AP Calculus BC

Советы

AP Calculus BC включает всё содержание AB и добавляет параметрические, полярные и векторно-значные функции, методы интегрирования повышенного уровня, несобственные интегралы, логистический рост и — самое значительное расширение — бесконечные последовательности и ряды, включая ряды Тейлора и Маклорена с оценками погрешности.

Ряды — это ключ к успеху или неудаче в BC. Критерии сходимости нужно выбирать, а не проверять последовательно: увидев ряд, вы должны за секунды определить, какой критерий здесь применим, и уметь назвать его и проверить условия.

BC также отображает отдельный подсчёт результатов по AB, поэтому материал AB остаётся полностью экзаменационным и не должен быть упущен.

Конспекты охватывают материалы AB и BC в соответствии с CED (Curriculum and Exam Description), выделяя рядам достаточно места. В библиотеке находятся официальные прошлые варианты. Поскольку подсчёт по AB основан на том же варианте, разделы AB включены в конспекты в полном объёме, а не сокращены.

Тренировать всю лексику

Архив экзаменационных работ

Пределы и непрерывность

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

1.1

Введение в математический анализ: может ли изменение происходить в один мгновенный момент?

Программа

Принцип (CHA-1): Математический анализ позволяет обобщить знания о движении для решения разнообразных задач, связанных с изменениями.

Цель обучения CHA-1.A: Интерпретировать скорость изменения в конкретный момент времени через средние скорости изменения на интервалах, содержащих этот момент.

CHA-1.A.1 Математический анализ использует пределы для понимания и моделирования динамических изменений.
CHA-1.A.2 Поскольку средняя скорость изменения представляет собой отношение изменения одной переменной к изменению другой, средняя скорость изменения не определена в точке, где изменение независимой переменной равно нулю.
CHA-1.A.3 Понятие предела позволяет определить мгновенную скорость изменения через средние скорости изменения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Математический анализ — это математика изменений и накопления. Он отвечает на два главных вопроса: как быстро что-то меняется прямо сейчас и сколько накопилось к данному моменту? Раздел 1 строит тот самый инструмент, на котором основаны оба этих вопроса, — предел.

Начните с задачи. Спидометр автомобиля показывает $60$ км/ч. Что это означает в один конкретный миг? Скорость — это расстояние, деленное на время. Но за один миг не проходит времени и не проходится расстояния, поэтому дробь выглядит как $\tfrac{0}{0}$ – неопределенность.

Средняя скорость изменения используется для всего интервала: это изменение одной величины, деленное на изменение другой. Она не определена, так как деление на ноль, когда изменение входной величины равно нулю.
Мгновенная скорость изменения — это то, что нам нужно в точке. Это значение, к которому стремится средняя скорость, по мере того как интервал сокращается до нуля.

Хитрость состоит не в подстановке нуля (что дает неопределенность), а в наблюдении за тем, к чему стремится средняя скорость, по мере того как интервал становится все меньше и меньше. Это приближающееся значение и есть предел. Таким образом, математический анализ позволяет описать изменение в один мгновенный момент — как предел средних скоростей на все более коротких интервалах. Одна эта идея порождает производную (Раздел 2) и, если двигаться в обратном направлении, интеграл (Раздел 6). Все остальное в этом разделе определяет пределы аккуратно и вычисляет их надежно.

Исследовать

Исследование наклона в конкретный момент

y = bx² + d

Перемещайте точку вдоль кривой. Касательная показывает точную скорость изменения $\frac{dy}{dx}$ в этой точке — значение, к которому стремятся средние скорости при сужении интервала до одного момента. Наклон меняется в зависимости от позиции, поэтому изменение действительно имеет значение в каждый момент.

1.2

Определение пределов и использование нотации пределов

Программа

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-1 Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.	LIM-1.A Represent limits analytically using correct notation.	LIM-1.A.1 Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily close to $R$ by taking $x$ sufficiently close to $c$ (but not equal to $c$). If the limit exists and is a real number, then the common notation is $\lim_{x \to c} f(x) = R$. Exclusion statement: The epsilon-delta definition of a limit is not assessed on the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include this topic in the course if time permits.
	LIM-1.B Interpret limits expressed in analytic notation.	LIM-1.B.1 A limit can be expressed in multiple ways, including graphically, numerically, and analytically.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Плавный мостик: пределы описывают значение, к которому приближается график при увеличении

Для функции $f$ предел $f(x)$ при $x$, стремящемся к $c$, является действительным числом $R$, если $f(x)$ может быть сделано произвольно близким к $R$ путем выбора $x$ достаточно близким к $c$ – но не равным $c$. Записываем:

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

и читаем: "предел $f(x)$, при $x$, стремящемся к $c$, равен $R$."

Последние слова суть сердца определения предела: он описывает поведение $f$ рядом с $c$, а не значение в $c$. Функция может быть не определена в $c$ или определена, но равна чему-то другому — пределу без разницы.

Предел можно показать тремя способами: графически, численно (таблица) и аналитически (алгебра). Навык переключения между этими представлениями является основным.

(Примечание: определение предела через эпсилон-дельту не проверяется на экзамене AP, поэтому данный материал его не использует.)

Словарь Тренировать

English	Русский
limit/ˈlɪmɪt/	предел
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	в один момент времени
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	средняя скорость изменения
interval/ˈɪntəvl/	интервал
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	мгновенную скорость изменения
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	подходы
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	производной
integral/ˈɪntɪɡrəl/	интеграла
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	произвольно
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	достаточно
behavior/bɪˈheɪvjə/	поведение
graphically/ˈɡræfɪkli/	графически
numerically/njuːˈmerɪkli/	численно
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	аналитически
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	левосторонний предел
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	правосторонний предел
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	одно-sided пределы (пределы слева/справа)
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	незакрашенной (открытой) точки

1.3

Оценка значений пределов по графикам

Программа

Принцип (LIM-1): С помощью рассуждений, основанных на определениях, теоремах и свойствах, можно обосновывать утверждения о пределах.

Цель обучения LIM-1.C: Оценивать пределы функций.

LIM-1.C.1 Понятие предела включает односторонние пределы.
LIM-1.C.2 Графическую информацию о функции можно использовать для оценки пределов.
LIM-1.C.3 Из-за проблем с масштабом графические представления функций могут упускать важное поведение функции.
LIM-1.C.4 Предел может не существовать для некоторых функций при определенных значениях $x$. Некоторые случаи, когда предел не существует, включают: если функция не ограничена, если функция колеблется вблизи этого значения или если предел слева не равен пределу справа.
- Иллюстративные примеры для LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ не существует.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ не существует.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ не существует.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

График часто является самым быстрым способом прочитать предел. Чтобы найти $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, проведите пальцем вдоль кривой к $x = c$ с каждой стороны и спросите: к какой высоте стремится кривая?

Следите слева (входные значения меньше $c$): это даст предел слева, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Следуйте справа (входные значения больше $c$): это даст предел справа, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Это односторонние пределы. Если оба они стремятся к той же высоте $R$, то двусторонний предел существует и $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Ключевой момент: игнорируйте саму точку. Графики показывают различие между пределом и значением:

Открытый кружок обозначает высоту, к которой кривая стремится, но не достигает – «дырку».
Закрашенный кружок обозначает фактическое значение $f(c)$.

Так кривая может стремиться к $R = 3$ с обеих сторон (предел равен $3$), в то время как закрашенная точка находится на высоте $5$ (значение $f(c) = 5$). Предел равен $3$; они не обязаны совпадать.

Предел не существует (часто обозначается DNE), когда левая и правая стороны расходятся (скачок), функция неограничена (растет без предела) или она колеблется бесконечно вблизи $c$. Например:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Следите за шкалой графика: вид, уменьшенный в масштабе, может скрыть важное поведение рядом с точкой, поэтому подтверждайте алгебраически, если возможно.

Предел существует при x=2, хотя значение функции f(2) отличается — Пустой кружок обозначает высоту, к которой стремится кривая (предел); закрашенная точка — фактическое значение $f(2)$ — они не обязательно совпадают.

Исследовать

Определите предел по графику

y = ax² + bx + c

Предел при $x\to c$ — это высота, к которой стремится кривая с обеих сторон; речь идет о том, куда функция движется, а не о её значении в $c$. Следите за кривой, приближающейся к $x$, и определите $y$, к которому она приближается.

Словарь Тренировать

English	Русский
hole/həʊl/	"дырой"
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	замкнутая точка
jump/dʒʌmp/	скачок
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	неограниченно
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	колеблется
scale/skeɪl/	масштаб
table/ˈteɪbl/	таблица
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	теоремы о пределах
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	составная функция
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	прямая подстановка
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	неопределенная форма
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	эквивалентная форма
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	факторизовать и сократить
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	рациональная функция
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	сопряженный
radical/ˈrædɪkl/	радикальный
dominant/ˈdɒmɪnənt/	доминирующей
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	теорема о двух милиционерах (теорема о зажатой функции)
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	разрывной
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	устраняемая точка разрыва
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	скачок (точка разрыва первого рода)
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	бесконечная точка разрыва

1.4

Оценка значений пределов по таблицам

Программа

Цель обучения LIM-1.C: Оценивать пределы функций.

LIM-1.C.5 Числовая информация может использоваться для оценки пределов.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Когда у вас есть данные или формула, но нет картинки, таблица значений оценивает предел численно. Выберите входные значения, которые медленно приближаются к $c$ с обеих сторон, и следите за выходами.

Например, для оценки $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (которое равно $\tfrac{0}{0}$ при $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Обе стороны движутся к $4$, поэтому мы оцениваем, что предел равен $4$. Таблица лишь предполагает значение — это численная оценка, а не доказательство.

1.5

Вычисление пределов с использованием алгебраических свойств пределов

Программа

Цель обучения LIM-1.D: Определять пределы функций, используя теоремы о пределах.

LIM-1.D.1 Односторонние пределы могут быть определены аналитически или графически.
LIM-1.D.2 Пределы сумм, разностей, произведений, отношений и составных функций можно найти с помощью теорем о пределах.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Большинство пределов находятся аналитически с помощью теорем о пределах. Если $\lim_{x\to c} f(x)$ и $\lim_{x\to c} g(x)$ существуют, то предел комбинации равен той же комбинации пределов:

Сумма / разность: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Произведение: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Частное: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, при условии, что нижний предел не равен $0$.
Композиция: если $g$ непрерывна в точке $\lim_{x\to c} f(x)$, тогда $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Практическое правило: для функции, составленной из многочленов, корней и тому подобных, сначала попробуйте прямую подстановку — подставьте $x = c$. Если вы получаете действительное число, это и есть предел. Односторонние пределы подчиняются тем же теоремам, но рассматриваются только с одной стороны.

1.6

Вычисление пределов с использованием алгебраических преобразований

Программа

Цель обучения LIM-1.E: Определять пределы функций, используя эквивалентные выражения для функции или теорему о двух милиционерах (теорему о зажатой функции).

LIM-1.E.1 Может потребоваться или оказаться полезным переписать выражения в эквивалентную форму перед вычислением пределов.
- Иллюстративные примеры для LIM-1.E.1:
  - Разложение на множители и деление общих множителей рациональных функций
  - Умножение на выражение, содержащее сопряженное суммы или разности, для упрощения функций, содержащих корни
  - Использование альтернативных форм тригонометрических функций

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Прямая подстановка иногда дает неопределенную форму $\tfrac{0}{0}$. Это не означает, что предел не существует – это значит, что нужно переписать функцию в эквивалентную форму, устраняющую проблему, а затем выполнить подстановку. Три стандартных приема:

Разложить на множители и сократить рациональную функцию. Пример: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Умножить на сопряженное выражение, чтобы упростить иррациональное выражение. Пример: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Использовать альтернативные формы тригонометрических функций (тождества) для упрощения.

Сокращенный множитель объясняет наличие выколотой точки на исходном графике: две функции совпадают везде, кроме точки $x=c$, поэтому имеют одинаковый предел там.

1.7

Выбор методов нахождения пределов

Программа

Эта тема предназначена для сосредоточения на навыке выбора соответствующего метода определения пределов. Студентам следует предоставить возможность потренироваться, когда и как применять все цели обучения, связанные с определением пределов.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Это тема навыков, а не нового материала: выберите подходящий инструмент для конкретного предела.

Сначала попробуйте прямую подстановку. Если получен реальный ответ, задача решена.
Получили $\tfrac{0}{0}$? Перепишите выражение — разложите на множители и сократите, или используйте сопряженное, или тригонометрическое тождество — затем выполните подстановку.
Неzero число делится на $0$ (как $\tfrac{5}{0}$)? Предел равен бесконечности или не существует — проверьте знак с каждой стороны (см. вертикальные асимптоты ниже).
При $x\to\pm\infty$? Сравните старшие члены (см. пределы при бесконечности).
Функция заперта между двумя другими? Возможно применение теоремы о двух милиционерах (теоремы о зажатой функции).

1.8

Нахождение пределов с помощью теоремы о двух милиционерах

Программа

LIM-1.E.2 Предел функции может быть найден с использованием теоремы о двух милиционерах.
- Иллюстративные примеры для LIM-1.E.2: Теорема о двух милиционерах может быть использована для доказательства существования $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ и $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Теорема о двух милиционерах (также известная как теорема о сэндвиче) находит предел, «зажимая» функцию между двумя другими. Если $g(x) \le f(x) \le h(x)$ близки к $c$, и

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

то $f$ «зажата» в том же месте: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Два знаменитых результата, доказанных таким образом и используемых во всем математическом анализе, это:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

Теорема о двух милиционерах ограничивает x² sin(1/x) значениями от −x² до x² — Теорема о двух милиционерах ограничивает x² sin(1/x) значениями -x² и x²

1.9

Связь различных представлений пределов

Программа

Эта тема предназначена для сосредоточения на связи представлений. Студентам следует предоставить возможность потренироваться, когда и как применять все цели обучения, связанные с пределами, а также переводить математическую информацию из одного представления в другое или между несколькими представлениями.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Еще одна тема навыков: один и тот же предел отражен на графике, в таблице и в алгебраической форме, и вы должны уметь переводить информацию из одной формы в другую. График показывает форму и любые выколотые точки или разрывы; таблица дает численные данные; алгебра дает точное значение и обоснование. Сильные ответы используют одно представление для подтверждения другого.

