Toán Nâng cao 1

Đối với một phương trình đa thức, các nghiệm liên quan đến các hệ số. Với $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta$:

Đối với một đa thức bậc ba $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta, \gamma$: Các tổng như $\sum\alpha$ và $\sum\alpha\beta$ là hàm đối xứng của các nghiệm (không thay đổi nếu hoán vị các nghiệm). Để tìm phương trình có nghiệm bị thay đổi theo cách đơn giản, hãy sử dụng phép thế (ví dụ, đặt $w = \alpha + 1$).

Ví dụ minh họa. Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta$. Tìm phương trình có nghiệm $\alpha + 1, \beta + 1$.

Ở đây $\alpha + \beta = 5$ và $\alpha\beta = 6$. Tổng mới là $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, và tích mới là $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Vậy phương trình mới là

Một hàm hữu tỉ là phân thức của hai đa thức. Khi tử số có bậc cao hơn mẫu số đúng một bậc, đồ thị sẽ có tiệm xiên (một đường xiên mà đường cong tiến tới); tìm nó bằng cách thực hiện phép chia. Bạn cũng cần biết cách liên hệ đồ thị của $y = f(x)$ với các đồ thị của $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ và $y = f(|x|)$. Tìm tập giá trị mà hàm số có thể nhận bằng cách sử dụng biệt thức, và xác định các điểm cực trị của nó.

Ví dụ minh họa. Tìm tiệm xiên của $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

Chia phân thức: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Vì $x \to \pm\infty$ phần dư là $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, nên đường cong tiến gần đến đường thẳng $y = x$ — đó là tiệm xiên.

Học các kết quả chuẩn:

Phương pháp sai số tính tổng chuỗi bằng cách triệt tiêu các số hạng ở giữa: nếu phân tích thành phân thức đơn giản, viết mỗi số hạng dưới dạng $f(r) - f(r+1)$, hầu hết mọi thứ sẽ triệt tiêu. Từ tổng đến $n$ số hạng, bạn có thể xác định xem chuỗi có hội tụ hay không và, nếu có, tìm tổng vô hạn của nó.

Ví dụ minh họa. Tìm $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.

Một ma trận là một khối số hình chữ nhật. Phép cộng ma trận cộng các phần tử ở vị trí tương ứng; bạn cũng có thể trừ và nhân các ma trận (phép nhân là hàng ⟨$\times$⟩ × cột). Ma trận không có mọi phần tử đều $0$, và ma trận đơn vị (hoặc ma trận đơn vị) $I$ giữ nguyên bất kỳ ma trận nào khi thực hiện phép nhân.

Đối với ma trận $2\times 2$ kích thước $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, định thức là $\det A = ad - bc$. Nếu $\det A \neq 0$ thì ma trận là không suy biến (ngược lại nó là ma trận suy biến), và ma trận nghịch đảo là

Đối với một tích, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Một ma trận $2\times 2$ có thể biểu diễn một biến đổi hình học của mặt phẳng — một phép quay, phép phản xạ, phép phóng to, co dãn hoặc phép trượt: định thức cho biết hệ số tỷ lệ diện tích, và một tích $AB$ có nghĩa là "thực hiện $B$, sau đó thực hiện $A$". Các điểm hoặc đường thẳng không di chuyển được gọi là điểm bất biến và đường thẳng bất biến.

Ví dụ minh họa. Tìm nghịch đảo của $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, do đó

Tọa độ cực xác định một điểm bằng khoảng cách $r$ từ gốc tọa độ và góc $\theta$. Chúng liên kết với tọa độ Descartes thông qua

Bạn nên vẽ phác thảo các đường cong cực đơn giản và tìm diện tích của một hình quạt với

Ví dụ minh họa. Chuyển phương trình cực $r = 4\cos\theta$ về dạng tọa Descartes.

Nhân cả hai vế với $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, do đó $x^2 + y^2 = 4x$. Hoàn thành bình phương cho ta $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, là một đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $(2, 0)$.

Trong ba chiều, một mặt phẳng có thể được viết dưới dạng $ax + by + cz = d$, hoặc $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, hoặc $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Ngoài tích vô hướng, còn có tích có hướng của hai véc-tơ:

điều này tạo ra một véc-tơ vuông góc với cả hai. Với tích vô hướng và tích có hướng, bạn có thể tìm khoảng cách, góc và nơi các đường thẳng và mặt phẳng giao nhau — bao gồm khoảng cách ngắn nhất giữa các đường chéo nhau.

Ví dụ minh họa. Tìm $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ cho $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ và $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Quy nạp toán học chứng minh một kết quả cho mọi số nguyên dương $n$ trong hai bước:

1. Trường hợp cơ sở: chứng minh kết quả đúng với $n = 1$.
2. Bước quy nạp: giả sử nó đúng với $n = k$, sau đó chứng minh đúng với $n = k + 1$.

Nếu cả hai bước đều thành công, kết quả đúng với mọi $n$. Thường thì đầu tiên bạn đưa ra một giả thuyết (một dự đoán hợp lý) từ vài trường hợp, sau đó xác nhận nó bằng chứng minh quy nạp.

Quy nạp toán học giống như sôđô-mi-nô: trạng thái cơ sở khiến viên đầu tiên ngã, và bước quy nạp khiến mỗi viên làm ngã viên tiếp theo — do đó kết quả đúng với mọi n.

Ví dụ minh họa. Chứng minh rằng $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.

Trường hợp cơ sở $n = 1$: vế trái là $1$ và vế phải là $\tfrac12(1)(2) = 1$. Đúng. Bước quy nạp: giả sử $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Khi đó

Đây là công thức với $n = k + 1$, do đó theo quy nạp, nó đúng với mọi $n$.

• Sử dụng mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số (tổng, tổng các cặp, tích) thay vì giải đa thức.
• Đối với chứng minh bằng quy nạp, trình bày trường hợp cơ sở, giả sử kết quả đúng với $n = k$, chứng minh đúng với $n = k+1$, và viết một câu kết luận rõ ràng.
• Vẽ phác thảo đồ thị hàm phân thức với các tiệm cận và điểm cực trị; sử dụng phương pháp sai số cho phép tính tổng.
• Đối với ma trận, hãy nhớ định thức, nghịch đảo và các đường thẳng bất biến, và diễn giải từng biến đổi một cách hình học.