Cálculo AP AB cubre límites y continuidad, diferenciación y sus aplicaciones, integración y acumulación de cambio, ecuaciones diferenciales, y aplicaciones de la integración incluyendo áreas y volúmenes. Equivale aproximadamente a un semestre de cálculo universitario.
El examen trata tanto sobre el significado como sobre el método. Se le pedirá qué significa una derivada en contexto —con unidades— y cómo justificar un máximo o un punto de inflexión por el signo de una derivada, no mediante la inspección visual de un gráfico.
El Teorema Fundamental del Cálculo es la columna vertebral del curso. Entenderlo como "la integral de una tasa proporciona el cambio total" es lo que hace legibles las preguntas sobre acumulación.
Las notas siguen cada unidad en orden, con los teoremas enunciados tal como espera el examen que se citen. Los FRQs (preguntas de respuesta libre) pasadas con sus pautas de corrección están en la biblioteca —las calificaciones de AB suelen otorgarse por la justificación en palabras, por lo que las soluciones trabajadas escriben el razonamiento en lugar de detenerse en la respuesta.
Presentando el Cálculo: ¿Puede ocurrir un cambio en un instante?
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-1): El cálculo nos permite generalizar el conocimiento sobre el movimiento a una variedad de problemas que involucran cambios.
Objetivo de aprendizaje CHA-1.A: Interpretar la tasa de cambio en un instante en términos de las tasas de cambio promedio sobre intervalos que contienen dicho instante.
CHA-1.A.1 El cálculo utiliza los límites para comprender y modelar cambios dinámicos.
CHA-1.A.2 Dado que una tasa de cambio promedio divide el cambio en una variable por el cambio en otra, la tasa de cambio promedio no está definida en un punto donde el cambio en la variable independiente sería cero.
CHA-1.A.3 El concepto de límite nos permite definir la tasa de cambio instantánea en términos de las tasas de cambio promedio.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El cálculo es la matemática del cambio 变化和 del acumulación 累积. Responde dos grandes preguntas: qué tan rápido está cambiando algo ahora mismo, y cuánto se ha acumulado hasta ahora. La Unidad 1 construye la única herramienta sobre la que descansan ambas preguntas: el límite 极限.
Comienza con un acertijo. El velocímetro de un coche marca $60$ km/h. ¿Qué significa eso en un único instante 瞬间? La velocidad es distancia sobre tiempo. Pero en un solo instante no pasa tiempo ni se recorre distancia, por lo que la fracción parece $\tfrac{0}{0}$ – indefinida.
La tasa promedio de cambio 平均变化率 utiliza todo un intervalo 区间: el cambio en una cantidad dividido por el cambio en otra. Se divide por cero, y por tanto es indefinida, cuando el cambio en la entrada sería cero.
La tasa instantánea de cambio 瞬时变化rate es lo que queremos en un punto. Es el valor al que la tasa promedio se aproxima 趋近 a medida que el intervalo se encoge hacia una longitud cero.
El movimiento astuto no es sustituir cero (indefinido), sino observar hacia qué se aproxima la tasa promedio a medida que el intervalo se hace cada vez más pequeño. Ese valor al que se aproxima es un límite. Así, el cálculo nos permite describir el cambio en un instante – como un límite de tasas promedios sobre intervalos cada vez más cortos. Esta idea impulsa la derivada 导数 (Unidad 2) y, ejecutada al revés, la integral 积分 (Unidad 6). Todo lo demás en esta unidad define límites cuidadosamente y los calcula de manera confiable.
Explorar
Explorar la tasa de cambio en un instante
y = ax³ + bx² + cx + d
Desliza el punto a lo largo de la curva. La línea tangente es el límite de tasas promedio cada vez más cortas — su pendiente es la tasa de cambio instantánea$\frac{dy}{dx}$ en ese punto.
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/
瞬时变化率
shùn shí biàn huà lǜ
approaches/əˈprəʊtʃɪz/
趋近
qū jìn
derivative/dɪˈrɪvətɪv/
导数
dǎo shù
integral/ˈɪntɪɡrəl/
积分
jī fēn
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/
任意地
rèn yì dì
sufficiently/səˈfɪʃəntli/
足够
zú gòu
behavior/bɪˈheɪvjə/
行为
xíng wéi
graphically/ˈɡræfɪkli/
用图象
yòng tú xiàng
numerically/njuːˈmerɪkli/
用数值
yòng shù zhí
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/
用解析式
yòng jiě xī shì
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/
左极限
zuǒ jí xiàn
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/
右极限
yòu jí xiàn
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/
单侧极限
dān cè jí xiàn
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/
空心圆
kōng xīn yuán
1.2
Definiendo Límites y Usando la Notación de Límites
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.A: Representar límites analíticamente utilizando la notación correcta.
LIM-1.A.1 Dada una función $f$, el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $c$ es un número real $R$ si $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente cercano a $R$ al tomar $x$ suficientemente cercano a $c$ (pero no igual a $c$). Si el límite existe y es un número real, la notación común es $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
Afirmación de exclusión: La definición epsilon-delta de un límite no se evalúa en el Examen AP de Cálculo AB o BC. Sin embargo, los docentes pueden incluir este tema en el curso si el tiempo lo permite.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.B: Interpretar límites expresados en notación analítica.
LIM-1.B.1 Un límite puede expresarse de múltiples formas, incluyendo gráficamente, numéricamente y analíticamente.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una curva de puente suave: los límites describen el valor al que se acerca una gráfica al hacer zoom
Dada una función $f$, el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $c$ es un número real $R$ si $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente 任意地 cercano a $R$ tomando $x$suficientemente 足够 cerca de $c$ – pero no igual a$c$. Escribimos
$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
y lo leemos: "el límite de $f(x)$, cuando $x$ se acerca a $c$, es igual a $R$".
Las últimas palabras son el corazón de un límite: describe el comportamiento 行为 de $f$cerca de$c$, no el valor en$c$. La función puede estar indefinida en $c$, o definida pero igual a algo diferente; al límite no le importa.
Un límite puede mostrarse de tres formas: gráficamente 用图象, numéricamente 用数值 (una tabla), y analíticamente 用解析式 (álgebra). Aprender a transitar entre estas representaciones es una habilidad fundamental.
(Nota: la definición epsilon-delta de un límite no se evalúa en el Examen AP, por lo que este folleto no la utiliza.)
1.3
Estimando Valores de Límites desde Gráficas
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.C: Estimar límites de funciones.
LIM-1.C.1 El concepto de límite incluye los límites laterales.
LIM-1.C.2 La información gráfica de una función puede usarse para estimar límites.
LIM-1.C.3 Debido a problemas de escala, las representaciones gráficas de funciones pueden omitir comportamientos importantes de la misma.
LIM-1.C.4 Un límite podría no existir para ciertas funciones en valores específicos de $x$. Algunas razones por las que el límite podría no existir son: si la función está acotada sin límite, si la función oscila cerca de este valor o si el límite por la izquierda no es igual al límite por la derecha.
Ejemplos ilustrativos para LIM-1.C.4:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ no existe.
$\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ no existe.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ no existe.
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Una gráfica es a menudo la forma más rápida de leer un límite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, desliza tu dedo a lo largo de la curva hacia $x = c$ desde ambos lados y pregunta: ¿hacia qué altura se dirige la curva?
Traza desde la izquierda (entradas menores que $c$): esto da el límite lateral izquierdo 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Traza desde la derecha (entradas mayores que $c$): esto da el límite lateral derecho 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Estos son los límites laterales 单侧极限. Si ambos se dirigen a la misma altura$R$, entonces el límite bidireccional existe y $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.
Crucialmente, ignora el propio punto. Las gráficas marcan la diferencia entre el límite y el valor:
Un círculo abierto 空心圆 marca una altura a la que la curva se acerca pero no alcanza – un "agujero" 空洞.
Un círculo cerrado 实心圆 marca el valor real $f(c)$.
Así, una curva puede acercarse a $R = 3$ desde ambos lados (límite es $3$) mientras un punto relleno se encuentra a una altura de $5$ (valor $f(c) = 5$). El límite es $3$; no es necesario que coincidan.
El círculo abierto es la altura a la que se acerca la curva (el límite); el punto relleno es el valor real $f(2)$ – no necesitan coincidir.
Un límite no existe (escrito frecuentemente como DNE) cuando los dos lados discrepan (un salto 跳跃), cuando la función es ilimitada 无界 (crece sin límite), o cuando oscila 振荡 para siempre cerca de $c$. Por ejemplo:
Observa la escala 比例 de una gráfica: una imagen alejada puede ocultar un comportamiento importante cerca de un punto, así que confirma con álgebra cuando puedas.
Explorar
Leer un límite desde el gráfico
y = ax² + bx + c
El límite cuando $x\to c$ es la altura hacia la cual se dirige la curva desde ambos lados — trata sobre hacia dónde va la función, no su valor en $c$. Sigue la curva hacia un $x$ y lee el $y$ al que se aproxima.
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.C: Estimar límites de funciones.
LIM-1.C.5 La información numérica puede emplearse para estimar límites.
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Cuando tienes datos o una fórmula pero no una imagen, una tabla 表格 de valores estima un límite numéricamente. Elige entradas que se acerquen a $c$ desde ambos lados y observa las salidas.
Por ejemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que es $\tfrac{0}{0}$ en $x=2$):
$x$
$1.9$
$1.99$
$1.999$
$\to 2 \leftarrow$
$2.001$
$2.01$
$2.1$
$f(x)$
$3.9$
$3.99$
$3.999$
?
$4.001$
$4.01$
$4.1$
Ambos lados marchan hacia $4$, así que estimamos que el límite es $4$. Una tabla solo sugiere un valor; es una estimación numérica, no una prueba.
1.5
Determinando Límites Usando Propiedades Algebraicas de Límites
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.D: Determinar los límites de funciones utilizando teoremas de límites.
LIM-1.D.1 Los límites laterales pueden determinarse analítica o gráficamente.
LIM-1.D.2 Los límites de sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones compuestas se pueden encontrar utilizando teoremas de límites.
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La mayoría de los límites se encuentran analíticamente usando teoremas de límite 极限定理. Si $\lim_{x\to c} f(x)$ y $\lim_{x\to c} g(x)$ existen, el límite de una combinación es la misma combinación de los límites:
Cociente:$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, siempre que el límite del denominador no sea $0$.
Función compuesta 复合函数: si $g$ es continua en $\lim_{x\to c} f(x)$, entonces $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.
La regla práctica: para una función construida a partir de polinomios, raíces y similares, primero intenta la sustitución directa 直接代入 – pon $x = c$ dentro. Si obtienes un número real, ese es el límite. Los límites laterales obedecen los mismos teoremas, leídos desde una sola dirección.
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.E: Determinar los límites de funciones utilizando expresiones equivalentes de la función o el teorema del emparedado (o teorema del sándwich).
LIM-1.E.1 Puede ser necesario o conveniente reorganizar las expresiones en formas equivalentes antes de evaluar los límites.
Ejemplos ilustrativos para LIM-1.E.1:
Factorización y división de factores comunes en funciones racionales
Multiplicación por una expresión que involucre el conjugado de una suma o diferencia con el fin de simplificar funciones que contienen radicales
Uso de formas alternativas de funciones trigonométricas
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La sustitución directa a veces da la forma indeterminada 未定式$\tfrac{0}{0}$. Esto no significa que el límite falle; significa que debes reescribir la función en una forma equivalente 等价形式 que elimine el problema, y luego sustituir. Tres movimientos estándar:
Factorizar y cancelar 因式分解并约分 una función racional 有理函数. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiplicar por el conjugado 共轭 para simplificar una radical 根式. Ejemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Usar formas alternativas de funciones trigonométricas (identidades) para simplificar.