1.10

Исследование типов разрывов

Программа

Принцип (LIM-2): С помощью рассуждений, основанных на определениях, теоремах и свойствах, можно обосновывать утверждения о непрерывности.

Цель обучения LIM-2.A: Обосновывать выводы о непрерывности функции в точке, используя определение.

LIM-2.A.1 Типы разрывов включают устранимые разрывы, скачки разрыва и разрывы, вызванные вертикальными асимптотами.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Функция является непрерывной при $c$, если её график «разрывается» в этой точке. Существует три типа:

Устранимый разрыв – одна выколотая точка. Двусторонний предел существует, но сама точка отсутствует или задана неверно.
Разрыв первого рода (скачок) – существуют односторонние пределы, но они не совпадают, поэтому кривая совершает скачок.
Бесконечный разрыв – функция уходит в бесконечность к $\pm\infty$ в точке вертикальной асимптоты.

Три типа разрывов: устранимый, скачок и бесконечный

1.11

Определение непрерывности в точке

Программа

Цель обучения LIM-2.A: Обосновывать выводы о непрерывности функции в точке, используя определение.

LIM-2.A.2 Функция $f$ является непрерывной в точке $x = c$, если существует предел $f(c)$, значение функции $\lim_{x \to c} f(x)$ совпадает с этим пределом, и выполняется условие $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Непрерывность определяется трехчастичной проверкой. Функция $f$ непрерывна в точке $x=c$ тогда и только тогда, когда выполняются все три условия:

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

Простыми словами: точка существует, предел существует, и они совпадают. Если хотя бы одно условие нарушено, $f$ имеет разрыв в точке $c$. Эта проверка является основой почти каждого вопроса о непрерывности, поэтому запомните её как чек-лист.

1.12

Подтверждение непрерывности на интервале

Программа

Цель обучения LIM-2.B: Определять интервалы, на которых функция является непрерывной.

LIM-2.B.1 Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
LIM-2.B.2 Полиномиальные, рациональные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции являются непрерывными во всех точках своих областей определения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Обычно мы не проверяем непрерывность по точкам, так как целые классы функций непрерывны на своих областях определения:

Полиномиальные, рациональные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Таким образом, рациональная функция непрерывна везде кроме точек, где знаменатель равен нулю; $\ln x$ непрерывна для всех $x>0$; и так далее. Знание этого позволяет быстро и правильно утверждать о непрерывности.

1.13

Устранение разрывов

Программа

Цель обучения LIM-2.C: Определять значения $x$ или находить параметры, при которых разрывные функции становятся непрерывными, если это возможно.

LIM-2.C.1 Если предел функции существует в точке разрыва её графика, то разрыв можно устранить, определив или пересмотрев значение функции в этой точке так, чтобы оно равнялось значению предела функции при приближении $x$ к этой точке.
LIM-2.C.2 Чтобы кусочно-заданная функция была непрерывной на границе раздела области её определения, значение выражения, определяющего функцию с одной стороны границы, должно быть равно значению выражения, определяющего функцию с другой стороны границы, а также значению самой функции в этой границе.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если предел существует в точке «дыры», разрыв устраняем: переопределите функцию в этой единственной точке, присвоив ей значение предела, и график будет исправлен. Формально, задайте недостающее значение равным $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Для кусочно-заданной функции непрерывность на границе $x=c$ требует, чтобы две части стыковались: значение левой части, значение правой части и $f(c)$ должны быть равны. Это типичная задача экзамена – найдите параметр (неизвестную константу), который обеспечит совпадение частей:

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

1.14

Связь бесконечных пределов и вертикальных асимптот

Программа

Цель обучения LIM-2.D: Интерпретировать поведение функций, используя пределы со бесконечностью.

LIM-2.D.1 Понятие предела может быть расширено до бесконечных пределов.
LIM-2.D.2 Асимптотическое и неограниченное поведение функций можно описать и объяснить с помощью пределов.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Идея предела распространяется на бесконечные пределы. Когда функция растет без ограничения вблизи $x=c$, мы записываем $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Это описывает вертикальную асимптоту в точке $x=c$: график приближается к вертикальной линии $x=c$ и уходит в бесконечность к $\pm\infty$.

Это происходит, когда ненулевое число делится на величину, стремящуюся к $0$*, например, в нуле знаменателя, который не сокращается. Всегда проверяйте каждую сторону отдельно – стороны могут уходить в противоположные направления (одна к $+\infty$, другая к $-\infty$).

Бесконечный предел на вертикальной асимптоте x = c, где стороны уходят в противоположные бесконечности — Вблизи вертикальной асимптоты график прижимается к прямой $x=c$, а обе стороны могут стремиться к противоположным бесконечностям.

Исследовать

Исследование бесконечного предела при вертикальной асимптоте

y = a/(x − b) + c

Когда $x \to 0$, кривая $y=\frac{1}{x}$ уходит в $+\infty$ справа и в $-\infty$ слева — прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, которую график приближает, но никогда не пересекает.

Словарь Тренировать

English	Русский
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	вертикальной асимптотой
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	непрерывными
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	непрерывна на промежутке
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	экспоненциальная
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	логарифмической
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	тригонометрический
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	функция, заданная кусочно
parameter/pəˈræmɪtə/	параметром
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	бесконечные пределы
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	пределы на бесконечности
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	поведение на бесконечности

1.15

Связь пределов при бесконечности и горизонтальных асимптот

Программа

Цель обучения LIM-2.D: Интерпретировать поведение функций, используя пределы со бесконечностью.

LIM-2.D.3 Понятие предела может быть расширено до пределов на бесконечности.
LIM-2.D.4 Пределы на бесконечности описывают поведение функции на концах интервала.
LIM-2.D.5 Относительные величины функций и их скоростей изменения можно сравнивать с помощью пределов.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Мы также можем позволить аргументу расти: пределы на бесконечности описывают поведение на конце функции при $x\to\pm\infty$. Если значения выхода стабилизируются вблизи конечного числа $L$, то $y=L$ является горизонтальной асимптотой.

Для рациональной функции сравните степени числителя и знаменателя:

степень числителя < степени знаменателя $\Rightarrow$ предел равен $0$ (горизонтальная асимптота $y=0$);
степень числителя = степени знаменателя $\Rightarrow$ предел равен отношению старших коэффициентов;
степень числителя > степени знаменателя $\Rightarrow$ функция не ограничена (нет горизонтальной асимптоты).

В более общем случае мы сравниваем относительные величины (относительные скорости роста): на бесконечности экспонента превосходит любой многочлен, а многочлен превосходит любую логарифмическую функцию. На экзамене вопрос «при $t\to\infty$, какая величина больше/к какому значению сходится скорость?» решается с помощью предела на бесконечности.

Предел на бесконечности порождает горизонтальную асимптоту

Исследовать

Исследование поведения на концах и горизонтальной асимптоты

y = a/(x − b) + c

Вдали влево и вправо кривая выравнивается, приближаясь к $y=\mathbf{c}$ — это $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, горизонтальная асимптота. Измените $\mathbf{c}$, чтобы переместить уровень, к которому она стремится.

Словарь Тренировать

English	Русский
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	горизонтальной асимптотой
degrees/dɪˈɡriːz/	градусах
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	отношение старших коэффициентов
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	относительные величины
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Теорема о промежуточных значениях
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	теорема существования

1.16

Работа со средней теоремой о промежуточных значениях (IVT)

Программа

Принцип (FUN-1): Теоремы существования позволяют делать выводы о поведении функции на интервале без точного локализации этого поведения.

Цель обучения FUN-1.A: Объяснять поведение функции на интервале, используя теорему о промежуточных значениях.

FUN-1.A.1 Если $f$ является непрерывной функцией на закрытом интервале $[a, b]$, а $d$ — число между $f(a)$ и $f(b)$, то Теорема о промежуточных значениях гарантирует, что существует по крайней мере одно число $c$ между $a$ и $b$, такое что $f(c) = d$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Теорема о промежуточных значениях — это теорема существования: она гарантирует наличие значения, но не указывает, где именно оно находится:

Противоположные знаки f(a) и f(b) указывают на наличие корня между a и b

Если $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, и $d$ — любое число, лежащее между $f(a)$ и $f(b)$, то существует как минимум одно число $c$ в $(a,b)$, для которого выполняется $f(c)=d$.

Непрерывная кривая не может пропустить высоту между своими концами — она должна пройти через каждую из них.

Навык для экзамена – как обосновать применение IVT. Такие вопросы встречаются почти каждый год (например, «Должно ли существовать значение $c$, при котором $R(c)=155$?» или «Есть ли момент времени, когда $r'(t)=-6$?»). Полное обоснование требует трёх шагов:

Указать на непрерывность. Сказать, что функция непрерывна на $[a,b]$ (часто потому, что она дифференцируема, или это дано по условию).
Показать, что $d$ находится между значениями на концах. Вычислить значения функции на двух концах интервала и показать, что целевое значение $d$ лежит между ними, например: $f(a) < d < f(b)$.
Сделать вывод по названию. «Согласно теореме о промежуточных значениях, существует значение $c$ в $(a,b)$, при котором выполняется $f(c)=d$».

Пропуск утверждения о непрерывности или отсутствие доказательства того, что $d$ находится между значениями на концах, приведёт к потере балла – теорема требует выполнения обоих условий.

Разбор примера. Вычислите $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Разделите числитель и знаменатель на наивысшую степень, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Поскольку предел равен конечному числу, прямая $y=\tfrac{3}{2}$ является горизонтальной асимптотой графика.

Теорема о промежуточных значениях: непрерывная кривая проходит через каждую высоту между f(a) и f(b) — Непрерывная кривая от $(a,f(a))$ до $(b,f(b))$ должна пересечь каждую высоту $d$, лежащую между ними, как минимум один раз.

Исследовать

Почему непрерывная кривая не может пропустить значение

y = ax³ + bx² + cx + d

Теорема о промежуточном значении: функция, непрерывная на $[a,b]$, принимает любое $y$ между $f(a)$ и $f(b)$ в какой-то точке внутри. Непрерывная кривая не может перепрыгнуть через высоту — она должна пройти сквозь неё.

Словарь Тренировать

English	Русский
change/tʃeɪndʒ/	изменению
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	накопления

1.16

Советы для экзамена

Предел описывает, чему $f(x)$ стремится, что не обязательно равно значению $f(a)$ — двусторонний предел существует только если обе стороны совпадают.
Сначала попробуйте прямую подстановку; для неопределённости вида $\tfrac00$ разложите на множители и сократите или избавьтесь от иррациональности перед подстановкой.
Функция непрерывна в точке $a$, если существует предел, значение $f(a)$ определено, и они равны.
Используйте теорему о промежуточных значениях для гарантии наличия корня: непрерывная функция, меняющая знак на $[a,b]$, принимает все значения между ними.
Горизонтальные асимптоты определяются по поведению на конце (пределы при $\pm\infty$), а вертикальные асимптоты — там, где знаменатель (а не числитель) обращается в ноль.

Дифференцирование: Определение и фундаментальные свойства

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

2.1

Средние и мгновенные скорости изменения в точке

Программа

Принцип (CHA-2): Производные позволяют определять скорости изменения в конкретный момент времени, применяя пределы к знаниям о скоростях изменения на интервалах.

Цель обучения CHA-2.A: Определять средние скорости изменения с использованием разностных отношений.

CHA-2.A.1 Разностные отношения $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ и $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ выражают среднюю скорость изменения функции на интервале.

Цель обучения CHA-2.B: Представить производную функции как предел разностного отношения.

CHA-2.B.1 Мгновенная скорость изменения функции в точке $x=a$ может быть выражена через $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ или $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, при условии существования предела. Это эквивалентные формы определения производной и обозначаются как $f'(a)$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Аттрацион на подъемнике: производная измеряет мгновенную скорость изменения — Амusement park: производная измеряет мгновенную скорость изменения

Производная по определению

Единица 1 построила понятие предела. Единица 2 использует его для определения производной — точной скорости изменения в точке.

Мгновенная скорость изменения — это угловой коэффициент касательной в точке

На интервале средняя скорость изменения представляет собой разностное отношение. Приводятся две эквивалентные формы:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Первое использует шаг размера $h$ от $a$; второе использует две точки $x$ и $a$. Оба вычисляют $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ на интервале.

Мгновенная скорость изменения в точке $x=a$ — это то, к чему стремится разностное отношение при уменьшении интервала до нуля. Этот предел и есть производная в точке $a$, которая записывается как $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

при условии существования этого предела.

Исследовать

От средней скорости к мгновенной

y = ax³ + bx² + cx + d

Перетащите точку: секущая, проходящая через две близкие точки, приближается к касательной при их слиянии. Наклон касательной равен производной — мгновенной скорости изменения.

Словарь Тренировать

English	Русский
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	производной
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	разностное отношение
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	мгновенная
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	первоначальные принципы
notations/nəʊˈteɪʃnz/	обозначения
slope/sləʊp/	наклоне графика
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	касательная прямая

2.2

Определение производной и чтение её обозначений

Программа

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
CHA-2 Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.	CHA-2.B Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.	CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists. CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$. CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
	CHA-2.C Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.	CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Пусть точка $a$ изменяется, тогда производная становится новой функцией:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Это определение производной (иногда называют дифференцированием «по определению»). Её значение в каждой точке $x$ является мгновенной скоростью изменения в этой точке.

Распространённые обозначения для производной функции $y=f(x)$:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

Производную можно представлять графически, численно, аналитически и вербально — будьте готовы переходить между этими формами.

Геометрический смысл. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Таким образом, касательная в точке $x=a$ проходит через точку $\big(a, f(a)\big)$ с угловым коэффициентом $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Запись уравнения этой прямой — стандартная задача на экзамене, поэтому держите формулу прямой с заданным угловым коэффициентом под рукой.

Угловые коэффициенты хорд стремятся к угловому коэффициенту касательной: производная — это предел средних скоростей — Наклоны секущих стремятся к наклону касательной: производная — это предел средних скоростей

2.3

Оценка производной в точке

Программа

Цель обучения CHA-2.D: Оценивать производные.

CHA-2.D.1 Производную в точке можно оценить на основе информации, представленной в таблицах или графиках.
CHA-2.D.2 Технологии могут использоваться для вычисления или оценки значения производной функции в точке.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Не всегда доступна формула функции. Когда функция задана таблицей или графиком, оцените производную $f'(a)$ с помощью разностного отношения на малом интервале вокруг точки $a$. Таблица со значениями по обе стороны от $a$ даёт наилучшую оценку:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Технологии (калькулятор) также могут оценить производную в точке.

