เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 4: ความน่าจะเป็นและสถิติเพิ่มเติม ซึ่งเพิ่มการแจกแจงต่อเนื่อง การอนุมานจากตัวอย่างขนาดเล็ก การทดสอบ chi-squared และการทดสอบ non-parametric รวมถึงฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นและสถิติเพิ่มเติม
Further Mathematics A-Level · หัวข้อ 4
8:08
ความน่าจะเป็นและสถิติเพิ่มเติม
เดลินบ์, สิบเก้า-โอ-เอท. ภายในโรงงานเบียร์กินเนสส์ นักเคมีหนุ่มชื่อ วิลเลียม กอสเซต กำลังเผชิญกับปัญหาเชิงปฏิบัติมาก เขาสามารถทดสอบเพียงไม่กี่ล็อตของ…
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
4.1
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ใช้ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ซึ่งอาจกำหนดแบบแบ่งช่วง | |
| ใช้ผลลัพธ์ทั่วไป $\text{E}(g(X)) = \int f(x)g(x) \, \mathrm{d}x$ เมื่อ $f(x)$ เป็น ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง $X$ และ $g(X)$ เป็นฟังก์ชันของ $X$ | |
| เข้าใจและใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) กับ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) และใช้ทั้งสองอย่างเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นหรือเปอร์เซ็นไทล์ | |
| ใช้ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDFs) ของตัวแปรที่เกี่ยวข้องในกรณีง่าย | เช่น ให้ CDF ของตัวแปร $X$ หา CDF ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง $Y$ และดังนั้นจึงได้ PDF ของมัน เช่น เมื่อ $Y = X^3$ |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ตัวแปรต่อเนื่อง $X$ อธิบายได้ด้วย ฟังก์ชันความหนาของความน่าจะเป็น $f(x)$ ซึ่งอาจกำหนดเป็นpiecewise. ความน่าจะเป็นในช่วงหนึ่งคือพื้นที่ใต้ $f$, และค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันใดๆ ของ $X$ คือ
$$E(g(X)) = \int g(x)\,f(x)\,dx.$$
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม $F(x) = P(X \leqslant x)$ คือผลรวมสะสม: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, และ $f(x) = F'(x)$. ใช้ $F$ เพื่อหาความน่าจะเป็นและ เปอร์เซ็นไทล์ (เช่น ค่ามัธยฐาน แก้สมการ $F(x) = 0.5$).
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ตัวแปรหนึ่งมี $f(x) = \tfrac12 x$ สำหรับ $0 \leqslant x \leqslant 2$. จงหาค่ามัธยฐาน
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมคือ $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. ตั้ง $F(m) = 0.5$:
$$\tfrac14 m^2 = 0.5 \;\Rightarrow\; m^2 = 2 \;\Rightarrow\; m = \sqrt{2} = 1.41.$$
การแจกแจงของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง. ถ้า $Y=g(X)$, จงหาการแจกแจงของ $Y$ ผ่านฟังก์ชันสะสมของมัน. สำหรับ $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, แล้วหาอนุพันธ์เพื่อได้ $f_Y=F_Y'$. เมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่าง monotonic จะมีวิธีลัดคือ $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. เมื่อ $f_X(x)=\tfrac12 x$ บน $[0,2]$ (ดังนั้น $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), ให้ $Y=X^2$. สำหรับ $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, ดังนั้น $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – นั่นคือ $Y$ มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบน $[0,4]$.