El factor cancelado es la razón por la que la gráfica original tenía un agujero: las dos funciones coinciden en todas partes excepto en $x=c$, por lo que comparten el mismo límite allí.
Seleccionando Procedimientos para Determinar Límites
Syllabus
Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para determinar límites. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la determinación de límites.
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Este es un tema de habilidades, no nuevo contenido: elige la herramienta correcta para el límite frente a ti.
Intenta la sustitución directa primero. Una respuesta real significa que has terminado.
¿Obtienes $\tfrac{0}{0}$? Reescribe – factoriza y cancela, usa el conjugado, o una identidad trigonométrica – y luego sustituye.
¿Un número distinto de cero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? El límite es infinito o DNE – verifica el signo desde cada lado (mira las asíntotas verticales abajo).
Cuando $x\to\pm\infty$? Compara los términos dominantes 主导 (mira los límites en el infinito).
¿Atrapado entre dos funciones? Puede aplicarse el teorema del emparedado 夹逼定理.
Determinando Límites Usando el Teorema del Emparedado
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-1): El razonamiento con definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre límites.
Objetivo de aprendizaje LIM-1.E: Determinar los límites de funciones utilizando expresiones equivalentes para la función o el teorema del emparedado.
LIM-1.E.2 El límite de una función puede encontrarse utilizando el teorema del emparedado.
Ejemplos ilustrativos para LIM-1.E.2: El teorema del emparedado puede usarse para demostrar que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ y $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.
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El teorema del emparedado 夹逼定理 (también llamado teorema del sándwich) encuentra un límite atrapando la función entre otras dos. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ cerca de $c$, y
$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
entonces $f$ está empaquetada hacia el mismo lugar: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.
Los dos resultados famosos demostrados de esta manera, usados a lo largo del cálculo, son:
Este tema tiene como objetivo centrarse en la conexión entre representaciones. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con los límites, así como para traducir información matemática desde una única representación o a través de múltiples representaciones.
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Otro tema de habilidades: el mismo límite vive en una gráfica, una tabla y una forma algebraica, y deberías poder traducir entre ellas. Una gráfica muestra la forma y cualquier agujero o salto; una tabla da evidencia numérica; el álgebra da un valor exacto y una razón. Las respuestas sólidas usan una representación para confirmar otra.
1.10
Explorando Tipos de Discontinuidades
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de aprendizaje LIM-2.A: Justificar conclusiones sobre la continuidad en un punto utilizando la definición.
LIM-2.A.1 Los tipos de discontinuidades incluyen discontinuidades evitables, saltos de discontinuidad y discontinuidades debidas a asíntotas verticales.
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Una función es discontinua 间断 en $c$ cuando su gráfica "se rompe" allí. Hay tres tipos:
Discontinuidad evitable 可去间断 – un solo agujero. El límite bidireccional existe, pero el punto falta o está mal colocado.
Discontinuidad de salto 跳跃间断 – los dos límites laterales existen pero discrepan, por lo que la curva salta.
Discontinuidad infinita 无穷间断 – la función explota hacia $\pm\infty$ en una asíntota vertical 垂直渐近线.
Tres formas en que una gráfica puede romperse: un agujero evitable, un salto y una discontinuidad infinita (asíntota).
Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento con definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de aprendizaje LIM-2.A: Justificar conclusiones sobre la continuidad en un punto utilizando la definición.
LIM-2.A.2 Una función $f$ es continua en $x = c$ si se cumplen las siguientes condiciones: $f(c)$ existe, $\lim_{x \to c} f(x)$ existe y $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
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La continuidad se define mediante una prueba de tres partes. Una función $f$ es continua 连续 en $x=c$ exactamente cuando se cumplen las tres condiciones:
En palabras: el punto está ahí, el límite está ahí, y ambos coinciden. Si alguna falla, $f$ es discontinua en $c$. Esta prueba es la columna vertebral de casi toda pregunta de continuidad, así que apréndela como una lista de verificación.
1.12
Confirmando la Continuidad en un Intervalo
Syllabus
Comprensión Duradera (LIM-2): El razonamiento con definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de Aprendizaje LIM-2.B: Determinar los intervalos en los que una función es continua.
LIM-2.B.1 Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.
LIM-2.B.2 Las funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de sus dominios.
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Una función es continua en un intervalo 在区间上 continuo si es continua en cada punto de ese intervalo. Rara vez verificamos punto por punto, porque familias enteras son continuas en sus dominios:
Las funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales 指数, logarítmicas 对数和 trigonométricas 三角 son continuas en cada punto de sus dominios.
Así, una función racional es continua en todas partes excepto donde su denominador es cero; $\ln x$ es continua para $x>0$; etc. Conocer esto te permite declarar la continuidad rápidamente y correctamente.
1.13
Eliminando Discontinuidades
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de aprendizaje LIM-2.C: Determinar valores de $x$ o resolver parámetros que hagan continuas funciones discontinuas, si es posible.
LIM-2.C.1 Si el límite de una función existe en una discontinuidad de su gráfica, entonces es posible eliminar dicha discontinuidad definiendo o redefiniendo el valor de la función en ese punto, de modo que sea igual al valor del límite de la función cuando $x$ se acerca a dicho punto.
LIM-2.C.2 Para que una función definida por partes sea continua en un límite de la partición de su dominio, el valor de la expresión que define la función en un lado del límite debe ser igual al valor de la expresión que define el otro lado del límite, así como al valor de la función en el límite mismo.
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Si el límite existe en un agujero, la discontinuidad es evitable: redefine la función en ese único punto para que sea igual al límite, y la gráfica se repara. Formalmente, establece el valor faltante como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.
Para una función definida a trozos 分段函数, la continuidad en un límite $x=c$ requiere que las dos piezas se encuentren: el valor de la pieza izquierda, el valor de la pieza derecha y $f(c)$ deben ser todos iguales. Este es un escenario común en exámenes: resuelves para un parámetro 参数 (una constante desconocida) que hace que las piezas coincidan:
Conectando Límites Infinitos y Asíntotas Verticales
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de aprendizaje LIM-2.D: Interpretar el comportamiento de las funciones mediante límites que involucran el infinito.
LIM-2.D.1 El concepto de límite puede extenderse para incluir límites infinitos.
LIM-2.D.2 El comportamiento asintótico e ilimitado de las funciones puede describirse y explicarse utilizando límites.
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La idea de límite se extiende a límites infinitos 无穷极限. Cuando una función crece sin cerca cerca de $x=c$, escribimos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Esto describe una asíntota vertical en $x=c$: la gráfica abraza la línea vertical $x=c$ y se dispara hacia $\pm\infty$.
Esto sucede donde un número distinto de cero se divide por algo que se acerca a $0$, como en un cero de un denominador que no se cancela. Siempre verifica cada lado por separado – los dos lados pueden dispararse en direcciones opuestas (uno a $+\infty$, otro a $-\infty$).
Cerca de una asíntota vertical, la gráfica abraza la línea $x=c$. Aquí el lado izquierdo cae a $-\infty$ y el lado derecho asciende a $+\infty$, por lo que el límite bidireccional no existe.
Explorar
Explorar límites infinitos y asíntotas verticales
y = a/(x − b) + c
Con $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, observa cómo la curva se dispara hacia $\pm\infty$ cerca de $x=b$. La asíntota vertical es la línea $x=b$ donde reside el límite infinito — los dos lados pueden dispararse en direcciones opuestas.
Conectando Límites en el Infinito y Asíntotas Horizontales
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-2): El razonamiento con definiciones, teoremas y propiedades puede utilizarse para justificar afirmaciones sobre la continuidad.
Objetivo de aprendizaje LIM-2.D: Interpretar el comportamiento de las funciones mediante límites que involucran el infinito.
LIM-2.D.3 El concepto de límite puede ampliarse para incluir límites en el infinito.
LIM-2.D.4 Los límites en el infinito describen el comportamiento al extremo.
LIM-2.D.5 Las magnitudes relativas de las funciones y sus tasas de cambio pueden compararse utilizando límites.
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También podemos dejar que la entrada crezca: los límites en el infinito 无穷远处的极限 describen el comportamiento final 末端行为 de una función cuando $x\to\pm\infty$. Si las salidas se estabilizan hacia un valor finito $L$, entonces $y=L$ es una asíntota horizontal 水平渐近线.
Cuando $x\to+\infty$, la curva se aplanará hacia la línea $y=L$. La asíntota horizontal registra este comportamiento final.
Para una función racional, compara los grados 次数 del numerador y el denominador:
grado superior < grado inferior $\Rightarrow$ el límite es $0$ (asíntota $y=0$);
grado superior = grado inferior $\Rightarrow$ el límite es la razón de los coeficientes principales 首项系数之比;
grado superior > grado inferior $\Rightarrow$ la función es ilimitada (sin asíntota horizontal).
De manera más general, comparamos las magnitudes relativas 相对大小 (tasas de crecimiento relativo) de las funciones: muy lejos, una exponencial supera a cualquier polinomio, y un polinomio supera a cualquier logaritmo. En el examen, "cuando $t\to\infty$, ¿qué cantidad es mayor/dónde se asienta la tasa?" se responde con un límite en el infinito.
Explorar
Explorar límites al infinito y asíntotas horizontales
y = a/(x − b) + c
Sigue la curva muy lejos hacia la derecha e izquierda. Cuando $x\to\pm\infty$, las salidas se asientan hacia $c$, por lo que $y=c$ es una asíntota horizontal — el valor finito del límite al infinito.
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/
首项系数之比
shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/
相对大小
xiāng duì dà xiǎo
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/
介值定理
jiè zhí dìng lǐ
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/
存在性定理
cún zài xìng dìng lǐ
1.16
Trabajando con el Teorema del Valor Intermedio (TVI)
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.
Objetivo de aprendizaje FUN-1.A: Explicar el comportamiento de una función en un intervalo utilizando el Teorema del Valor Intermedio.
FUN-1.A.1 Si $f$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y $d$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces el Teorema del Valor Intermedio garantiza que existe al menos un número $c$ entre $a$ y $b$, tal que $f(c) = d$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El Teorema del Valor Intermedio 介值定理 es un teorema de existencia 存在性定理 – garantiza que existe un valor sin decirte dónde:
Signos opuestos de f(a) y f(b) atrapan una raíz entre a y b
Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, y $d$ es cualquier número entre$f(a)$ y $f(b)$, entonces hay al menos un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.
Una curva ininterrumpida no puede saltarse una altura entre sus extremos – debe pasar por cada una de ellas.
Una curva continua desde $(a,f(a))$ hasta $(b,f(b))$ debe cruzar cada altura $d$ intermedia al menos una vez.
Habilidad de examen – cómo justificar con el TVI. Estas preguntas aparecen casi cada año (por ejemplo, "¿Debe haber un valor $c$ con $R(c)=155$?" o "¿Existe un momento en que $r'(t)=-6$?"). Una justificación de crédito completo tiene tres movimientos:
Declara la continuidad. Di que la función es continua en $[a,b]$ (a menudo porque es diferenciable, o se da como continua).