Навык для экзамена (встречается почти каждый год). Вопросы типа «Оцените $M'(7.5)$, используя среднюю скорость изменения функции $M$ на интервале $5 \le t \le 10$» требуют именно этого разностного отношения. Покажите настройку:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Полный балл требуется подставить числа и указать правильные единицы измерения (выходная единица на входную единицу), так как они берутся из реальных моделей.

Словарь Тренировать

English	Русский
table/ˈteɪbl/	таблица
units/ˈjuːnɪts/	единиц
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	дифференцируема
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	непрерывными
corner/ˈkɔːnə/	угол
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	вертикальная касательная
power rule/ˈpaʊə ruːl/	правило степени
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	постоянный множитель
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	полиномом
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	правило произведения
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	правило частного
identities/aɪˈdentɪtiz/	тождества
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	вторую производную

2.4

Дифференцируемость и непрерывность: Когда существует производная

Программа

Принцип (FUN-2): Осознание того, что производная функции также является функцией, позволяет нам развивать знания о связанных свойствах обеих величин.

Цель обучения FUN-2.A: Объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

FUN-2.A.1 Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. В частности, если точка не принадлежит области определения $f$, то она не принадлежит и области определения $f'$.
FUN-2.A.2 Непрерывная функция может не быть дифференцируемой в некоторой точке своей области определения.
- Иллюстративные примеры для FUN-2.A.2:
  - Левосторонний и правосторонний пределы разностного отношения не равны, как в случае $f(x)=|x|$ в точке $x=0$.
  - Касательная вертикальна и не имеет наклона, как в случае $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Дифференцируемость сильнее, чем непрерывность. Ключевая связь:

Если $f$ дифференцируема в точке, то $f$ непрерывна в этой точке.

Таким образом, дифференцируемость влечет непрерывность. Обратное неверно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Два способа, когда это происходит:

Угол: пределы левосторонней и правосторонней разностных отношений расходятся, как у $f(x)=|x|$ в $x=0$.
Вертикальная касательная: наклон бесконечен (нет действительного числа), как у $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в $x=0$.

Два способа, по которым непрерывная функция не является дифференцируемой: угол и вертикальная касательная

Кроме того, точка вне области определения $f$ не может находиться в области определения $f'$. Используйте contrapositive на экзамене: если $f$ не непрерывна в $a$, то $f$ не дифференцируема в $a$.

2.5

Правило степени

Программа

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.1 Прямое применение определения производной и конкретных правил может быть использовано для вычисления производной функций вида $f(x)=x^{r}$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Отныне мы используем правила вместо определения через предел каждый раз. Правило степени обрабатывает любую степень $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Оно работает для целочисленных степеней, отрицательных степеней ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) и корней ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) — сначала перепишите как степень, затем примените правило.

Исследовать

Степенная функция и нарастающий наклон

y = ax³ + bx² + cx + d

Правило дифференцирования степени $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ выносит показатель степени как множитель. Для $x^3$ наклон быстро растет при удалении $x$ от 0 — кривая становится круче.

2.6

Правила константы, суммы, разности и константного множителя

Программа

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.2 Суммы, разности и константные множители функций могут быть продифференцированы с использованием правил дифференцирования.
FUN-3.A.3 Правило степени в сочетании со свойствами суммы, разности и константного множителя может быть использовано для нахождения производных полиномиальных функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Эти правила позволяют дифференцировать почленно:

Константа: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (константа не меняется).
Константный множитель: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Сумма / разность: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

В сочетании с правилом степени они дифференцируют любой полином почленно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Производные cos x, sin x, e^x и ln x

Программа

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.4 Конкретные правила могут быть использованы для нахождения производных синуса, косинуса, показательных и логарифмических функций.

Долгосрочное понимание (LIM-3): Логическое рассуждение с использованием определений, теорем и свойств позволяет определить предел.

Цель обучения LIM-3.A: Интерпретировать предел как определение производной.

LIM-3.A.1 В некоторых случаях распознавание выражения, соответствующего определению производной функции, производная которой известна, предлагает стратегию для определения предела.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Выучите эти четыре базовых производных наизусть:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Обратите внимание на знак минус при производной косинуса и на то, что $e^{x}$ является своей собственной производной.

Предел, который на самом деле является производной (LIM-3.A.1). Иногда предел тайно является определением известной производной. Если вы распознаете

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

для функции $f$, производную которой вы знаете, просто вычислите $f'(a)$. Например, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Исследовать

Форма sin x (производная которой равна cos x)

y = asin(bx + c) + d

Производная $\sin x$ равна $\cos x$: наклон кривой синуса максимален в точках пересечения с нулем и равен нулю в вершинах. Наблюдайте за кривой, чтобы ощутить, где её наклон крутой или пологий.

2.8

Правило произведения

Программа

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.1 Производные произведений дифференцируемых функций можно найти с использованием правила произведения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Произведение двух функций не дифференцируется путем умножения их производных. Используйте правило произведения:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Производная первого умножается на второе плюс первое умножается на производную второго." Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Экзаменационные вопросы часто создают новую функцию из заданных частей, например $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, и просят объединить правила, считывая значения из таблицы.

2.9

Правило частного

Программа

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.2 Производные частных дифференцируемых функций можно найти с использованием правила частного.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для частного используйте правило частного:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Нижнее умножить на производную верхнего, минус верхнее умножить на производную нижнего, все делить на квадрат нижнего." Порядок важен из-за знака минус, поэтому пишите числитель внимательно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Производные тангенса, котангенса, секанса и косеканса

Программа

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.3 Преобразование тангенса, котангенса, секанса и косеканса с использованием тождеств позволяет дифференцировать их, применяя правила производных.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Остальные тригонометрические производные не нужно запоминать отдельно — вы переписываете их с помощью тождеств и применяете правило частного (или произведения). Например, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, поэтому правило частного дает

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

Тот же метод (переписывание $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) дает $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ и $-\csc x\cot x$.

Производные высших порядков. Повторное дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''(x)$ (или $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) — скорость изменения скорости изменения. Часть экзамена вроде «Найдите $k''(3)$» означает просто продифференцировать дважды, а затем подставить. Вы также можете оценить вторую производную по таблице, применив метод средней скорости изменения к значениям $f'$.

Разбор примера. Продифференцируйте $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ с помощью правила частного $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: возьмите $u=\sin x$, $v=x$, получим $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Сохраняйте порядок $u'v-uv'$ в числителе — замена местами членов меняет знак и приводит к потере балла.

2.10

Советы для экзамена

Производная — это наклон касательной — предел наклона секущей $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ при $h\to0$.
Запомните правила: степени, произведения, частного, а также производные от $\sin$, $\cos$, $e^x$ и $\ln x$.
Дифференцируемость влечет непрерывность, но не наоборот (угол или острая вершина непрерывны, но не дифференцируемы).
Различайте среднюю скорость изменения (наклон секучей на интервале) и мгновенную скорость (производную в точке).
Уравнение касательной записывайте в виде $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Дифференцирование сложных, неявных и обратных функций

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

3.1

Правило сложной функции

Программа

Цель обучения FUN-3.C: Вычислять производные композиций дифференцируемых функций.

FUN-3.C.1 Цепное правило предоставляет способ дифференцирования сложных функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Горная тропа: составные функции вкладывают скорости изменения друг в друга (правило цепочки) — Горная тропа: сложные функции вкладывают скорости изменения (правило цепной производной)

Правило сложной функции

Единица 2 дифференцировала одиночные функции. Единица 3 дифференцирует функции, встроенные внутрь других функций. Правило сложной функции дифференцирует составную функцию $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Производная внешней функции (оставляя внутреннюю нетронутой), умноженная на производную внутренней." Внутренняя производная $g'(x)$ — та часть, которую студенты забывают, поэтому всегда спрашивайте «что внутри и какова его производная?» Пример:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

В нотации Лейбница, с $y=f(u)$ и $u=g(x)$, правило читается как $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — промежуточный $du$ seemingly «сокращается». Экзаменационные вопросы часто дают таблицу для $f$, $g$, $f'$, $g'$ и просят найти $h'(a)$, где $h(x)=f\big(g(x)\big)$; вычислите $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$, считывая значения.

Разбор примера. Продифференцируйте $h(x)=(2x^2+1)^5$. Внешняя функция — «(что-то)$^5$», а внутренняя — $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Словарь Тренировать

English	Русский
chain rule/tʃeɪn ruːl/	цепное правило
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	составная функция
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	Неявное дифференцирование
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	обратная функция
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	обратной величиной
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	обратные тригонометрические функции
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	вторую производную
concavity/kənˈkævɪti/	выпуклости

3.2

Неполное дифференцирование

Программа

Цель обучения FUN-3.D: Вычислять производные неявно заданных функций.

FUN-3.D.1 Цепное правило является основой неявного дифференцирования.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Некоторые кривые определены неявно — уравнением от $x$ и $y$, которое не разрешено относительно $y$, например $x^2+y^2=25$. Неявное дифференцирование находит $\dfrac{dy}{dx}$ без предварительного решения относительно $y$. Это просто правило сложной функции, рассматривающее $y$ как функцию от $x$.

Метод: продифференцируйте обе части по $x$; каждый раз, когда вы дифференцируете член с $y$, умножайте на $\dfrac{dy}{dx}$ (правило сложной функции); затем алгебраически решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$. Для $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Разбор примера. Найдите касательную к $x^2+y^2=25$ в точке $(3,4)$. Здесь $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, поэтому уравнение касательной — $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ — перпендикулярно радиусу, как предсказывает геометрия.

Неявное дифференцирование дает касательную к окружности, перпендикулярную радиусу

Экзаменационный навык – «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$».» Этот точный запрос встречается каждый год (например, «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$»). Поскольку целевое выражение задано, необходимо показать каждый алгебраический шаг четко: продифференцировать обе стороны, применить правила произведения/цепного правила для смешанных $xy$ членов, собрать все $\dfrac{dy}{dx}$ члены с одной стороны, вынести за скобки и разделить. Правильная финальная строка, пропускающая алгебру, получает мало баллов. В последующих частях просят найти касательную или место, где касательная горизонтальна ($\tfrac{dy}{dx}=0$, поэтому числитель равен $0$) или вертикальна (знаменатель равен $0$).

3.3

Дифференцирование обратных функций

Программа

Цель обучения FUN-3.E: Вычислять производные обратных и обратных тригонометрических функций.

FUN-3.E.1 Цепное правило и определение обратной функции могут быть использованы для нахождения производной обратной функции, при условии существования её производной.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если $g$ является обратной функцией для $f$ (так что $f(g(x))=x$), правило цепочки связывает их производные:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

Простыми словами: производная обратной функции в точке равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке. Типичный экзаменационный вариант представляет таблицу и точку $(a,b)$ на графике $f$ (таким образом, точка $(b,a)$ находится на графике $g$), а затем просит найти $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Разбор примера. Если $f(2)=5$ и $f'(2)=3$, и $g$ является обратной функцией для $f$, то точка $(5,2)$ лежит на $g$, а $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

Обратная функция является зеркальным отражением функции относительно прямой y = x

Исследовать

Экспонента и обратная ей логарифмическая функция

y = a·e^(bx) + c

Обратные функции зеркально отражаются относительно $y=x$, а их наклоны взаимно обратны. Там, где одна функция крутая, обратная ей — пологая.

3.4

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Программа

Цель обучения FUN-3.E: Вычислять производные обратных и обратных тригонометрических функций.

FUN-3.E.2 Применение цепного правила вместе с определением обратной функции или формулы производной обратной функции может быть использовано для нахождения производных обратных тригонометрических функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Та же идея приводит к формулам производных для обратных тригонометрических функций. Три из них, которые нужно знать:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Комбинируйте их с правилом сложной функции, если аргументом является сама функция, например $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Выбор методов вычисления производных

Программа

Эта тема предназначена для сосредоточения на навыке выбора подходящей процедуры для вычисления производных. Студентам следует предоставить возможность практиковать, когда и как применять все цели обучения, связанные с вычислением производных.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Тема навыков: реальные производные сочетают несколько правил, поэтому сначала прочитайте структуру выражения, двигаясь от внешнего к внутреннему.

Это сумма? Продифференцируйте каждое слагаемое по отдельности.
Произведение или частное? Примените соответствующее правило и ожидайте использования правила сложной функции внутри.
Это композитная (что-то внутри чего-то)? Правило сложной функции.
Задана неявно? Неявное дифференцирование.

Назовите внешнюю операцию, примените к ней правило и рекурсивно переходите внутрь. Аккуратность предотвращает ошибки со знаками и счетом, за которые снижают баллы.

3.6

Вычисление производных высших порядков

Программа

Цель обучения FUN-3.F: Определять производные более высокого порядка функции.

FUN-3.F.1 Дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''$, при условии существования производной от $f'$; повторение этого процесса порождает производные более высокого порядка от $f$.
FUN-3.F.2 Производные более высокого порядка представляются с помощью различных обозначений. Для $y = f(x)$ обозначения второй производной включают $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ и $y''$. Производные более высокого порядка могут обозначаться как $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ или $f^{(n)}(x)$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''$; повторение процесса порождает производные более высоких порядков. Обозначения:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

Вторая производная измеряет скорость изменения углового коэффициента; она определяет выпуклость (вогнутость) и ускорение в последующих разделах. Чтобы найти $f''$ неявно, продифференцируйте выражение для $\dfrac{dy}{dx}$ еще раз (используя правила частного и сложной функции), а затем подставьте обратно $\dfrac{dy}{dx}$.

Исследовать

Вторая производная — это наклон наклона

y = ax³ + bx² + cx + d

Дальнейшее дифференцирование дает $f''$, скорость изменения наклона. Если наклон увеличивается, кривая изгибается вверх.

3.6

Советы для экзамена

Используйте правило сложной функции для композитных функций — дифференцируйте внешнюю часть, затем умножьте на производную внутренней (самый часто забываемый множитель).
Для неявного дифференцирования продифференцируйте обе части по переменной $x$ и присоедините $\tfrac{dy}{dx}$ каждый раз, когда дифференцируется $y$, затем решите полученное уравнение.
Получите вторую производную, продифференцировав дважды (скорость → ускорение).
Тщательно комбинируйте правила во вложенных выражениях (сложная функция внутри произведения и т.д.).
График обратной функции представляет собой отражение графика исходной функции относительно прямой $y=x$; его угловой коэффициент в соответствующей точке является взаимно обратной величиной к угловому коэффициенту исходной функции.

