Aplicaciones de la Integración

AP Cálculo AB · Tema 8

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8.1

Average Value of a Function

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.B: Determinar el valor promedio de una función utilizando integrales definidas.

CHA-4.B.1 El valor promedio de una función continua $f$ sobre un intervalo $[a, b]$ es $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El average value 平均值 de una función continua $f$ sobre $[a,b]$ es la integral dividida por la longitud del intervalo:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Es la altura constante de un rectángulo sobre $[a,b]$ con el mismo área bajo $f$. No lo confunda con la tasa de cambio promedio (que divide el cambio en $f$ entre el intervalo), ni con un promedio de suma de Riemann de unos pocos valores; el examen distingue estos conceptos cuidadosamente. Reporte las unidades en contexto (p. ej., la tasa promedio "en vehículos por hora").

Ejemplo resuelto. El valor promedio de $f(x)=x^2$ sobre $[0,3]$ es

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explorar

El valor promedio de una función

y = ax³ + bx² + cx + d

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su integral dividida por el ancho — la altura constante cuyo rectángulo tiene la misma área que la bajo la curva.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	总路程	zǒng lù chéng
net change/net tʃeɪndʒ/	净变化	jìng biàn huà
cross section/krɒs ˈsekʃn/	横截面	héng jié miàn
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	三角形	sān jiǎo xíng
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	半圆	bàn yuán

8.2

Posición, Velocidad y Aceleración Usando Integrales

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.C: Determinar valores de posición y tasas de cambio utilizando integrales definidas en problemas de movimiento rectilíneo.

CHA-4.C.1 Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre un intervalo de tiempo, la integral definida de la velocidad representa el desplazamiento de la partícula durante ese intervalo de tiempo, y la integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante dicho intervalo de tiempo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La integración invierte los enlaces de movimiento de la Unidad 4. Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre $[t_1,t_2]$:

Desplazamiento 位移 (cambio neto en la posición) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distancia total recorrida 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integre la velocidad, para que los cambios de dirección se sumen en lugar de cancelarse.
Posición en un tiempo posterior $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocidad a partir de la aceleración $= v(t_1)+\int a$.

La distinción entre desplazamiento y distancia (con el valor absoluto) es un punto clásico calificado.

8.3

Funciones de Acumulación e Integrales Definidas en Contextos Aplicados

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.D: Interpretar el significado de una integral definida en problemas de acumulación.

CHA-4.D.1 Una función definida como una integral representa la acumulación de una tasa de cambio.
CHA-4.D.2 La integral definida de la tasa de cambio de una cantidad sobre un intervalo proporciona el cambio neto de dicha cantidad durante ese intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.E: Determinar el cambio neto utilizando integrales definidas en contextos aplicados.

CHA-4.E.1 La integral definida puede utilizarse para expresar información sobre acumulación y cambio neto en diversos contextos aplicados.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función definida como una integral acumula un cambio de tasa. El teorema del cambio neto 净变化 es la herramienta cotidiana: la integral definida de una tasa sobre un intervalo da el cambio neto de la cantidad:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Entonces "cuánta agua hay en el tanque en $t=5$" = cantidad inicial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Tenga cuidado con los signos (entrada menos salida) y las unidades. Muchos problemas de respuesta corta (FRQs) multietapa están construidos enteramente sobre esta idea, a menudo combinados con "escriba, pero no evalúe, una expresión integral que dé el total...".

8.4

Encontrar el Área Entre Curvas (Funciones de x)

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o el volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.1 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse con integrales definidas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El área entre dos curvas $y=f(x)$ (superior) y $y=g(x)$ (inferior) sobre $[a,b]$ es:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Encuentre primero los puntos de intersección para establecer los límites, y siempre reste la inferior de la superior.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área entre $y=x$ y $y=x^2$. Se cruzan en $x=0$ y $x=1$, y en $(0,1)$ la recta $y=x$ está arriba, así que

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

El área entre dos curvas es la integral de la superior menos la inferior — La región sombreada va desde una intersección $a$ hasta la siguiente $b$; su área es $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Encontrar el Área Entre Curvas (Funciones de y)

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambio en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano mediante la integral definida.

CHA-5.A.2 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse utilizando funciones tanto de $x$ como de $y$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Algunas regiones son más fáciles de describir con rebanadas horizontales – integre respecto a $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Elija rebanadas $x$ o $y$ para mantener un solo par superior/inferior (o derecha/izquierda) en toda la región.

8.6

Área Entre Curvas Con Más De Dos Intersecciones

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o el volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.3 El área de ciertas regiones en el plano puede calcularse mediante una suma de dos o más integrales definidas, o bien evaluando la integral definida del valor absoluto de la diferencia entre dos funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si las curvas se cruzan más de dos veces, una función está arriba en parte de la región y la otra arriba en otra parte. Divida en una suma de integrales en cada cruce, o integre el valor absoluto de la diferencia:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine qué curva está más alta en cada subintervalo antes de escribir las integrales.

