Um carro para em um acidente. Com airbag, o motorista sai andando. Sem ele, não. Em ambos os casos a mudança de momento é exatamente a mesma — de full…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
4.1
Linear Momentum · Momento Linear
Syllabus · Programa
English
Learning Objective 4.1.A: Describe the linear momentum of an object or system.
4.1.A.1 Linear momentum is defined by the equation $\vec{p} = m\vec{v}$.
4.1.A.2 Momentum is a vector quantity and has the same direction as the velocity.
4.1.A.3 Momentum can be used to analyze collisions and explosions.
4.1.A.3.i A collision is a model for an interaction where the forces exerted between the involved objects in the system are much larger than the net external force exerted on those objects during the interaction.
4.1.A.3.ii As only the initial and final states of a collision are analyzed, the object model may be used to analyze collisions.
4.1.A.3.iii An explosion is a model for an interaction in which forces internal to the system move objects within that system apart.
Português
Objetivo de Aprendizagem 4.1.A: Descrever o momento linear de um objeto ou sistema.
4.1.A.1 O momento linear é definido pela equação $\vec{p} = m\vec{v}$.
4.1.A.2 Momento é uma grandeza vetorial e tem a mesma direção da velocidade.
4.1.A.3 O momento pode ser usado para analisar colisões e explosões.
4.1.A.3.i Uma colisão é um modelo para uma interação onde as forças exercidas entre os objetos envolvidos no sistema são muito maiores que a força externa líquida exercida sobre esses objetos durante a interação.
4.1.A.3.ii Como apenas os estados inicial e final de uma colisão são analisados, o modelo de objeto pode ser usado para analisar colisões.
4.1.A.3.iii Uma explosão é um modelo para uma interação em que forças internas ao sistema movem os objetos dentro desse sistema para longe uns dos outros.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Linear momentum 动量 is mass times velocity:
$$\vec{p}=m\vec{v}.$$
It is a vector 矢量 pointing along the velocity, and it is the quantity for analysing collisions 碰撞 and explosions 爆炸. A collection of objects can be treated as one system moving with the velocity of its center of mass 质心:
so the system's total momentum is its total mass times $\vec{v}_{\text{cm}}$ – one object's worth of bookkeeping for any number of parts.
Português
Momento linear 动量 é massa vezes velocidade:
$$\vec{p}=m\vec{v}.$$
É um vetor 矢量 apontando ao longo da velocidade, e é a quantidade para analisar colisões 碰撞 e explosões 爆炸. Um conjunto de objetos pode ser tratado como um sistema movendo-se com a velocidade de seu centro de massa 质心:
4.2.A.3 Impulse is a vector quantity and has the same direction as the net force exerted on the system.
4.2.A.4 The impulse delivered to a system by a net external force is equal to the area under the curve of a graph of the net external force exerted on the system as a function of time.
4.2.A.5 The net external force exerted on a system is equal to the slope of a graph of the momentum of the system as a function of time.
Learning Objective 4.2.B: Describe the relationship between the impulse exerted on an object or system and the change in momentum of the object or system.
4.2.B.1 Change in momentum is the difference between a system's final momentum and its initial momentum.
Equation:$\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 The impulse–momentum theorem relates the impulse delivered to an object and the object's change in momentum.
4.2.B.2.i The impulse exerted on an object is equal to the object's change in momentum.
4.2.B.2.iii The impulse–momentum theorem also describes the behavior of a system in which the velocity is constant but the mass changes with respect to time.
4.2.A.3 Impulso é uma grandeza vetorial e tem a mesma direção da força líquida exercida sobre o sistema.
4.2.A.4 O impulso entregue a um sistema por uma força externa líquida é igual à área sob a curva de um gráfico da força externa líquida exercida sobre o sistema em função do tempo.
4.2.A.5 A força externa líquida exercida sobre um sistema é igual à inclinação de um gráfico do momento do sistema em função do tempo.
Objetivo de Aprendizagem 4.2.B: Descrever a relação entre o impulso exercido sobre um objeto ou sistema e a mudança no momento do objeto ou sistema.