Muestra que $d$ está atrapado. Calcula los dos valores en los extremos y muestra que el objetivo $d$ se encuentra entre ellos, p. ej. $f(a) < d < f(b)$.
Concluye por nombre. "Por el Teorema del Valor Intermedio, hay un $c$ en $(a,b)$ tal que $f(c)=d$."
Saltarse la declaración de continuidad, o no mostrar que $d$ está entre los extremos, pierde el punto – el teorema requiere ambas condiciones.
Ejemplo resuelto. Evalúa $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. La sustitución directa da $\tfrac{0}{0}$ (indeterminado), así que factoriza: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ para $x\ne 3$. Entonces $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. La gráfica tiene una discontinuidad evitable (un agujero) en $x=3$ — el límite existe aunque la función esté indefinida allí.
Explorar
Por qué una curva continua no puede saltar un valor
y = ax³ + bx² + cx + d
El Teorema del Valor Intermedio: una función continua en $[a,b]$ toma cada $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$ en algún punto interior. Una curva ininterrumpida no puede saltar sobre una altura — debe pasar a través de ella.
Un límite describe hacia qué $f(x)$se acerca, lo cual no necesita ser igual a $f(a)$ — el límite bidireccional existe solo si ambos lados coinciden.
Intenta la sustitución directa primero; para una forma $\tfrac00$, factoriza y cancela o racionaliza antes de sustituir.
Una función es continua en $a$ cuando el límite existe, $f(a)$ está definida y son iguales.
Usa el Teorema del Valor Intermedio para garantizar una raíz: una función continua que cambia de signo en $[a,b]$ toma todos los valores intermedios.
Lee las asíntotas horizontales del comportamiento final (límites en $\pm\infty$) y las asíntotas verticales donde el denominador (no el numerador) es cero.
2
Diferenciación: Definición y Propiedades Fundamentales
Comprensión duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar tasas de cambio en un instante aplicando límites al conocimiento sobre tasas de cambio en intervalos.
Objetivo de aprendizaje CHA-2.A: Determinar tasas de cambio promedio utilizando cocientes de diferencias.
CHA-2.A.1 Los cocientes de diferencias $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expresan la tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencias.
CHA-2.B.1 La tasa de cambio instantánea de una función en $x=a$ puede expresarse mediante $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ o $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, siempre que el límite exista. Estas son formas equivalentes de la definición de la derivada y se denotan como $f'(a)$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una montaña rusa en una colina de elevación: la derivada mide la tasa instantánea de cambio de posiciónLa derivada desde los primeros principios
La Unidad 1 construyó el límite. La Unidad 2 lo utiliza para definir la derivada – la tasa de cambio exacta en un punto.
La tasa de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente en un punto
Sobre un intervalo, la tasa de cambio promedio es un cociente de diferencias. Aparecen dos formas equivalentes:
La primera usa un paso de tamaño $h$ desde $a$; la segunda usa dos puntos $x$ y $a$. Ambas calculan $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre el intervalo.
La tasa de cambio instantánea en $x=a$ es hacia lo que se aproxima el cociente de diferencias cuando el intervalo se reduce a cero. Este límite es la derivada en $a$, escrita como $f'(a)$:
Desliza el punto: la secante a través de dos puntos cercanos se inclina hacia la tangente a medida que se fusionan. La pendiente de la tangente es la derivada — la tasa de cambio instantánea.
Comprensión Duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar las tasas de cambio instantáneas aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.
Objetivo de Aprendizaje CHA-2.B: Representar la derivada de una función como el límite de un cociente de diferencias.
CHA-2.B.2 La derivada de $f$ es la función cuyo valor en $x$ es $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, siempre que este límite exista.
CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, las notaciones para la derivada incluyen $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ y $y'$.
CHA-2.B.4 La derivada puede representarse gráfica, numéricamente, analítica y verbalmente.
Objetivo de Aprendizaje CHA-2.C: Determinar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto dado.
CHA-2.C.1 La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
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Deje que el punto $a$ varíe y la derivada se convierte en una nueva función:
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Esta es la definición de la derivada (a veces llamada derivar "por definición" o por primeros principios). Su valor en cada $x$ es la tasa de cambio instantánea allí.
Las notaciones comunes para la derivada de $y=f(x)$ son:
$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
La derivada puede representarse gráfica, numérica, analítica y verbalmente; esté preparado para moverse entre ellas.
Significado geométrico. La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica allí. Así, la recta tangente en $x=a$ pasa por $\big(a, f(a)\big)$ con pendiente $f'(a)$:
$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
Escribir esta recta es una tarea rutinaria en los exámenes, así que mantenga la forma punto-pendiente lista.
A medida que $Q$ se acerca a $P$, la pendiente de cada secante (una tasa promedio) se acerca a la pendiente de la tangente: la derivada $f'(a)$.
2.3
Estimación de una Derivada en un Punto
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-2): Las derivadas nos permiten determinar tasas de cambio instantáneas aplicando límites al conocimiento sobre las tasas de cambio en intervalos.
Objetivo de aprendizaje CHA-2.D: Estimar derivadas.
CHA-2.D.1 La derivada en un punto puede estimarse a partir de información proporcionada en tablas o gráficos.
CHA-2.D.2 Se puede utilizar tecnología para calcular o estimar el valor de la derivada de una función en un punto.
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No siempre tiene una fórmula. Cuando una función está dada por una tabla o una gráfica, estime la derivada $f'(a)$ con un cociente de diferencias sobre un intervalo pequeño alrededor de $a$. Una tabla con valores a ambos lados de $a$ proporciona la mejor estimación:
$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
La tecnología (una calculadora) también puede estimar una derivada en un punto.
Habilidad de examen (aparece casi todos los años). Preguntas como "Aproxime $M'(7.5)$ usando la tasa de cambio promedio de $M$ sobre el intervalo $5 \le t \le 10$" piden exactamente este cociente de diferencias. Muestre la configuración:
$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
Se requiere crédito completo si se sustituyen los números y se incluyen las unidades correctas (unidades de salida por unidad de entrada), ya que provienen de modelos del mundo real.
Comprensión duradera (FUN-2): Reconocer que la derivada de una función también puede ser una función nos permite desarrollar conocimiento sobre los comportamientos relacionados de ambas.
Objetivo de aprendizaje FUN-2.A: Explicar la relación entre diferenciabilidad y continuidad.
FUN-2.A.1 Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. En particular, si un punto no pertenece al dominio de $f$, entonces tampoco pertenece al dominio de $f'$.
FUN-2.A.2 Una función continua puede dejar de ser diferenciable en un punto de su dominio.
Ejemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
Los límites laterales del cociente diferencial no son iguales, como en $f(x)=|x|$ en $x=0$.
La recta tangente es vertical y no tiene pendiente, como en $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.
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La diferenciabilidad es más fuerte que la continuidad. La relación clave:
Si $f$ es diferenciable en un punto, entonces $f$ es continua allí.
Así, la diferenciabilidad implica continuidad. Lo contrario es falso: una función continua puede dejar de ser diferenciable. Dos formas en que esto ocurre:
Un punto anguloso: los límites del cociente de diferencias izquierdo y derecho no coinciden, como con $f(x)=|x|$ en $x=0$.
Una tangente vertical: la pendiente es infinita (sin número real), como con $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.
Dos formas en que una función continua no es diferenciable: un punto anguloso y una tangente vertical
Además, un punto fuera del dominio de $f$ no puede estar en el dominio de $f'$. Use la contrapositiva en el examen: si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es diferenciable en $a$.
2.5
Regla de la Potencia
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones conocidas.
FUN-3.A.1 La aplicación directa de la definición de derivada y de reglas específicas puede utilizarse para calcular la derivada de funciones de la forma $f(x)=x^{r}$.
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Desde aquí usamos reglas en lugar de la definición de límite cada vez. La regla de la potencia maneja cualquier potencia de $x$:
$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
Funciona para potencias enteras, potencias negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) y raíces ($\sqrt{x}=x^{1/2}$): reescriba primero como una potencia, luego aplique la regla.
Explorar
Una función potencia y su pendiente creciente
y = ax³ + bx² + cx + d
La regla de la potencia$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ baja el exponente como factor. Para $x^3$, la pendiente crece rápidamente a medida que $x$ se aleja de 0 — la curva se vuelve más pronunciada.
2.6
Reglas de Constante, Suma, Diferencia y Múltiplo Constante
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones familiares.
FUN-3.A.2 Las sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones pueden derivarse utilizando las reglas de derivación.
FUN-3.A.3 La regla de la potencia combinada con las propiedades de suma, diferencia y múltiplo constante se puede utilizar para encontrar las derivadas de funciones polinómicas.
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Estas reglas le permiten derivar término a término:
Constante:$\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (una constante no cambia).
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.A: Calcular derivadas de funciones conocidas.
FUN-3.A.4 Pueden utilizarse reglas específicas para encontrar las derivadas de las funciones seno, coseno, exponencial y logarítmica.
Comprensión Duradera (LIM-3): El razonamiento basado en definiciones, teoremas y propiedades puede emplearse para determinar un límite.
Objetivo de Aprendizaje LIM-3.A: Interpretar un límite como una definición de la derivada.
LIM-3.A.1 En algunos casos, reconocer una expresión correspondiente a la definición de la derivada de una función cuya derivada se conoce ofrece una estrategia para determinar un límite.
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Aprenda estas cuatro derivadas fundamentales de memoria:
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
Note el signo negativo en la derivada del coseno, y que $e^{x}$ es su propia derivada.
Un límite que es realmente una derivada (LIM-3.A.1). A veces un límite es secretamente la definición de una derivada conocida. Si reconoce
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
para una función $f$ cuya derivada conoce, simplemente evalúe $f'(a)$. Por ejemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
Explorar
La forma de sen x (cuya pendiente es cos x)
y = asen(bx + c) + d
La derivada de $\sin x$ es $\cos x$: la pendiente de la curva seno es máxima donde el seno cruza cero y cero en sus picos. Observa la curva para sentir dónde su pendiente es pronunciada o plana.
2.8
Regla del Producto
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.
FUN-3.B.1 Las derivadas de productos de funciones diferenciables se pueden encontrar utilizando la regla del producto.
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La regla del producto como un rectángulo en crecimiento
El producto de dos funciones no se deriva multiplicando las derivadas. Use la regla del producto:
$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
"Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo." Ejemplo:
Las preguntas de examen a menudo construyen una nueva función a partir de piezas dadas, p. ej., $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, y le piden combinar reglas mientras leen valores de una tabla.
"Por abajo por la derivada de arriba, menos arriba por la derivada de por abajo, todo dividido por el cuadrado de por abajo." El orden importa debido al signo negativo, así que escriba el numerador con cuidado. Ejemplo:
$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$
2.10
Derivadas de tan x, cot x, sec x y csc x
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.B: Calcular derivadas de productos y cocientes de funciones diferenciables.
FUN-3.B.3 Reorganizar las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante mediante identidades permite la diferenciación utilizando las reglas de derivación.
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La regla del cociente: derivar una fracción
Las derivadas trigonométricas restantes no se memorizan por separado: las reescribe con identidades y aplica la regla del cociente (o del producto). Por ejemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, así que la regla del cociente da
$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
El mismo método (escribir $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) da $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ y $-\csc x\cot x$.
