Couple et dynamique rotationnelle

AP Physique 1 · Topic 5 · ⁨Sujet 5⁩

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5.1

Rotational Kinematics · ⁨Cinématique rotative⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.1.A: Describe the rotation of a system with respect to time using angular displacement, angular velocity, and angular acceleration.

5.1.A.1 Angular displacement is the measurement of the angle, in radians, through which a point on a rigid system rotates about a specified axis.
- Equation: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i A rigid system is one that holds its shape but in which different points on the system move in different directions during rotation. A rigid system cannot be modeled as an object.
- 5.1.A.1.ii One direction of angular displacement about an axis of rotation—clockwise or counterclockwise—is typically indicated as mathematically positive, with the other direction becoming mathematically negative.
- 5.1.A.1.iii If the rotation of a system about an axis may be well described using the motion of the system's center of mass, the system may be treated as a single object. For example, the rotation of Earth about its axis may be considered negligible when considering the revolution of Earth about the center of mass of the Earth–Sun system.
5.1.A.2 Average angular velocity is the average rate at which angular position changes with respect to time.
- Equation: $\omega_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$
5.1.A.3 Average angular acceleration is the average rate at which the angular velocity changes with respect to time.
- Equation: $\alpha_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$
5.1.A.4 Angular displacement, angular velocity, and angular acceleration around one axis are analogous to linear displacement, velocity, and acceleration in one dimension and demonstrate the same mathematical relationships.
- 5.1.A.4.i For constant angular acceleration, the mathematical relationships between angular displacement, angular velocity, and angular acceleration can be described with the following equations:
  - Equation: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - Equation: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - Equation: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii Graphs of angular displacement, angular velocity, and angular acceleration as functions of time can be used to find the relationships between those quantities.

Boundary statement: Descriptions of the directions of rotation for a point or object are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

Français

Objectif d'apprentissage 5.1.A : Décrire la rotation d'un système par rapport au temps en utilisant le déplacement angulaire, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire.

5.1.A.1 Le déplacement angulaire est la mesure de l'angle, en radians, par lequel un point d'un système rigide tourne autour d'un axe spécifié.
- Équation : $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i Un système rigide est un système qui conserve sa forme, mais dans lequel différents points se déplacent dans des directions différentes lors de la rotation. Un système rigide ne peut pas être modélisé comme un objet ponctuel.
- 5.1.A.1.ii Un sens de déplacement angulaire par rapport à un axe de rotation — horaire ou antihoraire — est généralement indiqué comme mathématiquement positif, tandis que l'autre sens devient mathématiquement négatif.
- 5.1.A.1.iii Si la rotation d'un système autour d'un axe peut être bien décrite en utilisant le mouvement du centre de masse du système, celui-ci peut être traité comme un objet unique. Par exemple, la rotation de la Terre autour de son axe peut être considérée comme négligeable lorsqu'on étudie la révolution de la Terre autour du centre de masse du système Terre-Soleil.
5.1.A.2 La vitesse angulaire moyenne est le taux moyen de changement de la position angulaire par rapport au temps.
- Équation : $\omega_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$
5.1.A.3 L'accélération angulaire moyenne est le taux moyen de changement de la vitesse angulaire par rapport au temps.
- Équation : $\alpha_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$
5.1.A.4 Le déplacement angulaire, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire autour d'un axe sont analogues au déplacement linéaire, à la vitesse et à l'accélération en une dimension et démontrent les mêmes relations mathématiques.
- 5.1.A.4.i Pour une accélération angulaire constante, les relations mathématiques entre le déplacement angulaire, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire peuvent être décrites par les équations suivantes :
  - Équation: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - Équation: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - Équation: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii Des graphiques du déplacement angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire en fonction du temps peuvent être utilisés pour trouver les relations entre ces grandeurs.