4.2.B.1 A mudança no momento é a diferença entre o momento final de um sistema e seu momento inicial.
Equação:$\Delta\vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$
4.2.B.2 O teorema impulso-momento relaciona o impulso fornecido a um objeto e a mudança no momento desse objeto.
4.2.B.2.i O impulso exercido sobre um objeto é igual à mudança no momento linear do objeto.
4.2.B.2.iii O teorema impulso-momento também descreve o comportamento de um sistema no qual a velocidade é constante, mas a massa muda em relação ao tempo.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Newton's second law is really a statement about momentum:
$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$
which reduces to $m\vec{a}$ when the mass is constant – and handles a changing mass when it is not (the special case $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ holds only when the velocity is constant, e.g. a chain piling onto a scale or sand landing on a belt moving at fixed speed; a rocket does not fit, since it accelerates). The impulse 冲量 delivered by a force is its time integral, and the impulse–momentum theorem 冲量-动量定理 says it equals the change in momentum:
Impulse is a vector along the net force. Read it off graphs both ways:
On a force–time graph, impulse is the area under the curve.
On a momentum–time graph, the net force is the slope 斜率 at each instant.
Spreading the same $\Delta p$ over a longer time lowers the force – that is why airbags, crumple zones, and soft landings work, and why you bend your knees when you land.
Worked example. A time-varying force $F(t)=10t\ \text{N}$ acts on a $2.0\ \text{kg}$ object for $2.0\ \text{s}$. The impulse is $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, so the speed changes by $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$.
Português
A segunda lei de Newton é realmente uma declaração sobre momento:
$$\vec{F}_{\text{net}}=\frac{d\vec{p}}{dt},$$
que se reduz a $m\vec{a}$ quando a massa é constante – e lida com uma massa variável quando não é (o caso especial $\vec{F}=\dfrac{dm}{dt}\vec{v}$ vale apenas quando a velocidade é constante, ex.: uma corrente empilhando numa balança ou areia caindo numa correia movendo-se a velocidade fixa; um foguete não se encaixa, pois acelera). O impulso 冲量 entregue por uma força é sua integral temporal, e o teorema do impulso e do momento 冲量-动量定理 diz que é igual à variação do momento:
Impulso é um vetor ao longo da força líquida. Leia-o nos gráficos de ambas as formas:
Num gráfico de força–tempo, o impulso é a área sob a curva.
Num gráfico de momento–tempo, a força líquida é a inclinação 斜率 em cada instante.
Impulso é a área sob a curva de força-tempo, igual à força média vezes o tempo de contato
Espalhar o mesmo $\Delta p$ por um tempo maior reduz a força – é por isso que airbags, zonas de amassamento e aterrissagens suaves funcionam, e por que dobramos os joelhos ao aterrissar.
Exemplo resolvido. Uma força variável no tempo $F(t)=10t\ \text{N}$ age sobre um objeto de $2.0\ \text{kg}$ por $2.0\ \text{s}$. O impulso é $J=\displaystyle\int_0^2 10t\,dt=\big[5t^2\big]_0^2=20\ \text{N}\cdot\text{s}$, então a velocidade muda em $\Delta v=J/m=10\ \text{m/s}$.
4.3.A.1.ii The velocity of a system's center of mass is constant in the absence of a net external force.
4.3.A.2 The total momentum of a system is the sum of the momenta of the system's constituent parts.
4.3.A.3 In the absence of net external forces, any change to the momentum of an object within a system must be balanced by an equivalent and opposite change of momentum elsewhere within the system. Any change to the momentum of a system is due to a transfer of momentum between the system and its surroundings.
4.3.A.3.i The impulse exerted by one object on a second object is equal and opposite to the impulse exerted by the second object on the first. This is a direct result of Newton's third law.
4.3.A.3.ii A system may be selected so that the total momentum of that system is constant.
4.3.A.3.iii If the total momentum of a system changes, that change will be equivalent to the impulse exerted on the system.
Equation:$\vec{J} = \Delta\vec{p}$
4.3.A.4 Correct application of conservation of momentum can be used to determine the velocity of a system immediately before and immediately after collisions or explosions.