Derivadas de orden superior. Derivar $f'$ nuevamente da la segunda derivada$f''(x)$ (o $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – la tasa de cambio de la tasa de cambio. Una parte de examen como "Encuentre $k''(3)$" solo significa derivar dos veces y luego sustituir. También puede estimar una segunda derivada a partir de una tabla aplicando el método de tasa de cambio promedio a los valores de $f'$.
Ejemplo resuelto. Diferencia $f(x)=x^2\sin x$ usando la regla del producto$(uv)'=u'v+uv'$: toma $u=x^2$ ($u'=2x$) y $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), dando como resultado $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Lee siempre primero la estructura: un producto requiere la regla del producto, no la regla de la potencia aplicada por separado a cada factor.
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.C: Calcular derivadas de composiciones de funciones diferenciables.
FUN-3.C.1 La regla de la cadena proporciona un método para derivar funciones compuestas.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La regla de la cadena
La Unidad 2 diferencia funciones simples diferenciadas. La Unidad 3 diferencia funciones construidas dentro de otras funciones. La regla de la cadena 链式法则 diferencia una función compuesta 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivada de la función externa (dejando el interior intacto), multiplicada por la derivada del interior." La derivada interna $g'(x)$ es la parte que los estudiantes suelen olvidar, así que siempre pregúntese "¿qué es lo interno y cuál es su derivada?". Ejemplo:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
En notación leibniziana, con $y=f(u)$ y $u=g(x)$, la regla se escribe $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — el término intermedio $du$ parece "cancelarse". Las preguntas de examen a menudo proporcionan una tabla para $f$, $g$, $f'$, $g'$ y solicitan $h'(a)$ donde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evalúe $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ leyendo los valores.
Ejemplo resuelto. Derive $h(x)=(2x^2+1)^5$. La función externa es "(algo)$^5$", la interna es $2x^2+1$:
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.D: Calcular derivadas de funciones definidas implícitamente.
FUN-3.D.1 La regla de la cadena es la base de la derivación implícita.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Algunas curvas están definidas implícitamente — mediante una ecuación en $x$ e $y$ que no está despejada para $y$, como $x^2+y^2=25$. La diferenciación implícita 隐函数求导 encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$ previamente. Es simplemente la regla de la cadena, tratando a $y$ como una función de $x$.
El método: derive ambos lados con respecto a $x$; cada vez que derive un término con $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (la regla de la cadena); luego despeje algebraicamente $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:
Ejemplo resuelto. Encuentre la recta tangente al círculo $x^2+y^2=25$ en el punto $(3,4)$. De lo anterior, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ allí, por lo que la tangente es
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Observe que la tangente es perpendicular al radio, tal como promete la geometría — una buena verificación de sentido común.
Diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio
Habilidad de examen – "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este enunciado exacto aparece casi todos los años (por ejemplo, "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Dado que el objetivo está dado, debe mostrar cada paso algebraico con claridad: derive ambos lados, aplique las reglas del producto/cadena a los términos mixtos $xy$, agrupe todos los términos $\dfrac{dy}{dx}$ en un lado, factorice y divida. Una línea final correcta que omita el álgebra obtiene pocos puntos. Las partes subsiguientes suelen pedir la recta tangente, o dónde la tangente es horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, por lo tanto el numerador es $0$) o vertical (el denominador es $0$).
3.3
Diferenciación de Funciones Inversas
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y trigonométricas inversas.
FUN-3.E.1 La regla de la cadena y la definición de una función inversa pueden utilizarse para encontrar la derivada de una función inversa, siempre que dicha derivada exista.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Si $g$ es la función inversa 反函数 de $f$ (es decir, $f(g(x))=x$), la regla de la cadena vincula sus derivadas:
En palabras: la derivada de la inversa en un punto es el recíproco 倒数 de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Un escenario de examen común proporciona una tabla y un punto $(a,b)$ en $f$ (por lo tanto $(b,a)$ está en $g$), y luego pide $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
La función inversa es la imagen especular de la función en la recta y = x
Ejemplo resuelto. Suponga que $f(2)=5$ y $f'(2)=3$, y que $g$ es la inversa de $f$. Dado que $(2,5)$ está sobre $f$, el punto $(5,2)$ está sobre $g$, y
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Las gráficas de $f$ y $g$ son imágenes especulares a través de $y=x$, por lo que sus pendientes en puntos correspondientes son recíprocas.
Explorar
Una exponencial y su inversa, el logaritmo
y = a·e^(bx) + c
Las funciones inversas son imágenes especulares a través de $y=x$, y sus pendientes son recíprocas: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Donde una es pronunciada, su inversa es suave.
3.4
Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y funciones trigonométricas inversas.
FUN-3.E.2 La regla de la cadena aplicada con la definición de una función inversa, o la fórmula para la derivada de una función inversa, pueden utilizarse para encontrar las derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La misma idea da las derivadas de las funciones trigonométricas inversas 反三角函数. Las tres que debe conocer:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine estas con la regla de la cadena cuando la entrada sea ella misma una función, por ejemplo $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selección de Procedimientos para Calcular Derivadas
Syllabus
Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para el cálculo de derivadas. Se debe ofrecer a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo de derivadas.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Un tema de habilidad: las derivadas reales mezclan varias reglas, así que lea primero la estructura de la expresión, de afuera hacia adentro.
¿Es una suma? Derive término a término.
¿Un producto o cociente? Aplique esa regla, y espere usar la regla de la cadena internamente.
¿Una compuesta (algo dentro de algo)? Regla de la cadena.
¿Dada implícitamente? Diferenciación implícita.
Nombre la operación más externa, aplique su regla y recorra hacia adentro. El orden evita errores de signo y de contabilidad que cuestan puntos.
3.6
Cálculo de Derivadas de Orden Superior
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.
Objetivo de Aprendizaje FUN-3.F: Determinar derivadas de orden superior de una función.
FUN-3.F.1 Derivar $f'$ produce la segunda derivada $f''$, siempre que exista la derivada de $f'$; repetir este proceso genera derivadas de orden superior de $f$.
FUN-3.F.2 Las derivadas de orden superior se representan con diversas notaciones. Para $y = f(x)$, las notaciones para la segunda derivada incluyen $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Las derivadas de orden superior pueden denotarse como $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ o $f^{(n)}(x)$.
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Derivar $f'$ produce la segunda derivada 二阶导数$f''$; repetir esto genera derivadas de orden superior. Las notaciones:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente; impulsa la concavidad 凹凸性和 aceleración en unidades posteriores. Para encontrar $f''$ implícitamente, derive nuevamente la expresión para $\dfrac{dy}{dx}$ (con las reglas del cociente y la cadena), y luego sustituya $\dfrac{dy}{dx}$ de vuelta.
Explorar
Pendiente de la pendiente: la segunda derivada
y = ax³ + bx² + cx + d
Diferenciar nuevamente da la segunda derivada — la tasa a la que cambia la pendiente. Donde la pendiente de la tangente está aumentando, la curva se curva hacia arriba (cóncava hacia arriba).
3.6
Consejos de Examen
Use la regla de la cadena para funciones compuestas — derive la parte exterior, luego multiplique por la derivada de la parte interna (el factor más olvidado).
Para la diferenciación implícita, derive ambos lados con respecto a $x$ y adjunte $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que se derive $y$, luego despeje.
Obtenga la segunda derivada derivando dos veces (velocidad → aceleración).
Combine las reglas cuidadosamente en expresiones anidadas (cadena dentro de producto, etc.).
La gráfica de la función inversa es el reflejo en $y=x$; su pendiente es el recíproco de la original en el punto correspondiente.
Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.
Objetivo de Aprendizaje CHA-3.A: Interpretar el significado de una derivada en contexto.
CHA-3.A.1 La derivada de una función puede interpretarse como la tasa de cambio instantánea con respecto a su variable independiente.
CHA-3.A.2 La derivada se puede utilizar para expresar información sobre tasas de cambio en contextos aplicados.
CHA-3.A.3 La unidad para $f'(x)$ es la unidad de $f$ dividida por la unidad de $x$.
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Una vez que puedas calcular derivadas, las usas para describir el mundo real. La derivada $f'(x)$es la tasa de cambio instantánea de $f$ con respecto a su entrada. Leer y reportar esta tasa correctamente es una habilidad evaluada.
Las unidades importan. La unidad de $f'(x)$ es la unidad de $f$ dividida por la unidad de $x$. Si $C(t)$ es un número de acres y $t$ está en semanas, entonces $C'(t)$ está en acres por semana. En el examen, "Interpretar el significado de $g'(140)$ usando unidades correctas" requiere una oración completa: el valor, la cantidad, la palabra de tasa "por", y el momento. Por ejemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que en $x=140$, la cantidad está aumentando a razón de aproximadamente $2.3$ unidades por unidad de $x$."
4.2
Movimiento Rectilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.
Objetivo de Aprendizaje CHA-3.B: Calcular tasas de cambio en contextos aplicados.
CHA-3.B.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas de movimiento rectilíneo que involucran posición, rapidez, velocidad y aceleración.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Para una partícula que se mueve sobre una línea, tres funciones del tiempo están vinculadas mediante diferenciación:
En una gráfica de velocidad-tiempo, el área es el desplazamiento y la pendiente es la aceleración
posición$s(t)$;
velocidad$v(t)=s'(t)$ – con signo; su signo indica la dirección;
aceleración$a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Lecturas clave (partes frecuentes del examen):
La partícula está en reposo cuando $v(t)=0$.
Se mueve hacia la derecha/arriba cuando $v(t)>0$ y hacia la izquierda/abajo cuando $v(t)<0$; cambia de dirección donde $v$ cambia de signo.
La rapidez es $|v(t)|$. La rapidez está aumentando cuando $v$ y $a$ tienen el mismo signo (la partícula acelera), y disminuyendo cuando tienen signos opuestos.
Ejemplo resuelto. Una partícula se mueve con $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Entonces $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, así que está en reposo en $t=1$ y $t=3$, y cambia de dirección en cada uno. En $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (moviéndose a la izquierda) y $a(2)=6(2)-12=0$; justo después, $a>0$ mientras $v<0$, por lo que está desacelerando allí. Distingue cuidadosamente entre velocidad (tiene dirección) y rapidez (no la tiene) – el examen evalúa exactamente esta diferencia.
Una montaña rusa es cálculo que puedes sentir: la velocidad es la derivada de la posición, y la aceleración es la derivada de la velocidad
Explorar
La velocidad es la pendiente de la posición
y = ax³ + bx² + cx + d
Para el movimiento en línea recta, la velocidad es la derivada (pendiente) de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad. Desliza el punto para leer la velocidad instantánea.
Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.
Objetivo de Aprendizaje CHA-3.C: Interpretar tasas de cambio en contextos aplicados.
CHA-3.C.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas que involucran tasas de cambio en contextos aplicados.
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La misma idea de derivada modela cualquier cantidad cambiante: un tanque que se vacía, una población que se expande, una taza que se enfría. Siempre que un problema diga "la tasa a la que...", está describiendo una derivada. Lee las unidades para saber qué tasa de qué cantidad tienes, luego interpreta en contexto.
4.4
Introducción a Tasas Relacionadas
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de variación.
Objetivo de Aprendizaje CHA-3.D: Calcular tasas de variación relacionadas en contextos aplicados.
CHA-3.D.1 La regla de la cadena es la base para derivar variables en un problema de tasas de variación relacionadas con respecto a la misma variable independiente.