Énoncé de limite : Les descriptions des sens de rotation d'un point ou d'un objet se limitent aux directions horaire et antihoraire par rapport à un axe de rotation donné.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Rotation is described by angular quantities that mirror the linear ones:

angular displacement 角位移 $\theta$ (in radians 弧度),
angular velocity 角速度 $\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$,
angular acceleration 角加速度 $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$.

For constant $\alpha$, the rotational kinematic equations have the same form as the linear ones, with $\theta,\omega,\alpha$ replacing $x,v,a$: $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^2$, and $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$.

Worked example. A wheel starts from rest and speeds up uniformly to $30\ \text{rad/s}$ in $6.0\ \text{s}$. Find its angular acceleration and the total angle turned:

$$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{30}{6.0}=5.0\ \text{rad/s}^2,\qquad \theta=\tfrac12\alpha t^2=\tfrac12\times5.0\times6.0^2=90\ \text{rad}.$$

Français

Une collision d'essai de crash-test : de grandes forces et des couples produisent des changements rapides du mouvement linéaire et angulaire

Un ressort sous charge : la loi de Hooke relie la force et l'allongement — contexte utile pour l'énergie dans les systèmes rotatifs — Un ressort sous charge : la loi de Hooke relie la force et l'allongement – contexte utile pour l'énergie dans les systèmes en rotation

La rotation est décrite par des quantités angulaires qui reflètent les quantités linéaires :

Un radian est l'angle dont la longueur d'arc est égale au rayon

déplacement angulaire 角位移 $\theta$ (en radians 弧度),
vitesse angulaire 角速度 $\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$,
accélération angulaire 角加速度 $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$.

Pour une $\alpha$ constante, les équations de cinématique rotatives ont la même forme que les linéaires, avec $\theta,\omega,\alpha$ remplaçant $x,v,a$ : $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^2$, et $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$.

Exemple résolu. Une roue part du repos et accélère uniformément jusqu'à $30\ \text{rad/s}$ en $6.0\ \text{s}$. Trouvez son accélération angulaire et l'angle total parcouru :

$$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{30}{6.0}=5.0\ \text{rad/s}^2,\qquad \theta=\tfrac12\alpha t^2=\tfrac12\times5.0\times6.0^2=90\ \text{rad}.$$

Vocabulary · ⁨Vocabulaire⁩ Train · ⁨Entrainer⁩

English · ⁨Anglais⁩	Chinese · ⁨Chinois⁩	Pinyin
angular displacement/ˈæŋɡjʊlə dɪˈspleɪsmənt/	角位移	jiǎo wèi yí
radians/ˈreɪdɪənz/	弧度	hú dù
angular velocity/ˈæŋɡjʊlə vəˈlɒsɪti/	角速度	jiǎo sù dù
angular acceleration/ˈæŋɡjʊlə əkˌseləˈreɪʃn/	角加速度	jiǎo jiā sù dù
Torque/tɔːk/	力矩	lì jǔ
moment arm/ˈməʊmənt ɑːm/	力臂	lì bì
Rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/	转动惯量	zhuǎn dòng guàn liàng
rotational equilibrium/rəʊˈteɪʃənl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	转动平衡	zhuǎn dòng píng héng

5.2

Connecting Linear and Rotational Motion · ⁨Relier le mouvement linéaire et rotatif⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.2.A: Describe the linear motion of a point on a rotating rigid system that corresponds to the rotational motion of that point, and vice versa.

5.2.A.1 For a point at a distance $r$ from a fixed axis of rotation, the linear distance $s$ traveled by the point as the system rotates through an angle $\Delta\theta$ is given by the equation $\Delta s = r\Delta\theta$.
5.2.A.2 Derived relationships of linear velocity and of the tangential component of acceleration to their respective angular quantities are given by the following equations:
- Equation: $s = r\theta$
- Equation: $v = r\omega$
- Equation: $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 For a rigid system, all points within that system have the same angular velocity and angular acceleration.