Boundary statement: AP Physics C: Mechanics only expects students to quantitatively analyze collisions and interactions in one or two dimensions. Three-dimensional collisions may be analyzed qualitatively.
Learning Objective 4.3.B: Describe how the selection of a system determines whether the momentum of that system changes.
4.3.B.1 Momentum is conserved in all interactions.
4.3.B.2 If the net external force on the selected system is zero, the total momentum of the system is constant.
4.3.B.3 If the net external force on the selected system is nonzero, momentum is transferred between the system and the environment.
Português
Objetivo de Aprendizagem 4.3.A: Descrever o comportamento de um sistema usando a conservação da quantidade de movimento linear.
4.3.A.1 Um conjunto de objetos com quantidades de movimento individuais pode ser descrito como um único sistema com uma única velocidade do centro de massa.
4.3.A.1.i Para uma coleção de objetos, a velocidade do centro de massa de um sistema pode ser calculada usando a equação
4.3.A.1.ii A velocidade do centro de massa de um sistema é constante na ausência de uma força externa resultante.
4.3.A.2 A quantidade de movimento total de um sistema é a soma das quantidades de movimento das partes constituintes do sistema.
4.3.A.3 Na ausência de forças externas resultantes, qualquer alteração na quantidade de movimento de um objeto dentro de um sistema deve ser compensada por uma alteração equivalente e oposta da quantidade de movimento em outro lugar dentro do sistema. Qualquer alteração na quantidade de movimento de um sistema deve-se à transferência de quantidade de movimento entre o sistema e seu entorno.
4.3.A.3.i O impulso exercido por um objeto sobre um segundo objeto é igual e oposto ao impulso exercido pelo segundo objeto sobre o primeiro. Esta é uma consequência direta da terceira lei de Newton.
4.3.A.3.ii Um sistema pode ser selecionado de modo que a quantidade de movimento total desse sistema seja constante.
4.3.A.3.iii Se a quantidade de movimento total de um sistema mudar, essa mudança será equivalente ao impulso exercido sobre o sistema.
Equação:$\vec{J} = \Delta\vec{p}$
4.3.A.4 A aplicação correta da conservação da quantidade de movimento pode ser usada para determinar a velocidade de um sistema imediatamente antes e imediatamente após colisões ou explosões.
Declaração de limite: AP Physics C: Mecânica apenas espera que os alunos analisem quantitativamente colisões e interações em uma ou duas dimensões. Colisões tridimensionais podem ser analisadas qualitativamente.
Objetivo de Aprendizagem 4.3.B: Descrever como a seleção de um sistema determina se a quantidade de movimento desse sistema muda.
4.3.B.1 A quantidade de movimento é conservada em todas as interações.
4.3.B.2 Se a força externa resultante sobre o sistema selecionado for zero, a quantidade de movimento total do sistema será constante.
4.3.B.3 Se a força externa resultante sobre o sistema selecionado for diferente de zero, haverá transferência de quantidade de movimento entre o sistema e o ambiente.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Internal forces come in Newton's-third-law pairs, so they cancel inside any system: they can shuffle momentum between parts but never change the total. Momentum only enters or leaves a system through a net external force ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). So, with zero net external force, total momentum is conserved 守恒:
Momentum is conserved in every collision, however violent – choose the system large enough that the collision forces are internal. Apply conservation separately along each axis; AP asks for quantitative work in one or two dimensions.
Worked example (explosion). A $6.0\ \text{kg}$ shell at rest splits into a $2.0\ \text{kg}$ piece moving at $9.0\ \text{m/s}$ east and a $4.0\ \text{kg}$ piece. Total momentum stays zero, so the heavy piece moves west at $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. The kinetic energy came from stored (chemical or spring) energy – momentum conservation does not require kinetic-energy conservation.
Português
Forças internas ocorrem em pares da terceira lei de Newton, então se cancelam dentro de qualquer sistema: podem redistribuir momento entre partes mas nunca mudar o total. O momento só entra ou sai de um sistema através de uma força externa líquida ($\vec{J}=\Delta\vec{p}$). Então, com 为零 força externa líquida, o momento total é conservado 守恒:
O momento é conservado em toda colisão, por mais violenta que seja – escolha um sistema grande o suficiente para que as forças de colisão sejam internas. Aplique a conservação separadamente ao longo de cada eixo; o AP pede trabalho quantitativo em uma ou duas dimensões.
