Ecuaciones diferenciales

AP Cálculo BC · Topic 7 · ⁨Tema 7⁩

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7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Modelización de situaciones con ecuaciones diferenciales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Español

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.A: Interpretar enunciados verbales de problemas como ecuaciones diferenciales que involucran una expresión derivada.

FUN-7.A.1 Las ecuaciones diferenciales relacionan una función de una variable independiente y las derivadas de dicha función.

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English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Español

Una ecuación diferencial 微分方程 relaciona una función con sus derivadas. Muchas situaciones reales se describen mediante una tasa: "la población crece a una tasa proporcional a su tamaño" se convierte en $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Establecer la ecuación a partir de una descripción verbal –identificar qué cambia y a qué es proporcional– es la primera habilidad.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Español

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.B: Verificar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para verificar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.
FUN-7.B.2 Pueden existir infinitas soluciones generales para una ecuación diferencial.

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English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Español

Una solución es una función que satisface la ecuación. Para verificar una solución propuesta, diferenciarla y sustituir en la ecuación, verificando que ambos lados coincidan. Una solución general contiene una constante $C$; una solución particular fija $C$ a partir de una condición.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Esbozo de campos de pendientes⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Español

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.1 Un campo de pendientes es una representación gráfica de una ecuación diferencial en un conjunto finito de puntos del plano.
FUN-7.C.2 Los campos de pendientes proporcionan información sobre el comportamiento de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

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English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Español

Campos de pendientes y curvas solución

Un campo de pendientes 斜率场 dibuja un segmento de línea corto en muchos puntos, cada uno con la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ que da la ecuación en ese punto. Representa la familia de curvas solución sin resolverla. Para esbozarlo, evalúe el lado derecho en cada punto de la cuadrícula y dibuje un segmento con esa pendiente.

Un campo de pendientes muestra la pendiente en todas partes; las curvas solución la siguen — Un campo de pendientes muestra el gradiente en todos los puntos; las curvas solución lo siguen

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Leer una ecuación diferencial como un campo de pendientes

Un campo de pendientes dibuja la pendiente $dy/dx$ en cada punto. Una curva solución se abre paso, siempre tangente a los pequeños segmentos — puedes dibujarla siguiendo el flujo.

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English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Razonamiento utilizando campos de pendientes⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Español

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones o familias de funciones.

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English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Español

Una curva solución sigue los segmentos como un bote siguiendo una corriente. A partir de un campo de pendientes puede esbozar la solución particular que pasa por un punto dado, describir el comportamiento a largo plazo y localizar dónde las soluciones se nivelan (pendientes cercanas a cero) –razonamiento sobre soluciones puramente a partir de la imagen.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨Aproximación de soluciones usando el método de Euler⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Español

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.4 El método de Euler proporciona un procedimiento para aproximar una solución a una ecuación diferencial o un punto en una curva de solución. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Español

Método de Euler

El método de Euler 欧拉方法 aproxima numéricamente una solución avanzando paso a paso a lo largo del campo de pendientes. Partiendo de un punto conocido, dé un paso pequeño $\Delta x$ y actualice:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repita para cada paso. Pasos más pequeños dan una mejor aproximación. (Esta es una técnica solo para BC.)

Habilidad de examen: ser capaz de realizar dos o tres pasos de Euler a mano a partir de una tabla, y saber que el método de Euler subestima o sobrestima dependiendo de la concavidad de la solución.

Ejemplo resuelto. Aproximar $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, con paso $\Delta x=0.5$. Paso 1: la pendiente en $(0,1)$ es $0+1=1$, por lo tanto $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Paso 2: la pendiente en $(0.5,1.5)$ es $0.5+1.5=2$, por lo tanto $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

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English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Encontrar soluciones generales usando separación de variables⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Español

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.D: Determinar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.D.1 Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante separación de variables.
FUN-7.D.2 La antiderivación puede utilizarse para encontrar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Español

Escherichia coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial — E. coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial

Una ecuación diferencial separable 可分离 puede escribirse con todas las $y$'s en un lado y todas las $x$'s en el otro, luego integrarse:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Esto produce la solución general (con una $+C$), el principal método analítico para resolver ecuaciones diferenciales en este curso.

Ejemplo resuelto. Resolver $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ da $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, por lo tanto $y=Ae^{x^2/2}$. La condición $y(0)=2$ da $A=2$, por lo tanto $y=2e^{x^2/2}$.

Vocabulary · ⁨Vocabulario⁩ Train · ⁨Entrenar⁩

English · ⁨Inglés⁩	Chinese · ⁨Chino⁩	Pinyin
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Búsqueda de soluciones particulares usando condiciones iniciales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Español

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.E: Determinar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.E.1 Una solución general puede describir infinitas soluciones a una ecuación diferencial. Solo existe una solución particular que pasa por un punto dado.
FUN-7.E.2 La función $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ es una solución particular a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaciendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden estar sujetas a restricciones de dominio.