Boundary statement: Descriptions of the directions of rotation for a point or object are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

Français

Objectif d'apprentissage 5.2.A : Décrire le mouvement linéaire d'un point sur un système rigide en rotation correspondant au mouvement rotatif de ce point, et vice versa.

5.2.A.1 Pour un point situé à une distance $r$ d'un axe de rotation fixe, la distance linéaire $s$ parcourue par ce point lorsque le système tourne d'un angle $\Delta\theta$ est donnée par l'équation $\Delta s = r\Delta\theta$.
5.2.A.2 Les relations dérivées reliant la vitesse linéaire et la composante tangentielle de l'accélération à leurs quantités angulaires respectives sont données par les équations suivantes :
- Équation : $s = r\theta$
- Équation : $v = r\omega$
- Équation : $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 Pour un système rigide, tous les points situés à l'intérieur de ce système ont la même vitesse angulaire et la même accélération angulaire.

Énoncé de limite : Les descriptions des sens de rotation d'un point ou d'un objet se limitent aux directions horaire et antihoraire par rapport à un axe de rotation donné.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

A point at radius $r$ from the axis has linear quantities tied to the angular ones:

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha.$$

Points farther from the axis move faster. This link lets you switch between "how fast the wheel spins" and "how fast a point on its rim moves."

Worked example. A bicycle wheel of radius $0.35\ \text{m}$ spins at $12\ \text{rad/s}$. A point on the rim (and so the bike) moves at $v=r\omega=0.35\times12=4.2\ \text{m/s}$. A point halfway to the axis moves at half that speed.

Français

Un point situé à un rayon $r$ de l'axe a des quantités linéaires liées aux quantités angulaires :

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha.$$

Les points plus éloignés de l'axe se déplacent plus vite. Ce lien vous permet de passer de « à quelle vitesse la roue tourne » à « à quelle vitesse un point sur son bord se déplace ».

Alors que le rayon tourne d'un angle, un point se déplace le long d'une arc à la vitesse v — Lorsque le rayon tourne d'un angle, un point se déplace le long d'un arc à la vitesse v

Exemple résolu. Une roue de vélo de rayon $0.35\ \text{m}$ tourne à $12\ \text{rad/s}$. Un point sur le bord (et donc le vélo) se déplace à $v=r\omega=0.35\times12=4.2\ \text{m/s}$. Un point à mi-chemin vers l'axe se déplace à la moitié de cette vitesse.

5.3

Torque · ⁨Couple⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.3.A: Identify the torques exerted on a rigid system.

5.3.A.1 Torque results only from the force component perpendicular to the position vector from the axis of rotation to the point of application of the force.
5.3.A.2 The lever arm is the perpendicular distance from the axis of rotation to the line of action of the exerted force.

Learning Objective 5.3.B: Describe the torques exerted on a rigid system.

5.3.B.1 Torques can be described using force diagrams.
- 5.3.B.1.i Force diagrams are similar to free-body diagrams and are used to analyze the torques exerted on a rigid system.
- 5.3.B.1.ii Similar to free-body diagrams, force diagrams represent the relative magnitude and direction of the forces exerted on a rigid system. Force diagrams also depict the location at which those forces are exerted relative to the axis of rotation.
5.3.B.2 The magnitude of the torque exerted on a rigid system by a force is described by the following equation, where $\theta$ is the angle between the force vector and the position vector from the axis of rotation to the point of application of the force.
- Equation: $\tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

Boundary statement: While AP Physics 1 expects students to mathematically manipulate the magnitude of torque using vector conventions, the direction of torque is beyond the scope of the course.

Français

Objectif d'apprentissage 5.3.A : Identifier les couples exercés sur un système rigide.

5.3.A.1 Le couple résulte uniquement de la composante de la force perpendiculaire au vecteur position allant de l'axe de rotation au point d'application de la force.
5.3.A.2 Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la ligne d'action de la force exercée.