CHA-3.D.2 Otras reglas de diferenciación, como la regla del producto y la regla del cociente, también pueden ser necesarias para derivar todas las variables con respecto a la misma variable independiente.
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Tasas relacionadas: una escalera deslizándose
En un problema de tasas relacionadas, varias cantidades cambian juntas con el tiempo, y conoces algunas tasas pero quieres otra. El motor es la regla de la cadena: diferencia una relación con respecto al tiempo $t$. Cada variable se convierte en una función de $t$, por lo que cada derivada toma un factor "$\,/\,dt$". También pueden ser necesarias las reglas del producto y del cociente.
Un globo ascendente: las tasas relacionadas vinculan cómo cambian juntos el radio, el volumen y la altura
Comprensión perdurable (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.
Objetivo de aprendizaje CHA-3.E: Interpretar las tasas relacionadas en contextos aplicados.
CHA-3.E.1 La derivada puede utilizarse para resolver problemas de tasas relacionadas; es decir, encontrar la tasa a la que cambia una cantidad relacionándola con otras cantidades cuyas tasas de cambio son conocidas.
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Un procedimiento confiable – y una plantilla de crédito completo en el examen:
Nombra las variables y escribe las tasas dadas y la tasa desconocida (ej. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/día, encuentra $\dfrac{dV}{dt}$").
Escribe una ecuación que relacione las cantidades (a menudo una fórmula geométrica o de volumen).
Diferencia ambos lados con respecto a $t$ (regla de la cadena) – antes de sustituir números.
Sustituye los valores conocidos en el instante de interés, y resuelve para la tasa desconocida.
Indica la respuesta con unidades y el signo correcto (una cantidad decreciente tiene una tasa negativa).
Ejemplo resuelto. Se inyecta aire en un globo esférico de modo que su volumen crece a $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. ¿A qué ritmo crece el radio cuando $r=5\ \text{cm}$? Comienza con $V=\tfrac43\pi r^3$ y diferencia con respecto a $t$primero:
Sustituir $r=5$demasiado pronto es el error clásico – diferencia la relación general, luego sustituye.
Un globo inflando vincula dV/dt y dr/dt a través de la regla de la cadena
4.6
Linealidad Local y Linealización
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.
Objetivo de aprendizaje CHA-3.F: Aproximar un valor en una curva utilizando la ecuación de una recta tangente.
CHA-3.F.1 La recta tangente es la gráfica de una aproximación lineal local de la función cerca del punto de tangencia.
CHA-3.F.2 Para una aproximación por recta tangente, el comportamiento de la función cerca del punto de tangencia puede determinar si el valor de la recta tangente es una subestimación o una sobreestimación del valor correspondiente de la función.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Linealidad local y linealización
Cerca de un punto de tangencia, una curva suave se parece a su recta tangente – esto es linealidad local. Así, la recta tangente proporciona una aproximación lineal (linealización) de la función cerca de ese punto:
$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
Úsala para estimar $f$ en un $x$ cercano a $a$.
La recta tangente es la mejor aproximación lineal a la curva cerca del punto de tangencia
Ejemplo resuelto. Estima $\sqrt{4.1}$. Toma $f(x)=\sqrt{x}$ y $a=4$: $f(4)=2$ y $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ así que $f'(4)=\dfrac14$. Entonces $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (el valor verdadero es $2.0248\ldots$). Debido a que $\sqrt{x}$ es cóncava hacia abajo, la tangente queda por encima de la curva, por lo que esto es una ligera sobreestimación – justifica sobre/sub con el signo de $f''$.
Explorar
Aproximar una curva con su línea tangente
y = ax³ + bx² + cx + d
Linealidad local: cerca de un punto, una curva suave parece su línea tangente, por lo que la tangente proporciona una buena aproximación lineal de los valores cercanos.
4.7
Regla de L'Hôpital para Formas Indeterminadas
Syllabus
Comprensión duradera (LIM-4): La Regla de L'Hospital nos permite determinar los límites de algunas formas indeterminadas.
Objetivo de aprendizaje LIM-4.A: Determinar los límites de funciones que dan lugar a formas indeterminadas.
LIM-4.A.1 Cuando el cociente de dos funciones tiende a $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ en el límite, se dice que estas son formas indeterminadas.
Afirmación de exclusión: Existen muchas otras formas indeterminadas, como $\infty - \infty$, por ejemplo; sin embargo, estos no serán evaluados ni en el Examen AP Cálculo AB ni en el Examen AP Cálculo BC. No obstante, los docentes pueden incluir estos temas si el tiempo lo permite.
LIM-4.A.2 Los límites de las formas indeterminadas $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ pueden evaluarse mediante la Regla de L'Hospital.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Cuando la sustitución directa en un cociente de límites da la forma indeterminada$\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, puedes usar la Regla de L'Hôpital:
siempre que exista el límite del lado derecho. Diferencia el numerador y el denominador por separado (esto no es la regla del cociente), luego intenta el límite nuevamente. Primero confirma que la forma realmente sea $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar la regla a cualquier otra forma es un error.
Ejemplo resuelto. Evalúa $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. La sustitución da $\tfrac00$, así que diferencia arriba y abajo: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirmando el famoso límite de la Unidad 1.
4.7
Consejos para el Examen
En problemas de movimiento: la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad; la rapidez aumenta cuando la velocidad y la aceleración comparten un signo.
Para tasas relacionadas, diferencia la ecuación que relaciona las cantidades con respecto al tiempo, luego sustituye los valores dados al final.
Usa la recta tangente para una aproximación lineal cerca de un punto conocido; es precisa solo cerca de él.
Lee el signo de una tasa: positivo significa que las cantidades se mueven juntas, negativo significa opuesto.
Siempre indica las unidades e interpreta la respuesta en contexto.
Comprensión duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.
Objetivo de aprendizaje FUN-1.B: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Medio en un intervalo.
FUN-1.B.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un punto dentro de ese intervalo abierto donde la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio en dicho intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
The Mean Value Theorem
El Teorema del Valor Medio (TVM) vincula la tasa de cambio promedio con una instantánea:
Si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe al menos un punto $c$ en $(a,b)$ donde
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
En palabras: en algún lugar dentro del intervalo, la tasa instantánea es igual a la tasa promedio. Geométricamente, alguna línea tangente es paralela a la línea que une los extremos.
El Teorema del Valor Medio: alguna tangente es paralela a la secante sobre el intervalo
Habilidad de examen. Al igual que el TVI, el TVM es un teorema de existencia, y las preguntas te piden justificar. Para obtener la puntuación completa necesitas: (1) declarar que $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$; (2) calcular la tasa promedio $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) concluir "por el TVM existe un $c$ en $(a,b)$ con $f'(c)$ igual a ese valor". Ambas hipótesis deben ser nombradas.
Ejemplo resuelto. Verifica el TVM para $f(x)=x^2$ en $[1,3]$. Es un polinomio, por lo que es continuo y diferenciable en todas partes. La tasa promedio es $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Igualando $f'(c)=2c=4$ obtenemos $c=2$, lo cual efectivamente está en $(1,3)$: el punto garantizado.
Explorar
El Teorema del Valor Medio
y = ax³ + bx² + cx + d
El TVI garantiza un punto donde la tangente es paralela a la secante — la tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún lugar dentro del intervalo.
Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin localizar con precisión dicho comportamiento.
Objetivo de Aprendizaje FUN-1.C: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Extremo.
FUN-1.C.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Extremo garantiza que $f$ tiene al menos un valor mínimo y al menos un valor máximo en $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Un punto en una función donde la primera derivada es igual a cero o no existe es un punto crítico de la función.
FUN-1.C.3 Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos de una función, aunque no todos los puntos críticos son extremos locales.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La cima de una montaña reflejada en un lago: los extremos y puntos críticos marcan los valores más altos y más bajos
El Teorema del Valor Extremo (TVE) garantiza que existen extremos: una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ alcanza tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en él.
En un máximo o mínimo la derivada es cero
Un punto crítico es un punto interior donde $f'(x)=0$o$f'(x)$ no existe. Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos, pero no todos los puntos críticos son extremos. Por lo tanto, los puntos críticos son los candidatos; debe probar cada uno.
5.3
Increasing and Decreasing Intervals
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.1 La primera derivada de una función puede proporcionar información sobre la función y su gráfica, incluyendo los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La primera derivada indica dónde $f$ sube o baja:
$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$$f$ is increasing there;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ is decreasing.
En el examen, "encuentra los intervalos donde $f$ es creciente" significa: encuentra los puntos críticos, luego prueba el signo de $f'$ entre ellos, y justifica con el signo de $f'$ (una razón explícita, no solo un intervalo).
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.2 La primera derivada de una función puede determinar la ubicación de los extremos relativos (locales) de la función.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Para clasificar un punto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local o ninguno, verificar cómo cambia $f'$ de signo allí:
$f'$ changes $+$ hasta $-$ at $c$$\Rightarrow$local maximum;
$f'$ changes $-$ hasta $+$ at $c$$\Rightarrow$local minimum;
$f'$ hace no change sign $\Rightarrow$ neither.
Always state the sign change as your justification.
Ejemplo resuelto. Clasificar los puntos críticos de $f(x)=x^3-3x^2$. Aquí $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, cero en $x=0$ y $x=2$. Probando signos: $f'>0$ para $x<0$, $f'<0$ en $(0,2)$, y $f'>0$ para $x>2$. Por lo tanto, $f'$ cambia a $+\to-$ en $x=0$ (un máximo local, $f(0)=0$) y $-\to+$ en $x=2$ (un mínimo local, $f(2)=-4$).
Donde $f' > 0$ la gráfica sube y donde $f' < 0$ baja; un máximo local se sitúa donde $f'$ pasa de $+$ a $-$, un mínimo local donde pasa de $-$ a $+$.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.3 Los extremos absolutos (globales) de una función en un intervalo cerrado solo pueden ocurrir en puntos críticos o en los puntos extremos del intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
En un intervalo cerrado, los extremos absolutos (globales) ocurren solo en puntos críticos o extremos. La prueba de candidatos:
Listar todos los puntos críticos en $[a,b]$y los dos extremos.
Evaluación $f$ at each candidate.
La salida más grande es el máximo absoluto; la más pequeña es el mínimo absoluto.
Muestra la tabla de valores: la comparación es el argumento.
5.6
Concavity and Points of Inflection
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.4 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba (hacia abajo) en un intervalo abierto si la derivada de la función es creciente (decreciente) en ese intervalo.
FUN-4.A.5 La segunda derivada de una función proporciona información sobre la función y su gráfica, incluidos los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.
FUN-4.A.6 La segunda derivada de una función puede utilizarse para localizar puntos de inflexión en la gráfica de la función original.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El second derivative describes bending:
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$ es cóncava hacia arriba (curvándose como una taza; $f'$ es creciente);
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$ is concave down ($f'$ is decreasing).
Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia, es decir, donde $f''$ cambia de signo (no simplemente donde $f''=0$). Informe su coordenada $x$ y justifique con el cambio de signo de $f''$.
La concavidad proviene del signo de la segunda derivada; cambia en un punto de inflexión
Explorar
Donde cambia la concavidad
y = ax³ + bx² + cx + d
Concavidad es el signo de $f''$: cóncava hacia arriba retiene agua, cóncava hacia abajo la derrama. Un punto de inflexión es donde cambia.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.7 La segunda derivada de una función puede determinar si un punto crítico es la ubicación de un máximo o mínimo relativo (local).
