Limites et continuité

Le calcul est la mathématique du changement 变化 et de l'accumulation 累积. Il répond à deux grandes questions : à quelle vitesse quelque chose change-t-il maintenant, et combien s'est accumulé jusqu'à présent ? L'Unité 1 construit l'outil unique sur lequel reposent ces deux questions : la limite 极限.

Commencez par une énigme. Le compteur de vitesse d'une voiture affiche $60$ km/h. Que cela signifie-t-il à un instant précis 瞬间 ? La vitesse est une distance divisée par un temps. Mais à un instant unique, aucun temps ne passe et aucune distance n'est parcourue, donc la fraction ressemble à $\tfrac{0}{0}$ – indéfinie.

• Le taux de variation moyen 平均变化率 utilise un intervalle 区间 complet : le changement d'une quantité divisé par le changement d'une autre. Il divise par zéro, et est donc indéfini, lorsque le changement en entrée serait nul.
• Le taux de variation instantané 瞬时变化率 est ce que nous cherchons en un point. C'est la valeur vers laquelle le taux de variation tend 趋近 lorsque l'intervalle se réduit vers une longueur nulle.

L'idée ingénieuse n'est pas de substituer zéro (indéfini), mais d'observer vers quoi tend le taux de variation moyen lorsque l'intervalle devient de plus en plus petit. Cette valeur vers laquelle on tend est une limite. Ainsi, le calcul nous permet de décrire le changement à un instant précis – comme la limite de taux moyens sur des intervalles de plus en plus courts. Cette seule idée alimente la dérivée 导数 (Unité 2) et, inversée, l'intégrale 积分 (Unité 6). Tout le reste de cette unité définit les limites avec soin et les calcule de manière fiable.

Étant donné une fonction $f$, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $c$ est un nombre réel $R$ si $f(x)$ peut être rendu arbitrairement 任意地 proche de $R$ en prenant $x$ suffisamment 足够 proche de $c$ – mais pas égal à $c$. Nous écrivons

Les derniers mots sont au cœur d'une limite : ils décrivent le comportement 行为 de $f$ près de $c$, et non la valeur en $c$. La fonction peut être indéfinie en $c$, ou définie mais égale à autre chose – la limite s'en moque.

Une limite peut être montrée de trois manières : graphiquement 用图象, numériquement 用数值 (un tableau), et analytiquement 用解析式 (algèbre). Apprendre à passer d'une représentation à l'autre est une compétence fondamentale.

(Note : la définition epsilon-delta d'une limite n'est pas testée à l'examen AP, c'est pourquoi ce document ne l'utilise pas.)

Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de lire une limite. Pour trouver $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, faites glisser votre doigt le long de la courbe vers $x = c$ depuis chaque côté et demandez-vous : quelle hauteur la courbe approche-t-elle ?

• Tracez depuis la gauche (entrées inférieures à $c$) : cela donne la limite à gauche 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Tracez depuis la droite (entrées supérieures à $c$) : cela donne la limite à droite 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Ce sont les limites latérales 单侧极限. Si les deux tendent vers la même hauteur $R$, alors la limite bilatérale existe et $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialement, ignorez le point lui-même. Les graphiques marquent la différence entre la limite et la valeur :

• Un cercle ouvert 空心圆 marque une hauteur que la courbe approche mais n'atteint pas – un « trou » 空洞.
• Un cercle fermé 实心圆 marque la valeur réelle $f(c)$.

Ainsi, une courbe peut approcher $R = 3$ des deux côtés (la limite est $3$) tandis qu'un point plein est situé à la hauteur $5$ (valeur $f(c) = 5$). La limite est $3$ ; elles ne doivent pas nécessairement correspondre.

Une limite n'existe pas (souvent notée DNE) lorsque les deux côtés diffèrent (un saut 跳跃), lorsque la fonction est non bornée 无界 (croît sans limite), ou lorsqu'elle oscille 振荡 indéfiniment près de $c$. Par exemple :

Surveillez l'échelle 比例 d'un graphique : une vue éloignée peut masquer un comportement important près d'un point, confirmez donc avec l'algèbre si possible.

Lorsque vous avez des données ou une formule mais pas d'image, un tableau 表格 de valeurs estime une limite numériquement. Choisissez des entrées qui se rapprochent de $c$ des deux côtés et observez les sorties.

Par exemple, pour estimer $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (qui est $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$) :

Les deux côtés marchent vers $4$, nous estimons donc que la limite est $4$. Un tableau ne fait que suggérer une valeur – c'est une estimation numérique, pas une preuve.