Objectif d'apprentissage 5.3.B : Décrire les couples exercés sur un système rigide.

5.3.B.1 Les couples peuvent être décrits à l'aide de diagrammes de forces.
- 5.3.B.1.i Les diagrammes de forces sont similaires aux diagrammes de corps libre et servent à analyser les couples exercés sur un système rigide.
- 5.3.B.1.ii Similaires aux diagrammes de corps libre, les diagrammes de forces représentent l'amplitude relative et la direction des forces exercées sur un système rigide. Ils indiquent également l'emplacement où ces forces sont appliquées par rapport à l'axe de rotation.
5.3.B.2 L'amplitude du couple exercé sur un système rigide par une force est décrite par l'équation suivante, où $\theta$ est l'angle entre le vecteur force et le vecteur position allant de l'axe de rotation au point d'application de la force.
- Équation : $\tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

Énoncé de limite : Bien qu'AP Physics 1 s'attende à ce que les étudiants manipulent mathématiquement l'amplitude du couple en utilisant les conventions vectorielles, la direction du couple dépasse le cadre du cours.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

The principle of moments (torque)

Torque 力矩 is the rotational effect of a force – how effectively it turns an object about an axis:

$$\tau=r F\sin\theta = F\cdot r_\perp,$$

where $r_\perp$ is the moment arm 力臂 (the perpendicular distance from the axis to the force's line of action). A force applied farther out, or more perpendicular, produces more torque. Torque has a sign (clockwise vs counterclockwise).

Worked example. You push with $20\ \text{N}$ at the end of a $0.30\ \text{m}$ wrench. Perpendicular to the wrench the torque is $\tau=rF=0.30\times20=6.0\ \text{N m}$. If you push at $60^{\circ}$ to the wrench instead, only the perpendicular part counts: $\tau=rF\sin 60^{\circ}=0.30\times20\times0.87=5.2\ \text{N m}$ – which is why you push at a right angle for the most turning effect.

Français

Le principe des moments (couple)

Couple 力矩 est l'effet rotatif d'une force – son efficacité à faire tourner un objet autour d'un axe :

$$\tau=r F\sin\theta = F\cdot r_\perp,$$

où $r_\perp$ est le bras de levier 力臂 (la distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action de la force). Une force appliquée plus loin, ou plus perpendiculairement, produit plus de couple. Le couple a un signe (horaire vs antihoraire).

Le moment d'une force dépend de la distance perpendiculaire par rapport au pivot

Exemple résolu. Vous poussez avec $20\ \text{N}$ à l'extrémité d'une clé de $0.30\ \text{m}$. Perpendiculairement à la clé, le couple est $\tau=rF=0.30\times20=6.0\ \text{N m}$. Si vous poussez à $60^{\circ}$ par rapport à la clé, seule la composante perpendiculaire compte : $\tau=rF\sin 60^{\circ}=0.30\times20\times0.87=5.2\ \text{N m}$ – c'est pourquoi on pousse à angle droit pour obtenir le plus grand effet de rotation.

Explore · ⁨Explorer⁩

Équilibrer les couples sur une poutre

Le couple est le produit de la force par la distance perpendiculaire, $\tau=Fd$. La poutre est en équilibre rotationnel lorsque les couples de chaque côté sont égaux.

5.4

Rotational Inertia · ⁨Inertie rotative⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.4.A: Describe the rotational inertia of a rigid system relative to a given axis of rotation.

5.4.A.1 Rotational inertia measures a rigid system's resistance to changes in rotation and is related to the mass of the system and the distribution of that mass relative to the axis of rotation.
5.4.A.2 The rotational inertia of an object rotating a perpendicular distance $r$ from an axis is described by the equation
- Equation: $I = mr^2$
5.4.A.3 The total rotational inertia of a collection of objects about an axis is the sum of the rotational inertias of each object about that axis:
- Equation: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$

Learning Objective 5.4.B: Describe the rotational inertia of a rigid system rotating about an axis that does not pass through the system's center of mass.

