentum of that system changes.

6.4.B.1 Angular momentum is conserved in all interactions.
6.4.B.2 If the net external torque exerted on a selected object or rigid system is zero, the total angular momentum of that system is constant.
6.4.B.3 If the net external torque exerted on a selected object or rigid system is nonzero, angular momentum is transferred between the system and the environment.

Français

Objectif d'apprentissage 6.4.A : Décrire le comportement d'un système en utilisant la conservation du moment cinétique.

6.4.A.1 Le moment cinétique total d'un système par rapport à un axe de rotation est la somme des moments cinétiques des parties constitutives du système par rapport à cet axe.
6.4.A.2 Tout changement du moment cinétique d'un système doit être dû à une interaction entre le système et son environnement.
- 6.4.A.2.i L'impulsion angulaire exercée par un objet ou un système sur un second objet ou système est égale et opposée à l'impulsion angulaire exercée par le second objet ou système sur le premier. C'est une conséquence directe de la troisième loi de Newton.
- 6.4.A.2.ii Un système peut être choisi de sorte que le moment cinétique total de ce système soit constant.
- 6.4.A.2.iii La vitesse angulaire d'un système non rigide peut changer sans que le moment cinétique du système ne change si le système change de forme en déplaçant la masse plus près ou plus loin de l'axe de rotation.
- 6.4.A.2.iv Si le moment cinétique total d'un système change, ce changement sera équivalent à l'impulsion angulaire exercée sur le système.

Objectif d'apprentissage 6.4.B : Décrire comment le choix d'un système détermine si le moment cinétique de ce système change.

6.4.B.1 Le moment cinétique est conservé dans toutes les interactions.
6.4.B.2 Si le couple externe net exercé sur un objet ou un système rigide choisi est nul, le moment cinétique total de ce système est constant.
6.4.B.3 Si le couple externe net exercé sur un objet ou un système rigide choisi est non nul, le moment cinétique est transféré entre le système et l'environnement.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

If the net external torque on a system is zero, its total angular momentum is conserved 守恒:

$$I_1\omega_1=I_2\omega_2.$$

So if $I$ decreases, $\omega$ increases to keep $L$ constant – this is why a spinning skater speeds up when pulling their arms in. It applies to collisions and explosions of rotating systems too.

Worked example. A skater spins at $2.0\ \text{rev/s}$ with rotational inertia $I_1=4.0\ \text{kg m}^2$. She pulls her arms in, dropping her rotational inertia to $I_2=1.6\ \text{kg m}^2$. With no external torque, angular momentum is conserved:

$$\omega_2=\frac{I_1}{I_2}\,\omega_1=\frac{4.0}{1.6}\times2.0=5.0\ \text{rev/s}.$$

Her kinetic energy actually rises – the extra energy comes from the work her muscles do pulling her arms in against the outward pull.

Français

Si le couple extérieur net sur un système est nul, sa quantité de mouvement angulaire totale est conservée 守恒 :

$$I_1\omega_1=I_2\omega_2.$$

Donc si $I$ diminue, $\omega$ augmente pour maintenir $L$ constant – c'est pourquoi un patineur qui tourne accélère quand il ramène ses bras. Cela s'applique aussi aux collisions et explosions de systèmes en rotation.

Exemple résolu. Un patineur tourne à $2.0\ \text{rev/s}$ avec une inertie rotative de $I_1=4.0\ \text{kg m}^2$. Il ramène ses bras, faisant chuter son inertie rotative à $I_2=1.6\ \text{kg m}^2$. Sans couple extérieur, la quantité de mouvement angulaire est conservée :

$$\omega_2=\frac{I_1}{I_2}\,\omega_1=\frac{4.0}{1.6}\times2.0=5.0\ \text{rev/s}.$$

Son énergie cinétique augmente en réalité le travail fourni par ses muscles pour ramener ses bras contre la force centrifuge.

Tirer la masse vers l'intérieur réduit I, donc ω augmente pour conserver L = Iω — Ramener de la masse vers l'intérieur diminue I, donc ω augmente pour conserver L = Iω

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
rotational kinetic energy/rəʊˈteɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/	转动动能	zhuǎn dòng dòng néng
Angular momentum/ˈæŋɡjʊlə məʊˈmentəm/	角动量	jiǎo dòng liàng
angular impulse/ˈæŋɡjʊlə ˈɪmpʌls/	角冲量	jiǎo chōng liàng
conserved/kənˈsɜːvd/	守恒	shǒu héng

6.5

Rolling · ⁨Roulement⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.5.A: Describe the kinetic energy of a system that has translational and rotational motion.