สำรวจ
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่น
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | percentiles |
| median/ˈmiːdiːən/ | มัธยฐาน |
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | การทดสอบสมมติฐาน |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | confidence interval |
4.2
การอนุมานโดยใช้การแจกแจงnormalและt
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ตั้งสมมติฐานและใช้ การทดสอบสมมติฐาน เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากร โดยใช้ตัวอย่างเล็กที่สุ่มมาจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนไม่ทราบค่า โดยใช้ t-test | |
| คำนวณ ค่าประมาณรวม ของความแปรปรวนประชากรจากตัวอย่างสองชุด | อาจต้องการการคำนวณจากข้อมูลดิบหรือข้อมูลที่สรุปแล้ว |
| ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร และใช้ตามความเหมาะสม: - t-test สำหรับตัวอย่าง 2 ชุด - t-test สำหรับตัวอย่างคู่ - การทดสอบที่ใช้ การแจกแจงปกติ | คาดหวังว่าผู้เรียนจะสามารถเลือกการทดสอบที่เหมาะสมกับสถานการณ์ของปัญหา |
| กำหนด ช่วงความเชื่อมั่น สำหรับค่าเฉลี่ยประชากร โดยอ้างอิงจากตัวอย่างเล็กจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนไม่ทราบค่า โดยใช้ การแจกแจง t | |
| กำหนด ช่วงความเชื่อมั่น สำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร โดยใช้ การแจกแจง t หรือ การแจกแจงปกติ ตามความเหมาะสม |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เมื่อตัวอย่างมีขนาดเล็กและความแปรปรวนของประชากรไม่ทราบ ให้ใช้การทดสอบสมมติฐานบนการแจกแจง $t$ แทนที่จะเป็นnormal. แนวคิดเดียวกันนี้ให้ ช่วงความเชื่อมั่น สำหรับค่าเฉลี่ย:
$$\bar{x} \pm t\,\frac{s}{\sqrt{n}},$$
ซึ่ง $t$ มาจากตาราง $t$ ที่มี $n - 1$ องศาแห่งอิสรภาพ. เพื่อเปรียบเทียบประชากรสองกลุ่ม ให้ใช้การทดสอบ สองตัวอย่าง (two-sample) (2-sample) หรือการทดสอบ คู่ (paired-sample) $t$-test หลังจากหาค่าประมาณความแปรปรวนรวม (pooled estimate) ของความแปรปรวนร่วมกันเมื่อจำเป็นแล้ว.
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. ตัวอย่างขนาด $n = 10$ มีค่าเฉลี่ย $\bar{x} = 50$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $s = 4$. จงหาช่วงความเชื่อมั่น $95\%$ สำหรับค่าเฉลี่ย (ใช้ $t = 2.262$ สำหรับ $9$ degrees of freedom).
$$50 \pm 2.262\times\frac{4}{\sqrt{10}} = 50 \pm 2.86 \;\Rightarrow\; (47.1,\ 52.9).$$
สำรวจ
ทำไมตัวอย่างขนาดเล็กจึงต้องใช้ t แทน z
เมื่อ $\sigma$ ไม่ทราบใช้ $t$ และ $t$ มีหางหนากว่าปกติ (วาดด้วยเส้นประอยู่เบื้องหลัง) — ดังนั้นค่าวิกฤตจึง มากกว่า และช่วงมีความกว้างกว่า ที่ $9$ Degrees of freedom ของตัวอย่างที่คำนวณ Widget อ่านค่าได้ $t^* = 2.262$ ตรงกับค่าในตารางที่ใช้อ้างอิงข้างต้น ลาก df ขึ้นไปและ $t$ จะซ้อนทับกับกราฟปกติ
สำรวจ
การแจกแจงปกติ
แรเงาหางเพื่อหาค่าความน่าจะเป็น — เป็นพื้นฐานของช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบสมมติฐาน
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | ประมาณการรวม |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | ระดับอิสระ |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | ความเหมาะสมของการแจกแจง (goodness of fit) |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | ความเป็นอิสระ |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | ตารางความถี่ร่วม |
4.3
การทดสอบ Chi-squared
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ปรับการแจกแจงทางทฤษฎีตามสมมติฐานที่กำหนดให้เข้ากับข้อมูลที่ได้รับ | ข้อสอบจะไม่要求进行 lengthy calculations (การคำนวณที่ยาวนาน). |
| ใช้การทดสอบ $\chi^2$ ด้วยจำนวนองศาอิสระที่เหมาะสม เพื่อทำการวิเคราะห์ ความเหมาะสมของการปรับให้เข้ากัน (goodness of fit) | ควรรวมกลุ่มเพื่อให้ค่าความถี่ที่คาดหวังของแต่ละกลุ่มมีอย่างน้อย 5. |
