Electric Charges, Fields, and Gauss's Law · ⁨Cargas Elétricas, Campos e Lei de Gauss⁩

AP Physics C: Electricity and Magnetism · ⁨Física C: Eletricidade e Magnetismo do AP⁩ · Topic 8 · ⁨Tópico 8⁩

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8.1

Electric Charge and Electric Force · ⁨Carga Elétrica e Força Elétrica⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.1.A: Describe the electric force that results from the interactions between charged objects or systems.

8.1.A.1 Charge is a fundamental property of all matter.
- 8.1.A.1.i Charge is a scalar quantity and is described as positive or negative.
- 8.1.A.1.ii The magnitude of the charge of a single electron or proton, the elementary charge $e$, can be considered to be the smallest indivisible amount of charge.
- 8.1.A.1.iii The charge of an electron is $-e$ and the charge of a proton is $+e$, and a neutron has no electric charge.
- 8.1.A.1.iv A point charge is a model in which the physical size of a charged object or system is negligible in the context of the situation being analyzed.
8.1.A.2 Coulomb's law describes the electrostatic force between two charged objects as directly proportional to the magnitude of each of the charges and inversely proportional to the square of the distance between the objects.
- Relevant equation: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
8.1.A.3 The direction of the electrostatic force depends on the signs of the charges of the interacting objects and is along the line of separation between the objects.
- 8.1.A.3.i Two objects with charges of the same sign exert repulsive forces on each other.
- 8.1.A.3.ii Two objects with charges of opposite signs exert attractive forces on each other.
8.1.A.4 Electric forces are responsible for some of the macroscopic properties of objects in everyday experiences. However, the large number of particle interactions that occur make it more convenient to treat everyday forces in terms of nonfundamental forces called contact forces, such as normal force, friction, and tension.

Learning Objective 8.1.B: Describe the electric and gravitational forces that result from interactions between charged objects with mass.

8.1.B.1 Electrostatic forces can be attractive or repulsive, while gravitational forces are always attractive.
8.1.B.2 For any two objects that have mass and electric charge, the magnitude of the gravitational force is usually much smaller than the magnitude of the electrostatic force.
8.1.B.3 Gravitational forces dominate at larger scales even though they are weaker than electrostatic forces, because systems at large scales tend to be electrically neutral.

Learning Objective 8.1.C: Describe the electric permittivity of a material or medium.

8.1.C.1 Electric permittivity is a measurement of the degree to which a material or medium is polarized in the presence of an electric field.
8.1.C.2 Electric polarization can be modeled as the induced rearrangement of electrons by an external electric field, resulting in a separation of positive and negative charges within a material or medium.
8.1.C.3 Free space has a constant value of electric permittivity, $\varepsilon_0$, that appears in physical relationships.
8.1.C.4 The permittivity of matter has a value different from that of free space that arises from the matter's composition and arrangement.
- 8.1.C.4.i In a given material, electric permittivity is determined by the ease with which electrons can change configurations within the material.
- 8.1.C.4.ii Conductors are made from electrically conducting materials in which charge carriers move easily; insulators are made from electrically nonconducting materials in which charge carriers cannot move easily.

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to make calculations of the electric force between four or fewer interacting charged objects or systems. The analysis of the resulting electric force from more charges is allowed in situations of high symmetry. Note that students are expected to calculate the electric fields of charge distributions, as described in Topics 8.4 and 8.6.

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.1.A: Descrever a força elétrica resultante das interações entre objetos ou sistemas carregados.

8.1.A.1 Carga é uma propriedade fundamental de toda a matéria.
- 8.1.A.1.i A carga é uma grandeza escalar e é descrita como positiva ou negativa.
- 8.1.A.1.ii A magnitude da carga de um único elétron ou próton, a carga elementar $e$, pode ser considerada a menor quantidade indivisível de carga.
- 8.1.A.1.iii A carga de um elétron é $-e$ e a carga de um próton é $+e$, e um nêutron não possui carga elétrica.
- 8.1.A.1.iv Uma carga pontual é um modelo no qual o tamanho físico de um objeto ou sistema carregado é desprezível no contexto da situação sendo analisada.
8.1.A.2 A lei de Coulomb descreve a força eletrostática entre dois objetos carregados como diretamente proporcional à magnitude de cada uma das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos.
- Equação relevante: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
8.1.A.3 A direção da força eletrostática depende dos sinais das cargas dos objetos interagentes e está ao longo da linha de separação entre os objetos.
- 8.1.A.3.i Dois objetos com cargas do mesmo sinal exercem forças repulsivas um sobre o outro.
- 8.1.A.3.ii Dois objetos com cargas de sinais opostos exercem forças atrativas um sobre o outro.
8.1.A.4 Forças elétricas são responsáveis por algumas das propriedades macroscópicas de objetos nas experiências cotidianas. No entanto, o grande número de interações de partículas que ocorrem torna mais conveniente tratar as forças cotidianas em termos de forças não fundamentais chamadas forças de contato, como força normal, atrito e tensão.