Colisão frontal: o momento total antes é igual ao momento total depois
Exemplo resolvido (explosão). Uma granada de $6.0\ \text{kg}$ em repouso se divide em um fragmento de $2.0\ \text{kg}$ movendo-se a $9.0\ \text{m/s}$ para leste e um fragmento de $4.0\ \text{kg}$. O momento total permanece zero, logo o fragmento pesado move-se para oeste a $v=\dfrac{2.0(9.0)}{4.0}=4.5\ \text{m/s}$. A energia cinética veio de energia armazenada (química ou elástica) – a conservação do momento não exige a conservação da energia cinética.
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Colida dois carrinhos e conserve o momento linear
Em qualquer colisão, o momento linear total$\sum mv$ antes é igual ao total depois. Defina as massas e velocidades e verifique a contabilidade do momento.
4.4
Elastic and Inelastic Collisions · Colisões Elásticas e Inelásticas
Syllabus · Programa
English
Learning Objective 4.4.A: Describe whether an interaction between objects is elastic or inelastic.
4.4.A.1 An elastic collision between objects is one in which the initial kinetic energy of the system is equal to the final kinetic energy of the system.
4.4.A.2 In an elastic collision, the final kinetic energies of each of the objects within the system may be different from their initial kinetic energies.
4.4.A.3 An inelastic collision between objects is one in which the total kinetic energy of the system decreases.
4.4.A.4 In an inelastic collision, some of the initial kinetic energy is not restored to kinetic energy but is transformed by nonconservative forces into other forms of energy.
4.4.A.5 In a perfectly inelastic collision, the objects stick together and move with the same velocity after the collision.
Português
Objetivo de Aprendizagem 4.4.A: Descrever se uma interação entre objetos é elástica ou inelástica.
4.4.A.1 Uma colisão elástica entre objetos é aquela em que a energia cinética inicial do sistema é igual à energia cinética final do sistema.
4.4.A.2 Em uma colisão elástica, as energias cinéticas finais de cada um dos objetos dentro do sistema podem ser diferentes de suas energias cinéticas iniciais.
4.4.A.3 Uma colisão inelástica entre objetos é aquela em que a energia cinética total do sistema diminui.
4.4.A.4 Em uma colisão inelástica, parte da energia cinética inicial não é restaurada como energia cinética, mas é transformada por forças não conservativas em outras formas de energia.
4.4.A.5 Em uma colisão perfeitamente inelástica, os objetos ficam presos uns aos outros e movem-se com a mesma velocidade após a colisão.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Fonte: College Board AP Course and Exam Description
English
Conservation of momentum in a collision
All collisions conserve momentum; they differ in what happens to the kinetic energy 动能:
type
momentum
kinetic energy
elastic collision 弹性碰撞
conserved
total conserved (individual shares may change)
inelastic collision 非弹性碰撞
conserved
decreases – some becomes heat, sound, deformation 形变
perfectly inelastic collision 完全非弹性碰撞
conserved
largest possible loss – the objects stick and share one velocity
Strategy: always write momentum conservation first; add the kinetic-energy equation only when the problem says "elastic". Two useful elastic facts: equal masses in a 1D elastic collision simply exchange velocities, and in the center-of-mass frame each object just reverses its velocity.
Worked example. A $1000\ \text{kg}$ car at $20\ \text{m/s}$ strikes a stationary $1500\ \text{kg}$ car and they lock together – perfectly inelastic. Momentum: $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. Kinetic energy falls from $2.0\times10^5\ \text{J}$ to $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$: about $60\%$ is lost, even though momentum is exactly conserved.
Worked example (2D). A puck moving east at $4.0\ \text{m/s}$ strikes an identical puck at rest; after the glancing hit, one moves at $2.0\ \text{m/s}$ at $60^\circ$ north of east. Conserve each axis: east–west, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, so $v_x=3.0\ \text{m/s}$; north–south, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, so $v_y=1.7\ \text{m/s}$. The second puck moves at $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, about $30^\circ$ south of east.