| ใช้การทดสอบ $\chi^2$ ด้วยจำนวนองศาอิสระที่เหมาะสม เพื่อตรวจสอบความเป็นอิสระใน ตารางความถ่วง (contingency table). | ไม่จำเป็นต้องใช้การแก้ไขของ Yates. หากจำเป็น ให้รวมแถวหรือคอลัมน์เพื่อให้ค่าความถี่ที่คาดหวังในแต่ละเซลล์มีอย่างน้อย 5. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
การทดสอบ $\chi^2$ (chi-squared test) เปรียบเทียบจำนวนสังเกตได้ $O$ กับจำนวนคาดหวัง $E$ จาก การแจกแจงทฤษฎี:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}.$$
เปรียบเทียบกับค่าในตารางสำหรับจำนวน degrees of freedom ที่ถูกต้อง. ใช้งานสองแบบ: การทดสอบ ความเหมาะสมของการจัดวาง (ข้อมูลสอดคล้องกับโมเดลที่เสนอหรือไม่?) และการทดสอบ ความเป็นอิสระ ของตัวแปรสองตัวใน ตารางถ่วงน้ำหนัก
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. สี่หมวดหมู่ที่มีความน่าเท่ากันให้จำนวนสังเกตได้ $20, 30, 25, 25$ (ดังนั้นจำนวนคาดหวังแต่ละอันคือ $25$). ทดสอบความเหมาะสมที่ระดับ $5\%$
$$\chi^2 = \frac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \frac{25 + 25}{25} = 2.$$
ด้วย $4 - 1 = 3$ degrees of freedom ค่าในตารางคือ $7.815$. เนื่องจาก $2 < 7.815$, ไม่ปฏิเสธโมเดล
สำรวจ
การแจกแจง chi-squared และหาง 5%
ตัวอย่างที่คำนวณหน้านี้เป็น $\chi^2 = 2$ กับ $3$ Degrees of freedom เทียบกับค่าในตาราง $7.815$ — Widget นี้ทำซ้ำทั้งสองอย่าง ลาก df เพื่อดูว่าค่าวิกฤตเปลี่ยนตามจำนวนหมวดหมู่อย่างไร
สำรวจ
เส้นทางทดสอบ Chi-squared
ติดตามจำนวนสังเกตและจำนวนคาดหวังไปสู่การตัดสินใจทดสอบ
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| chi-squared test/kaɪ skweəd test/ | การทดสอบchi-squared |
| theoretical distribution/θɪəˈretɪkl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | การแจกแจงทฤษฎี |
4.4
การทดสอบ Non-parametric
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจแนวคิดของการ ทดสอบแบบไม่มีพารามิเตอร์ และตระหนักถึงสถานการณ์ที่การทดสอบเช่นนี้อาจเป็นประโยชน์ | เช่น เมื่อสุ่มตัวอย่างจากประชากรที่ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีการแจกแจงแบบปกติ. |
| เข้าใจพื้นฐานของ การทดสอบเครื่องหมาย (sign test), การทดสอบ Wilcoxon แบบลงอันดับ (Wilcoxon signed-rank test) และ การทดสอบ Wilcoxon แบบรวมอันดับ (Wilcoxon rank-sum test) | รวมถึงความรู้ว่าการทดสอบของ Wilcoxon จะใช้ได้กับเฉพาะการแจกแจงแบบสมมาตรเท่านั้น. |
| ใช้ การทดสอบเครื่องหมาย แบบตัวอย่างเดียวและ การทดสอบ Wilcoxon แบบลงอันดับ แบบตัวอย่างเดียว เพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับ มัธยฐาน ของประชากร | รวมถึงการใช้ค่าประมาณด้วยฟังก์ชันปกติเมื่อเหมาะสม ข้อสอบจะไม่涉及 tied ranks (อันดับซ้ำ) หรือค่าสังเกตที่เท่ากับค่ามัธยฐานของประชากรที่กำลังทดสอบ. |
| ใช้ การทดสอบเครื่องหมาย แบบคู่, การทดสอบ Wilcoxon แบบจับคู่ (Wilcoxon matched-pairs signed-rank test) และ การทดสอบ Wilcoxon แบบรวมอันดับ ตามความเหมาะสม เพื่อทดสอบว่าประชากรมีเอกลักษณ์เดียวกันหรือไม่ | รวมถึงการใช้ค่าประมาณด้วยฟังก์ชันปกติเมื่อเหมาะสม ข้อสอบจะไม่涉及 tied ranks (อันดับซ้ำ) หรือคู่ที่มีค่าต่างกันเป็นศูนย์. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
การทดสอบแบบไม่พารามิเตอร์ (non-parametric test) ไม่สมมติฐานว่าข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ดังนั้นจึงมีประโยชน์เมื่อสมมติฐานดังกล่าวไม่เป็นจริง การทดสอบพื้นฐานมีดังนี้:
- การทดสอบเครื่องหมาย (sign test): นับจำนวนค่าที่อยู่เหนือและต่ำกว่ามัธยฐานที่เสนอ แล้วทดสอบจำนวนเหล่านั้นด้วยโมเดลทวินาม;
- การทดสอบWilcoxon signed-rank (การทดสอบคู่จับคู่สำหรับข้อมูลที่จับคู่กัน) ซึ่งใช้ขนาดของความแตกต่างไม่ใช่เพียงเครื่องหมายของความแตกต่าง;
- การทดสอบWilcoxon rank-sum สำหรับเปรียบเทียบตัวอย่างอิสระสองกลุ่ม
ตัวอย่างฝึกหัด. ทดสอบว่ามัธยฐานเป็น $5$ หรือไม่ ในตัวอย่าง $10$ ค่า (ไม่มีค่าเท่ากับ $5$), มี $9$ ค่าอยู่ เหนือ $5$ และมี $1$ ค่าอยู่ด้านล่าง ทดสอบที่ระดับ $5\%$ (สองหาง).