8.7

Volúmenes Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas utilizando integrales definidas.

CHA-5.B.1 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales cuadradas y rectangulares pueden determinarse mediante integrales definidas y las fórmulas de área correspondientes a estas figuras.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un alfarero dando forma a un recipiente: los sólidos de revolución son volúmenes formados al girar una región plana — Un alfarero modelando un recipiente: sólidos de revolución son volúmenes formados al rotar una región plana

Si un sólido tiene una sección transversal 横截面 conocida perpendicular a un eje, su volumen es la integral del área de la sección transversal:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Para secciones transversales cuadradas con lado igual a la altura de la región $s(x)=f(x)-g(x)$, usa $A(x)=[s(x)]^2$; para un rectángulo de altura $k\cdot s(x)$, usa $A(x)=k\,[s(x)]^2$. La frase del examen "la base de un sólido... las secciones transversales son cuadrados/rectángulos" indica exactamente esto.

8.8

Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas mediante integrales definidas.

CHA-5.B.2 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales triangulares pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
CHA-5.B.3 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales semicirculares y otras geométricamente definidas pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
- Ejemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - El volumen de un embudo cuyas secciones transversales son círculos puede encontrarse usando la fórmula del área de un círculo e integrales definidas (consulte Pregunta de Respuesta Extendida #5(b) del Examen AB de 2016).
  - El volumen de un sólido cuya área de sección transversal está definida mediante una función puede encontrarse usando la función de área conocida y una integral definida (consulte Pregunta de Respuesta Extendida #4(c) del Examen AB de 2009).

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Mismo método, diferente fórmula de área: para un triángulo 三角形 equilátero de lado $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; para un semicírculo 半圆 de diámetro $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Igualar la longitud clave de la figura a la longitud de la sección transversal de la región $s(x)$, luego integrar $A(x)$.

8.9

Volumen con el Método del Disco (Alrededor del eje x o y)

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.1 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o del eje $y$ pueden obtenerse mediante el uso de integrales definidas con el método de los discos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Sólidos de revolución: el método del disco

Al girar una región alrededor de un eje se forma un sólido de revolución. Si la región toca el eje, cada sección transversal es un disco de radio $r$ = el valor de la función:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Alrededor del eje $x$, $r=f(x)$ e integra en $x$; alrededor del eje $y$, expresa $x$ como una función de $y$ e integra en $y$.

El método de los discos: girar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x) — El método de los discos: al rotar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x)

Ejemplo resuelto. Gire la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $x=0$ hasta $x=4$ respecto al eje $x$. Cada disco tiene radio $r=\sqrt{x}$, por lo tanto

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Girar una región alrededor de un eje genera un sólido de revolución — Al girar una región alrededor de un eje se genera un sólido de revolución

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	旋转体	xuán zhuǎn tǐ
disc/dɪsk/	圆盘	yuán pán

8.10

Volumen con el Método del Disco (respecto a otros ejes)

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.2 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical en el plano pueden determinarse mediante el uso de integrales definidas con el método de discos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Alrededor de cualquier línea horizontal o vertical $y=k$ o $x=k$, el radio es la distancia desde la curva hasta dicha línea, por ejemplo, $r(x)=|f(x)-k|$. Establece el radio con cuidado y luego utiliza $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volumen con el Método de las Arandelas

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.3 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o del eje $y$, cuyas secciones transversales tienen forma de anillo, pueden determinarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución mediante integrales definidas.

CHA-5.C.4 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical, cuyos secciones transversales son anulares, pueden determinarse utilizando integrales definidas con el método de los anillos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Volumen mediante el método de las arandelas

Cuando la región no toca el eje, cada rebanada es una arandela (un anillo) con radio exterior $R$ y radio interior $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ es la distancia desde el eje hasta el límite más lejano y $r$ al más cercano. Alrededor de una línea que no sea un eje, ambos radios se miden como distancias a dicha línea – una variación muy común en los exámenes (por ejemplo, girando alrededor de $y=-2$).

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
washer/ˈwɒʃə/	垫圈	diàn juàn

8.11 8.12

Consejos para el examen

El área entre curvas es $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encuentre los puntos de intersección para los límites y mantenga la resta de la función superior menos la inferior.
Para un volumen de revolución, sume las secciones transversales de disco/anillo de área $\pi r^2$ (o $\pi(R^2-r^2)$).
El valor promedio de $f$ sobre $[a,b]$ es $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
El cambio acumulado es $\int$ de una tasa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
La integración significa "sumar infinitas piezas pequeñas": configure el integrando como una fina rebanada.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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