FUN-4.A.8 Cuando una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo de su dominio y dicho punto crítico corresponde a un extremo relativo (local) de la función en ese intervalo, entonces ese punto crítico también corresponde al extremo absoluto (global) de la función en el intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una alternativa para clasificar un punto crítico $c$ donde $f'(c)=0$:
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$local minimum;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$local maximum;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ la prueba es inconclusa; volver a la prueba de la primera derivada.
Caso especial: si una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo y es un extremo local, ese punto también es el absoluto extremo allí.
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.9 Las características clave de las funciones y sus derivadas pueden identificarse y relacionarse con sus representaciones gráfica, numérica y analítica.
FUN-4.A.10 La información gráfica, numérica y analítica procedente de $f'$ y $f''$ puede usarse para predecir y explicar el comportamiento de $f$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Las características clave de $f$, $f'$ y $f''$ se reflejan mutuamente. Para dibujar o leer gráficos:
$f$ creciente $\Leftrightarrow$$f'$ sobre el eje; $f$ tiene un máximo local $\Leftrightarrow$$f'$ cruza de $+$ a $-$.
$f$ cóncava hacia arriba $\Leftrightarrow$$f'$ creciente $\Leftrightarrow$$f''$ sobre el eje; $f$ tiene un punto de inflexión $\Leftrightarrow$$f'$ tiene un extremo local $\Leftrightarrow$$f''$ cruza cero.
5.9
Connecting f, f-prime, and f-double-prime
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función en base al comportamiento de sus derivadas.
FUN-4.A.11 Las características clave de las gráficas de $f$, $f'$ y $f''$ están relacionadas entre sí.
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Esta es la habilidad de leer una gráfica para describir otra. Una configuración de examen muy común proporciona la gráfica de $f'$ y pregunta sobre $f$: ¿dónde es creciente $f$ (donde $f'>0$), dónde están los extremos de $f$ (donde $f'$ cruza cero, con un cambio de signo), dónde es cóncava hacia arriba $f$ (donde $f'$ es creciente)? Responde las preguntas sobre $f$ usando la altura y la pendiente de la gráfica de $f'$.
Explorar
Pendiente y curvatura desde el gráfico
y = ax³ + bx² + cx + d
Donde $f'>0$ la función asciende; donde $f''>0$ se curva hacia arriba. Desliza la tangente para vincular la forma de $f$ con los signos de sus derivadas.
5.10
Introduction to Optimization
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.B: Calcular valores mínimos y máximos en contextos aplicados o en el análisis de funciones.
FUN-4.B.1 La derivada puede usarse para resolver problemas de optimización; es decir, encontrar un valor mínimo o máximo de una función en un intervalo dado.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Optimisation: the best box
La optimización utiliza la derivada para encontrar el valor más grande o más pequeño de una cantidad en un intervalo. Es la maquinaria de candidatos/prueba de derivada aplicada a un objetivo real.
Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximize area for a fixed fence length
Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.
Objetivo de aprendizaje FUN-4.C: Interpretar valores mínimos y máximos calculados en contextos aplicados.
FUN-4.C.1 Los valores mínimo y máximo de una función adquieren significados específicos en contextos aplicados.
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A dependable procedure:
Escriba la cantidad a optimizar como función de una variable (utilice una ecuación de restricción para eliminar los términos adicionales).
State the interval of allowed inputs.
Encuentre los puntos críticos ($f'=0$ o no definidos) y pruébelos (prueba de la primera o segunda derivada, o prueba de candidatos si el intervalo es cerrado).
Responde la pregunta formulada, con unidades e interpretación en contexto: el máximo área, el mínimo costo, etc.
Ejemplo resuelto. Un agricultor tiene $100\ \text{m}$ de cerca para un corral rectangular contra una pared, por lo que solo tres lados necesitan valla. Maximiza el área. Sean $x$ los dos extremos y $y$ el lado paralelo a la pared; la restricción es $2x+y=100$, por lo tanto $y=100-2x$. El área es
Since $A''=-4<0$ this is a maximum, giving $y=50$ y $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
5.12
Behaviors of Implicit Relations
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.D: Determinar puntos críticos en relaciones implícitas.
FUN-4.D.1 Un punto en una relación implícita donde la primera derivada es igual a cero o no existe, constituye un punto crítico de la función.
Objetivo de Aprendizaje FUN-4.E: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función definida implícitamente basándose en evidencias provistas por sus derivadas.
FUN-4.E.1 Las aplicaciones de las derivadas pueden extenderse a funciones definidas implícitamente.
FUN-4.E.2 Las segundas derivadas que involucran diferenciación implícita pueden ser relaciones entre $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$.
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Todo esto se extiende a relaciones definidas implícitamente. Un punto crítico de una relación implícita es donde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) o es indefinido (tangente vertical). Dado que $\dfrac{dy}{dx}$ suele ser una relación en $x$y$y$, y la segunda derivada implica $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$, sustituye tu expresión de la primera derivada nuevamente al encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, luego razona sobre la concavidad a partir de su signo.
5.12
Consejos para el examen
$f'>0$ significa creciente, $f'<0$ decreciente; los candidatos para extremos son donde $f'=0$ o es indefinido.
Clasifique un punto crítico con el cambio de signo de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
$f''>0$ es cóncava hacia arriba, $f''<0$ cóncava hacia abajo; un punto de inflexión es donde cambia la concavidad ($f''$ cambia de signo).
Para un extremo absoluto en un intervalo cerrado, también verifique los extremos del intervalo.
Justifica cada conclusión citando el signo de $f'$ o $f''$: el examen exige el razonamiento, no solo la respuesta.
Comprensión duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-4.A: Interpretar el significado de las áreas asociadas con la gráfica de una tasa de cambio en su contexto.
CHA-4.A.1 El área de la región entre la gráfica de una función de tasa de cambio y el eje $x$ representa la acumulación de cambio.
CHA-4.A.2 En algunos casos, la acumulación de cambio puede evaluarse utilizando geometría.
CHA-4.A.3 Si una tasa de cambio es positiva (negativa) sobre un intervalo, entonces el cambio acumulado es positivo (negativo).
CHA-4.A.4 La unidad para el área de una región definida por una tasa de cambio es la unidad de la tasa de cambio multiplicada por la unidad de la variable independiente.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Un tanque de agua: la integración acumula el cambio: volumen total a partir de una tasa de flujo
La diferenciación encontró tasas. La integración invierte esta idea: dada una tasa de cambio, encuentra el cambio acumulado. La imagen clave: el área entre la gráfica de una función de tasa y el eje $x$ da la acumulación total.
Si la tasa es positiva durante un intervalo, el cambio acumulado es positivo; si es negativa, negativo. El área bajo el eje cuenta como negativa.
Las regiones simples (triángulos, rectángulos) pueden encontrarse con geometría.
Unidades: la unidad del área es la unidad de la tasa multiplicada por la unidad de entrada. Una tasa en vehículos por hora multiplicada por horas da vehículos.
6.2
Aproximación de áreas con sumas de Riemann
Syllabus
Comprensión perdurable (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse utilizando métodos geométricos y numéricos.
Objetivo de aprendizaje LIM-5.A: Aproximar una integral definida mediante métodos geométricos y numéricos.
LIM-5.A.1 Las integrales definidas pueden aproximarse para funciones representadas gráficamente, numéricamente, analíticamente y verbalmente.
LIM-5.A.2 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante una suma de Riemann izquierda, una suma de Riemann derecha, una suma de Riemann del punto medio o una suma trapezoidal; las aproximaciones pueden calcularse utilizando particiones uniformes o no uniformes.
LIM-5.A.3 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos numéricos, con o sin el uso de tecnología.
LIM-5.A.4 Según el comportamiento de una función, puede ser posible determinar si una aproximación para una integral definida es una subestimación o una sobreestimación del valor de la integral definida.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La integral como área (sumas de Riemann)Las sumas trapezoidales aproximan el área
Cuando el área exacta es difícil de calcular, approxímala con una suma de Riemann: divide el intervalo en subintervalos y suma las áreas de los rectángulos (o trapecios). Las cuatro estimaciones estándar:
Cada rectángulo tiene un área $f(x)\,\Delta x$; sumarlos estima el área y, a medida que las tiras se estrechan, la suma se aproxima a la integral definida.
Suma de Riemann Izquierda – la altura del rectángulo proviene del extremo izquierdo de cada subintervalo.
Suma de Riemann Derecha – la altura proviene del extremo derecho.
Suma de Riemann de Punto Medio – la altura proviene del punto medio 中点.
Suma Trapezoidal 梯形法 – promedia las dos alturas de los extremos (un trapecio).
Los subintervalos pueden ser uniformes (ancho igual) o no uniformes – lee los anchos de la tabla.
¿Sobreestimación o subestimación? Juzga según el comportamiento de la función: para una función creciente, una suma izquierda subestima y una suma derecha sobreestima; una suma trapezoidal sobreestima cuando la función es cóncava hacia arriba y subestima cuando es cóncava hacia abajo. Las partes del examen te piden indicar cuál es y por qué.
Ejemplo resuelto. Una tabla proporciona $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estima $\int_0^6 f(x)\,dx$ con una suma de Riemann derecha de tres subintervalos iguales ($\Delta x=2$). Usa el extremo derecho de cada tira:
$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$
Dado que $f$ es creciente, esta suma derecha es una sobreestimación; la suma izquierda $2(3+5+8)=32$ sería una subestimación.
Explorar
Aproximar el área con rectángulos
y = ax³ + bx² + cx + d
Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos. Añade más rectángulos, más delgados, y la estimación converge hacia el integral definido exacto.
Comprensión Duradera (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos geométricos y numéricos.
Objetivo de Aprendizaje LIM-5.B: Interpretar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.
LIM-5.B.1 El límite de una suma de Riemana aproximante puede interpretarse como una integral definida.
LIM-5.B.2 Una suma de Riemann, que requiere una partición de un intervalo $I$, es la suma de productos, cada uno de los cuales es el valor de la función en un punto de un subintervalo multiplicado por la longitud de dicho subintervalo de la partición.
Objetivo de Aprendizaje LIM-5.C: Representar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.
LIM-5.C.1 La integral definida de una función continua $f$ sobre el intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, es el límite de las sumas de Riemann cuando los anchos de los subintervalos se acercan a 0. Es decir, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, donde $n$ es el número de subintervalos, $\Delta x_i$ es el ancho del $i$-ésimo subintervalo y $x_i^{*}$ es un valor dentro del $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Una integral definida puede traducirse al límite de una suma de Riemann relacionada, y el límite de una suma de Riemann puede escribirse como una integral definida.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
A medida que los anchos de los subintervalos se reducen a cero, la suma de Riemann se aproxima a un valor exacto – la integral definida 定积分:
Aquí $\Delta x_i$ es el ancho del subintervalo $i$ y $x_i^{*}$ un punto dentro de él. Por lo tanto, una integral definida es el límite de una suma de Riemann, y deberías poder traducir una en la otra.
6.4
El Teorema Fundamental del Cálculo y Funciones de Acumulación
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación y la integración.
Objetivo de Aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.
FUN-5.A.1 La integral definida puede utilizarse para definir nuevas funciones.