5.4.B.1 A rigid system's rotational inertia in a given plane is at a minimum when the rotational axis passes through the system's center of mass.
5.4.B.2 The parallel axis theorem uses the following equation to relate the rotational inertia of a rigid system about any axis that is parallel to an axis through its center of mass:
- Equation: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Boundary statement: AP Physics 1 only expects students to calculate the rotational inertia for systems of five or fewer objects arranged in a two-dimensional configuration.

Boundary statement: Students do not need to know the rotational inertia of extended rigid systems, as these will be provided within the exam. Students should have a qualitative understanding of the factors that affect rotational inertia; for example, how rotational inertia is greater when mass is farther from the axis of rotation, which is why a hoop has more rotational inertia than a solid disk of the same mass and radius.

Français

Objectif d'apprentissage 5.4.A : Décrire l'inertie de rotation d'un système rigide par rapport à un axe de rotation donné.

5.4.A.1 L'inertie de rotation mesure la résistance d'un système rigide aux changements de rotation et est liée à la masse du système et à la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation.
5.4.A.2 L'inertie de rotation d'un objet tournant à une distance perpendiculaire $r$ d'un axe est décrite par l'équation
- Équation : $I = mr^2$
5.4.A.3 L'inertie de rotation totale d'un ensemble d'objets autour d'un axe est la somme des inerties de rotation de chaque objet autour de cet axe :
- Équation : $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$

Objectif d'apprentissage 5.4.B : Décrire l'inertie de rotation d'un système rigide tournant autour d'un axe qui ne passe pas par le centre de masse du système.

5.4.B.1 L'inertie de rotation d'un système rigide dans un plan donné est minimale lorsque l'axe de rotation passe par le centre de masse du système.
5.4.B.2 Le théorème des axes parallèles utilise l'équation suivante pour relier l'inertie de rotation d'un système rigide autour de n'importe quel axe parallèle à un axe passant par son centre de masse :
- Équation : $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Énoncé de limite : AP Physics 1 s'attend seulement à ce que les étudiants calculent l'inertie de rotation pour des systèmes comportant cinq objets ou moins disposés dans une configuration bidimensionnelle.

Énoncé de limite : Les étudiants n'ont pas besoin de connaître l'inertie de rotation de systèmes rigides étendus, car celle-ci sera fournie dans l'examen. Les étudiants doivent avoir une compréhension qualitative des facteurs influençant l'inertie de rotation ; par exemple, comment l'inertie de rotation augmente lorsque la masse est éloignée de l'axe de rotation, ce qui explique pourquoi un anneau possède plus d'inertie de rotation qu'un disque plein de même masse et de même rayon.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Rotational inertia 转动惯量 (moment of inertia) $I$ measures how hard it is to change an object's rotation – the rotational version of mass. It depends on both the mass and how far that mass sits from the axis: mass spread farther out gives a larger $I$. For a point mass, $I=mr^2$; for extended bodies, standard formulas are provided (a hoop is $mR^2$, a solid disk $\tfrac12 mR^2$). This is why a figure skater spins faster when she pulls her arms in – she reduces $I$.

Français

Inertie rotative 转动惯量 (moment d'inertie) $I$ mesure la difficulté à modifier la rotation d'un objet – la version rotative de la masse. Elle dépend à la fois de la masse et de la distance à laquelle cette masse est placée par rapport à l'axe : une masse répartie plus loin donne une $I$ plus grande. Pour une masse ponctuelle, $I=mr^2$ ; pour les corps étendus, des formules standards sont fournies (un anneau vaut $mR^2$, un disque plein $\tfrac12 mR^2$). C'est pourquoi un patineur artistique tourne plus vite quand elle ramène ses bras : elle réduit sa $I$.

5.5

Rotational Equilibrium · ⁨Équilibre rotatif⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.5.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity remains constant.

5.5.A.1 A system may exhibit rotational equilibrium (constant angular velocity) without being in translational equilibrium, and vice versa.
- 5.5.A.1.i Free-body and force diagrams describe the nature of the forces and torques exerted on an object or rigid system.
- 5.5.A.1.ii Rotational equilibrium is a configuration of torques such that the net torque exerted on the system is zero.
  - Equation: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii The rotational analog of Newton's first law is that a system will have a constant angular velocity only if the net torque exerted on the system is zero.
5.5.A.2 A rotational corollary to Newton's second law states that if the torques exerted on a rigid system are not balanced, the system's angular velocity must be changing.

Boundary statement: AP Physics 1 does not expect students to simultaneously analyze rotation in multiple planes.

Français

Objectif d'apprentissage 5.5.A : Décrire les conditions selon lesquelles la vitesse angulaire d'un système reste constante.

5.5.A.1 Un système peut présenter un équilibre de rotation (vitesse angulaire constante) sans être en équilibre de translation, et vice versa.
- 5.5.A.1.i Les diagrammes de corps libre et de forces décrivent la nature des forces et des couples exercés sur un objet ou un système rigide.
- 5.5.A.1.ii L'équilibre de rotation est une configuration de couples telle que le couple net exercé sur le système est nul.
  - Équation: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii L'analogue de rotation de la première loi de Newton stipule qu'un système aura une vitesse angulaire constante uniquement si le couple net exercé sur le système est nul.
5.5.A.2 Un corollaire de rotation de la deuxième loi de Newton stipule que si les couples exercés sur un système rigide ne sont pas équilibrés, la vitesse angulaire du système doit changer.

Énoncé de limite : AP Physics 1 ne s'attend pas à ce que les étudiants analysent simultanément la rotation dans plusieurs plans.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

An object is in rotational equilibrium 转动平衡 when the net torque is zero, so its angular velocity stays constant. For a balanced (static) object, both the net force and the net torque are zero. Choosing the axis at an unknown force's location removes it from the torque equation – a useful trick for beam and ladder problems.

Worked example. A $30\ \text{kg}$ child sits $2.0\ \text{m}$ from the pivot of a seesaw. Where must a $40\ \text{kg}$ child sit on the other side to balance it? Set the clockwise torque equal to the anticlockwise torque (the $g$'s cancel):

$$30\times2.0=40\times d\;\Rightarrow\;d=\frac{60}{40}=1.5\ \text{m}.$$

The heavier child sits closer to the pivot – less distance, same torque.

Français

Un objet est en équilibre rotatif 转动平衡 lorsque le couple net est nul, donc sa vitesse angulaire reste constante. Pour un objet équilibré (statique), tant la force nette que le couple net sont nuls. Choisir l'axe au lieu d'une force inconnue l'élimine de l'équation du couple – une astuce utile pour les problèmes de poutres et d'échelles.

À l'équilibre, les moments horaires et antihoraires par rapport au pivot sont égaux

Exemple résolu. Un enfant de $30\ \text{kg}$ est assis à $2.0\ \text{m}$ du pivot d'une balançoire. Où doit s'asseoir un enfant de $40\ \text{kg}$ de l'autre côté pour l'équilibrer ? Égalisez le couple horaire avec le couple antihoraire (les $g$ s'annulent) :

$$30\times2.0=40\times d\;\Rightarrow\;d=\frac{60}{40}=1.5\ \text{m}.$$

L'enfant le plus lourd est plus près du pivot – moins de distance, même couple.

Explore · ⁨Explorer⁩

Trouver le point d'équilibre

Pour l'équilibre rotationnel, le couple total horaire est égal au couple total antihoraire. Déplacez les forces et les distances jusqu'à ce que la poutre soit équilibrée.

5.6

Newton's Second Law in Rotational Form · ⁨Deuxième loi de Newton sous forme rotative⁩

Syllabus · ⁨Programme⁩

English

Learning Objective 5.6.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity changes.