Контекстные применения дифференцирования

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

4.1

Интерпретация смысла производной в контексте

Программа

Долгосрочное понимание (CHA-3): Производные позволяют решать реальные задачи, связанные со скоростями изменения.

Цель обучения CHA-3.A: Интерпретировать смысл производной в контексте.

CHA-3.A.1 Производную функции можно интерпретировать как мгновенную скорость изменения по отношению к её независимой переменной.
CHA-3.A.2 Производную можно использовать для выражения информации о скоростях изменения в прикладных контекстах.
CHA-3.A.3 Единицей измерения для $f'(x)$ является единица измерения для $f$, деленная на единицу измерения для $x$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Как только вы научитесь вычислять производные, вы сможете использовать их для описания реального мира. Производная $f'(x)$ является мгновенной скоростью изменения величины $f$ по отношению к её аргументу. Правильное чтение и формулировка этой скорости — оцениваемый навык.

Единицы измерения имеют значение. Единица измерения $f'(x)$ равна единице измерения $f$, деленной на единицу измерения $x$. Если $C(t)$ — это количество акров, а $t$ — недели, то $C'(t)$ выражается в акрах в неделю. На экзамене задание «Используя правильные единицы измерения, интерпретируйте смысл $g'(140)$» требует полного предложения: значение, величину, слово скорости per («в») и момент времени. Например: «$g'(140)=2.3$ означает, что в момент времени $x=140$ величина увеличивается примерно на $2.3$ единиц в единицу $x$.»

4.2

Прямолинейное движение: положение, скорость и ускорение

Программа

Цель обучения CHA-3.B: Вычислять скорости изменения в прикладных контекстах.

CHA-3.B.1 Производную можно использовать для решения задач прямолинейного движения, связанных с положением, скоростью, вектором скорости и ускорением.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для частицы, движущейся по прямой, три функции времени связаны через дифференцирование:

На графике зависимости скорости от времени площадь равна перемещению, а наклон — ускорению

положение $s(t)$;
скорость $v(t)=s'(t)$ – со знаком; знак указывает направление движения;
ускорение $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Ключевые показания (частые части экзаменационных заданий):

Частица покоится, когда $v(t)=0$.
Она движется вправо/вверх, когда $v(t)>0$, и влево/вниз, когда $v(t)<0$; меняет направление в точках, где $v$ меняет знак.
Скорость — это $|v(t)|$. Скорость увеличивается, когда $v$ и $a$ имеют одинаковый знак (частица ускоряется), и уменьшается, когда они имеют разные знаки.

Внимательно различайте скорость (имеет направление) и модуль скорости (не имеет) — экзамен проверяет именно эту разницу.

Разбор примера. Частица движется со скоростью $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Тогда $v(t)=3(t-1)(t-3)$, значит она покоится в точках $t=1$ и $t=3$ и меняет направление в каждой из них. В момент $t=2$, $v=-3<0$ и $a(2)=6(2)-12=0$; сразу после этого, $a>0$, пока $v<0$, поэтому частица замедляется там.

Исследовать

Скорость — это наклон графика положения

y = ax³ + bx² + cx + d

При прямолинейном движении скорость является производной (наклоном) координаты, а ускорение — производной скорости. Переместите точку, чтобы считать мгновенную скорость.

Словарь Тренировать

English	Русский
position/pəˈzɪʃn/	положения
velocity/vəˈlɒsɪti/	скорость
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	ускорения
at rest/æt rest/	покоится
Speed/spiːd/	Скорость

4.3

Скорости изменения в прикладных контекстах, отличных от движения

Программа

Цель обучения CHA-3.C: Интерпретировать скорости изменения в прикладных контекстах.

CHA-3.C.1 Производную можно использовать для решения задач, связанных со скоростями изменения в прикладных контекстах.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Та же идея производной описывает любую изменяющуюся величину: опорожняющийся резервуар, растущее население, остывающая чашка. Когда в задаче говорится «скорость, с которой...», это описание производной. Посмотрите на единицы измерения, чтобы понять, скорость какой величины у вас есть, а затем интерпретируйте это в контексте.

4.4

Введение в связанные скорости

Программа

Цель обучения CHA-3.D: Вычислять связанные скорости в прикладных контекстах.

CHA-3.D.1 Цепное правило является основой дифференцирования переменных в задаче о связанных скоростях по той же независимой переменной.
CHA-3.D.2 Другие правила дифференцирования, такие как правило произведения и правило частного, также могут потребоваться для дифференцирования всех переменных по той же независимой переменной.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Аттрацион: связанные скорости связывают то, как быстро изменяются взаимосвязанные величины — Амusement park: связанные скорости связывают, как быстро изменяются связанные величины вместе

В задаче о связанных скоростях несколько величин изменяются вместе со временем, вам известны некоторые скорости, но нужно найти другую. Двигатель этой задачи — правило цепочки: дифференцируйте связь по времени $t$. Каждая переменная становится функцией $t$, поэтому каждая производная получает множитель «$\,/\,dt$». Также могут потребоваться правила произведения и частного.

Поднимающийся шарик: связанные скорости связывают, как быстро изменяются радиус, объем и высота

Словарь Тренировать

English	Русский
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	связанные скорости
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	локальная линейность
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	линейное приближение
concavity/kənˈkævɪti/	выпуклости
underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/	недооценкой
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	переоценкой
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	неопределенная форма
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	Правило Лопиталя

4.5

Решение задач о связанных скоростях

Программа

Цель обучения CHA-3.E: Интерпретировать связанные скорости в прикладных контекстах.

CHA-3.E.1 Производную можно использовать для решения задач о связанных скоростях, то есть нахождения скорости изменения одной величины путем установления связи с другими величинами, скорости изменения которых известны.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Надежная процедура — и шаблон для получения полного балла на экзамене:

Обозначьте переменные и запишите известные скорости и неизвестную скорость (например, «$\dfrac{dh}{dt}=-2$ см/день, найдите $\dfrac{dV}{dt}$»).
Запишите уравнение, связывающее величины (часто геометрическая или формула объема).
Дифференцируйте обе части по $t$ (правило цепочки) — до подстановки чисел.
Подставьте известные значения в интересующий момент и решите относительно неизвестной скорости.
Укажите ответ с единицами измерения и правильным знаком (у убывающей величины скорость отрицательна).

Подстановка чисел слишком рано — классическая ошибка: сначала дифференцируйте общую зависимость, а затем подставляйте значения.

Разобранный пример. Объём сферического шарика растёт со скоростью $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Из $V=\tfrac43\pi r^3$ дифференцируем сначала: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. При $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, следовательно, $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Надувающийся шарик связывает dV/dt и dr/dt через правило цепочки

4.6

Приближённое вычисление значений с использованием локальной линейности и линеаризации

Программа

Цель обучения CHA-3.F: Приближенно вычислить значение на кривой с использованием уравнения касательной линии.

CHA-3.F.1 Касательная линия представляет собой график локального линейного приближения функции вблизи точки касания.
CHA-3.F.2 Для приближения касательной поведение функции вблизи точки касания может определить, является ли значение касательной заниженной или завышенной оценкой соответствующего значения функции.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Локальная линейность и линеаризация

Рядом с точкой касания гладкая кривая выглядит как касательная прямая — это локальная линейность. Так что касательная дает линейное приближение (линеаризацию) функции вблизи этой точки:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Используйте её для оценки значения $f$ в точке $x$, близкой к $a$.

Завышение или занижение? Ответ следует из выпуклости. Если график является выпуклым вниз (вогнутым вверх) в окрестности $a$ (он изгибается выше касательной), то значение на касательной является занижением. Если же он выпуклый вверх (вогнутый вниз), касательная проходит выше кривой, что даёт завышение. Задания экзаменов проверяют это рассуждение, поэтому обоснуйте ответ знаком производной $f''$.

Касательная прямая — это локальная линейная аппроксимация; выпуклость определяет завышение или занижение

Исследовать

Аппроксимация кривой касательной прямой

y = ax³ + bx² + cx + d

Локальная линейность: вблизи точки гладкая кривая выглядит как её касательная, поэтому касательная дает хорошее линейное приближение соседних значений.

4.7

Применение правила Лопиталя для неопределённостей

Программа

Принцип (LIM-4): Правило Лопиталя позволяет нам определять пределы некоторых неопределенных форм.

Цель обучения LIM-4.A: Определять пределы функций, приводящие к неопределенным формам.

LIM-4.A.1 Когда отношение двух функций стремится к $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$ в пределе, такие формы называются неопределенными.
- Заявление об исключении: Существует множество других неопределенных форм, таких как $\infty - \infty$, например, но они не будут оцениваться ни на экзамене AP Calculus AB, ни на экзамене BC. Однако учителя могут включить эти темы, если позволяет время.
LIM-4.A.2 Пределы неопределенных форм $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$ могут быть вычислены с использованием правила Лопиталя.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Когда прямая подстановка в частное пределов дает неопределенную форму $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

при условии существования правостороннего предела. Продифференцируйте числитель и знаменатель отдельно (это не правило частного), затем снова попробуйте вычислить предел. Сначала убедитесь, что форма действительно является $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ — применение правила к любой другой форме является ошибкой.

Разобранный пример. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ даёт $\tfrac00$, поэтому дифференцируем числитель и знаменатель: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. И $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ также равно $\tfrac00$; оно превращается в $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

4.7

Советы для экзамена

В задачах движения: скорость есть производная от положения, ускорение — производная от скорости; скорость увеличивается, когда скорость и ускорение имеют одинаковый знак.
Для связанных скоростей продифференцируйте связывающее уравнение по времени, затем подставьте данные значения последними.
Используйте касательную прямую для линейного приближения рядом с известной точкой; она точна только в непосредственной близости.
Чтение знака скорости: положительный означает, что величины изменяются в одном направлении, отрицательный — в противоположном.
Всегда указывайте единицы измерения и интерпретируйте ответ в контексте.

Аналитические приложения дифференцирования

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

5.1

Применение теоремы Лагранжа о средних значениях

Программа

Цель обучения FUN-1.B: Обосновывать выводы о функциях, применяя теорему Лагранжа на интервале.

FUN-1.B.1 Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$, то теорема Лагранжа гарантирует наличие точки внутри этого открытого интервала, где мгновенная скорость изменения равна средней скорости изменения на этом интервале.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Теорема Лагранжа о среднем значении

Теорема Лагранжа о среднем значении (MVT) связывает среднюю скорость изменения с мгновенной:

Если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, то существует хотя бы одна точка $c$ в $(a,b)$, где
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Словно: где-то внутри интервала мгновенная скорость равна средней скорости. Геометрически: некоторая касательная параллельна секущей, соединяющей концы интервала.

Теорема о среднем значении: касательная параллельна хорде на интервале — Теорема Лагранжа о среднем значении: некоторая касательная параллельна секущей на интервале

Навык для экзамена. Как и теорема о промежуточных значениях (IVT), теорема Лагранжа (MVT) является теоремой существования, поэтому в вопросах требуется обоснование. Полный ответ требует: (1) указать, что $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$; (2) вычислить среднюю скорость $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) сделать вывод: «по MVT существует $c$ в $(a,b)$, при котором $f'(c)$ равно этому значению». Оба условия должны быть названы.

Разобранный пример. Для функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[1,3]$ средняя скорость составляет $\dfrac{9-1}{2}=4$; приравнивание $f'(c)=2c=4$ даёт $c=2$, которое лежит внутри интервала $(1,3)$ — гарантированной точки.

Исследовать

Применение теоремы о среднем значении

y = ax³ + bx² + cx + d

ТМЗ гарантирует наличие точки, в которой касательная параллельна секущей на интервале — мгновенная скорость равна средней скорости в некоторой точке внутри.

Словарь Тренировать

English	Русский
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Теорема Лагранжа о среднем значении
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Теорема Вейерштрасса о достижении экстремума
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	критическая точка
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	локальные (относительные) экстремумы
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	увеличивается
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	уменьшается
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	локальный максимум
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	локальный минимум
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	выпуклость вверх
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	вогнутость вниз
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	точка перегиба

5.2

Экстремумы функций: глобальные и локальные экстремумы, критические точки

Программа

Цель обучения FUN-1.C: Обосновывать выводы о функциях, применяя теорему Вейерштрасса.

FUN-1.C.1 Если функция $f$ непрерывна на отрезке $(a, b)$, то теорема Вейерштрасса гарантирует, что $f$ имеет как минимум одно минимальное значение и как минимум одно максимальное значение на $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Точка на функции, где первая производная равна нулю или не существует, является критической точкой функции.
FUN-1.C.3 Все локальные (относительные) экстремумы возникают в критических точках функции, хотя не все критические точки являются локальными экстремумами.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Горный пик: экстремумы и критические точки отмечают наибольшее и наименьшее значения

Теорема Вейерштрасса (EVT) гарантирует существование экстремумов: функция, непрерывная на замкнутом интервале $[a,b]$, достигает как абсолютного максимума, так и абсолютного минимума на этом отрезке.

В точке максимума или минимума производная равна нулю

Критическая точка — это внутренняя точка, где $f'(x)=0$ или $f'(x)$ не существует. Все локальные (относительные) экстремумы возникают в критических точках, но не каждая критическая точка является экстремумом. Таким образом, критические точки — это кандидаты; каждую необходимо проверить.

5.3

Где функция возрастает или убывает

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.1 Первая производная функции может предоставлять информацию о функции и её графике, включая промежутки, на которых функция возрастает или убывает.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Первая производная показывает, где $f$ возрастает или убывает:

$f'(x) > 0$ на интервале $\Rightarrow$ $f$ возрастает там;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ убывает.

На экзамене задание «найдите интервалы возрастания функции $f$» означает: найдите критические точки, затем проверьте знак $f'$ между ними и обоснуйте знаком $f'$ (укажите причину, а не просто назовите интервал).

