Ecuaciones Diferenciales

AP Cálculo AB · Tema 7

Lección de video para este tema Abrir la página de video

7.1

Modelización de situaciones con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.A: Interpretar enunciados verbales de problemas como ecuaciones diferenciales que involucran una expresión derivada.

FUN-7.A.1 Las ecuaciones diferenciales relacionan una función de una variable independiente y las derivadas de dicha función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una ecuación diferencial 微分方程 es una ecuación que relaciona una función con sus propias derivadas. Describe una situación mediante su tasa de cambio. Por ejemplo, "la tasa de cambio de una cantidad es proporcional a su magnitud" se convierte en

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Aprender a traducir una frase sobre una tasa en una ecuación diferencial es la primera habilidad de esta unidad.

7.2

Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.B: Verificar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para verificar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.
FUN-7.B.2 Puede haber infinitas soluciones generales para una ecuación diferencial.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una solución 解 de una ecuación diferencial es una función que hace que esta sea verdadera. Puedes verificar una solución propuesta derivándola y sustituyéndola en la ecuación: si ambos lados coinciden, es una solución. Ten en cuenta que una ecuación diferencial suele tener infinitas soluciones –una familia entera– que difieren por una constante.

7.3

Esbozo de campos de pendientes

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.1 Un campo de pendientes es una representación gráfica de una ecuación diferencial en un conjunto finito de puntos del plano.
FUN-7.C.2 Los campos de pendientes proporcionan información sobre el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Campos de pendientes y curvas de solución

Un campo de pendientes 斜率场 representa la ecuación diferencial como una cuadrícula de segmentos cortos: en cada punto $(x,y)$ el segmento tiene pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ evaluada allí. Para esbozarlo, sustituye varios puntos en el lado derecho y dibuja un pequeño segmento con esa pendiente en cada uno. La imagen muestra la forma de las curvas de solución sin resolverla.

Un campo de pendientes muestra dy/dx en cada punto; una curva de solución sigue los segmentos — Cada segmento corto tiene la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ en ese punto; una curva de solución pasa a través, manteniéndose tangente al campo.

Habilidad para el examen. Una parte común del examen proporciona una sección de un campo de pendientes y te pide esbozar la solución particular que pasa por un punto dado: comienza en el punto y sigue los segmentos, manteniéndote tangente a ellos.

Explorar

Leer una ecuación diferencial como un campo de pendientes

Un campo de pendientes dibuja la pendiente $dy/dx$ en cada punto. Una curva solución se abre paso, siempre tangente a los pequeños segmentos — puedes dibujarla siguiendo el flujo.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	分离变量法	fēn lí biàn liàng fǎ
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	通解	tōng jiě
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	特解	tè jiě
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	定义域限制	dìng yì yù xiàn zhì
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	指数增长与衰减	zhǐ shù zēng zhǎng yǔ shuāi jiǎn

7.4

Razonamiento utilizando campos de pendientes

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones o familias de funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las soluciones de una ecuación diferencial son funciones o familias de funciones. Lee un campo de pendientes para razonar sobre el comportamiento: donde los segmentos son planos ($\tfrac{dy}{dx}=0$) la solución es momentáneamente horizontal; donde se inclinan más, la solución sube o baja más rápido; filas horizontales de igual pendiente sugieren que la tasa depende solo de $y$ (o solo de $x$).

7.6

Encontrar soluciones generales usando separación de variables

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.D: Determinar soluciones generales de ecuaciones diferenciales.

FUN-7.D.1 Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante el método de separación de variables.
FUN-7.D.2 La antiderivación puede utilizarse para encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Muchas ecuaciones diferenciales del examen se resuelven mediante separación de variables 分离变量法. Si $\dfrac{dy}{dx}$ se factoriza como una función de $x$ multiplicada por una función de $y$, mueve todas las $y$ a un lado y todas las $x$ al otro, luego integra ambos lados:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Añade la constante de integración una sola vez (en el lado de $x$). Esto da la solución general 通解.