ภายใต้ $H_0$ (มัธยฐาน $= 5$) จำนวนค่าที่อยู่เหนือจะปฏิบัติตาม $B(10, 0.5)$. ผลลัพธ์ที่สังเกตได้ ($9$ ค่าอยู่เหนือ) เป็นค่าสุดขั้ว ดังนั้นให้หา $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. สำหรับการทดสอบสองหาง ให้เปรียบเทียบกับ $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. เนื่องจาก $0.0107 < 0.025$, ปฏิเสธ $H_0$: มีหลักฐานว่ามัธยฐานไม่ใช่ $5$.
สำรวจ
ผู้เลือกการทดสอบแบบไม่มีพารามิเตอร์
เลือกการทดสอบที่อาศัยอันดับที่ตรงกับสถานการณ์ข้อมูล
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| non-parametric test/nɒn ˌpærəˈmetrɪk test/ | การทดสอบแบบไม่พารามิเตอร์ |
| sign test/saɪn test/ | sign test |
| Wilcoxon signed-rank test/ˈwɪlkɒksn saɪnd ræŋk test/ | การทดสอบ Wilcoxon signed-rank |
| Wilcoxon rank-sum test/ˈwɪlkɒksn ræŋk sʌm test/ | การทดสอบ Wilcoxon rank-sum |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น |
| Further Probability & Statistics/ˈfɜːðə ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | ความน่าจะเป็นและสถิติเพิ่มเติม |
4.5
ฟังก์ชันสร้างโอกาส (probability generating functions)
หลักสูตร
| ผู้เข้าสอบควรสามารถ: | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| เข้าใจแนวคิดของ ฟังก์ชันสร้าง peluang (PGF) และสร้างและใช้ PGF สำหรับการแจกแจงที่กำหนดให้ | รวมถึงการแจกแจงแบบสม่ำเสมอแบบไม่ต่อเนื่อง, แบบไบนอม, แบบเรขาคณิต และแบบปอยซง. |
| ใช้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในรูปของ PGF และใช้สูตรเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจง peluangที่กำหนดให้ | |
| ใช้ผลลัพธ์ที่ว่า PGF ของผลบวกของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระต่อกันคือผลคูณของ PGF ของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ฟังก์ชันสร้างโอกาสของตัวแปรไม่ต่อเนื่อง $X$ คือ
$$G(t) = E(t^X) = \sum_x P(X = x)\,t^x.$$
มันรวมการแจกแจงทั้งหมดไว้ในฟังก์ชันเดียว ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนหาได้จากอนุพันธ์ที่ $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ และ $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. นอกจากนี้ PGF ของผลรวมของตัวแปรอิสระคือผลคูณของ PGF ของตัวแปรเหล่านั้น
ตัวอย่างฝึกหัด. $X$ มี $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. หา $E(X)$ โดยใช้ PGF.
ที่นี่ $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, ดังนั้น $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ และ
$$E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7.$$
สำรวจ
ห้องปฏิบัติการฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
เปลี่ยน x และดูว่า PGF เก็บความน่าจะเป็นในกำลังของ x อย่างไร
4.5
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- สำหรับ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง, pdf จะอินทิเกรตได้ $1$ ในช่วงของตัวแปร, และ $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
- ใช้ การแจกแจง$t$ เมื่อตัวอย่างมีขนาดเล็กและความแปรปรวนของประชากรไม่ทราบ; ระบุองศาอิสระ
- สำหรับการทดสอบ chi-squared คำนวณ $\sum (O-E)^2/E$, เปรียบเทียบกับค่าวิกฤตที่องศาอิสระทางขวา, และ รวมคลาสที่มี $E < 5$
- ระบุ $H_0$ และ $H_1$ และให้ข้อสรุป ในบริบท สำหรับทุกการทดสอบ
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที