Dérivation : Définition et propriétés fondamentales

AP Calcul AB · Sujet 2

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2.1

Taux de variation moyen et instantané

Programme

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.A : Déterminer les taux de variation moyens à l'aide de quotients de différence.

CHA-2.A.1 Les quotients de différence $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expriment le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.1 Le taux de variation instantané d'une fonction à $x=a$ peut s'exprimer par $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, à condition que la limite existe. Ce sont des formes équivalentes de la définition de la dérivée et sont notées $f'(a)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un montagnes russes sur une côte ascendante : la dérivée mesure le taux de variation instantané de position

*La dérivée par définition

L'Unité 1 a posé les bases de la limite. L'Unité 2 l'utilise pour définir la dérivée 导数 – le taux de variation exact en un point.

Le taux de variation instantané est la pente de la tangente en un point

Sur un intervalle, le taux de variation moyen est un taux de variation moyenné 差商. Deux formes équivalentes apparaissent :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

La première utilise un pas de taille $h$ à partir de $a$ ; la seconde utilise deux points $x$ et $a$. Toutes deux calculent $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sur l'intervalle.

Le taux de variation instantané 瞬时 en $x=a$ est ce vers quoi tend le taux de variation moyenné lorsque l'intervalle se réduit vers zéro. Cette limite est la dérivée en $a$, notée $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

à condition que la limite existe.

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Du taux moyen au taux instantané

y = ax³ + bx² + cx + d

Glissez le point : la sécante passant par deux points proches penche vers la tangente à mesure qu'ils fusionnent. La pente de la tangente est la dérivée — le taux de changement instantané.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	差商	chà shāng
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	瞬时	shùn shí
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	用定义求导	yòng dìng yì qiú dǎo

2.2

Définir la dérivée et sa notation

Programme

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.B : Représenter la dérivée d'une fonction comme la limite d'un quotient de différence.

CHA-2.B.2 La dérivée de $f$ est la fonction dont la valeur à $x$ est $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, à condition que cette limite existe.
CHA-2.B.3 Pour $y=f(x)$, les notations pour la dérivée incluent $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ et $y'$.
CHA-2.B.4 La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.

Objectif d'apprentissage CHA-2.C : Déterminer l'équation d'une ligne tangente à une courbe à un point donné.

CHA-2.C.1 La dérivée d'une fonction à un point est la pente de la ligne tangente à un graphe de la fonction à ce point.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Laissez le point $a$ varier et la dérivée devient une nouvelle fonction :

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

C'est la définition de la dérivée (parfois appelée dériver « par définition » 用定义求导). Sa valeur en chaque $x$ est le taux de variation instantané à cet endroit.

Les notations 记号 courantes pour la dérivée de $y=f(x)$ sont :

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

La dérivée peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement – soyez prêt à passer d'une représentation à l'autre.

Sens géométrique. La dérivée en un point est la pente 斜率 de la tangente 切ine à la courbe en cet endroit. Ainsi, la tangente en $x=a$ passe par $\big(a, f(a)\big)$ avec une pente $f'(a)$ :

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Écrire cette équation est une tâche classique d'examen, gardez la forme point-pente prête.

Les pentes des sécantes approchent la pente de la tangente : la dérivée est la limite des taux moyens — Lorsque $Q$ glisse vers $P$, la pente de chaque sécante (un taux moyen) approche la pente de la tangente – la dérivée $f'(a)$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
notations/nəʊˈteɪʃnz/	记号	jì hào
slope/sləʊp/	斜率	xié lǜ
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	切线	qiè xiàn

2.3

Estimer une dérivée en un point

Programme

Compréhension durable (CHA-2) : Les dérivées nous permettent de déterminer les taux de variation à un instant en appliquant des limites aux connaissances sur les taux de variation sur des intervalles.

Objectif d'apprentissage CHA-2.D : Estimer les dérivées.

CHA-2.D.1 La dérivée à un point peut être estimée à partir d'informations données dans des tableaux ou des graphes.
CHA-2.D.2 La technologie peut être utilisée pour calculer ou estimer la valeur d'une dérivée d'une fonction à un point.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Vous n'avez pas toujours de formule. Lorsqu'une fonction est donnée par un tableau 表格 ou un graphique, estimez la dérivée $f'(a)$ avec un taux de variation moyenné sur un petit intervalle autour de $a$. Un tableau avec des valeurs de part et d'autre de $a$ donne la meilleure estimation :

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

La technologie (une calculatrice) peut également estimer une dérivée en un point.

Compétence d'examen (apparaît presque chaque année). Des questions telles que « Approximer $M'(7.5)$ en utilisant le taux de changement moyen de $M$ sur l'intervalle $5 \le t \le 10$ » demandent exactement ce quotient différentiel. Présentez la configuration :

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

La note complète nécessite les nombres insérés et les unités correctes 单位 (unités de sortie par unité d'entrée), car elles proviennent de modèles du monde réel.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
table/ˈteɪbl/	表格	biǎo gé
units/ˈjuːnɪts/	单位	dān wèi
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	可导	kě dǎo
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	连续	lián xù
corner/ˈkɔːnə/	尖点	jiān diǎn
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	垂直切线	chuí zhí qiè xiàn
power rule/ˈpaʊə ruːl/	幂法则	mì fǎ zé
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	常数倍	cháng shù bèi
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	多项式	duō xiàng shì

2.4

Quand une dérivée existe-t-elle ?

Programme

Compréhension durable (FUN-2) : Reconnaître que la dérivée d'une fonction peut aussi être une fonction nous permet de développer des connaissances sur les comportements liés des deux.

Objectif d'apprentissage FUN-2.A : Expliquer la relation entre la dérivabilité et la continuité.

FUN-2.A.1 Si une fonction est dérivable à un point, alors elle est continue à ce point. En particulier, si un point n'est pas dans le domaine de $f$, alors il n'est pas dans le domaine de $f'$.
FUN-2.A.2 Une fonction continue peut ne pas être dérivable à un point de son domaine.
- Exemples illustratifs pour FUN-2.A.2 :
  - Les limites gauche et droite du quotient de différence ne sont pas égales, comme dans $f(x)=|x|$ à $x=0$.
  - La tangente est verticale et n'a pas de pente, comme dans $f(x)=\sqrt[3]{x}$ à $x=0$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La différentiabilité est plus forte que la continuité. La relation clé :

Oui $f$ est différentiable 可导 en un point, alors $f$ est continue 连续 en ce point.

Donc la différentiabilité implique la continuité. L'inverse est faux : une fonction continue peut ne pas être différentiable. Deux façons dont cela se produit :

Un coin 尖点 : les limites du quotient de différence gauche et droite divergent, comme avec $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Une tangente verticale : la pente est infinie (aucun nombre réel), comme avec $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Deux façons dont une fonction continue n'est pas différentiable : un coin et une tangente verticale

Aussi, un point en dehors du domaine de $f$ ne peut pas être dans le domaine de $f'$. Utilisez la contraposée à l'examen : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors $f$ n'est pas différentiable en $a$.

2.5

La règle de puissance

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.1 L'application directe de la définition de la dérivée et de règles spécifiques peut être utilisée pour calculer la dérivée pour des fonctions de la forme $f(x)=x^{r}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

À partir d'ici, nous utilisons des règles au lieu de la définition par limite à chaque fois. La règle de puissance 幂法则 s'applique à toute puissance de $x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Elle fonctionne pour les puissances entières, les puissances négatives ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) et les racines ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – réécrivez comme une puissance d'abord, puis appliquez la règle.

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Une fonction puissance et sa pente qui s'alourdit

y = ax³ + bx² + cx + d

La règle de puissance $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaisse l'exposant comme facteur. Pour $x^3$, la pente augmente rapidement lorsque $x$ sort de 0 — la courbe s'alourdit.

2.6

Règles de constante, somme, différence et multiple constant

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.2 Les sommes, différences et multiples constants de fonctions peuvent être dérivés en utilisant des règles de dérivation.
FUN-3.A.3 La règle de la puissance combinée avec les propriétés de somme, différence et multiple constant peut être utilisée pour trouver les dérivées pour des fonctions polynomiales.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Ces règles vous permettent de dériver terme par terme :

Constante : $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (une constante ne change pas).
Multiple constant 常数倍 : $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Somme / différence : $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combinées avec la règle de puissance, elles dérivent tout polynôme 多项式 terme par terme. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Dérivées de sin x, cos x, e^x et ln x

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.A : Calculer les dérivées de fonctions familières.