5.4

Первый признак экстремума (тест первой производной)

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.2 Первая производная функции может определить местонахождение относительных (локальных) экстремумов функции.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Чтобы классифицировать критическую точку $x=c$ как локальный максимум, локальный минимум или Neither, проверьте, как меняется знак $f'$ в этой точке:

$f'$ меняет $+$ на $-$ в $c$ $\Rightarrow$ локальный максимум;
$f'$ изменяется $-$ на $+$ в $c$ $\Rightarrow$ локальном минимуме;
$f'$ не меняет знак $\Rightarrow$Neither.

Всегда указывайте смену знака в качестве обоснования.

Разобранное решение. Для $f(x)=x^3-3x^2$, значение $f'(x)=3x(x-2)$ равно нулю в точке $x=0,2$. Знаки дают $+,-,+$, следовательно, $x=0$ является локальным максимумом ($f=0$), а $x=2$ — локальным минимумом ($f=-4$).

Знак f' определяет участки возрастания/убывания функции и её локальные экстремумы — Там, где $f' > 0$ график идет вверх, а там, где $f' < 0$ — вниз; локальный максимум находится там, где $f'$ меняет $+$ на $-$, а локальный минимум — там, где она меняет $-$ на $+$.

5.5

Тест кандидатов для абсолютных экстремумов

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.3 Абсолютные (глобальные) экстремумы функции на замкнутом интервале могут возникать только в критических точках или на концах интервала.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

На замкнутом интервале абсолютные (глобальные) экстремумы могут находиться только в критических точках или на концах отрезка. Тест кандидатов:

Запишите все критические точки в $[a,b]$ а также два конца отрезка.
Вычислите значение $f$ для каждого кандидата.
Наибольшее значение выхода — абсолютный максимум; наименьшее — абсолютный минимум.

Представьте таблицу значений — сравнение является доказательством.

5.6

Выпуклость и точки перегиба

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.4 График функции является выпуклым вниз (вверх) на открытом интервале, если производная функции возрастает (убывает) на этом интервале.
FUN-4.A.5 Вторая производная функции предоставляет информацию о функции и её графике, включая промежутки выпуклости вверх или вниз.
FUN-4.A.6 Вторая производная функции может использоваться для нахождения точек перегиба графика исходной функции.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Вторая производная описывает изгиб:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ выпукла вверх (изгибается как чаша; $f'$ возрастает);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ выпукла вниз ($f'$ убывает).

Точка перегиба — это место, где выпуклость меняется, т.е. где $f''$ меняет знак (а не просто где $f''=0$). Укажите ее координату $x$ и обоснуйте сменой знака $f''$.

Выпуклость определяется знаком второй производной; она меняется в точке перегиба

Исследовать

Поиск точки смены выпуклости

y = ax³ + bx² + cx + d

Выпуклость определяется знаком второй производной: выпуклость вниз там, где кривая удерживает воду, выпуклость вверх — там, где проливает. Точка перегиба — место смены.

5.7

Второй признак экстремума (тест второй производной)

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.7 Вторая производная функции может определить, является ли критическая точка местонахождением относительного (локального) максимума или минимума.
FUN-4.A.8 Если непрерывная функция имеет на интервале области определения только одну критическую точку, и эта точка соответствует относительному (локальному) экстремуму функции на этом интервале, то эта критическая точка также соответствует абсолютному (глобальному) экстремуму функции на этом интервале.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Альтернативный способ классификации критической точки $c$, где $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ выпукла вверх $\Rightarrow$ локальный минимум;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ выпукла вниз $\Rightarrow$ локальный максимум;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ тест не дает ответа — вернитесь к тесту первой производной.

Особый случай: если непрерывная функция имеет только одну критическую точку на интервале, и она является локальным экстремумом, то эта точка также является абсолютным экстремумом на этом интервале.

5.8

Построение графика функции и её производной

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.9 Ключевые особенности функций и их производных могут быть выявлены и связаны с их графическими, числовыми и аналитическими представлениями.
FUN-4.A.10 Графическую, числовую и аналитическую информацию из $f'$ и $f''$ можно использовать для прогнозирования и объяснения поведения $f$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Ключевые особенности $f$, $f'$ и $f''$ зеркально отражают друг друга. Чтобы построить эскиз или читать графики:

$f$ возрастает $\Leftrightarrow$ $f'$ выше оси; $f$ имеет локальный максимум $\Leftrightarrow$ $f'$ пересекает ось, переходя с $+$ на $-$.
$f$ выпукла вверх $\Leftrightarrow$ $f'$ возрастает $\Leftrightarrow$ $f''$ выше оси; $f$ имеет точку перегиба $\Leftrightarrow$ $f'$ имеет локальный экстремум $\Leftrightarrow$ $f''$ пересекает ноль.

5.9

Связь между $f$, $f'$ и $f''$

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.A: Обосновывать выводы о поведении функции на основе поведения её производных.

FUN-4.A.11 Ключевые особенности графиков $f$, $f'$ и $f''$ взаимосвязаны.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Это навык чтения одного графика для описания другого. Очень частая ситуация на экзамене: дан график $f'$, и нужно ответить о $f$: где $f$ возрастает (где $f'>0$), где находятся экстремумы $f$ (где $f'$ пересекает ноль со сменой знака), где $f$ выпукла вверх (где $f'$ возрастает). Отвечайте на вопросы о $f$, используя высоту и наклон графика $f'$.

Исследовать

Определение наклона и изгиба по графику

y = ax³ + bx² + cx + d

Там, где $f'>0$, функция возрастает; там, где $f''>0$, она изгибается вверх. Передвигайте касательную, чтобы связать форму $f$ со знаками её первой и второй производных.

5.10

Введение в задачи оптимизации

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.B: Вычислять минимальные и максимальные значения в прикладных контекстах или при анализе функций.

FUN-4.B.1 Производную можно использовать для решения задач оптимизации; то есть для нахождения минимального или максимального значения функции на заданном интервале.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Оптимизация: лучшая коробка

Оптимизация использует производную для нахождения наибольшего или наименьшего значения величины на интервале. Это применение механизма тестирования кандидатов/производной для достижения реальной цели.

Ограждения: оптимизация находит размеры, максимизирующие площадь при фиксированной длине забора

Словарь Тренировать

English	Русский
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	Оптимизация

5.11

Решение задач оптимизации

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.C: Интерпретировать минимальные и максимальные значения, вычисленные в прикладных контекстах.

FUN-4.C.1 Минимальные и максимальные значения функции приобретают конкретное значение в прикладных контекстах.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Надежный алгоритм:

Запишите оптимизируемую величину как функцию одного переменного (используйте уравнение связи для исключения лишних).
Укажите допустимый интервал значений аргумента.
Найдите критические точки ($f'=0$ или не существует) и проверьте их (тест первой производной, тест второй производной или тест кандидатов, если интервал замкнут).
Дайте ответ на поставленный вопрос, указав единицы измерения и интерпретацию в контексте задачи — например, максимальная площадь, минимальные затраты и т. д.

Разобранное решение. Имеется $100\ \text{m}$ метров забора для прямоугольного загона у стены (ограждаются только три стороны). Пусть боковые стороны равны $x$, а дальняя сторона $y=100-2x$. Площадь $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ достигает экстремума $A'(x)=100-4x=0$ в точке $x=25$; поскольку $A''=-4<0$, это максимальное значение, что соответствует размерам $y=50$ и $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Исследование свойств неявно заданных зависимостей

Программа

Принцип (FUN-4): Производную функции можно использовать для понимания некоторых её свойств.

Цель обучения FUN-4.D: Определять критические точки неявных соотношений.

FUN-4.D.1 Точка на неявном соотношении, где первая производная равна нулю или не существует, является критической точкой функции.

Цель обучения FUN-4.E: Обосновывать выводы о поведении неявно определенной функции на основе данных, полученных из её производных.

FUN-4.E.1 Применения производных могут быть распространены на неявно определенные функции.
FUN-4.E.2 Вторые производные, полученные с помощью неявного дифференцирования, могут быть соотношениями $x$, $y$ и $\dfrac{dy}{dx}$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Все сказанное распространяется на неявно заданные зависимости. Критическая точка неявной зависимости находится там, где $\dfrac{dy}{dx}=0$ (горизонтальная касательная) или производная не существует (вертикальная касательная). Поскольку $\dfrac{dy}{dx}$ обычно является зависимостью между $x$ и $y$, а вторая производная включает $x$, $y$ и $\dfrac{dy}{dx}$, подставьте выражение для первой производной обратно при вычислении $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, затем определите выпуклость по знаку результата.

5.12

Советы для экзамена

$f'>0$ означает возрастание, $f'<0$ убывание; кандидаты на экстремум находятся там, где $f'=0$ или не существует.
Классифицируйте критическую точку с помощью смены знака первой производной или теста второй производной ($f''>0$ — минимум, $f''<0$ — максимум).
$f''>0$ функция выпукла вниз, $f''<0$ — выпукла вверх; точка перегиба — место изменения выпуклости ($f''$ меняет знак).
Для нахождения абсолютного экстремума на замкнутом интервале также проверьте концы отрезка.
Обоснуйте каждый вывод, ссылаясь на знак $f'$ или $f''$ — экзамен требует обоснования, а не просто ответа.

Интегрирование и накопление изменений

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

6.1

Exploring Accumulations of Change

Программа

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.A: Интерпретировать смысл площадей, связанных с графиком скорости изменения в контексте задачи.

CHA-4.A.1 Площадь области между графиком функции скорости изменения и осью $x$ равна величине накопленного изменения.
CHA-4.A.2 В некоторых случаях накопление изменений можно вычислить с использованием геометрии.
CHA-4.A.3 Если скорость изменения положительна (отрицательна) на интервале, то накопленное изменение также положительно (отрицательно).
CHA-4.A.4 Единицей измерения площади области, ограниченной функцией скорости изменения, является произведение единицы скорости изменения на единицу независимой переменной.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

A water tank: integration accumulates change — total volume from a rate of flow

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

Словарь Тренировать

English	Русский
integral/ˈɪntɪɡrəl/	интеграла
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	накопления

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums

Программа

Принцип (LIM-5): Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с использованием геометрических и числовых методов.

Цель обучения LIM-5.A: Приближённо вычислить определённый интеграл с использованием геометрических и числовых методов.

LIM-5.A.1 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены для функций, заданных графически, численно, аналитически и словесно.
LIM-5.A.2 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с помощью левой суммы Римана, правой суммы Римана, суммы Римана со средними точками или трапециевидной суммы; вычисления могут выполняться с использованием равномерного или неравномерного разбиения.
LIM-5.A.3 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с использованием числовых методов, с применением технических средств или без них.
LIM-5.A.4 В зависимости от поведения функции возможно определить, является ли приближение определённого интеграла заниженной или завышенной оценкой его значения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles

Strips of width h approximate the area under a curve

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

Исследовать

Аппроксимация площади прямоугольниками

y = ax³ + bx² + cx + d

Сумма Римана аппроксимирует площадь под кривой прямоугольниками. Увеличивая количество прямоугольников и уменьшая их ширину, оценка сходится к точному определенному интегралу.

Словарь Тренировать

English	Русский
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	сумма Римана
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	трапециевидная сумма

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation

Программа

Цель обучения LIM-5.B: Интерпретировать предельный случай суммы Римана как определённый интеграл.

LIM-5.B.1 Предел приближающей суммы Римана может быть интерпретирован как определённый интеграл.
LIM-5.B.2 Сумма Римана, требующая разбиения интервала $I$, представляет собой сумму произведений, каждое из которых равно значению функции в точке подынтервала, умноженному на длину этого подынтервала разбиения.

Цель обучения LIM-5.C: Представить предельный случай суммы Римана в виде определённого интеграла.

LIM-5.C.1 Определенный интеграл непрерывной функции $f$ на интервале $[a, b]$, обозначаемый как $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, является пределом сумм Римана при стремлении ширин подынтервалов к 0. То есть, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, где $n$ — количество подынтервалов, $\Delta x_i$ — ширина $i$-го подынтервала, а $x_i^*$ — значение в $i$-м подынтервале.
LIM-5.C.2 Определённый интеграл можно перевести в предел связанной с ним суммы Римана, а предел суммы Римана можно записать как определённый интеграл.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

Словарь Тренировать

English	Русский
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	определенный интеграл

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions

Программа

Принцип (FUN-5): Фундаментальная теорема исчисления связывает дифференцирование и интегрирование.

Цель обучения FUN-5.A: Представлять функции накопления с помощью определённых интегралов.

FUN-5.A.1 Определённый интеграл может использоваться для определения новых функций.
- Иллюстративные примеры для FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Если $f$ — непрерывная функция на интервале, содержащем $a$, тогда $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, где $x$ принадлежит этому интервалу.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

The accumulation function adds signed area; the FTC says its derivative is f

Исследовать

Накопление площади через интеграл

y = ax³ + bx² + cx + d

Функция накопления $\int_a^x f(t)\,dt$ накапливает алгебраическую площадь при движении $x$. Основная теорема гласит, что её производная равна просто $f(x)$.

Словарь Тренировать

English	Русский
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	функция накопления
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	Основная теорема анализа (ОТА)

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions

Программа

Принцип (FUN-5): Фундаментальная теорема исчисления связывает дифференцирование и интегрирование.

Цель обучения FUN-5.A: Представлять функции накопления с помощью определённых интегралов.

FUN-5.A.3 Графические, числовые, аналитические и словесные представления функции $f$ дают информацию о функции $g$, определённой как $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals

Программа

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.A: Вычислять определённый интеграл, используя площади и свойства определённых интегралов.

FUN-6.A.1 В некоторых случаях определённый интеграл можно вычислить, используя геометрию и связь между определённым интегралом и площадью.
FUN-6.A.2 Свойства определённых интегралов включают интеграл от произведения константы на функцию, интеграл от суммы двух функций, изменение пределов интегрирования и интеграл от функции на смежных интервалах.
FUN-6.A.3 Определение определённого интеграла может быть обобщено на функции с устранимыми или скачкообразными разрывами.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals

Программа

Цель обучения FUN-6.B: Вычислять определённые интегралы аналитически, используя Фундаментальную теорему исчисления.

FUN-6.B.1 Первообразная функции $f$ — это функция $g$, производная которой равна $f$.
FUN-6.B.2 Если функция $f$ непрерывна на интервале, содержащем $a$, то функция, заданная выражением $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$, является первообразной для $f$ при всех $x$ из этого интервала.
FUN-6.B.3 Если $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и $F$ — первообразная для $f$, то $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

A definite integral is the signed area between the curve and the x-axis

Словарь Тренировать

English	Русский
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	первообразная

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals

Программа

Цель обучения FUN-6.C: Определять первообразные функций и неопределенные интегралы, используя знания о производных.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ — неопределенный интеграл функции $f$ и может быть записан в виде $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$ и $C$ — любая постоянная величина.
FUN-6.C.2 Правила дифференцирования лежат в основе нахождения первообразных.
FUN-6.C.3 Многие функции не имеют первообразных, выражаемых через элементарные функции (в замкнутой форме).

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

Словарь Тренировать

English	Русский
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	неопределенный интеграл

6.9

Integrating Using Substitution

Программа

Цель обучения FUN-6.D: Для подынтегральных выражений, требующих замены или преобразования в эквивалентные формы: (a) Найти неопределенные интегралы. (b) Вычислить определенные интегралы.

FUN-6.D.1 Метод замены переменной — это техника нахождения первообразных.
FUN-6.D.2 Для определенного интеграла замена переменной требует соответствующей замены пределов интегрирования.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

Словарь Тренировать

English	Русский
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	замена переменной u

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square

Программа

FUN-6.D.3 Методы нахождения первообразных включают преобразование к эквивалентным формам, такие как деление уголком и выделение полного квадрата.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts

Программа

Цель обучения FUN-6.E: Для подынтегральных выражений, требующих интегрирования по частям: (a) Найти неопределенные интегралы. Только BC (b) Вычислить определенные интегралы. Только BC

FUN-6.E.1 Интегрирование по частям — это метод нахождения первообразных. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

Словарь Тренировать

English	Русский
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	Интегрирование по частям

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions

Программа

Цель обучения FUN-6.F: Для подынтегральных выражений, требующих интегрирования с использованием линейных дробей: (a) Найти неопределенные интегралы. Только BC (b) Вычислить определенные интегралы. Только BC

FUN-6.F.1 Некоторые рациональные функции можно разложить на суммы отношений линейных неповторяющихся множителей, к которым применимы базовые методы интегрирования. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

Словарь Тренировать

English	Русский
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	Дробно-рациональное разложение

6.13

Evaluating Improper Integrals

Программа

Принцип усвоения (LIM-6): Использование пределов позволяет показать, что площади неограниченных областей могут быть конечными.

Цель обучения LIM-6.A: Вычислить несобственный интеграл или определить, что интеграл расходится. Только BC

LIM-6.A.1 Несобственный интеграл — это интеграл, у которого один или оба предела бесконечны, либо подынтегральная функция не ограничена на отрезке интегрирования. Только BC
LIM-6.A.2 Несобственные интегралы можно вычислять с помощью пределов определенных интегралов. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

Словарь Тренировать

English	Русский
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	несобственный интеграл
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	сходится
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	расходится

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation

Программа

Эта тема посвящена отработке навыка выбора подходящей процедуры для антидифференцирования. Ученикам следует предоставить возможность практиковаться в том, когда и как применять все цели обучения, связанные с антидифференцированием.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

6.14

Exam tips

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Дифференциальные уравнения

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

7.1

Моделирование ситуаций с помощью дифференциальных уравнений

Программа

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.A: Интерпретировать словесные формулировки задач как дифференциальные уравнения, содержащие выражение производной.

FUN-7.A.1 Дифференциальные уравнения связывают функцию независимой переменной и производные этой функции.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Дифференциальное уравнение связывает функцию с её производными. Многие реальные ситуации описываются скоростью изменения: «популяция растет со скоростью, пропорциональной её размеру» записывается как $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Составление уравнения по словесному описанию — определение того, что изменяется и чему эта скорость пропорциональна, — это первый необходимый навык.

7.2

Проверка решений дифференциальных уравнений

Программа

Цель обучения FUN-7.B: Проверять решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.B.1 Производные могут использоваться для проверки того, что функция является решением данного дифференциального уравнения.
FUN-7.B.2 У дифференциального уравнения может быть бесконечно много общих решений.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Решение — это функция, удовлетворяющая уравнению. Чтобы проверить предполагаемое решение, продифференцируйте его и подставьте в уравнение, убедившись, что обе части совпадают. Общее решение содержит константу $C$; частное решение определяет значение $C$ на основе начального условия.

7.3

Построение полей направлений

Программа

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.1 Поле направлений — это графическое представление дифференциального уравнения на конечном множестве точек плоскости.
FUN-7.C.2 Поля направлений дают информацию о поведении решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Поля направлений и кривые решений

Поле направлений рисует короткий отрезок во многих точках, каждый из которых имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$, который задает уравнение в этой точке. Оно визуализирует семейство кривых решений без их явного нахождения. Чтобы построить такое поле, вычислите правую часть в каждой узловой точке сетки и нарисуйте отрезок соответствующего наклона.

Поле направлений показывает градиент везде; кривые решений следуют ему

Исследовать

Чтение дифференциального уравнения как поля направлений

Поле направлений отображает наклон $dy/dx$ в каждой точке. Кривая решения проходит сквозь него, оставаясь касательной к маленьким сегментам — можно нарисовать её, следуя потоку.

Словарь Тренировать

English	Русский
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	дифференциальное уравнение
slope field/sləʊp fiːld/	поле направлений
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	метод Эйлера
separable/ˈsepərəbl/	разделяемое
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	начальное условие
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	экспоненциальный рост или спад
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	логистическая модель
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	ёмкость среды

7.4

Анализ с использованием полей направлений

Программа

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.3 Решения дифференциальных уравнений представляют собой функции или семейства функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Кривая решения следует по отрезкам, подобно лодке, плывущей по течению. По полю направлений можно набросать частное решение, проходящее через заданную точку, описать долгосрочное поведение и определить места, где решения выравниваются (наклоны близки к нулю) — рассуждая о решениях исключительно по изображению.

7.5

Приближенное решение с помощью метода Эйлера

Программа

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.4 Метод Эйлера предоставляет алгоритм приближенного нахождения решения дифференциального уравнения или точки на кривой решения. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Метод Эйлера

Метод Эйлера приближенно находит решение численно, двигаясь вдоль поля направлений. Начиная с известной точки, сделайте маленький шаг $\Delta x$ и обновите значение:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Повторяйте для каждого шага. Чем меньше шаги, тем точнее приближение. (Это техника только для уровня BC.)

Навык для экзамена: умейте выполнить два или три шага метода Эйлера вручную по таблице и знайте, что метод Эйлера занижает или завышает значение в зависимости от выпуклости решения.

Разобранный пример. Найдите приближенное значение $y(1)$ для $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, с шагом $\Delta x=0.5$. Шаг 1: наклон в точке $(0,1)$ равен $0+1=1$, следовательно, $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Шаг 2: наклон в точке $(0.5,1.5)$ равен $0.5+1.5=2$, следовательно, $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Нахождение общих решений методом разделения переменных

Программа

Цель обучения FUN-7.D: Определять общие решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.D.1 Некоторые дифференциальные уравнения можно решить методом разделения переменных.
FUN-7.D.2 Нахождение первообразных (интегрирование) может использоваться для поиска общих решений дифференциальных уравнений.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

E. coli под микроскопом: дифференциальные уравнения моделируют экспоненциальный рост

Разделяющееся дифференциальное уравнение можно записать так, чтобы все $y$'ы были на одной стороне, а все $x$'ы — на другой, после чего проинтегрировать:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Это дает общее решение (с константой $+C$), основной аналитический метод решения дифференциальных уравнений в данном курсе.

Разобранный пример. Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ при условии $y(0)=2$. Разделяя переменные, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ приводит к $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, откуда $y=Ae^{x^2/2}$. Условие $y(0)=2$ дает значение $A=2$, следовательно, $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Нахождение частных решений с использованием начальных условий

Программа

Цель обучения FUN-7.E: Определять частные решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.E.1 Общее решение может описывать бесконечно много решений дифференциального уравнения. Через заданную точку проходит только одно частное решение.
FUN-7.E.2 Функция $F$, заданная формулой $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$, является частным решением дифференциального уравнения $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, удовлетворяющим условию $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Решения дифференциальных уравнений могут иметь ограничения области определения.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Начальное условие (известная точка, например, $y(0)=5$) фиксирует константу $C$. Найдите общее решение, подставьте условие, чтобы найти $C$, затем запишите частное решение. Следите за областью определения — частное решение верно только на интервале, содержащем начальную точку.

Константа порождает семейство кривых; начальное условие выбирает одну конкретную

7.8

Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями

Программа

Цель обучения FUN-7.F: Интерпретировать смысл дифференциального уравнения и его переменных в контексте задачи.

FUN-7.F.1 Конкретные приложения нахождения общих и частных решений дифференциальных уравнений включают движение вдоль прямой и экспоненциальный рост и убывание.
FUN-7.F.2 Модель экспоненциального роста и убывания, вытекающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна ее размеру», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Цель обучения FUN-7.G: Определять общие и частные решения для задач, связанных с дифференциальными уравнениями в контексте.

FUN-7.G.1 Модель экспоненциального роста и убывания $\dfrac{dy}{dt} = ky$ с начальным условием $y = y_0$ при $t = 0$ имеет решения вида $y = y_0 e^{kt}$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Экспоненциальный и логистический рост

Уравнение $\dfrac{dy}{dt}=ky$ означает, что скорость изменения пропорциональна величине — что дает экспоненциальный рост или спад. Разделение переменных приводит к

$$y=y_0 e^{kt},$$

где $k>0$ соответствует росту, а $k<0$ — спаду. Это моделирует неограниченный рост популяции, радиоактивный распад и непрерывно начисляемый процент.

Остывающая чашка кофе: закон Ньютона охлаждения — классическая модель дифференциальных уравнений — Остывающая чашка кофе: закон охлаждения Ньютона — классическая модель дифференциальных уравнений

Исследовать

Модель экспоненциального роста/спада

y = a·e^(bx) + c

Уравнение $dy/dt=ky$ имеет экспоненциальные решения: величина изменяется со скоростью, пропорциональной самому себе, что дает неограниченный рост ($k>0$) или спад к нулю ($k<0$).

7.9

Логистические модели с дифференциальными уравнениями

Программа

Цель обучения FUN-7.H: Интерпретировать смысл логистической модели роста в контексте задачи. Только BC

FUN-7.H.1 Модель логистического роста, возникающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна как самой величине, так и разности между величиной и предельным значением», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. Только BC
FUN-7.H.2 Логистическое дифференциальное уравнение и начальные условия могут быть интерпретированы без решения самого уравнения. Только BC
FUN-7.H.3 Предельное значение (предельная емкость) логистического дифференциального уравнения при стремлении независимой переменной к бесконечности может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC
FUN-7.H.4 Значение зависимой переменной в логистическом дифференциальном уравнении в момент максимальной скорости изменения может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Реальный рост ограничен ресурсами, поэтому логистическая модель добавляет емкость среды $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Рост является почти экспоненциальным, когда $P$ мало, замедляется по мере приближения $P$ к $L$ и останавливается на $P=L$. Ключевые факты BC: популяция стабилизируется на уровне $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), а рост происходит наиболее быстро при $P=\tfrac{L}{2}$ (точка перегиба S-образной кривой). От вас требуется считывать $L$ и значение максимальной скорости роста непосредственно из уравнения.

Разобранный пример. Для $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$ ёмкость среды составляет $L=2000$ (популяция стабилизируется там), а рост наиболее быстрый при $P=\dfrac{L}{2}=1000$ — оба значения считываются напрямую из уравнения без необходимости решения.

Логистическая модель растет наиболее быстро при P=L/2 и стабилизируется на уровне ёмкости среды L

7.9

Советы для экзамена

Решите разделимое уравнение, перенеся все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрировав обе части (добавьте константу $+C$ один раз).
Используйте начальное условие, чтобы найти конкретное решение ($C$).
Нарисуйте или прочитайте поле направлений: маленькие отрезки показывают значение $\tfrac{dy}{dx}$ в каждой точке, а кривая решения следует им.
Распознавайте экспоненциальные модели $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (рост/убывание).
Дифференциальное уравнение дает наклон — вам нужно проинтегрировать, чтобы восстановить функцию.

Приложения интегрирования

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

8.1

Нахождение среднего значения функции на интервале

Программа

Цель обучения CHA-4.B: Определять среднее значение функции с помощью определенных интегралов.

CHA-4.B.1 Среднее значение непрерывной функции $f$ на интервале $[a, b]$ равно $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Среднее значение $f$ на отрезке $[a,b]$ равно интегралу, деленному на ширину:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Это постоянная высота прямоугольника, которая дала бы ту же площадь, что и область под кривой $f$. Не путайте это со средним темпом изменения (который использует производную).

Разобранный пример. Среднее значение $f(x)=x^2$ на отрезке $[0,3]$ равно $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Исследовать

Среднее значение функции

y = ax³ + bx² + cx + d

Среднее значение $f$ на $[a,b]$ равно её интегралу, деленному на ширину — это постоянная высота прямоугольника, площадь которого равна площади под кривой.

8.2

Связь положения, скорости и ускорения с помощью интегралов

Программа

Цель обучения CHA-4.C: Определять значения положения и скорости изменения, используя определенные интегралы в задачах на прямолинейное движение.

CHA-4.C.1 Для частицы, движущейся прямолинейно на промежутке времени, определенный интеграл от скорости представляет собой перемещение частицы за этот промежуток времени, а определенный интеграл от модуля скорости (скорости) представляет собой полный путь, пройденный частицей за этот промежуток времени.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для прямолинейного движения интегрирование обратимо дифференцированию:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Два ключевых различия: перемещение — это $\int_a^b v\,dt$ (чистое изменение положения), а полный путь — это $\int_a^b |v|\,dt$ (разбиение на участки, где $v$ меняет знак). Скорость равна $|v|$.

8.3

Использование функций накопления и определенных интегралов в прикладных контекстах

Программа

Цель обучения CHA-4.D: Интерпретировать смысл определенного интеграла в задачах на накопление.

CHA-4.D.1 Функция, определенная как интеграл, представляет собой накопление скорости изменения.
CHA-4.D.2 Определенный интеграл от скорости изменения величины на промежутке дает чистое изменение этой величины на этом промежутке.

Цель обучения CHA-4.E: Определять чистое изменение с помощью определенных интегралов в прикладных контекстах.