5.6.A.1 Angular velocity changes when the net torque exerted on the object or system is not equal to zero.
5.6.A.2 The rate at which the angular velocity of a rigid system changes is directly proportional to the net torque exerted on the rigid system and is in the same direction. The angular acceleration of the rigid system is inversely proportional to the rotational inertia of the rigid system.
- Equation: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 To fully describe a rotating rigid system, linear and rotational analyses may need to be performed independently.

Français

Objectif d'apprentissage 5.6.A : Décrire les conditions selon lesquelles la vitesse angulaire d'un système change.

5.6.A.1 La vitesse angulaire change lorsque le couple net exercé sur l'objet ou le système n'est pas égal à zéro.
5.6.A.2 Le taux auquel la vitesse angulaire d'un système rigide change est directement proportionnel au couple net exercé sur le système rigide et se trouve dans la même direction. L'accélération angulaire du système rigide est inversement proportionnelle à l'inertie de rotation du système rigide.
- Équation : $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 Pour décrire complètement un système rigide en rotation, des analyses linéaires et rotatives peuvent devoir être effectuées indépendamment.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Source : Description du cours et de l'examen AP College Board⁩

English

Net torque produces angular acceleration, in direct analogy with $F=ma$:

$$\sum\tau = I\alpha.$$

So a larger net torque, or a smaller rotational inertia, gives a larger angular acceleration. Solve rotation problems just like translation problems, with $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, and $\alpha\leftrightarrow a$.

Worked example. A net torque of $12\ \text{N m}$ acts on a wheel with rotational inertia $I=3.0\ \text{kg m}^2$. Its angular acceleration is $\alpha=\tau/I=12/3.0=4.0\ \text{rad/s}^2$ – the exact rotational twin of $a=F/m$.

Français

Le couple net produit une accélération angulaire, en analogie directe avec $F=ma$ :

$$\sum\tau = I\alpha.$$

Ainsi, un couple net plus grand, ou une inertie rotative plus petite, donne une accélération angulaire plus grande. Résolvez les problèmes de rotation comme ceux de translation, avec $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, et $\alpha\leftrightarrow a$.

Exemple résolu. Un couple net de $12\ \text{N m}$ agit sur une roue ayant une inertie rotative de $I=3.0\ \text{kg m}^2$. Son accélération angulaire est $\alpha=\tau/I=12/3.0=4.0\ \text{rad/s}^2$ – le jumeau rotatif exact de $a=F/m$.

5.6

Exam tips · ⁨Conseils d'examen⁩

English

Torque $\tau=Fr_\perp$ uses the perpendicular distance from the pivot; a force through the pivot gives zero torque.
For balance, set clockwise torque = anticlockwise torque; choosing the pivot at an unknown force removes it from the equation.
Use the rotational analogues: $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$, so $\sum\tau=I\alpha$ mirrors $\sum F=ma$.
Rotational inertia depends on how far the mass sits from the axis, not just its amount — a hoop resists spinning more than a disc of equal mass.
Convert angles to radians and link linear to angular with $v=r\omega$, $a_t=r\alpha$.

Français

Le couple $\tau=Fr_\perp$ utilise la distance perpendiculaire par rapport au pivot ; une force passant par le pivot donne un couple nul.
Pour l'équilibre, égalisez le couple horaire avec le couple antihoraire ; choisir le pivot au lieu d'une force inconnue l'élimine de l'équation.
Utilisez les analogues rotatifs : $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$, donc $\sum\tau=I\alpha$ correspond à $\sum F=ma$.
L'inertie rotative dépend de comment la masse est disposée par rapport à l'axe, et non seulement de sa quantité – un anneau résiste plus à la rotation qu'un disque de masse égale.
Convertissez les angles en radians et liez le linéaire à l'angulaire via $v=r\omega$, $a_t=r\alpha$.

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