La plupart des limites sont trouvées analytiquement à l'aide de théorèmes sur les limites 极限定理. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ et $\lim_{x\to c} g(x)$ existent toutes deux, la limite d'une combinaison est la même combinaison des limites :

• Somme / différence : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Produit : $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Quotient : $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas $0$.
• Fonction composée 复合函数 : si $g$ est continue en $\lim_{x\to c} f(x)$, alors $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

La règle pratique : pour une fonction construite à partir de polynômes, racines, etc., essayez d'abord la substitution directe 直接代入 – insérez $x = c$. Si vous obtenez un nombre réel, c'est la limite. Les limites latérales obéissent aux mêmes théorèmes, lues uniquement dans un sens.

La substitution directe donne parfois la forme indéterminée 未定式 $\tfrac{0}{0}$. Cela ne signifie pas que la limite échoue – cela signifie que vous devez réécrire la fonction sous une forme équivalente 等价形式 qui élimine le problème, puis effectuer la substitution. Trois mouvements standards :

• Factoriser et simplifier 因式分解并约分 une fonction rationnelle 有理函数. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Multiplier par le conjugué 共轭 pour simplifier une racine 根式. Exemple : $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Utiliser des formes alternatives de fonctions trigonométriques (identités) pour simplifier.

Le facteur annulé explique pourquoi le graphique original avait un trou : les deux fonctions coïncident partout sauf en $x=c$, elles partagent donc la même limite là.

C'est une compétence, pas du nouveau contenu : choisissez le bon outil pour la limite devant vous.

1. Essayez d'abord la substitution directe. Une réponse réelle signifie que vous êtes fini.
2. Vous obtenez $\tfrac{0}{0}$ ? Réécrivez – factorisez et simplifiez, ou utilisez le conjugué, ou une identité trigonométrique – puis substituez.
3. Un nombre non nul sur $0$ (comme $\tfrac{5}{0}$) ? La limite est infinie ou DNE – vérifiez le signe de chaque côté (voir asymptotes verticales ci-dessous).
4. Lorsque $x\to\pm\infty$ ? Comparez les termes dominants (voir limites à l'infini).
5. Piégé entre deux fonctions ? Le théorème des gendarmes (squeeze theorem) peut s'appliquer.

Le théorème des gendarmes 夹逼定理 (aussi appelé théorème de l'encadrement) trouve une limite en encadrant la fonction entre deux autres. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $c$, et

Les deux résultats célèbres démontrés ainsi, tous deux utilisés tout au long du calcul différentiel et intégral, sont :

Une autre compétence fondamentale : une même limite existe sous forme graphique, tabulaire et algébrique, et vous devez être capable de passer d'une représentation à l'autre. Un graphique montre la forme ainsi que les trous ou sauts ; un tableau fournit des preuves numériques ; l'algèbre donne une valeur exacte et une justification. Les bonnes réponses utilisent une représentation pour confirmer une autre.

Une fonction est discontinue 间断 en $c$ lorsque son graphique « se brise » à cet endroit. Il existe trois types :

• Discontinuité amovible 可去间断 – un seul trou. La limite bilatérale existe, mais le point est absent ou mal placé.
• Discontinuité de saut 跳跃间断 – les deux limites unilatérales existent mais diffèrent, donc la courbe effectue un saut.
• Discontinuité infinie 无穷间断 – la fonction explose vers $\pm\infty$ sur une asymptote verticale 垂直渐近线.

La continuité est définie par un test en trois parties. Une fonction $f$ est continue 连续 en $x=c$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies :

En termes simples : le point existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une quelconque échoue, $f$ est discontinue en $c$. Ce test constitue la colonne vertébrale de presque toutes les questions sur la continuité, apprenez-le comme une liste de vérification.

Une fonction est continue sur un intervalle 在区间上 continue si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Vous ne vérifiez rarement point par point, car de grandes familles de fonctions sont continues sur leur domaine de définition :

Les polynômes, rationnels, puissances, exponentielles 指数, logarithmes 对数 et fonctions trigonométriques 三角 sont continues en chaque point de leur domaine.

Ainsi, une fonction rationnelle est continue partout sauf là où son dénominateur s'annule ; $\ln x$ est continue pour $x>0$ ; etc. Connaître cela permet de déclarer la continuité rapidement et correctement.