Ejemplos ilustrativos para FUN-5.A.1:$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Si $f$ es una función continua en un intervalo que contiene a $a$, entonces $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, donde $x$ está en el intervalo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El Teorema Fundamental del Cálculo
Una integral definida con un límite superior variable define una nueva función de acumulación 累积函数. El Teorema Fundamental del Cálculo 微积分基本定理 (primera parte) dice que la diferenciación deshace esta acumulación: si $f$ es continua, entonces
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$
Así que si $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, entonces $g'(x)=f(x)$ y $g''(x)=f'(x)$. Este es el motor detrás de las preguntas muy comunes "sea $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$".
La función de acumulación añade área firmada; el FTC dice que su derivada es f
Explorar
Acumular el área como una integral
y = ax³ + bx² + cx + d
Una función de acumulación$\int_a^x f(t)\,dt$ construye área firmada a medida que $x$ se mueve. El Teorema Fundamental dice que su derivada es simplemente $f(x)$.
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/
微积分基本定理
wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/
原函数
yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/
不定积分
bù dìng jī fēn
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/
积分常数
jī fēn cháng shù
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/
换元积分法
huàn yuán jī fēn fǎ
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/
多项式长除法
duō xiàng shì zhǎng chú fǎ
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/
配方法
pèi fāng fǎ
6.5
Comportamiento de las Funciones de Acumulación
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación y la integración.
Objetivo de aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.
FUN-5.A.3 Las representaciones gráficas, numéricas, analíticas y verbales de una función $f$ proporcionan información sobre la función $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Porque $g'(x)=f(x)$, todo lo del Unidad 5 se aplica a una función de acumulación usando la gráfica de $f$:
$g$ es creciente donde $f>0$ y decreciente donde $f<0$;
$g$ tiene un extremo local donde $f$cruza cero (con un cambio de signo);
$g$ es cóncava hacia arriba donde $f$ es creciente; los puntos de inflexión de $g$ ocurren donde $f$ tiene un extremo local.
Para obtener un valor de $g$, calcula el área firmada: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, sumando las áreas por encima del eje y restando las áreas por debajo.
6.6
Propiedades de las Integrales Definidas
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.
Objetivo de aprendizaje FUN-6.A: Calcular una integral definida utilizando áreas y propiedades de las integrales definidas.
FUN-6.A.1 En algunos casos, una integral definida puede evaluarse mediante el uso de geometría y la conexión entre la integral definida y el área.
FUN-6.A.2 Las propiedades de las integrales definidas incluyen la integral de una constante por una función, la integral de la suma de dos funciones, la inversión de los límites de integración y la integral de una función sobre intervalos adyacentes.
FUN-6.A.3 La definición de la integral definida puede extenderse a funciones con discontinuidades evitables o de salto.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Estas propiedades simplifican el cálculo y aparecen constantemente:
$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$
$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$
La última (dividir en un punto interior $c$) te permite construir una integral total a partir de piezas leídas en una gráfica.
6.7
El Teorema Fundamental y Evaluación de Integrales
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.
Objetivo de Aprendizaje FUN-6.B: Evaluar integrales definidas analíticamente mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.
FUN-6.B.1 Una primitiva (antiderivada) de una función $f$ es una función $g$ cuya derivada es $f$.
FUN-6.B.2 Si una función $f$ es continua en un intervalo que contiene a $a$, la función definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ es una primitiva de $f$ para $x$ en el intervalo.
FUN-6.B.3 Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y $F$ es una primitiva de $f$, entonces $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La segunda parte del Teorema Fundamental evalúa una integral definida utilizando una antiderivada 原函数. Si $F'=f$, entonces
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$
Así que: encuentra cualquier antiderivada $F$, luego resta sus valores en los dos límites. Así es como se calculan la mayoría de las integrales exactas. También da la visión del cambio neto: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, por lo que un valor inicial más el cambio acumulado da un valor posterior, por ejemplo $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.
Ejemplo resuelto. Evalúa $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Una antiderivada es $F(x)=x^2+x$, así que
Una integral definida es el área firmada entre la curva y el eje x
6.8
Antiderivadas e Integrales Indefinidas
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.
Objetivo de aprendizaje FUN-6.C: Determinar antiderivadas de funciones e integrales indefinidas, utilizando conocimientos sobre derivadas.
FUN-6.C.1$\int f(x)\,dx$ es una integral indefinida de la función $f$ y se puede expresar como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, donde $F'(x) = f(x)$ y $C$ es cualquier constante.
FUN-6.C.2 Las reglas de diferenciación proporcionan la base para encontrar antiderivadas.
FUN-6.C.3 Muchas funciones no poseen antiderivadas en forma cerrada.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una integral indefinida 不定积分 es la familia de todas las antiderivadas, escrita con una constante de integración 积分常数:
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$
Invierte cada regla de derivación para construir las antiderivadas básicas:
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$
6.9
Integración por Sustitución
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.
Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para integrandos que requieren sustitución o reordenamientos en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.
FUN-6.D.1 La sustitución de variables es una técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para una integral definida, la sustitución de variables requiere cambios correspondientes en los límites de integración.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
$u$-sustitución 换元积分法 invierte la regla de la cadena. Elige una función interna $u=g(x)$, así que $du=g'(x)\,dx$, y reescribe la integral completamente en términos de $u$:
Busca una función y su derivada presentes ambas. Para una integral definida, cambia los límites a valores $u$ o convierte de nuevo a $x$ antes de sustituir los límites originales.
Ejemplo resuelto. Evalúa $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. La función interna es $u=x^2$, cuya derivada $2x\,dx=du$ está presente, así que
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$
Detectar que $2x$ es exactamente $\dfrac{du}{dx}$ es todo el truco.
6.10
División Larga y Completar el Cuadrado
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.
Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para integrandos que requieren sustitución o reordenamiento en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.
FUN-6.D.3 Las técnicas para encontrar antiderivadas incluyen reordenamientos en formas equivalentes, como la división larga y la completación del cuadrado.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Dos movimientos algebraicos de preparación permiten que más integrales se ajusten a las formas básicas: división polinomial larga 多项式长除法 cuando el grado superior es $\ge$ el grado inferior de una función racional, y completar el cuadrado 配方法 para convertir un denominador cuadrático en una forma que se integra en una arcotangente o logaritmo.
6.14
Selección de Técnicas para la Antidiferenciación
Syllabus
Este tema tiene como objetivo centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para la antiderivación. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la antiderivación.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Un tema de habilidad: empareja la integral con un método. Prueba primero una antiderivada básica; busca una sustitución $u$ (una función interna cuya derivada también esté presente); usa álgebra (división, completar el cuadrado, dividir una fracción) para remodelar el integrando en una forma estándar. Nombrar la estructura primero evita esfuerzos desperdiciados.
6.14
Consejos para el examen
La integración es antidiferenciación; usa la regla de potencia$\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ y no olvides el $+C$.
El Teorema Fundamental conecta los dos: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, y $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxima una integral definida con sumas de Riemann o la regla trapezoidal a partir de una tabla de valores.
Una integral definida es un área firmada (por debajo del eje cuenta como negativa); divide en cambios de signo para el área total.
Usa sustitución u y recuerda cambiar los límites (o back-substitute) en consecuencia.
Modelización de situaciones con ecuaciones diferenciales
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de aprendizaje FUN-7.A: Interpretar enunciados verbales de problemas como ecuaciones diferenciales que involucran una expresión derivada.
FUN-7.A.1 Las ecuaciones diferenciales relacionan una función de una variable independiente y las derivadas de dicha función.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una ecuación diferencial 微分方程 es una ecuación que relaciona una función con sus propias derivadas. Describe una situación mediante su tasa de cambio. Por ejemplo, "la tasa de cambio de una cantidad es proporcional a su magnitud" se convierte en
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
Aprender a traducir una frase sobre una tasa en una ecuación diferencial es la primera habilidad de esta unidad.
7.2
Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de Aprendizaje FUN-7.B: Verificar soluciones a ecuaciones diferenciales.
FUN-7.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para verificar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.
FUN-7.B.2 Puede haber infinitas soluciones generales para una ecuación diferencial.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una solución 解 de una ecuación diferencial es una función que hace que esta sea verdadera. Puedes verificar una solución propuesta derivándola y sustituyéndola en la ecuación: si ambos lados coinciden, es una solución. Ten en cuenta que una ecuación diferencial suele tener infinitas soluciones –una familia entera– que difieren por una constante.
7.3
Esbozo de campos de pendientes
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de Aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.
FUN-7.C.1 Un campo de pendientes es una representación gráfica de una ecuación diferencial en un conjunto finito de puntos del plano.
FUN-7.C.2 Los campos de pendientes proporcionan información sobre el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Campos de pendientes y curvas de solución
Un campo de pendientes 斜率场 representa la ecuación diferencial como una cuadrícula de segmentos cortos: en cada punto $(x,y)$ el segmento tiene pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ evaluada allí. Para esbozarlo, sustituye varios puntos en el lado derecho y dibuja un pequeño segmento con esa pendiente en cada uno. La imagen muestra la forma de las curvas de solución sin resolverla.
Cada segmento corto tiene la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ en ese punto; una curva de solución pasa a través, manteniéndose tangente al campo.
Habilidad para el examen. Una parte común del examen proporciona una sección de un campo de pendientes y te pide esbozar la solución particular que pasa por un punto dado: comienza en el punto y sigue los segmentos, manteniéndote tangente a ellos.
Explorar
Leer una ecuación diferencial como un campo de pendientes
Un campo de pendientes dibuja la pendiente $dy/dx$ en cada punto. Una curva solución se abre paso, siempre tangente a los pequeños segmentos — puedes dibujarla siguiendo el flujo.
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/
分离变量法
fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/
通解
tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/
初始条件
chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/
特解
tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/
定义域限制
dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/
指数增长与衰减
zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn
7.4
Razonamiento utilizando campos de pendientes
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.
FUN-7.C.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones o familias de funciones.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Las soluciones de una ecuación diferencial son funciones o familias de funciones. Lee un campo de pendientes para razonar sobre el comportamiento: donde los segmentos son planos ($\tfrac{dy}{dx}=0$) la solución es momentáneamente horizontal; donde se inclinan más, la solución sube o baja más rápido; filas horizontales de igual pendiente sugieren que la tasa depende solo de $y$ (o solo de $x$).
7.6
Encontrar soluciones generales usando separación de variables
Syllabus
Comprensión duradera (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de aprendizaje FUN-7.D: Determinar soluciones generales de ecuaciones diferenciales.
FUN-7.D.1 Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante el método de separación de variables.
FUN-7.D.2 La antiderivación puede utilizarse para encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Muchas ecuaciones diferenciales del examen se resuelven mediante separación de variables 分离变量法. Si $\dfrac{dy}{dx}$ se factoriza como una función de $x$ multiplicada por una función de $y$, mueve todas las $y$ a un lado y todas las $x$ al otro, luego integra ambos lados:
Aplicando $y(0)=2$ se obtiene $A=2$, por lo que la solución particular es $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
Encontrar soluciones particulares usando condiciones iniciales y separación de variables
Syllabus
Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de Aprendizaje FUN-7.E: Determinar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.
FUN-7.E.1 Una solución general puede describir infinitas soluciones a una ecuación diferencial. Existe una única solución particular que pasa por un punto dado.
FUN-7.E.2 La función $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ es una solución particular de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, que satisface $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden estar sujetas a restricciones en su dominio.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una condición inicial 初始条件 –un punto conocido $(x_0,y_0)$– selecciona una única curva de la familia. Sustitúyela para resolver la constante $C$; el resultado es la solución particular 特解. Hay exactamente una solución que pasa por un punto dado. Presta atención a las restricciones del dominio 定义域限制: conserva la rama que contiene el punto inicial (por ejemplo, el signo correcto de una raíz cuadrada).
