Intégration et accumulation de variation

AP Calcul AB · Sujet 6

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6.1

Explorer les accumulations de variation

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.A : Interpréter le sens des aires associées au graphe d'un taux de variation dans leur contexte.

CHA-4.A.1 L'aire de la région comprise entre le graphe d'une fonction de taux de variation et l'axe $x$ donne l'accumulation de variation.
CHA-4.A.2 Dans certains cas, l'accumulation de variation peut être évaluée en utilisant la géométrie.
CHA-4.A.3 Si un taux de variation est positif (négatif) sur un intervalle, alors la variation accumulée est positive (négative).
CHA-4.A.4 L'unité pour l'aire d'une région définie par un taux de variation est l'unité du taux de variation multipliée par l'unité de la variable indépendante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un réservoir d'eau : l'intégration accumule la variation – volume total à partir d'un débit

La dérivation a trouvé des taux. L'intégration inverse cette idée : étant donné un taux de variation, elle trouve la variation accumulée 累积变化. L'image clé : l'aire entre le graphique d'une fonction de taux et l'axe des $x$ donne l'accumulation totale.

Si le taux est positif sur un intervalle, la variation accumulée est positive ; si négatif, négative. L'aire sous l'axe compte comme négative.
Les régions simples (triangles, rectangles) peuvent être trouvées par géométrie 几何.
Unités : l'unité de l'aire est l'unité du taux multipliée par l'unité de l'entrée. Un taux en véhicules-heure⁻¹ multiplié par des heures donne des véhicules.

6.2

Approximer des aires avec les sommes de Riemann

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.A : Approcher une intégrale définie à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

LIM-5.A.1 Les intégrales définies peuvent être approchées pour des fonctions représentées graphiquement, numériquement, analytiquement et verbalement.
LIM-5.A.2 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide d'une somme de Riemann gauche, d'une somme de Riemann droite, d'une somme de Riemann au milieu ou d'une somme trapézoïdale ; les approximations peuvent être calculées à l'aide de partitions uniformes ou non uniformes.
LIM-5.A.3 Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes numériques, avec ou sans technologie.
LIM-5.A.4 Selon le comportement d'une fonction, il peut être possible de déterminer si une approximation pour une intégrale définie est une sous-estimation ou une surestimation de la valeur de cette intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

L'intégrale comme aire (sommes de Riemann)

Les sommes trapézoïdales approchent l'aire

Lorsque l'aire exacte est difficile, l'approximer avec une somme de Riemann 黎曼和 – diviser l'intervalle en sous-intervalles et additionner les aires de rectangles (ou trapèzes). Les quatre estimations standards :

Une somme de Riemann : des rectangles de largeur dx approchent l'aire sous une courbe — Chaque rectangle a une aire $f(x)\,\Delta x$ ; les additionner estime l'aire, et lorsque les bandes se rétrécissent, la somme approche l'intégrale définie.

Somme de Riemann gauche – hauteur du rectangle prise à l'extrémité gauche de chaque sous-intervalle.
Somme de Riemann droite – hauteur prise à l'extrémité droite.
Somme de Riemann milieu – hauteur prise au point milieu 中点.
Somme trapézoïdale 梯形法 – moyenne des hauteurs aux deux extrémités (un trapèze).

Les sous-intervalles peuvent être uniformes (largeur égale) ou non uniformes – lire les largeurs dans le tableau.

Sous-estimation ou surestimation ? Juger selon le comportement de la fonction : pour une fonction croissante, une somme gauche sous-estime et une somme droite surestime ; une somme trapézoïdale surestime quand la fonction est concave vers le haut et sous-estime quand elle est concave vers le bas. Les parties d'examen demandent d'indiquer lequel et pourquoi.

Exemple résolu. Un tableau donne $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimer $\int_0^6 f(x)\,dx$ avec une somme de Riemann droite de trois sous-intervalles égaux ($\Delta x=2$). Utiliser l'extrémité droite de chaque bande :

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Puisque $f$ est croissante, cette somme droite est une surestimation ; la somme gauche $2(3+5+8)=32$ serait une sous-estimation.

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Approximer l'aire avec des rectangles

y = ax³ + bx² + cx + d

Une somme de Riemann approxime l'aire sous une courbe avec des rectangles. Ajoutez-en plus, plus fins, et l'estimation converge vers l'intégrale définie exacte.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	累积变化	lěi jī biàn huà
geometry/dʒiˈɒmətri/	几何	jǐ hé
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	中点	zhōng diǎn
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Sommes de Riemann et notation intégrale

Programme

Compréhension durable (LIM-5) : Les intégrales définies peuvent être approchées à l'aide de méthodes géométriques et numériques.

Objectif d'apprentissage LIM-5.B : Interpréter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.B.1 La limite d'une somme de Riemann approximante peut être interprétée comme une intégrale définie.
LIM-5.B.2 Une somme de Riemann, qui nécessite une partition d'un intervalle $I$, est la somme de produits, chacun étant la valeur de la fonction en un point d'un sous-intervalle multiplié par la longueur de ce sous-intervalle de la partition.

Objectif d'apprentissage LIM-5.C : Représenter le cas limite de la somme de Riemann comme une intégrale définie.

LIM-5.C.1 L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ sur l'intervalle $[a, b]$, notée $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, est la limite des sommes de Riemann lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers 0. C'est-à-dire, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, où $n$ est le nombre de sous-intervalles, $\Delta x_i$ est la largeur du $i$e sous-intervalle, et $x_i^{*}$ est une valeur dans le $i$e sous-intervalle.
LIM-5.C.2 Une intégrale définie peut être traduite en la limite d'une somme de Riemann associée, et la limite d'une somme de Riemann peut être écrite comme une intégrale définie.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque les largeurs des sous-intervalles tendent vers zéro, la somme de Riemann approche une valeur exacte – l'intégrale définie 定积分 :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Ici $\Delta x_i$ est la largeur du $i$ème sous-intervalle et $x_i^{*}$ un point à l'intérieur. Ainsi une intégrale définie est la limite d'une somme de Riemann, et vous devriez pouvoir traduire l'une dans l'autre.

6.4

Le théorème fondamental du calcul et les fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour définir de nouvelles fonctions.
- Exemples illustratifs pour FUN-5.A.1 : $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Oui $f$ est une fonction continue sur un intervalle contenant $a$, alors $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, où $x$ est dans l'intervalle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le Théorème fondal du calcul

Une intégrale définie avec une limite supérieure variable définit une nouvelle fonction d'accumulation 累积函数. Le théorème fondamental du calcul 微积分基本定理 (première partie) dit que la dérivation annule cette accumulation : si $f$ est continue, alors

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

Donc si $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, alors $g'(x)=f(x)$ et $g''(x)=f'(x)$. C'est le moteur derrière les questions très courantes « soit $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ».

La fonction d'accumulation ajoute l'aire signée ; le TFC dit que sa dérivée est f

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Accumuler l'aire comme une intégrale

y = ax³ + bx² + cx + d

Une fonction d'accumulation $\int_a^x f(t)\,dt$ accumule l'aire signée lorsque $x$ se déplace. Le Théorème Fondamental dit que sa dérivée est simplement $f(x)$.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	积分常数	jī fēn cháng shù
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分法	huàn yuán jī fēn fǎ
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	多项式长除法	duō xiàng shì zhǎng chú fǎ
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	配方法	pèi fāng fǎ

6.5

Comportement des fonctions d'accumulation

Programme

Compréhension durable (FUN-5) : Le théorème fondamental du calcul relie la dérivation et l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-5.A : Représenter les fonctions d'accumulation à l'aide d'intégrales définies.

FUN-5.A.3 Les représentations graphiques, numériques, analytiques et verbales d'une fonction $f$ fournissent des informations sur la fonction $g$ définie comme $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Puisque $g'(x)=f(x)$, tout ce qui précède de l'Unité 5 s'applique à une fonction d'accumulation utilisant le graphique de $f$ :

$g$ est croissante où $f>0$ et décroissante où $f<0$ ;
$g$ a un extremum local où $f$ traverse zéro (avec un changement de signe) ;
$g$ est concave vers le haut où $f$ est croissante ; les points d'inflexion de $g$ surviennent où $f$ a un extremum local.

Pour obtenir une valeur de $g$, calculer l'aire signée : $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, en ajoutant les aires au-dessus de l'axe et en soustrayant celles en dessous.

6.6

Propriétés des intégrales définies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.A : Calculer une intégrale définie en utilisant des aires et des propriétés des intégrales définies.

FUN-6.A.1 Dans certains cas, une intégrale définie peut être évaluée en utilisant la géométrie et le lien entre l'intégrale définie et l'aire.
FUN-6.A.2 Les propriétés des intégrales définies incluent l'intégrale d'une constante fois une fonction, l'intégrale de la somme de deux fonctions, l'inversion des bornes d'intégration, et l'intégrale d'une fonction sur des intervalles adjacents.
FUN-6.A.3 La définition de l'intégrale définie peut être étendue aux fonctions présentant des discontinuités amovibles ou à saut.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Ces propriétés simplifient le calcul et apparaissent constamment :

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

La dernière (découpage en un point intérieur $c$) permet de construire une intégrale totale à partir de morceaux lus sur un graphique.

6.7

Le théorème fondamental et l'évaluation des intégrales

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.B : Évaluer des intégrales définies analytiquement à l'aide du théorème fondamental du calcul.

FUN-6.B.1 Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $g$ dont la dérivée est $f$.
FUN-6.B.2 Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, la fonction définie par $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ pour $x$ dans l'intervalle.
FUN-6.B.3 Oui $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ et que $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La deuxième partie du théorème fondamental évalue une intégrale définie à l'aide d'une primitive 原函数. Si $F'=f$, alors

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

Donc : trouvez n'importe quelle primitive $F$, puis soustrayez ses valeurs aux deux bornes. C'est ainsi que la plupart des intégrales exactes sont calculées. Cela donne aussi la vue du changement net : $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, donc une valeur de départ plus un changement accumulé donne une valeur ultérieure, par ex. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Exemple résolu. Évaluez $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Une primitive est $F(x)=x^2+x$, donc

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

Une intégrale définie est l'aire signée entre la courbe et l'axe des x

6.8

Primitives et intégrales indéfinies

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.C : Déterminer les primitives de fonctions et les intégrales indéfinies, en utilisant les connaissances sur les dérivées.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ est une intégrale indéfinie de la fonction $f$ et peut s'exprimer sous la forme $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, où $F'(x) = f(x)$ et $C$ est une constante quelconque.
FUN-6.C.2 Les règles de dérivation constituent la base pour trouver des primitives.
FUN-6.C.3 De nombreuses fonctions n'ont pas de primitives fermées.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une intégrale indéfinie 不定积分 est la famille de toutes les primitives, écrite avec une constante d'intégration 积分常数 :

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Inversez chaque règle de dérivation pour construire les primitives de base :

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

6.9

Intégration par substitution

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou des réarrangements sous formes équivalentes : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.

FUN-6.D.1 La substitution de variables est une technique pour trouver des primitives.
FUN-6.D.2 Pour une intégrale définie, la substitution de variables nécessite des changements correspondants aux bornes d'intégration.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La substitution $u$ 换元积分法 inverse la règle de composition. Choisissez une fonction intérieure $u=g(x)$, afin que $du=g'(x)\,dx$, et réécrivez l'intégrale entièrement en $u$ :

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Cherchez une fonction et sa dérivée toutes deux présentes. Pour une intégrale définie, changez soit les limites en valeurs $u$, soit revenez à $x$ avant de substituer les limites originales.

Exemple résolu. Évaluez $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. La fonction intérieure est $u=x^2$, dont la dérivée $2x\,dx=du$ est présente, donc

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Repérer que $2x$ est exactement $\dfrac{du}{dx}$ est toute l'astuce.

6.10

Division longue et complétion du carré

Programme

Compréhension durable (FUN-6) : Reconnaître les opportunités d'appliquer des connaissances en géométrie et des règles mathématiques peut simplifier l'intégration.

Objectif d'apprentissage FUN-6.D : Pour les intégrandes nécessitant une substitution ou des réarrangements sous formes équivalentes : (a) Déterminer les intégrales indéfinies. (b) Évaluer les intégrales définies.

FUN-6.D.3 Les techniques pour trouver des primitives incluent des réarrangements sous formes équivalentes, telles que la division longue et la complétion du carré.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Deux mouvements d'configuration algébrique permettent à davantage d'intégrales de s'adapter aux formes de base : la division polynomiale longue 多项式长除法 lorsque le degré du numérateur est $\ge$ celui du dénominateur d'une fonction rationnelle, et la complétion du carré 配方法 pour transformer un dénominateur quadratique en une forme qui s'intègre en arctangente ou logarithme.

6.14

Sélection des techniques pour l'antidifférentiation

Programme

Ce sujet vise à se concentrer sur la compétence consistant à choisir une procédure appropriée pour l'antidifférentiation. Les étudiants doivent avoir l'occasion de s'exercer à quand et comment appliquer tous les objectifs d'apprentissage relatifs à l'antidifférentiation.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un sujet de compétence : associez l'intégrale à une méthode. Essayez d'abord une primitive de base ; cherchez une substitution $u$ (une fonction intérieure dont la dérivée est également présente) ; utilisez l'algèbre (division, complétion du carré, fractionnement) pour remodeler l'intégrande en une forme standard. Nommer la structure d'abord évite les efforts inutiles.

6.14

Conseils d'examen

L'intégration est l'antidifférentiation ; utilisez la règle de puissance $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ et n'oubliez pas la $+C$.
Le théorème fondamental lie les deux : $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, et $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approchez une intégrale définie par des sommes de Riemann ou la règle des trapèzes à partir d'un tableau de valeurs.
Une intégrale définie est une aire signée (en dessous de l'axe compte négatif) ; divisez aux changements de signe pour l'aire totale.
Utilisez la substitution u et n'oubliez pas de changer les bornes (ou de faire le contre-substituting) en conséquence.

Leçons interactives sur ce sujet

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