Si la limite existe en un trou, la discontinuité est amovible : redéfinissez la fonction en ce point unique pour qu'elle soit égale à la limite, et le graphique sera réparé. Formellement, attribuez la valeur manquante à $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Pour une fonction définie par morceaux 分段函数, la continuité à une frontière $x=c$ exige que les deux morceaux se rencontrent : la valeur du morceau gauche, la valeur du morceau droit et $f(c)$ doivent tous être égaux. C'est un type courant d'examen – vous résolvez pour un paramètre 参数 (une constante inconnue) qui fait correspondre les morceaux :

L'idée de limite s'étend aux limites infinies 无穷极限. Lorsqu'une fonction croît sans borne près de $x=c$, nous notons $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Cela décrit une asymptote verticale en $x=c$ : le graphique longe la droite verticale $x=c$ et part vers $\pm\infty$.

Cela se produit lorsqu'un nombre non nul est divisé par quelque chose qui tend vers $0$, comme au niveau d'une racine du dénominateur qui ne s'annule pas. Vérifiez toujours chaque côté séparément – les deux côtés peuvent partir dans des directions opposées (l'un vers $+\infty$, l'autre vers $-\infty$).

Nous pouvons aussi laisser l'entrée croître : les limites à l'infini 无穷远处的 limites décrivent le comportement terminal 末端行为 d'une fonction lorsque $x\to\pm\infty$. Si les sorties se stabilisent vers une valeur finie $L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale 水平渐近线.

Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés 次数 du numérateur et du dénominateur :

• degré supérieur < degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est $0$ (asymptote $y=0$);
• degré supérieur = degré inférieur $\Rightarrow$ la limite est le rapport des coefficients dominants 首项系数之比;
• degré supérieur > degré inférieur $\Rightarrow$ la fonction est non bornée (pas d'asymptote horizontale).

De manière plus générale, nous comparons les magnitudes relatives 相对大小 (taux de croissance relatifs) des fonctions : loin de l'origine, une exponentielle l'emporte sur n'importe quel polynôme, et un polynôme l'emporte sur n'importe quel logarithme. Aux examens, « lorsque $t\to\infty$, quelle quantité est plus grande / où le taux se stabilise ? » se répond avec une limite à l'infini.

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires 介值定理 est un théorème d'existence 存在性定理 – il garantit l'existence d'une valeur sans indiquer où celle-ci se trouve :

Oui $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$, et $d$ est un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$.

Une courbe ininterrompue ne peut pas sauter une hauteur entre ses extrémités – elle doit passer par chacune d'elles.

Compétence d'examen – comment justifier avec le TVI. Ces questions apparaissent presque chaque année (par exemple, « Doit-il exister une valeur $c$ telle que $R(c)=155$ ? » ou « Y a-t-il un moment où $r'(t)=-6$ ? »). Une justification pleine note nécessite trois étapes :

1. Énoncer la continuité. Dire que la fonction est continue sur $[a,b]$ (souvent parce qu'elle est dérivable ou donnée comme continue).
2. Montrer que $d$ est encadré. Calculer les valeurs aux deux extrémités et montrer que la cible $d$ se situe entre elles, par ex. $f(a) < d < f(b)$.
3. Conclure par nom. « Par le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe un $c$ dans $(a,b)$ tel que $f(c)=d$. »

Omettre l'énoncé de continuité, ou ne pas montrer que $d$ est entre les extrémités, fait perdre les points – le théorème exige les deux conditions.

Exemple résolu. Évaluer $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. La substitution directe donne $\tfrac{0}{0}$ (forme indéterminée), donc factoriser : $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ pour $x\ne 3$. Ensuite, $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. Le graphique présente une discontinuité amovible (un trou) en $x=3$ — la limite existe bien que la fonction y soit non définie.

• Une limite décrit ce que $f(x)$ s'approche, ce qui ne doit pas nécessairement être égal à $f(a)$ — la limite bilatérale n'existe que si les deux côtés coïncident.
• Essayez d'abord la substitution directe ; pour une forme $\tfrac00$, factorisez et simplifiez ou rationalisez avant de substituer.
• Une fonction est continue en $a$ lorsque la limite existe, $f(a)$ est défini, et qu'ils sont égaux.
• Utilisez le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour garantir une racine : une fonction continue qui change de signe sur $[a,b]$ prend toutes les valeurs intermédiaires.
• Lisez les asymptotes horizontales à partir du comportement terminal (limites en $\pm\infty$) et les asymptotes verticales là où le dénominateur (et non le numérateur) s'annule.