CHA-4.E.1 Определенный интеграл может использоваться для выражения информации о накоплении и чистом изменении во многих прикладных контекстах.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Когда задана скорость (расход потока, продажи в день), определенный интеграл дает накопленную сумму, а $\int_a^b R(t)\,dt$ несет единицы измерения $R$, умноженные на время. Типовая задача: начальное количество $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ определяет количество в более поздний момент времени. Всегда интерпретируйте ответ в контексте задачи, указывая единицы измерения."

8.4

Нахождение площади между кривыми, выраженными как функции x

Программа

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.1 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с помощью определенных интегралов.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Гончар формирует сосуд: тела вращения образуются вращением плоской области вокруг оси

Площадь между $y=f(x)$ (верхней) и $y=g(x)$ (нижней) функциями от $a$ до $b$ равна

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Найдите точки пересечения для определения пределов, и всегда вычитайте верхнюю минус нижнюю кривую.

Площадь между двумя кривыми равна интегралу от верхней функции минус нижняя — Площадь между двумя кривыми равна интегралу разности верхней и нижней кривых

Разобранное решение. Между $y=x$ и $y=x^2$ (точки пересечения $x=0,1$, при этом сверху находится $y=x$), площадь составляет $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Нахождение площади между кривыми, выраженными как функции y

Программа

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.2 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с использованием функций либо $x$, либо $y$.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если кривые удобнее описывать как $x=f(y)$, интегрируйте по переменной $y$, используя формулу правая минус левая:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Выбор интегрирования по $y$ может избежать разбиения области на несколько частей.

8.6

Нахождение площади между кривыми, пересекающимися более двух раз

Программа

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.3 Площади некоторых областей в плоскости могут быть вычислены с помощью суммы двух или более определенных интегралов или путем вычисления определенного интеграла от абсолютной величины разности двух функций.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если две кривые пересекаются несколько раз, верхняя и нижняя меняются местами. Разбейте область в каждой точке пересечения и проинтегрируйте каждый фрагмент с правильной разностью верхней и нижней кривых (или используйте $\int|f-g|$), затем сложите полученные результаты.

8.7

Объемы с поперечными сечениями: квадраты и прямоугольники

Программа

Цель обучения CHA-5.B: Вычислять объемы тел с известными поперечными сечениями с помощью определенных интегралов.

CHA-5.B.1 Объемы тел с квадратными и прямоугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если поперечные сечения твердого тела, перпендикулярные оси $x$, представляют собой квадраты или прямоугольники, интегрируйте их площадь. При длине стороны, равной расстоянию между двумя кривыми, квадратное поперечное сечение дает

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

Метод всегда заключается в «интегрировании площади поперечного сечения»."

8.8

Объёмы с поперечными сечениями: Треугольники и полукруги

Программа

CHA-5.B.2 Объемы тел с треугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
CHA-5.B.3 Объемы тел с полукруглыми и другими геометрически определенными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
- Иллюстративные примеры для CHA-5.B.3:
  - Объём воронки, поперечные сечения которой являются окружностями, можно вычислить, используя формулу площади круга и определённый интеграл (см. 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - Объём тела, площадь поперечного сечения которого задана функцией, можно найти, используя известную функцию площади и определённый интеграл (см. 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Та же идея, другая формула площади: для поперечных сечений в виде равностороннего треугольника используйте $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, а для полукруглых — $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (где $s$ — расстояние между кривыми). Подставьте формулу площади и проинтегрируйте.

8.9

Объем методом дисков: Вращение вокруг осей x или y

Программа

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.1 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$ можно найти, используя определенные интегралы с применением метода дисков.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Тела вращения: метод дисков

Вращение области вокруг оси создает тело, поперечные сечения которого являются дисками. Метод дисков интегрирует $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

где радиус $R$ — это расстояние от кривой до оси. Используйте $dy$ при вращении вокруг оси $y$.

Метод дисков: вращение y=f(x) вокруг оси образует диски радиуса f(x)

Разобранный пример. Вращение области под $y=\sqrt{x}$ от $0$ до $4$ вокруг оси $x$ образует диски радиуса $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Вращение области вокруг оси образует тело вращения

8.10

Объем методом дисков: Вращение вокруг других осей

Программа

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.2 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии в плоскости могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом дисков.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Когда ось вращения представляет собой горизонтальную или вертикальную прямую, например $y=k$ (не являющуюся осью координат), радиус корректируется: $R=|f(x)-k|$. Запишите радиус как расстояние от кривой до этой прямой, затем проинтегрируйте $\pi R^2$ так же, как и ранее.

8.11

Объем методом колец: Вращение вокруг осей x или y

Программа

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.3 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Объём методом колец

Если область не касается оси, вращение оставляет отверстие, поэтому поперечные сечения имеют вид колец. Метод колец вычитает внутренний диск:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Определите внешний и внутренний радиусы как расстояния от каждой кривой до оси.

Словарь Тренировать

English	Русский
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	среднего значения
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	перемещение
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	полный путь
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	поперечные сечения
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	метод дисков
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	метод колец (шайб)
arc length/ɑːk leŋθ/	длину дуги

8.12

Объем методом колец: Вращение вокруг других осей

Программа

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.4 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Как и в случае с дисками, вращение вокруг прямой $y=k$ или $x=k$ смещает оба радиуса — каждый становится расстоянием от своей кривой до этой прямой. Нарисуйте область и ось, обозначьте $R_{\text{outer}}$ и $R_{\text{inner}}$, затем проинтегрируйте разность квадратов.

8.13

Длина дуги гладкой кривой и пройденное расстояние

Программа

Принцип (CHA-6): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменения длины на отрезке.

Цель обучения CHA-6.A: Вычислить длину кривой на плоскости, заданной функцией, используя определенный интеграл. Только BC

CHA-6.A.1 Длину плоской кривой, заданной функцией, можно вычислить с помощью определенного интеграла. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Длина дуги кривой $y=f(x)$ на интервале от $a$ до $b$ равна

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Эта формула только для уровня BC получена путем суммирования малых гипотенуз $\sqrt{dx^2+dy^2}$. Та же идея применяется для нахождения расстояния, которое проходит частица вдоль криволинейной траектории.

Разобранный пример. Найдите длину дуги кривой $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ от $x=0$ до $x=3$. Здесь $f'(x)=x^{1/2}$, следовательно, $1+(f')^2=1+x$ и

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Мост Золотые Ворота и его длинные несущие тросы — Несущий трос моста висит в виде гладкой кривой; интеграл дает ее точную длину

8.13

Советы для экзамена

Площадь между кривыми равна $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — найдите точки пересечения для пределов интегрирования и сохраняйте верхнее минус нижнее.
Для тела вращения сложите поперечные сечения-диски/кольца площадью $\pi r^2$ (или $\pi(R^2-r^2)$).
Среднее значение $f$ на отрезке $[a,b]$ равно $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Накопленное изменение равно $\int$ скорости: итог = начальное значение $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Интегрирование означает «сложение бесконечно малого количества крошечных частей» — составьте подынтегральное выражение как один тонкий срез.

Параметрические уравнения, полярные координаты и векторно-значные функции

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

9.1

Определение и дифференцирование параметрических уравнений

Программа

Цель обучения CHA-3.G: Вычислять производные параметрических функций. Только BC

CHA-3.G.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на параметрические функции. Только BC
CHA-3.G.2 Для кривой, заданной параметрически, значение $\dfrac{dy}{dx}$ в точке на кривой является угловым коэффициентом касательной к этой кривой в данной точке. $\dfrac{dy}{dx}$, угловой коэффициент касательной к кривой, заданной параметрическими уравнениями, можно определить, разделив $\dfrac{dy}{dt}$ на $\dfrac{dx}{dt}$, при условии, что $\dfrac{dx}{dt}$ не равно нулю. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Международная космическая станция на орбите: параметрические уравнения описывают положение как функцию времени

Параметрические уравнения задают $x$ и $y$ как функции параметра $t$ (часто времени): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Они описывают кривую, которая не обязательно является функцией от $x$. Угловой коэффициент кривой находится с помощью правила дифференцирования сложной функции:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Разобранный пример. Для $x=t^2$, $y=t^3-t$ найдите угловой коэффициент при $t=2$. Здесь $\dfrac{dx}{dt}=2t$ и $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, поэтому $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; при $t=2$ это равно $\dfrac{11}{4}$.

Словарь Тренировать

English	Русский
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	параметрические уравнения
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	векторнозначная функция
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	Полярные координаты

9.2

Вторые производные параметрических уравнений

Программа

Цель обучения CHA-3.G: Вычислять производные параметрических функций. Только BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ можно вычислить, разделив $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ на $\dfrac{dx}{dt}$. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Вторая производная не равна $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Вместо этого продифференцируйте первую производную по $t$, а затем разделите на $dx/dt$ еще раз:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Используйте её для проверки выпуклости параметрической кривой.

9.3

Нахождение длин дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

Программа

Цель обучения CHA-6.B: Вычислить длину кривой на плоскости, заданной параметрическими функциями, используя определенный интеграл. Только BC

CHA-6.B.1 Длину кривой, заданной параметрически, можно вычислить с помощью определенного интеграла. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Длина параметрической кривой для $t$ от $a$ до $b$ равна

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Это параметрическая версия длины дуги — суммирование малых гипотенуз $\sqrt{dx^2+dy^2}$ по параметру.

9.4

Определение и дифференцирование векторнозначных функций

Программа

Цель обучения CHA-3.H: Вычислять производные векторнозначных функций. Только BC

CHA-3.H.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на векторнозначные функции. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Векторнозначная функция $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ задает вектор положения для каждого $t$. Дифференцируйте покомпонентно: скорость есть $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$, а ускорение есть $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. Модуль скорости равен величине $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Векторнозначная прямая: начало в точке a, затем смещение на t единиц в направлении b

Исследовать

Добавление компонент вектор-значной функции

Вектор-значная функция объединяет $x(t)$ и $y(t)$ в один вектор. Дифференцирование каждой компоненты дает вектор скорости, касательный к траектории.

9.5

Интегрирование векторнозначных функций

Программа

Принцип (FUN-8): Решение задачи Коши позволяет найти выражение для положения частицы, движущейся на плоскости.

Цель обучения FUN-8.A: Найти частное решение по заданному вектору скорости и начальным условиям. Только BC

FUN-8.A.1 Методы вычисления интегралов вещественнозначных функций могут быть расширены на параметрические или векторнозначные функции. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Интегрируйте векторную функцию покомпонентно. Зная ускорение или скорость плюс начальное условие, проинтегрируйте каждый компонент и используйте условие для нахождения констант — восстанавливая скорость из ускорения или положение из скорости.

9.6

Решение задач на движение с использованием параметрических и векторнозначных функций

Программа

Цель обучения FUN-8.B: Определять значения положения и скоростей изменения в задачах, связанных с плоским движением. Только BC

FUN-8.B.1 Производные могут использоваться для определения скорости, модуля скорости и ускорения частицы, движущейся вдоль кривой на плоскости, заданной параметрическими или векторнозначными функциями. Только BC
FUN-8.B.2 Для частицы, совершающей движение на плоскости за некоторый промежуток времени, определенный интеграл вектора скорости представляет собой перемещение частицы (суммарное изменение положения) за этот промежуток времени, из которого можно определить её положение. Определенный интеграл модуля скорости представляет собой полный путь, пройденный частицей за этот промежуток времени. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для частицы, движущейся в плоскости: положение есть $\langle x(t),y(t)\rangle$, скорость и ускорение — её производные, модуль скорости есть $|\vec v|$, а пройденный путь за $[a,b]$ равен

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Навык для экзамена: задачи на движение в плоскости появляются на свободных ответах BC почти каждый год — будьте уверенны в вычислении модуля скорости, положении в более поздний момент времени (начальная точка плюс интеграл от скорости) и общем пройденном пути.

Разобранный пример. Частица имеет положение $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Её скорость есть $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, поэтому при $t=1$ скорость равна $\langle 2,\ 2\rangle$, а модуль скорости — $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Её положение при $t=2$ равно $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Определение полярных координат и дифференцирование в полярной форме

Программа

Цель обучения FUN-3.G: Вычислять производные функций, заданных в полярных координатах. Только BC

FUN-3.G.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на функции в полярных координатах. Только BC
FUN-3.G.2 Для кривой, заданной полярным уравнением $r = f(\theta)$, производные $r$, $x$ и $y$ по $\theta$, а также первая и вторая производные $y$ по $x$, могут предоставить информацию о кривой. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Построение полярной кривой

Полярные координаты определяют положение точки по расстоянию $r$ от начала координат и углу $\theta$: преобразование выполняется по формулам $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Полярная кривая $r=f(\theta)$ является параметрической кривой в $\theta$, поэтому её наклон равен

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Полярные координаты задают точку по расстоянию r и углу theta

Исследовать

Построение полярной кривой

В полярных координатах точка находится на расстоянии $r$ под углом $\theta$. Зависимость $r$ от $\theta$ рисует такие кривые, как эта кардиоида.

9.8

Нахождение площади полярной области

Программа

Цель обучения CHA-5.D: Вычислять площади областей, ограниченных полярными кривыми, с помощью определенных интегралов. Только BC

CHA-5.D.1 Понятие вычисления площадей в декартовых координатах может быть расширено на полярные координаты. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Площадь, описываемая полярной кривой $r=f(\theta)$ от $\alpha$ до $\beta$, равна

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

Область представляет собой «веер» из тонких треугольных секторов; выбор правильных пределов по $\theta$ (где кривая начинает и заканчивает обрисовку области) является основной задачей.

Разобранный пример. Найдите площадь одного лепестка розы $r=2\sin(2\theta)$ (описанной для $\theta$ от $0$ до $\tfrac{\pi}{2}$). Используя $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Площадь полярной области описывается как половина интеграла от r² d theta — Заштрихованная область — веер из тонких секторов, описанных от $\alpha$ до $\beta$; каждый имеет площадь $\tfrac12 r^2\,d\theta$, поэтому общая площадь равна $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Нахождение площади области, ограниченной двумя полярными кривыми

Программа

CHA-5.D.2 Площадь областей, ограниченных полярными кривыми, может быть вычислена с помощью определенных интегралов. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для площади между внешней кривой $r_1$ и внутренней кривой $r_2$ вычтите сектора:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Сначала найдите углы пересечения (приравняйте $r_1=r_2$), и будьте осторожны с тем, какая кривая является внешней на каждом интервале — они могут меняться местами.