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English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Español

Una condición inicial 初始条件 (un punto conocido, p. ej. $y(0)=5$) fija la constante $C$. Resuelva para la solución general, sustituya la condición para encontrar $C$, y luego escriba la solución particular. Tenga cuidado con el dominio –una solución particular es válida solo en el intervalo que contiene el punto inicial.

La constante da lugar a una familia de curvas; una condición inicial selecciona una de ellas — La constante da una familia de curvas; una condición inicial selecciona una

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Modelos exponenciales con ecuaciones diferenciales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Español

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.F: Interpretar el significado de una ecuación diferencial y sus variables en un contexto dado.

FUN-7.F.1 Aplicaciones específicas del hallazgo de soluciones generales y particulares a ecuaciones diferenciales incluyen el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento y decaimiento exponencial.
FUN-7.F.2 El modelo para el crecimiento y decaimiento exponencial que surge de la afirmación "La tasa de cambio de una cantidad es proporcional al tamaño de la cantidad" es $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.G: Determinar soluciones generales y particulares para problemas que involucran ecuaciones diferenciales en un contexto dado.

FUN-7.G.1 El modelo de crecimiento y decaimiento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, con condición inicial $y = y_0$ cuando $t = 0$, tiene soluciones de la forma $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Español

Crecimiento exponencial vs. logístico

La ecuación $\dfrac{dy}{dt}=ky$ indica que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad, lo que produce un crecimiento o decrecimiento exponencial. Al separar variables se obtiene

$$y=y_0 e^{kt},$$

donde $k>0$ corresponde al crecimiento y $k<0$ al decrecimiento. Esto modela el crecimiento ilimitado de poblaciones, la desintegración radiactiva y los intereses compuestos continuamente.

Una taza de café enfriándose: la ley de enfriamiento de Newton es un modelo clásico de ecuaciones diferenciales

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Un modelo de crecimiento/decayimiento exponencial

y = a·e^(bx) + c

La ecuación $dy/dt=ky$ tiene soluciones exponenciales: la cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, dando crecimiento ilimitado ($k>0$) o decayimiento hacia cero ($k<0$).

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Modelos logísticos con ecuaciones diferenciales⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Español

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.H: Interpretar el significado del modelo de crecimiento logístico en un contexto dado. SOLO BC

FUN-7.H.1 El modelo para el crecimiento logístico que surge del enunciado "La tasa de cambio de una cantidad es directamente proporcional conjuntamente al tamaño de la cantidad y a la diferencia entre la cantidad y la capacidad de carga" es $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SOLO BC
FUN-7.H.2 La ecuación diferencial logística y las condiciones iniciales pueden interpretarse sin resolver la ecuación diferencial. SOLO BC
FUN-7.H.3 El valor límite (capacidad de carga) de una ecuación diferencial logística cuando la variable independiente tiende a infinito puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC
FUN-7.H.4 El valor de la variable dependiente en una ecuación diferencial logística en el punto en que cambia más rápidamente puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fuente: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Español

El crecimiento real está limitado por los recursos, por lo que el modelo logístico 逻辑斯蒂模型 añade una capacidad de carga 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

El crecimiento es casi exponencial cuando $P$ es pequeño, se ralentiza a medida que $P$ se aproxima a $L$, y se detiene en $P=L$. Hechos clave de la curva logística: la población se estabiliza en $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), y crece más rápido cuando $P=\tfrac{L}{2}$ (el punto de inflexión de la curva en forma de S). Se espera que leas $L$ y el valor de crecimiento más rápido directamente desde la ecuación.

Ejemplo resuelto. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacidad de carga es $L=2000$ (la población se estabiliza allí), y el crecimiento es más rápido cuando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos valores se leen directamente de la ecuación, sin necesidad de resolver.

El modelo logístico crece más rápido en P=L/2 y se estabiliza en la capacidad de carga L

7.9

Exam tips · ⁨Consejos para el examen⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Español

Resuelve una ecuación separable agrupando todas las $y$ en un lado y todas las $x$ en el otro, luego integra ambos lados (añade $+C$ una sola vez).
Usa la condición inicial para encontrar $C$ (una solución particular).
Esboza o lee un campo de pendientes: los pequeños segmentos muestran $\tfrac{dy}{dx}$ en cada punto, y una curva de solución los sigue.
Reconoce modelos exponenciales $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crecimiento/decaimiento).
Una ecuación diferencial da la pendiente; debes integrar para recuperar la función.

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