6.5.A.1 The total kinetic energy of a system is the sum of the system's translational and rotational kinetic energies.
- Equation: $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Learning Objective 6.5.B: Describe the motion of a system that is rolling without slipping.

6.5.B.1 While rolling without slipping, the translational motion of a system's center of mass is related to the rotational motion of the system itself with the equations:
- Equation: $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
- Equation: $v_{\text{cm}} = r\omega$
- Equation: $a_{\text{cm}} = r\alpha$
6.5.B.2 For ideal cases, rolling without slipping implies that the frictional force does not dissipate any energy from the rolling system.

Learning Objective 6.5.C: Describe the motion of a system that is rolling while slipping.

6.5.C.1 When slipping, the motion of a system's center of mass and the system's rotational motion cannot be directly related.
6.5.C.2 When a rotating system is slipping relative to another surface, the point of application of the force of kinetic friction exerted on the system moves with respect to the surface, so the force of kinetic friction will dissipate energy from the system.

Boundary statement: Rolling friction is beyond the scope of AP Physics 1.

Boundary statement: The precise mathematical relationships between linear and angular quantities while a rigid body is rolling while slipping are beyond the scope of AP Physics 1 and 2, and students will not be expected to model those relationships quantitatively. However, students are expected to qualitatively explain the changes to linear and angular quantities while a rigid body is rolling while slipping.

Français

Objectif d'apprentissage 6.5.A : Décrire l'énergie cinétique d'un système présentant un mouvement de translation et de rotation.

6.5.A.1 L'énergie cinétique totale d'un système est la somme des énergies cinétiques de translation et de rotation du système.
- Équation : $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Objectif d'apprentissage 6.5.B : Décrire le mouvement d'un système qui roule sans glisser.

6.5.B.1 Lors du roulement sans glissement, le mouvement de translation du centre de masse d'un système est lié au mouvement de rotation du système lui-même par les équations :
- Équation : $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
- Équation : $v_{\text{cm}} = r\omega$
- Équation : $a_{\text{cm}} = r\alpha$
6.5.B.2 Pour les cas idéaux, le roulement sans glissement implique que la force de frottement ne dissipe aucune énergie du système roulant.

Objectif d'apprentissage 6.5.C : Décrire le mouvement d'un système qui roule tout en glissant.

6.5.C.1 Lors du glissement, le mouvement de translation du centre de masse d'un système et le mouvement de rotation du système ne peuvent pas être directement liés.
6.5.C.2 Lorsqu'un système en rotation glisse par rapport à une autre surface, le point d'application de la force de frottement cinétique exercée sur le système se déplace par rapport à la surface, donc la force de frottement cinétique dissipera de l'énergie du système.

Énoncé de limite : Le frottement de roulement dépasse le programme d'AP Physics 1.

Énoncé de limite : Les relations mathématiques précises entre les grandeurs linéaires et angulaires lors du roulement avec glissement d'un solide rigide dépassent le programme d'AP Physics 1 et 2, et les étudiants ne seront pas attendus à modéliser ces relations quantitativement. Cependant, les étudiants sont attendus pour expliquer qualitativement les changements aux grandeurs linéaires et angulaires lors du roulement avec glissement d'un solide rigide.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Rolling without slipping 纯滚动 links the translational and rotational motions: the contact point is momentarily at rest, so

$$v=r\omega \qquad\text{and}\qquad a=r\alpha.$$

A rolling object's energy splits between translation and rotation, so on an incline it accelerates more slowly than a frictionless sliding object – some energy goes into spin.

Worked example. For a solid disk ($I=\tfrac12 mR^2$) that rolls without slipping, what fraction of its kinetic energy is rotational? Using $v=R\omega$, the rotational part is $\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12(\tfrac12 mR^2)\omega^2=\tfrac14 mv^2$, while the translational part is $\tfrac12 mv^2$. So the total is $\tfrac34 mv^2$ and the rotational share is $\tfrac{1/4}{3/4}=\tfrac13$. A hoop, with its mass farther out, stores half its energy in spin and rolls down a ramp even more slowly.

Français

Roulement sans glissement 纯滚动 relie les mouvements de translation et de rotation : le point de contact est instantanément au repos, donc

$$v=r\omega \qquad\text{and}\qquad a=r\alpha.$$

L'énergie d'un objet roulant se divise entre translation et rotation, donc sur une pente il accélère plus lentement qu'un objet glissant sans frottement – une partie de l'énergie est consacrée à la rotation.

