Dérivation : Fonctions composées, implicites et inverses

L'unité 2 a dérivé des fonctions simples. L'unité 3 dérive des fonctions construites à l'intérieur d'autres fonctions. La règle de composition 链式法则 dérive une fonction composée 复合函数 $f\big(g(x)\big)$ :

"Dérivée de la fonction externe (en laissant l'interne tel quel), fois la dérivée de l'interne." La dérivée interne $g'(x)$ est la pièce que les étudiants oublient le plus, alors posez toujours "qu'est-ce qui est à l'intérieur, et quelle est sa dérivée ?" Exemple :

En notation de Leibniz, avec $y=f(u)$ et $u=g(x)$, la règle s'écrit $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – l'intermédiaire $du$ semble "s'annuler." Les questions d'examen donnent souvent un tableau pour $f$, $g$, $f'$, $g'$ et demandent $h'(a)$ où $h(x)=f\big(g(x)\big)$ ; évaluez $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ en lisant des valeurs.

Exemple résolu. Dériver $h(x)=(2x^2+1)^5$. La fonction externe est "(quelque chose)$^5$", l'interne est $2x^2+1$ :

Certaines courbes sont définies implicitemement – par une équation en $x$ et $y$ qui n'est pas résolue pour $y$, telle que $x^2+y^2=25$. La différentiation implicite 隐函数求导 trouve $\dfrac{dy}{dx}$ sans résoudre pour $y$ d'abord. C'est simplement la règle de composition, traitant $y$ comme une fonction de $x$.

La méthode : dériver les deux côtés par rapport à $x$ ; chaque fois que vous dérivez un terme $y$, multipliez par $\dfrac{dy}{dx}$ (la règle de composition) ; puis résolvez algébriquement pour $\dfrac{dy}{dx}$. Pour $x^2+y^2=25$ :

Exemple résolu. Trouver la tangente au cercle $x^2+y^2=25$ au point $(3,4)$. D'après ci-dessus $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ là-bas, donc la tangente est

Remarquez que la tangente est perpendiculaire au rayon, comme la géométrie le promet – un bon contrôle de cohérence.

Compétence d'examen – "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Cette consigne exacte apparaît chaque année (par ex. "Montrer que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Puisque la cible est donnée, vous devez montrer chaque étape algébrique proprement : dériver les deux côtés, utiliser les règles du produit/composition sur les termes mixtes $xy$, rassembler tous les termes $\dfrac{dy}{dx}$ d'un côté, factoriser, et diviser. Une ligne finale correcte qui saute l'algèbre rapporte peu de points. Les parties suivantes demandent ensuite une tangente, ou où la tangente est horizontale ($\tfrac{dy}{dx}=0$, donc le numérateur est $0$) ou verticale (le dénominateur est $0$).

Oui $g$ est la fonction inverse 反函数 de $f$ (donc $f(g(x))=x$), la règle de composition lie leurs dérivées :

En mots : la dérivée de l'inverse en un point est le reciproque 倒数 de la dérivée de la fonction originale au point correspondant. Un dispositif d'examen courant donne un tableau et un point $(a,b)$ sur $f$ (donc $(b,a)$ est sur $g$), puis demande $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Exercice résolu. Supposons $f(2)=5$ et $f'(2)=3$, et que $g$ est l'inverse de $f$. Parce que $(2,5)$ se trouve sur $f$, le point $(5,2)$ se trouve sur $g$, et

Les graphiques de $f$ et $g$ sont images miroirs l'un de l'autre par rapport à $y=x$, donc leurs pentes aux points correspondants sont réciproques.

La même idée donne les dérivées des fonctions trigonométriques inverses 反三角函数. Les trois que vous devriez connaître :

Combinez-les avec la règle de composition lorsque l'argument est lui-même une fonction, par ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Un sujet de compétence : les vraies dérivées mélangent plusieurs règles, lisez donc la structure de l'expression d'abord, de l'extérieur vers l'intérieur.

• Est-ce une somme ? Dérivez terme par terme.
• Un produit ou un quotient ? Appliquez cette règle, et attendez à utiliser la règle de composition à l'intérieur.
• Une composition (quelque chose à l'intérieur de quelque chose) ? Règle de composition.
• Défini implicitemement ? Différentiation implicite.

Nommez l'opération la plus externe, appliquez sa règle, et récurez vers l'intérieur. La propreté évite les erreurs de signe et de tenue de registre qui coûtent des points.

Dériver $f'$ produit la dérivée seconde 二阶导数 $f''$ ; répéter donne des dérivées d'ordre supérieur. Les notations :

La dérivée seconde mesure comment la pente change ; elle guide la convexité/concavité 凹凸性 et l'accélération dans les unités ultérieures. Pour trouver $f''$ implicitement, dériver l'expression pour $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau (avec les règles du quotient et de composition), puis substituer $\dfrac{dy}{dx}$ à nouveau.

• Utilisez la règle de composition pour les fonctions composées – dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur (le facteur le plus oublié).
• Pour la différentiation implicite, dériver les deux côtés par rapport à $x$ et attacher $\tfrac{dy}{dx}$ chaque fois que $y$ est dérivé, puis résoudre.
• Obtenir la dérivée seconde en dérivant deux fois (vitesse → accélération).
• Combiner les règles avec précaution dans les expressions imbriquées (chaîne à l'intérieur d'un produit, etc.).
• Le graphe de la fonction réciproque est la réflexion par rapport à $y=x$ ; sa pente est le reciprocal de celle de la fonction originale au point correspondant.