Exam skill. On FRQs, justify with the condition, not the slogan: "the net external force on the two-puck system is zero during the collision, so its total momentum is constant." If asked whether the collision is elastic, compute the kinetic energy before and after and compare – never assume.
Português
Conservação do momento em uma colisão
Todas as colisões conservam momento; elas diferem no que acontece com a energia cinética 动能:
tipo
momento
energia cinética
colisão elástica 弹性碰撞
conservado
total conservado (partes individuais podem trocar)
colisão inelástica 非弹性碰撞
conservado
diminui – parte vira calor, som, deformação 形变
colisão perfeitamente inelástica 完全非弹性碰撞
conservado
maior perda possível – os objetos grudam e compartilham uma velocidade
Estratégia: sempre escreva a conservação do momento primeiro; adicione a equação de energia cinética apenas quando o problema disser "elástico". Dois fatos úteis sobre colisões elásticas: massas iguais em uma colisão elástica 1D simplesmente trocam velocidades, e no referencial do centro de massa cada objeto apenas inverte sua velocidade.
Exemplo resolvido. Um carro de $1000\ \text{kg}$ a $20\ \text{m/s}$ bate em um carro parado de $1500\ \text{kg}$ e eles travam juntos – perfeitamente inelástica. Momento: $v=\dfrac{1000(20)}{2500}=8.0\ \text{m/s}$. A energia cinética cai de $2.0\times10^5\ \text{J}$ para $\tfrac12(2500)(8.0)^2=8.0\times10^4\ \text{J}$: cerca de $60\%$ é perdida, embora o momento seja exatamente conservado.
Exemplo resolvido (2D). Um disco movendo-se para leste a $4.0\ \text{m/s}$ bate em um disco idêntico parado; após o impacto oblíquo, um move-se a $2.0\ \text{m/s}$ a $60^\circ$ norte do leste. Conservar cada eixo: leste-oeste, $m(4.0)=m(2.0)\cos60^\circ+mv_x$, logo $v_x=3.0\ \text{m/s}$; norte-sul, $0=m(2.0)\sin60^\circ-mv_y$, logo $v_y=1.7\ \text{m/s}$. O segundo disco move-se a $\sqrt{3.0^2+1.7^2}=3.5\ \text{m/s}$, cerca de $30^\circ$ sul do leste.
Uma colisão rasante, decomposta ao longo de dois eixos perpendiculares
Habilidade de prova. Em questões discursivas, justifique com a condição, não com o slogan: "a força externa líquida sobre o sistema de dois discos é zero durante a colisão, logo seu momento total é constante." Se perguntado se a colisão é elástica, calcule a energia cinética antes e depois e compare – nunca assuma.
Um cradle de Newton mostra momento e energia cinética passando por uma colisão quase elástica
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Compare colisões elásticas e inelásticas
O momento linear é sempre conservado, mas a energia cinética só é conservada em uma colisão elástica. Em uma inelástica, os carrinhos grudam e parte da energia se torna calor.
4.4
Exam tips · Dicas de prova
English
Impulse equals the momentum change: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, and it is the area under a force–time graph.
Momentum is conserved whenever the net external force is zero — always the go-to for collisions.
Distinguish elastic (kinetic energy conserved) from inelastic (kinetic energy decreases) collisions; in a perfectly inelastic collision the objects stick and move with one velocity.
Apply conservation to each component (x and y) separately in 2-D.
Connect to center of mass: total momentum $=M\vec v_{cm}$.
Português
Impulso é igual à variação do momento: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$, e é a área sob um gráfico de força–tempo.
Momento é conservado sempre que a força externa líquida é zero — sempre a referência para colisões.
Distinja elásticas (energia cinética conservada) de inelásticas (energia cinética diminui) colisões; em uma colisão perfeitamente inelástica os objetos grudam e movem-se com uma velocidade.
Aplique a conservação a cada componente (x e y) separadamente em 2-D.
Conecte ao centro de massa: momento total $=M\vec v_{cm}$.
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