Exemple résolu. Pour un disque plein ($I=\tfrac12 mR^2$) qui roule sans patiner, quelle fraction de son énergie cinétique est-elle rotative ? En utilisant $v=R\omega$, la partie rotative est $\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12(\tfrac12 mR^2)\omega^2=\tfrac14 mv^2$, tandis que la partie translative est $\tfrac12 mv^2$. Le total est donc $\tfrac34 mv^2$ et la part rotative est $\tfrac{1/4}{3/4}=\tfrac13$. Un cerceau, dont sa masse est plus éloignée du centre, stocke la moitié de son énergie sous forme de rotation et descend une rampe encore plus lentement.

Lors d'un roulement sans patin, le point de contact est au repos, donc v = rω

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English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
Rolling without slipping/ˈrəʊlɪŋ wɪˈðaʊt ˈslɪpɪŋ/	纯滚动	chún gǔn dòng

6.6

Motion of Orbiting Satellites · ⁨Mouvement des satellites en orbite⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 6.6.A: Describe the motions of a system consisting of two objects interacting only via gravitational forces.

6.6.A.1 In a system consisting only of a massive central object and an orbiting satellite with mass that is negligible in comparison to the central object's mass, the motion of the central object itself is negligible.
6.6.A.2 The motion of satellites in orbits is constrained by conservation laws.
- 6.6.A.2.i In circular orbits, the system's total mechanical energy, the system's gravitational potential energy, and the satellite's angular momentum and kinetic energy are constant.
- 6.6.A.2.ii In elliptical orbits, the system's total mechanical energy and the satellite's angular momentum are constant, but the system's gravitational potential energy and the satellite's kinetic energy can each change.
- 6.6.A.2.iii The gravitational potential energy of a system consisting of a satellite and a massive central object is defined to be zero when the satellite is an infinite distance from the central object.
  - Equation: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
6.6.A.3 The escape velocity of a satellite is the satellite's velocity such that the mechanical energy of the satellite–central-object system is equal to zero.
- 6.6.A.3.i When the only force exerted on a satellite is gravity from a central object, a satellite that reaches escape velocity will move away from the central body until its speed reaches zero at an infinite distance from the central body.
- 6.6.A.3.ii The escape velocity of a satellite from a central body of mass $M$ can be derived using conservation of energy laws.
  - Equation (derived): $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Français

Objectif d'apprentissage 6.6.A : Décrire les mouvements d'un système composé de deux objets interagissant uniquement via des forces gravitationnelles.

6.6.A.1 Dans un système composé uniquement d'un objet central massif et d'un satellite en orbite dont la masse est négligeable par rapport à la masse de l'objet central, le mouvement de l'objet central lui-même est négligeable.
6.6.A.2 Le mouvement des satellites en orbite est contraint par les lois de conservation.
- 6.6.A.2.i Dans les orbites circulaires, l'énergie mécanique totale du système, l'énergie potentielle gravitationnelle du système et le moment cinétique ainsi que l'énergie cinétique du satellite sont constants.
- 6.6.A.2.ii Dans les orbites elliptiques, l'énergie mécanique totale du système et le moment cinétique du satellite sont constants, mais l'énergie potentielle gravitationnelle du système et l'énergie cinétique du satellite peuvent chacune changer.
- 6.6.A.2.iii L'énergie potentielle gravitationnelle d'un système constitué d'un satellite et d'un objet central massif est définie comme étant nulle lorsque le satellite se trouve à une distance infinie de l'objet central.
  - Équation: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
6.6.A.3 La vitesse d'échappement d'un satellite est la vitesse telle que l'énergie mécanique du système satellite-objet central soit égale à zéro.
- 6.6.A.3.i Lorsque la seule force exercée sur un satellite est la gravité provenant d'un objet central, un satellite atteignant la vitesse d'échappement s'éloignera du corps central jusqu'à ce que sa vitesse atteigne zéro à une distance infinie de celui-ci.
- 6.6.A.3.ii La vitesse d'échappement d'un satellite par rapport à un corps central de masse $M$ peut être dérivée en utilisant les lois de conservation de l'énergie.
  - Équation (dérivée): $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Orbital motion (Kepler's 2nd law)

A satellite 卫星 in orbit is in free fall: gravity provides the exact centripetal force needed to curve its path into an orbit. Setting gravity equal to the centripetal requirement,

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

So a larger orbit means a slower speed. For a circular orbit, angular momentum and mechanical energy are both constant; for an elliptical orbit, angular momentum is conserved (no torque about the planet) while speed varies – fastest when closest.

Worked example. Find the speed of a satellite in a low orbit just above the Earth, radius $r=6.4\times10^{6}\ \text{m}$, with $GM=4.0\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{4.0\times10^{14}}{6.4\times10^{6}}}=\sqrt{6.25\times10^{7}}\approx 7.9\times10^{3}\ \text{m/s},$$

about $7.9\ \text{km/s}$ – and notice that the satellite's mass cancels, so all low orbits share this speed.