Ejemplo resuelto. Resuelve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con la condición inicial $y(0)=2$. Separa e integra:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Aplicando $y(0)=2$ se obtiene $A=2$, por lo que la solución particular es $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Encontrar soluciones particulares usando condiciones iniciales y separación de variables

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.E: Determinar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.E.1 Una solución general puede describir infinitas soluciones a una ecuación diferencial. Existe una única solución particular que pasa por un punto dado.
FUN-7.E.2 La función $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ es una solución particular de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, que satisface $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden estar sujetas a restricciones en su dominio.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una condición inicial 初始条件 –un punto conocido $(x_0,y_0)$– selecciona una única curva de la familia. Sustitúyela para resolver la constante $C$; el resultado es la solución particular 特解. Hay exactamente una solución que pasa por un punto dado. Presta atención a las restricciones del dominio 定义域限制: conserva la rama que contiene el punto inicial (por ejemplo, el signo correcto de una raíz cuadrada).

La constante da una familia de curvas; una condición inicial selecciona una

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
solution/səˈluːʃn/	解	jiě

7.8

Modelos exponenciales con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.F: Interpretar el significado de una ecuación diferencial y sus variables en un contexto.

FUN-7.F.1 Aplicaciones específicas del hallazgo de soluciones generales y particulares a ecuaciones diferenciales incluyen el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento y decaimiento exponencial.
FUN-7.F.2 El modelo para el crecimiento y decaimiento exponencial que surge del enunciado "La tasa de cambio de una cantidad es proporcional al tamaño de la cantidad" es $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.G: Determinar soluciones generales y particulares para problemas que involucran ecuaciones diferenciales en un contexto.

FUN-7.G.1 El modelo de crecimiento y decaimiento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, con condición inicial $y = y_0$ cuando $t = 0$, tiene soluciones de la forma $y = y_0 e^{kt}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

E. coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial de poblaciones

El modelo más importante es el crecimiento y decaimiento exponencial 指数增长与衰减. La ecuación $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (tasa proporcional a la magnitud) tiene la siguiente solución:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

donde $y_0$ es el valor en $t=0$. Aquí $k>0$ indica crecimiento y $k<0$ indica decaimiento. Puedes derivarlo mediante separación de variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), y modela procesos como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton. Una parte posterior puede pedirte $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: deriva nuevamente $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (usando $\dfrac{dy}{dt}=ky$) para expresarlo en términos de $y$.

Ejemplo resuelto. Una muestra decae según $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (en años) partiendo de $y_0=50\ \text{g}$. La solución es $y=50e^{-0.10t}$, por lo que después de $10$ años $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Su vida media se resuelve con $25=50e^{-0.10t}$, es decir, $e^{-0.10t}=\tfrac12$, lo que da $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ –independiente de la cantidad inicial.

Una taza de café enfriándose: la ley de enfriamiento de Newton es un modelo clásico de ecuaciones diferenciales

Explorar

Un modelo de crecimiento/decayimiento exponencial

y = a·e^(bx) + c

La ecuación $dy/dt=ky$ tiene soluciones exponenciales: la cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, dando crecimiento ilimitado ($k>0$) o decayimiento hacia cero ($k<0$).

7.8

Consejos para el examen

Resuelve una ecuación separable agrupando todas las $y$ en un lado y todas las $x$ en el otro, luego integra ambos lados (añade $+C$ una sola vez).
Usa la condición inicial para encontrar $C$ (una solución particular).
Esboza o lee un campo de pendientes: los pequeños segmentos muestran $\tfrac{dy}{dx}$ en cada punto, y una curva de solución los sigue.
Reconoce modelos exponenciales $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crecimiento/decaimiento).
Una ecuación diferencial da la pendiente; debes integrar para recuperar la función.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

Exámenes Anteriores

Más temas en AP Cálculo AB