Applications analytiques de la dérivation

Le Théorème des valeurs intermédiaires 中值定理 (MVT) relie le taux de changement moyen à un taux instantané :

Oui $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, alors il existe au moins un point $c$ dans $(a,b)$ tel que

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

En mots : quelque part à l'intérieur de l'intervalle, le taux instantané égale le taux moyen. Géométriquement, certaines tangentes sont parallèles à la corde reliant les extrémités.

Compétence d'examen. Comme le TVI, le MVT est un théorème d'existence, et les questions demandent de justifier. Plein score nécessite : (1) énoncer que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$ ; (2) calculer le taux moyen $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ; (3) conclure « par le MVT, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f'(c)$ soit égal à cette valeur. » Les deux hypothèses doivent être nommées.

Exemple résolu. Vérifiez le MVT pour $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$. C'est un polynôme, donc continu et dérivable partout. Le taux moyen est $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Poser $f'(c)=2c=4$ donne $c=2$, qui se trouve bien dans $(1,3)$ – le point garanti.

Le Théorème des valeurs extrêmes 极值定理 (EVT) garantit l'existence d'extrema : une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ atteint les deux un maximum absolu et un minimum absolu dessus.

Un point critique 临界点 est un point intérieur où $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ n'existe pas. Tous les extrema locaux (relatifs) 局部极值 se produisent aux points critiques – mais pas tous les points critiques sont des extrema. Donc les points critiques sont les candidats ; vous devez tester chacun.

La première dérivée vous indique où $f$ monte ou descend :

• $f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est croissante 递增 là-bas;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante 递减.

Sur l'examen, « trouvez les intervalles où $f$ est croissante » signifie : trouvez les points critiques, testez ensuite le signe de $f'$ entre eux, et justifiez avec le signe de $f'$ (une raison énoncée, pas seulement un intervalle).

Pour classifier un point critique $x=c$ comme max local, min local, ni l'un ni l'autre, vérifiez comment $f'$ change de signe là :

• $f'$ change de $+$ à $-$ en $c$ $\Rightarrow$ maximum local 极大值;
• $f'$ change de $-$ à $+$ en $c$ $\Rightarrow$ minimum local 极小值;
• $f'$ ne change pas de signe $\Rightarrow$ ni l'un ni l'autre.

Énoncez toujours le changement de signe comme votre justification.

Exemple résolu. Classer les points critiques de $f(x)=x^3-3x^2$. Ici $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zéro en $x=0$ et $x=2$. Test des signes : $f'>0$ pour $x<0$, $f'<0$ sur $(0,2)$, et $f'>0$ pour $x>2$. Donc $f'$ passe d'$+\to-$ à $x=0$ (un maximum local, $f(0)=0$) et d'$-\to+$ à $x=2$ (un minimum local, $f(2)=-4$).

Sur un intervalle fermé, les extrema absolus (globaux) ne se produisent qu'en points critiques ou aux extrémités. Le test des candidats :

1. Répertorier tous les points critiques dans $[a,b]$ et les deux extrémités.
2. Évaluer $f$ à chaque candidat.
3. La plus grande valeur est le maximum absolu ; la plus petite est le minimum absolu.

Présenter le tableau des valeurs – la comparaison est l'argument.

La dérivée seconde décrit la courbure :

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ est concave vers le haut 上凹 (courbe comme un bol ; $f'$ est croissante) ;
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ est concave vers le bas 下凹 ($f'$ est décroissante).

Un point d'inflexion 拐点 est là où la concavité changement, c'est-à-dire où $f''$ change de signe (pas simplement où $f''=0$). Indiquer sa coordonnée $x$ et justifier par le changement de signe de $f''$.

Une autre façon de classifier un point critique $c$ où $f'(c)=0$ :

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave vers le haut $\Rightarrow$ minimum local ;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave vers le bas $\Rightarrow$ maximum local ;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ le test est non concluant – revenir au test de la dérivée première.

Cas particulier : si une fonction continue n'a qu'un seul point critique sur un intervalle et qu'il est un extremum local, ce point est aussi l'extremum absolu sur cet intervalle.

Les caractéristiques clés de $f$, $f'$ et $f''$ se reflètent mutuellement. Pour tracer ou lire des graphiques :

• $f$ croissante $\Leftrightarrow$ $f'$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un max local $\Leftrightarrow$ $f'$ traverse de $+$ à $-$.
• $f$ concave vers le haut $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante $\Leftrightarrow$ $f''$ au-dessus de l'axe ; $f$ a un point d'inflexion $\Leftrightarrow$ $f'$ a un extremum local $\Leftrightarrow$ $f''$ traverse zéro.

C'est la compétence de lire un graphique pour décrire un autre. Un dispositif d'examen très courant donne le graphique de $f'$ et pose des questions sur $f$ : où $f$ est croissante (où $f'>0$), où sont les extrema de $f$ (où $f'$ traverse zéro, avec un changement de signe), où $f$ est concave vers le haut (où $f'$ est croissante). Répondre aux questions sur $f$ en utilisant la hauteur et la pente du graphique de $f'$.

L'optimisation 最优化 utilise la dérivée pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une grandeur sur un intervalle. C'est la mécanique des tests des candidats/dérivatives appliquée à un objectif réel.

Une procédure fiable :

1. Écrire la quantité à optimiser comme fonction d'une seule variable (utiliser une équation de contrainte pour éliminer les variables superflues).
2. Définir l'intervalle des entrées autorisées.
3. Trouver les points critiques ($f'=0$ ou non défini) et les tester (test de la dérivée première ou seconde, ou test des candidats si l'intervalle est fermé).
4. Répondre à la question posée, avec unités et interprétation dans le contexte – le maximum d'aire, le minimum de coût, etc.

Exercice résolu. Un agriculteur dispose de $100\ \text{m}$ de clôture pour un enclos rectangulaire adossé à un mur, donc seulement trois côtés nécessitent une clôture. Maximisez la superficie. Soient les deux extrémités $x$ et le côté parallèle au mur $y$ ; la contrainte est $2x+y=100$, donc $y=100-2x$. La superficie est

Tout cela s'étend aux relations définies implicitement. Un point critique d'une relation implicite est là où $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontale) ou est non défini (tangente verticale). Puisque $\dfrac{dy}{dx}$ est généralement une relation en $x$ et $y$, et que la dérivée seconde implique $x$, $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$, substituer votre expression de la première dérivée lors du calcul de $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, puis raisonner sur la concavité à partir de son signe.

• $f'>0$ signifie croissant, $f'<0$ décroissant ; les candidats aux extrema sont là où $f'=0$ est zéro ou non défini.
• Classifier un point critique avec le changement de signe de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
• $f''>0$ est concave vers le haut, $f''<0$ concave vers le bas ; un point d'inflexion est là où la concavité change ($f''$ change de signe).
• Pour un extremum absolu sur un intervalle fermé, vérifier aussi les extrémités.
• Justifier chaque conclusion en citant le signe de $f'$ ou $f''$ – l'examen exige le raisonnement, pas seulement la réponse.