Escape velocity 逃逸速度 is the launch speed that just lets an object leave for good: its total mechanical energy is exactly zero, so it slows to zero speed only at infinite distance. Setting $\tfrac12 mv^2 - \dfrac{GMm}{r}=0$ (using the general gravitational PE $U_g=-GMm/r$) and solving for $v$,

$$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.$$

It is $\sqrt2$ times the circular-orbit speed at the same radius, and (like orbital speed) does not depend on the escaping object's mass.

Français

Mouvement orbital (loi de Kepler 2)

Un satellite 卫星 en orbite est en chute libre : la gravité fournit exactement la force centripète nécessaire pour courber sa trajectoire en orbite. En égalisant la gravité à cette exigence centripète,

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

Ainsi, une orbite plus grande implique une vitesse plus faible. Pour une orbite circulaire, la quantité de mouvement angulaire et l'énergie mécanique sont toutes deux constantes ; pour une orbite elliptique, la quantité de mouvement angulaire est conservée (aucun couple par rapport à la planète) tandis que la vitesse varie – elle est maximale au point le plus proche.

La gravité fournit la force centripète qui maintient un satellite en orbite

Exemple résolu. Trouver la vitesse d'un satellite en orbite basse juste au-dessus de la Terre, de rayon $r=6.4\times10^{6}\ \text{m}$, avec $GM=4.0\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ :

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{4.0\times10^{14}}{6.4\times10^{6}}}=\sqrt{6.25\times10^{7}}\approx 7.9\times10^{3}\ \text{m/s},$$

environ $7.9\ \text{km/s}$ – et remarquer que la masse du satellite s'annule, donc toutes les orbites basses partagent cette vitesse.

Une photographie de la Station spatiale internationale en orbite autour de la Terre — La Station spatiale internationale : un véritable satellite maintenu en orbite uniquement par la gravité

Vitesse d'échappement 逃逸速度 est la vitesse de lancement qui permet juste à un objet de partir définitivement : son énergie mécanique totale est exactement zéro, donc il ralentit jusqu'à une vitesse nulle seulement à une distance infinie. En posant $\tfrac12 mv^2 - \dfrac{GMm}{r}=0$ (en utilisant l'énergie potentielle gravitationnelle générale $U_g=-GMm/r$) et en résolvant pour $v$ ,

$$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.$$

Elle est $\sqrt2$ fois la vitesse de l'orbite circulaire au même rayon, et (comme la vitesse orbitale) ne dépend pas de la masse de l'objet qui s'échappe.

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Comparer les orbites à différents rayons

Un satellite est en chute libre, sa gravité fournissant la force centripète. Une orbite plus grande signifie une vitesse plus lente et une période plus longue — troisième loi de Kepler.

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English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
satellite/ˈsætəlaɪt/	卫星	wèi xīng
Escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/	逃逸速度	táo yì sù dù

6.6

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English

Conserve angular momentum $L=I\omega$ when no external torque acts: a smaller $I$ (arms pulled in) gives a larger $\omega$.
A rolling object splits its energy between $\tfrac12 mv^2$ and $\tfrac12 I\omega^2$, linked by $v=r\omega$ — so it accelerates down a ramp more slowly than a sliding one.
For a circular orbit set gravity equal to the centripetal requirement: $v=\sqrt{GM/r}$, so a larger orbit is slower and the satellite's mass cancels.
Pulling in raises the spin and the kinetic energy — the extra energy comes from the work done pulling inward; $L$ is unchanged.
Watch which rotational quantity is conserved: $L$ (no torque) versus energy (no friction) are different conditions.

Français

Conserver la quantité de mouvement angulaire $L=I\omega$ quand aucun couple externe n'agit : un $I$ plus petit (bras ramenés) donne un $\omega$ plus grand.
Un objet roulant divise son énergie entre $\tfrac12 mv^2$ et $\tfrac12 I\omega^2$, liées par $v=r\omega$ — il accélère donc vers le bas d'une rampe plus lentement qu'un objet qui glisse.
Pour une orbite circulaire, égalez la gravité à l'exigence centripète : $v=\sqrt{GM/r}$, donc une orbite plus grande est plus lente et la masse du satellite s'annule.
Tirer vers l'intérieur augmente la rotation et l'énergie cinétique – l'énergie supplémentaire provient du travail effectué pour tirer vers l'intérieur ; $L$ reste inchangé.
Surveiller quelle grandeur rotative est conservée : $L$ (pas de couple) contre l'énergie (pas de frottement) sont des conditions différentes.

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