Diferenciación: Funciones Compuestas, Implícitas e Inversas

AP Cálculo AB · Tema 3

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3.1

La Regla de la Cadena

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.C: Calcular derivadas de composiciones de funciones diferenciables.

FUN-3.C.1 La regla de la cadena proporciona un método para derivar funciones compuestas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La regla de la cadena

La Unidad 2 diferencia funciones simples diferenciadas. La Unidad 3 diferencia funciones construidas dentro de otras funciones. La regla de la cadena 链式法则 diferencia una función compuesta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivada de la función externa (dejando el interior intacto), multiplicada por la derivada del interior." La derivada interna $g'(x)$ es la parte que los estudiantes suelen olvidar, así que siempre pregúntese "¿qué es lo interno y cuál es su derivada?". Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

En notación leibniziana, con $y=f(u)$ y $u=g(x)$, la regla se escribe $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — el término intermedio $du$ parece "cancelarse". Las preguntas de examen a menudo proporcionan una tabla para $f$, $g$, $f'$, $g'$ y solicitan $h'(a)$ donde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evalúe $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ leyendo los valores.

Ejemplo resuelto. Derive $h(x)=(2x^2+1)^5$. La función externa es "(algo)$^5$", la interna es $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Muñecas matrioskas: la regla de la cadena deriva funciones anidadas capa por capa — primero la externa, luego la siguiente interna

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
chain rule/tʃeɪn ruːl/	链式法则	liàn shì fǎ zé
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	复合函数	fù hé hán shù
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	隐函数求导	yǐn hán shù qiú dǎo
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	反函数	fǎn hán shù
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	倒数	dào shǔ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	反三角函数	fǎn sān jiǎo hán shù
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng

3.2

Diferenciación Implícita

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.D: Calcular derivadas de funciones definidas implícitamente.

FUN-3.D.1 La regla de la cadena es la base de la derivación implícita.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Algunas curvas están definidas implícitamente — mediante una ecuación en $x$ e $y$ que no está despejada para $y$, como $x^2+y^2=25$. La diferenciación implícita 隐函数求导 encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$ previamente. Es simplemente la regla de la cadena, tratando a $y$ como una función de $x$.

El método: derive ambos lados con respecto a $x$; cada vez que derive un término con $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (la regla de la cadena); luego despeje algebraicamente $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Ejemplo resuelto. Encuentre la recta tangente al círculo $x^2+y^2=25$ en el punto $(3,4)$. De lo anterior, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ allí, por lo que la tangente es

$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$

Observe que la tangente es perpendicular al radio, tal como promete la geometría — una buena verificación de sentido común.

La diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio — Diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio

Habilidad de examen – "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este enunciado exacto aparece casi todos los años (por ejemplo, "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Dado que el objetivo está dado, debe mostrar cada paso algebraico con claridad: derive ambos lados, aplique las reglas del producto/cadena a los términos mixtos $xy$, agrupe todos los términos $\dfrac{dy}{dx}$ en un lado, factorice y divida. Una línea final correcta que omita el álgebra obtiene pocos puntos. Las partes subsiguientes suelen pedir la recta tangente, o dónde la tangente es horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, por lo tanto el numerador es $0$) o vertical (el denominador es $0$).

3.3

Diferenciación de Funciones Inversas

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y trigonométricas inversas.

FUN-3.E.1 La regla de la cadena y la definición de una función inversa pueden utilizarse para encontrar la derivada de una función inversa, siempre que dicha derivada exista.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si $g$ es la función inversa 反函数 de $f$ (es decir, $f(g(x))=x$), la regla de la cadena vincula sus derivadas:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

En palabras: la derivada de la inversa en un punto es el recíproco 倒数 de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Un escenario de examen común proporciona una tabla y un punto $(a,b)$ en $f$ (por lo tanto $(b,a)$ está en $g$), y luego pide $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

La función inversa es la imagen especular de la función en la recta y = x

Ejemplo resuelto. Suponga que $f(2)=5$ y $f'(2)=3$, y que $g$ es la inversa de $f$. Dado que $(2,5)$ está sobre $f$, el punto $(5,2)$ está sobre $g$, y

$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$

Las gráficas de $f$ y $g$ son imágenes especulares a través de $y=x$, por lo que sus pendientes en puntos correspondientes son recíprocas.

Explorar

Una exponencial y su inversa, el logaritmo

y = a·e^(bx) + c

Las funciones inversas son imágenes especulares a través de $y=x$, y sus pendientes son recíprocas: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Donde una es pronunciada, su inversa es suave.

3.4

Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y funciones trigonométricas inversas.

FUN-3.E.2 La regla de la cadena aplicada con la definición de una función inversa, o la fórmula para la derivada de una función inversa, pueden utilizarse para encontrar las derivadas de funciones trigonométricas inversas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La misma idea da las derivadas de las funciones trigonométricas inversas 反三角函数. Las tres que debe conocer:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine estas con la regla de la cadena cuando la entrada sea ella misma una función, por ejemplo $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Selección de Procedimientos para Calcular Derivadas

Syllabus

Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para el cálculo de derivadas. Se debe ofrecer a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo de derivadas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un tema de habilidad: las derivadas reales mezclan varias reglas, así que lea primero la estructura de la expresión, de afuera hacia adentro.

¿Es una suma? Derive término a término.
¿Un producto o cociente? Aplique esa regla, y espere usar la regla de la cadena internamente.
¿Una compuesta (algo dentro de algo)? Regla de la cadena.
¿Dada implícitamente? Diferenciación implícita.

Nombre la operación más externa, aplique su regla y recorra hacia adentro. El orden evita errores de signo y de contabilidad que cuestan puntos.

3.6

Cálculo de Derivadas de Orden Superior

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.F: Determinar derivadas de orden superior de una función.

FUN-3.F.1 Derivar $f'$ produce la segunda derivada $f''$, siempre que exista la derivada de $f'$; repetir este proceso genera derivadas de orden superior de $f$.
FUN-3.F.2 Las derivadas de orden superior se representan con diversas notaciones. Para $y = f(x)$, las notaciones para la segunda derivada incluyen $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Las derivadas de orden superior pueden denotarse como $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ o $f^{(n)}(x)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Derivar $f'$ produce la segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir esto genera derivadas de orden superior. Las notaciones:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente; impulsa la concavidad 凹凸性和 aceleración en unidades posteriores. Para encontrar $f''$ implícitamente, derive nuevamente la expresión para $\dfrac{dy}{dx}$ (con las reglas del cociente y la cadena), y luego sustituya $\dfrac{dy}{dx}$ de vuelta.

Explorar

Pendiente de la pendiente: la segunda derivada

y = ax³ + bx² + cx + d

Diferenciar nuevamente da la segunda derivada — la tasa a la que cambia la pendiente. Donde la pendiente de la tangente está aumentando, la curva se curva hacia arriba (cóncava hacia arriba).

3.6

Consejos de Examen

Use la regla de la cadena para funciones compuestas — derive la parte exterior, luego multiplique por la derivada de la parte interna (el factor más olvidado).
Para la diferenciación implícita, derive ambos lados con respecto a $x$ y adjunte $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que se derive $y$, luego despeje.
Obtenga la segunda derivada derivando dos veces (velocidad → aceleración).
Combine las reglas cuidadosamente en expresiones anidadas (cadena dentro de producto, etc.).
La gráfica de la función inversa es el reflejo en $y=x$; su pendiente es el recíproco de la original en el punto correspondiente.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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