9.9

Советы для экзамена

Для параметрических кривых: $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; модуль скорости равен $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Векторнозначная функция содержит ту же информацию — дифференцируйте/интегрируйте её покомпонентно.
В полярных координатах преобразуйте по формулам $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; описанная площадь равна $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Следите за направлением обрисовки (знаком $dx/dt$) и устанавливайте правильные пределы по $\theta$ для полярной площади.
Исключите параметр, чтобы получить обычную зависимость $y$ от $x$, если это помогает.

Бесконечные последовательности и ряды

Смотреть урок

Открыть эту тему на отдельной странице

10.1

Определение сходящихся и расходящихся числовых рядов

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.1 $n$-я частичная сумма определяется как сумма первых $n$ членов ряда. ТОЛЬКО BC
LIM-7.A.2 Бесконечный числовой ряд сходится к действительному числу $S$ (или имеет сумму $S$), если и только если существует предел его последовательности частичных сумм и он равен $S$. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Вложенные матрёшки: бесконечный ряд продолжает прибавлять члены — некоторые сходятся, другие расходятся

Бесконечный ряд складывает бесконечно много членов, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Его значение определяется как предел частичных сумм $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Если $S_N$ стремится к конечному числу $L$, ряд сходится к $L$; иначе он расходится. Каждый вопрос о сходимости на самом деле является вопросом о пределе частичных сумм.

Частичные суммы сходящегося геометрического ряда растут, приближаясь к a деленному на 1 минус r — Для геометрического ряда со $a=1,\ r=\tfrac12$ частичные суммы $S_1,S_2,S_3,\dots$ растут, приближаясь к пределу $\dfrac{a}{1-r}=2$ — этот предел и есть значение ряда.

Словарь Тренировать

English	Русский
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	бесконечный ряд
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	частичных сумм
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	сходится
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	расходится
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	геометрическая прогрессия
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	признака интегрального сравнения
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	гармонический ряд
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	прямое сравнение
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	Предельное сравнение
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	знаочередующийся ряд
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	признака Даламбера
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	сходится абсолютно
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	сходится условно

10.2

Работа с геометрическим рядом

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.3 Геометрический ряд — это ряд, у которого отношение между последовательными членами постоянно. Только BC
LIM-7.A.4 Если $a$ — действительное число, а $r$ — действительное число такое, что $|r| < 1$, то геометрический ряд $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Геометрический ряд & сходимость

Геометрический ряд $\sum ar^{n}$ имеет постоянное отношение $r$ между членами. Он сходится только когда $|r|<1$, и тогда

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

Это единственный ряд, сумму которого можно найти точно, и он лежит в основе степенных рядов далее в этом разделе.

Разобранный пример. Найдите сумму $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Здесь $a=3$ и $r=\tfrac12$ (при $|r|<1$), поэтому сумма равна $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Геометрическая прогрессия умножается на одно и то же отношение на каждом шаге

Исследовать

Условие сходимости геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия $\sum ar^n$ сходится только если $|r|<1$, суммируясь до значения $\frac{a}{1-r}$. Измените знаменатель и наблюдайте, как частичные суммы стабилизируются или расходятся.

10.3

Признак расходности n-го члена

Программа

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-7 Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.	LIM-7.A Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY	LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если члены не стремятся к нулю, сумма не может сойтись: если $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, ряд расходится. Это только признак расходимости – если члены действительно стремятся к нулю, признак не дает ответа (ряд все еще может расходиться, как гармонический ряд). Всегда проверяйте этот быстрый тест первым.

10.4

Признак сравнения для сходимости интегралов

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.6 Интегральный признак — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если $a_n=f(n)$ для положительной, убывающей, непрерывной $f$, то $\sum a_n$ и $\int_1^\infty f(x)\,dx$ сходятся или расходятся вместе. Признак сравнения интегралов превращает вопрос о ряде в вопрос о несобственном интеграле, и именно он доказывает правило p-ряда ниже.

10.5

Гармонический ряд и p-ряды

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.7 Помимо геометрических рядов, к распространенным числовым рядам относятся гармонический ряд, знакочередующийся гармонический ряд и $p$-ряды. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

p-ряд $\sum \dfrac{1}{n^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le1$. Особый случай $p=1$, $\sum\dfrac1n$ — это гармонический ряд – он расходится, хотя его члены стремятся к нулю (известный факт, который нужно знать наизусть). Семейство p-рядов является стандартной мерой для признаков сравнения.

10.6

Признаки сравнения для сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.8 Признак сравнения — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC
LIM-7.A.9 Признак предельного сравнения — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Сравните незнакомый ряд с известным (p-рядом или геометрическим рядом):

Прямое сравнение: если $0\le a_n\le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то сходится и $\sum a_n$; если $a_n\ge b_n\ge0$ и $\sum b_n$ расходится, то расходится и $\sum a_n$.
Предельное сравнение: если $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ является конечным положительным числом, оба ряда ведут себя одинаково. Это проще, когда члены лишь подобны поведению известного ряда.

10.7

Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.10 Признак Лейбница — это метод определения того, сходится ли знакочередующийся ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Знакочередующийся ряд имеет члены, меняющие знак, $\sum(-1)^n b_n$. Он сходится, если модули $b_n$ положительны, убывают и $\lim b_n=0$. Это позволяет рядам вида $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ сходиться, хотя те же самые члены без знаков (гармонический ряд) расходятся.

10.8

Признак Даламбера для сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.11 Признак Даламбера — это метод определения того, сходится или расходится числовой ряд. Только BC
- Заявление об исключении: Признак расходимости по n-му члену, интегральный признак, признак сравнения, признак предельного сравнения, признак Лейбница для знакочередующихся рядов и признак Даламбера для сходимости проверяются на экзамене AP Calculus BC. Другие методы не проверяются на экзамене. Однако учителя могут включить дополнительные методы в курс, если позволяет время.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Признак Даламбера исследует $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: ряд сходится абсолютно;
$L>1$: он расходится;
$L=1$: признак не дает ответа.

Это основной признак для рядов с факториалами или $n$-й степенью, и именно так вы находите радиус сходимости степенного ряда.

Разобранный пример. Проверьте $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Отношение равно $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, поэтому ряд сходится.

10.9

Определение абсолютной или условной сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.12 Ряд может быть абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся. Только BC
LIM-7.A.13 Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Только BC
LIM-7.A.14 Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него путем перегруппировки или перестановки членов, имеет то же значение. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Ряд сходится абсолютно, если $\sum|a_n|$ сходится. Он сходится условно, если $\sum a_n$ сходится, но $\sum|a_n|$ расходится (классический пример — $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Абсолютная сходимость — более сильное свойство; условная сходимость зависит от взаимного уничтожения знаков.

10.10

Оценка ошибки знакочередующегося ряда

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.B: Приближенно вычислять сумму ряда. ТОЛЬКО BC

LIM-7.B.1 Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то оценку ошибки знакочередующегося ряда можно использовать для ограничения того, насколько частичная сумма отличается от значения бесконечного ряда. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для сходящегося знакочередующегося ряда ошибка при остановке на $N$-м частичной сумме не превышает первого пропущенного члена:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Эта простая, мощная оценка позволяет определить, сколько членов гарантируют желаемую точность.

10.11

Нахождение приближений функций полиномами Тейлора

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.A: Представлять функцию в точке как полином Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.A.1 Коэффициент при члене степени $n$ в полиноме Тейлора для функции $f$, центрированном в точке $x = a$, равен $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. ТОЛЬКО BC
LIM-8.A.2 Во многих случаях, по мере увеличения степени полинома Тейлора, полином степени $n$ будет стремиться к исходной функции на некотором интервале. ТОЛЬКО BC

Цель обучения LIM-8.B: Приближенно вычислять значения функции с помощью полинома Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.B.1 Полиномы Тейлора для функции $f$, центрированные в точке $x = a$, можно использовать для приближенного вычисления значений функции $f$ вблизи точки $x = a$. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Приближение рядом Тейлора

Полином Тейлора аппроксимирует функцию вблизи центра $x=a$, используя её производные в этой точке:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Каждый добавленный член соответствует одной дополнительной производной, поэтому полином ближе прилегает к кривой вблизи $a$. При центре в $a=0$ он называется полиномом Маклорена.

Полиномы Тейлора для sin x всё ближе прилегают к кривой по мере роста степени — Полиномы Маклорена для $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – каждый соответствует одной дополнительной производной в $0$, поэтому каждый ближе прилегает к $\sin x$ на большем интервале до того, как отклоняется.

Навык для экзамена: уметь составлять полином Тейлора по таблице значений производных и использовать его для оценки значения функции.

Словарь Тренировать

English	Русский
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	многочлен Тейлора
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	оценка ошибки Лагранжа
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	степенной ряд
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	радиус сходимости
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	интервал сходимости

10.12

Ошибка Лагранжа

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.C: Определять оценку ошибки, связанную с приближением полиномом Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.C.1 Оценку ошибки Лагранжа можно использовать для определения максимального интервала для ошибки приближения функции полиномом Тейлора. ТОЛЬКО BC
LIM-8.C.2 В некоторых случаях ошибку приближения значения функции полиномом Тейлора можно оценить с помощью оценки ошибки знакочередующегося ряда. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Оценка ошибки Лагранжа ограничивает, насколько сильно полином Тейлора может отличаться от истинного значения:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Вы оцениваете $(n+1)$-ю производную на интервале, затем вычисляете – стандартный способ доказать, что оценка Тейлора достаточно точна.

10.13

Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.D: Определить радиус сходимости и интервал сходимости для степенного ряда. Только BC

LIM-8.D.1 Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число, $\{a_n\}$ — последовательность действительных чисел, а $r$ — действительное число. Только BC
LIM-8.D.2 Если степенной ряд сходится, он либо сходится в одной точке, либо имеет интервал сходимости. Только BC
LIM-8.D.3 Признак Даламбера можно использовать для определения радиуса сходимости степенного ряда. Только BC
LIM-8.D.4 Радиус сходимости степенного ряда позволяет определить открытый интервал, на котором ряд сходится, однако необходимо проверить оба конца интервала, чтобы установить интервал сходимости. Только BC
LIM-8.D.5 Если степенной ряд имеет положительный радиус сходимости, то этот степенной ряд является рядом Тейлора функции, к которой он сходится на открытом интервале. Только BC
LIM-8.D.6 Радиус сходимости степенного ряда, полученного почленным дифференцированием или почленным интегрированием, совпадает с радиусом сходимости исходного степенного ряда. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Степенной ряд $\sum c_n(x-a)^n$ сходится для $x$ внутри радиуса сходимости $R$ от центра $a$. Найдите $R$ с помощью признака Даламбера. Затем проверьте два конца интервала отдельно (признак Даламбера там не дает ответа), чтобы указать полный интервал сходимости – включая или исключая каждый конец.

Разобранное решение. Найдите радиус сходимости ряда $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Признак Даламбера даёт предел $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, который равен $<1$ при $|x|<1$, поэтому $R=1$. При проверке границ: при $x=-1$ получается сходящийся знакочередующийся гармонический ряд, а при $x=1$ — расходящийся гармонический ряд, следовательно, интервал сходимости: $[-1,1)$.

10.14

Нахождение рядов Тейлора или Маклорена для функции

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.E: Представить функцию в виде ряда Тейлора или ряда Маклорена. Только BC

LIM-8.E.1 Многочлен Тейлора для $f(x)$ представляет собой частичную сумму ряда Тейлора для $f(x)$. Только BC

Цель обучения LIM-8.F: Интерпретировать ряды Тейлора и Маклорена. Только BC

LIM-8.F.1 Ряд Маклорена для $\dfrac{1}{1-x}$ является геометрическим рядом. Только BC
LIM-8.F.2 Ряды Маклорена для $\sin x$, $\cos x$ и $e^x$ служат основой для построения рядов Маклорена других функций. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Расширение полинома Тейлора до бесконечного числа членов дает ряд Тейлора (или Маклорена). Запомните ключевые ряды Маклорена:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

Новые ряды получаются путем преобразований этих базовых рядов – подстановки, дифференцирования, интегрирования или умножения.

Разобранный пример. Найдите ряд Маклорена для $e^{x^2}$. Подставьте $x^2$ вместо $x$ в $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

что сходится при любых значениях $x$. Этот трюк с заменой переменной значительно быстрее, чем шестикратное дифференцирование $e^{x^2}$.

Каждое дополнительное слагаемое Маклорена прилегает к функции на большем диапазоне

Исследовать

Функция, которую аппроксимирует ряд Тейлора

y = asin(bx + c) + d

Ряд Тейлора строит функцию по её производным в точке; большее число членов лучше охватывает кривую (здесь $\sin x$) на большем диапазоне.

10.15

Представление функций в виде степенных рядов

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.G: Представить заданную функцию в виде степенного ряда. Только BC

LIM-8.G.1 Используя известный ряд, степенной ряд для данной функции можно получить с помощью операций, таких как почленное дифференцирование или почленное интегрирование, а также различными методами (например, алгебраическими преобразованиями, подстановками или использованием свойств геометрического ряда). Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Поскольку степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно (в пределах радиуса), можно строить новые ряды из известных – например, проинтегрировать геометрический ряд для $\dfrac{1}{1-x}$, чтобы получить ряд для $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, или подставить $-x^2$, чтобы получить ряд для $\dfrac{1}{1+x^2}$. Представление функции в виде степенного ряда позволяет приближенно вычислять значения и интегралы, не имеющие элементарных первообразных.

Навык для экзамена: задание BC с открытым ответом обычно требует вывести новый ряд Маклорена из известного, найти его интервал сходимости и использовать признак Лейбница или оценку Лагранжа для оценки ошибки – это завершающие навыки курса.

10.15

Советы для экзамена

Проверить ряд на сходимость с помощью подходящего критерия: геометрический ($|r|<1$, сумма $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-й член, признак Даламбера, интегральный, сравнения или знакочередующийся.
Бесконечная геометрическая сумма сходится только тогда, когда $|r|<1$; в противном случае она расходится.
Построить ряд Тейлора/Маклорена для приближения функции; большее количество членов дает лучшее совпадение вблизи центра.
Знать стандартные ряды Маклорена для $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ и $\tfrac{1}{1-x}$.
Найти радиус/интервал сходимости с помощью признака Даламбера, затем отдельно проверить концы интервала.