FUN-3.A.4 Des règles spécifiques peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des fonctions sinus, cosinus, exponentielle et logarithmique.

Compris essential (LIM-3) : Le raisonnement basé sur les définitions, théorèmes et propriétés permet de déterminer une limite.

Objectif d'apprentissage LIM-3.A : Interpréter une limite comme une définition de la dérivée.

LIM-3.A.1 Dans certains cas, reconnaître une expression correspondant à la définition de la dérivée d'une fonction dont on connaît la dérivée offre une stratégie pour déterminer une limite.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Apprenez ces quatre dérivées fondamentales par cœur :

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Notez le signe moins sur la dérivée du cosinus, et que $e^{x}$ est sa propre dérivée.

Une limite qui est vraiment une dérivée (LIM-3.A.1). Parfois, une limite cache la définition d'une dérivée connue. Si vous reconnaissez

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

pour une fonction $f$ dont vous connaissez la dérivée, évaluez simplement $f'(a)$. Par exemple, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

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La forme de sin x (dont la pente est cos x)

y = asin(bx + c) + d

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ : la pente de la courbe sinus est maximale lorsque le sinus croise zéro et nulle à ses sommets. Observez la courbe pour sentir où sa pente est raide ou plate.

2.8

La règle du produit

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.1 Les dérivées de produits de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du produit.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La règle du produit sous forme de rectangle en croissance

Le produit de deux fonctions n'est pas dérivé en multipliant les dérivées. Utilisez la règle du produit 乘积法则 :

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second." Exemple :

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Les questions d'examen construisent souvent une nouvelle fonction à partir de pièces données, par ex. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, et vous demandent de combiner les règles tout en lisant des valeurs dans un tableau.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	乘积法则	chéng jī fǎ zé

2.9

La règle du quotient

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.2 Les dérivées de quotients de fonctions dérivable s'obtiennent en utilisant la règle du quotient.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour un quotient, utilisez la règle du quotient 商法则 :

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bas fois la dérivée du haut, moins haut fois la dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré." L'ordre compte à cause du signe moins, écrivez donc soigneusement le numérateur. Exemple :

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Dérivées de tan x, cot x, sec x et csc x

Programme

Compréhension durable (FUN-3) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des règles de dérivation peut simplifier la différentiation.

Objectif d'apprentissage FUN-3.B : Calculer les dérivées de produits et de quotients de fonctions dérivables.

FUN-3.B.3 Réarranger les fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante à l'aide d'identités permet la différentiation en utilisant des règles de dérivation.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La règle du quotient : dériver une fraction

Les autres dérivées trigonométriques ne sont pas mémorisées séparément – on les réécrit avec des identités 恒等式 et on applique la règle du quotient (ou du produit). Par exemple, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc la règle du quotient donne

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

La même méthode (écrire $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) donne $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ et $-\csc x\cot x$.

Dérivées d'ordre supérieur. Dériver $f'$ à nouveau donne la dérivée seconde 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – le taux de variation du taux de variation. Une partie d'examen comme "Trouver $k''(3)$" signifie simplement dériver deux fois, puis substituer. Vous pouvez aussi estimer une dérivée seconde à partir d'un tableau en appliquant la méthode du taux de variation moyen aux valeurs de $f'$.

Exemple résolu. Dériver $f(x)=x^2\sin x$ avec la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$ : prendre $u=x^2$ ($u'=2x$) et $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), donnant $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Lisez toujours d'abord la structure – un produit nécessite la règle du produit, pas la règle de puissance appliquée séparément à chaque facteur.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	商法则	shāng fǎ zé
identities/aɪˈdentɪtiz/	恒等式	héng děng shì
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù

2.10

Conseils d'examen

La dérivée est la pente de la tangente – la limite de la pente de la sécante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ lorsque $h\to0$.
Mémorisez les règles : puissance, produit, quotient, et les dérivées de $\sin$, $\cos$, $e^x$ et $\ln x$.
La différentiabilité implique la continuité, mais pas l'inverse (un coin ou un cusps est continu mais non différentiable).
Distuez le taux de variation moyen (pente de la sécante sur un intervalle) du taux instantané (la dérivée en un point).
Donnez une équation de la tangente sous forme $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

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