La constante da una familia de curvas; una condición inicial selecciona una
Modelos exponenciales con ecuaciones diferenciales
Syllabus
Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.
Objetivo de aprendizaje FUN-7.F: Interpretar el significado de una ecuación diferencial y sus variables en un contexto.
FUN-7.F.1 Aplicaciones específicas del hallazgo de soluciones generales y particulares a ecuaciones diferenciales incluyen el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento y decaimiento exponencial.
FUN-7.F.2 El modelo para el crecimiento y decaimiento exponencial que surge del enunciado "La tasa de cambio de una cantidad es proporcional al tamaño de la cantidad" es $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
Objetivo de aprendizaje FUN-7.G: Determinar soluciones generales y particulares para problemas que involucran ecuaciones diferenciales en un contexto.
FUN-7.G.1 El modelo de crecimiento y decaimiento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, con condición inicial $y = y_0$ cuando $t = 0$, tiene soluciones de la forma $y = y_0 e^{kt}$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
E. coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial de poblaciones
El modelo más importante es el crecimiento y decaimiento exponencial 指数增长与衰减. La ecuación $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (tasa proporcional a la magnitud) tiene la siguiente solución:
$$y = y_0\,e^{kt},$$
donde $y_0$ es el valor en $t=0$. Aquí $k>0$ indica crecimiento y $k<0$ indica decaimiento. Puedes derivarlo mediante separación de variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), y modela procesos como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton. Una parte posterior puede pedirte $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: deriva nuevamente $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (usando $\dfrac{dy}{dt}=ky$) para expresarlo en términos de $y$.
Ejemplo resuelto. Una muestra decae según $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (en años) partiendo de $y_0=50\ \text{g}$. La solución es $y=50e^{-0.10t}$, por lo que después de $10$ años $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Su vida media se resuelve con $25=50e^{-0.10t}$, es decir, $e^{-0.10t}=\tfrac12$, lo que da $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ –independiente de la cantidad inicial.
Una taza de café enfriándose: la ley de enfriamiento de Newton es un modelo clásico de ecuaciones diferenciales
Explorar
Un modelo de crecimiento/decayimiento exponencial
y = a·e^(bx) + c
La ecuación $dy/dt=ky$ tiene soluciones exponenciales: la cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, dando crecimiento ilimitado ($k>0$) o decayimiento hacia cero ($k<0$).
7.8
Consejos para el examen
Resuelve una ecuación separable agrupando todas las $y$ en un lado y todas las $x$ en el otro, luego integra ambos lados (añade $+C$ una sola vez).
Usa la condición inicial para encontrar $C$ (una solución particular).
Esboza o lee un campo de pendientes: los pequeños segmentos muestran $\tfrac{dy}{dx}$ en cada punto, y una curva de solución los sigue.
Comprensión duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-4.B: Determinar el valor promedio de una función utilizando integrales definidas.
CHA-4.B.1 El valor promedio de una función continua $f$ sobre un intervalo $[a, b]$ es $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El average value 平均值 de una función continua $f$ sobre $[a,b]$ es la integral dividida por la longitud del intervalo:
Es la altura constante de un rectángulo sobre $[a,b]$ con el mismo área bajo $f$. No lo confunda con la tasa de cambio promedio (que divide el cambio en $f$ entre el intervalo), ni con un promedio de suma de Riemann de unos pocos valores; el examen distingue estos conceptos cuidadosamente. Reporte las unidades en contexto (p. ej., la tasa promedio "en vehículos por hora").
Ejemplo resuelto. El valor promedio de $f(x)=x^2$ sobre $[0,3]$ es
El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su integral dividida por el ancho — la altura constante cuyo rectángulo tiene la misma área que la bajo la curva.
Posición, Velocidad y Aceleración Usando Integrales
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-4.C: Determinar valores de posición y tasas de cambio utilizando integrales definidas en problemas de movimiento rectilíneo.
CHA-4.C.1 Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre un intervalo de tiempo, la integral definida de la velocidad representa el desplazamiento de la partícula durante ese intervalo de tiempo, y la integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante dicho intervalo de tiempo.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La integración invierte los enlaces de movimiento de la Unidad 4. Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre $[t_1,t_2]$:
Desplazamiento 位移 (cambio neto en la posición) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Distancia total recorrida 总路程$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integre la velocidad, para que los cambios de dirección se sumen en lugar de cancelarse.
Posición en un tiempo posterior $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocidad a partir de la aceleración $= v(t_1)+\int a$.
La distinción entre desplazamiento y distancia (con el valor absoluto) es un punto clásico calificado.
8.3
Funciones de Acumulación e Integrales Definidas en Contextos Aplicados
Syllabus
Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-4.D: Interpretar el significado de una integral definida en problemas de acumulación.
CHA-4.D.1 Una función definida como una integral representa la acumulación de una tasa de cambio.
CHA-4.D.2 La integral definida de la tasa de cambio de una cantidad sobre un intervalo proporciona el cambio neto de dicha cantidad durante ese intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-4.E: Determinar el cambio neto utilizando integrales definidas en contextos aplicados.
CHA-4.E.1 La integral definida puede utilizarse para expresar información sobre acumulación y cambio neto en diversos contextos aplicados.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una función definida como una integral acumula un cambio de tasa. El teorema del cambio neto 净变化 es la herramienta cotidiana: la integral definida de una tasa sobre un intervalo da el cambio neto de la cantidad:
Entonces "cuánta agua hay en el tanque en $t=5$" = cantidad inicial + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Tenga cuidado con los signos (entrada menos salida) y las unidades. Muchos problemas de respuesta corta (FRQs) multietapa están construidos enteramente sobre esta idea, a menudo combinados con "escriba, pero no evalúe, una expresión integral que dé el total...".
8.4
Encontrar el Área Entre Curvas (Funciones de x)
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o el volumen sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.
CHA-5.A.1 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse con integrales definidas.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El área entre dos curvas $y=f(x)$ (superior) y $y=g(x)$ (inferior) sobre $[a,b]$ es:
La región sombreada va desde una intersección $a$ hasta la siguiente $b$; su área es $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.
8.5
Encontrar el Área Entre Curvas (Funciones de y)
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambio en el área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano mediante la integral definida.
CHA-5.A.2 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse utilizando funciones tanto de $x$ como de $y$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Algunas regiones son más fáciles de describir con rebanadas horizontales – integre respecto a $y$:
Elija rebanadas $x$ o $y$ para mantener un solo par superior/inferior (o derecha/izquierda) en toda la región.
8.6
Área Entre Curvas Con Más De Dos Intersecciones
Syllabus
Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o el volumen sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.
CHA-5.A.3 El área de ciertas regiones en el plano puede calcularse mediante una suma de dos o más integrales definidas, o bien evaluando la integral definida del valor absoluto de la diferencia entre dos funciones.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Si las curvas se cruzan más de dos veces, una función está arriba en parte de la región y la otra arriba en otra parte. Divida en una suma de integrales en cada cruce, o integre el valor absoluto de la diferencia:
$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Determine qué curva está más alta en cada subintervalo antes de escribir las integrales.
8.7
Volúmenes Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas utilizando integrales definidas.
CHA-5.B.1 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales cuadradas y rectangulares pueden determinarse mediante integrales definidas y las fórmulas de área correspondientes a estas figuras.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Un alfarero modelando un recipiente: sólidos de revolución son volúmenes formados al rotar una región plana
Si un sólido tiene una sección transversal 横截面 conocida perpendicular a un eje, su volumen es la integral del área de la sección transversal:
$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$
Para secciones transversales cuadradas con lado igual a la altura de la región $s(x)=f(x)-g(x)$, usa $A(x)=[s(x)]^2$; para un rectángulo de altura $k\cdot s(x)$, usa $A(x)=k\,[s(x)]^2$. La frase del examen "la base de un sólido... las secciones transversales son cuadrados/rectángulos" indica exactamente esto.
8.8
Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos
Syllabus
Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas mediante integrales definidas.
CHA-5.B.2 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales triangulares pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
CHA-5.B.3 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales semicirculares y otras geométricamente definidas pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
Ejemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
El volumen de un embudo cuyas secciones transversales son círculos puede encontrarse usando la fórmula del área de un círculo e integrales definidas (consulte Pregunta de Respuesta Extendida #5(b) del Examen AB de 2016).
El volumen de un sólido cuya área de sección transversal está definida mediante una función puede encontrarse usando la función de área conocida y una integral definida (consulte Pregunta de Respuesta Extendida #4(c) del Examen AB de 2009).
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Mismo método, diferente fórmula de área: para un triángulo 三角形 equilátero de lado $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; para un semicírculo 半圆 de diámetro $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Igualar la longitud clave de la figura a la longitud de la sección transversal de la región $s(x)$, luego integrar $A(x)$.
8.9
Volumen con el Método del Disco (Alrededor del eje x o y)
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.
CHA-5.C.1 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o del eje $y$ pueden obtenerse mediante el uso de integrales definidas con el método de los discos.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Sólidos de revolución: el método del disco
Al girar una región alrededor de un eje se forma un sólido de revolución. Si la región toca el eje, cada sección transversal es un disco de radio $r$ = el valor de la función:
$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$
Alrededor del eje $x$, $r=f(x)$ e integra en $x$; alrededor del eje $y$, expresa $x$ como una función de $y$ e integra en $y$.
El método de los discos: al rotar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x)
Ejemplo resuelto. Gire la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $x=0$ hasta $x=4$ respecto al eje $x$. Cada disco tiene radio $r=\sqrt{x}$, por lo tanto
Volumen con el Método del Disco (respecto a otros ejes)
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.
CHA-5.C.2 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical en el plano pueden determinarse mediante el uso de integrales definidas con el método de discos.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Alrededor de cualquier línea horizontal o vertical $y=k$ o $x=k$, el radio es la distancia desde la curva hasta dicha línea, por ejemplo, $r(x)=|f(x)-k|$. Establece el radio con cuidado y luego utiliza $V=\pi\int r^2$.
8.11 8.12
Volumen con el Método de las Arandelas
Syllabus
Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.
CHA-5.C.3 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o del eje $y$, cuyas secciones transversales tienen forma de anillo, pueden determinarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.
Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.
Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución mediante integrales definidas.
CHA-5.C.4 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical, cuyos secciones transversales son anulares, pueden determinarse utilizando integrales definidas con el método de los anillos.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Volumen mediante el método de las arandelas
Cuando la región no toca el eje, cada rebanada es una arandela (un anillo) con radio exterior $R$ y radio interior $r$:
$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$
$R$ es la distancia desde el eje hasta el límite más lejano y $r$ al más cercano. Alrededor de una línea que no sea un eje, ambos radios se miden como distancias a dicha línea – una variación muy común en los exámenes (por ejemplo, girando alrededor de $y=-2$).
El área entre curvas es $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encuentre los puntos de intersección para los límites y mantenga la resta de la función superior menos la inferior.
Para un volumen de revolución, sume las secciones transversales de disco/anillo de área $\pi r^2$ (o $\pi(R^2-r^2)$).
El valor promedio de $f$ sobre $[a,b]$ es $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
El cambio acumulado es $\int$ de una tasa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
La integración significa "sumar infinitas piezas pequeñas": configure el integrando como una fina rebanada.