Objetivo de Aprendizagem 8.1.B: Descrever as forças elétricas e gravitacionais resultantes de interações entre objetos carregados com massa.

8.1.B.1 Forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas, enquanto forças gravitacionais são sempre atrativas.
8.1.B.2 Para quaisquer dois objetos que possuem massa e carga elétrica, a magnitude da força gravitacional é geralmente muito menor que a magnitude da força eletrostática.
8.1.B.3 Forças gravitacionais dominam em escalas maiores, mesmo sendo mais fracas que as forças eletrostáticas, porque sistemas em grandes escalas tendem a ser eletricamente neutros.

Objetivo de Aprendizagem 8.1.C: Descrever a permissividade elétrica de um material ou meio.

8.1.C.1 Permissividade elétrica é uma medida do grau em que um material ou meio é polarizado na presença de um campo elétrico.
8.1.C.2 A polarização elétrica pode ser modelada como o rearranjo induzido de elétrons por um campo elétrico externo, resultando em uma separação de cargas positivas e negativas dentro de um material ou meio.
8.1.C.3 O vácuo tem um valor constante de permissividade elétrica, $\varepsilon_0$, que aparece em relações físicas.
8.1.C.4 A permissividade da matéria tem um valor diferente do do vácuo que surge da composição e arranjo da matéria.
- 8.1.C.4.i Em um dado material, a permissividade elétrica é determinada pela facilidade com que os elétrons podem mudar de configurações dentro do material.
- 8.1.C.4.ii Condutores são feitos de materiais condutores electricamente onde os portadores de carga se movem facilmente; isolantes são feitos de materiais não condutores electricamente onde os portadores de carga não se movem facilmente.

Declaração de limite: AP Physics C: Eletricidade & Magnetismo espera apenas que os estudantes realizem cálculos da força elétrica entre quatro ou menos objetos ou sistemas interagentes carregados. A análise da força elétrica resultante de mais cargas é permitida em situações de alta simetria. Observe que espera-se que os estudantes calculem os campos elétricos de distribuições de carga, conforme descrito nos Tópicos 8.4 e 8.6.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Electric charge 电荷 comes in positive and negative; like charges repel, opposites attract. Charge is quantized 量子化 – every charge is a whole-number multiple of the elementary charge 基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – and obeys conservation of charge 电荷守恒: charge is never created or destroyed, only moved. The force between two point charges 点电荷 is Coulomb's law 库仑定律:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

an inverse-square 平方反比 force along the line joining them, with $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. For several charges (AP uses four or fewer, unless symmetry helps), add the force vectors on the charge you care about – superposition 叠加.

Charge is a fundamental property 基本属性 of matter, and a point charge is a model that ignores the size of a charged object. The constant $\varepsilon_0$ is the permittivity of free space 真空介电常数 – a material property of the vacuum. The permittivity of matter differs from $\varepsilon_0$, set by how easily the material polarizes, which is why a dielectric between charges weakens the force. Note too that although the electric force is far stronger than gravity, gravity dominates at astronomical scales because large bodies are nearly neutral.

Worked example. Two $+2.0\ \mu\text{C}$ charges sit $0.30\ \text{m}$ apart: $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, repulsive.

Worked example (vectors). Charges $+3.0\ \mu\text{C}$ and $-3.0\ \mu\text{C}$ sit at two corners of a right angle, each $0.30\ \text{m}$ from a $+1.0\ \mu\text{C}$ charge at the corner. Each exerts $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – one a push, one a pull, at right angles to each other. The net force is $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, pointing between them. Never add magnitudes blindly: components first.

Português

Carga elétrica 电荷 existe em positiva e negativa; cargas semelhantes se repelem, opostas se atraem. A carga é quantizada 量子化 – toda carga é um múltiplo inteiro da carga elementar 基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – e obedece à conservação de carga 电荷守恒: a carga nunca é criada nem destruída, apenas transferida. A força entre duas cargas pontuais 点电荷 é regida pela Lei de Coulomb 库仑定律:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

uma força de quadrado inverso 平方反bid ao longo da linha que as une, com $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. Para várias cargas (AP usa quatro ou menos, a menos que simetria ajude), some os vetores força atuando na carga de interesse – superposição 叠加.

A carga é uma propriedade fundamental 基本属性 da matéria, e uma carga pontual é um modelo que ignora o tamanho de um objeto carregado. A constante $\varepsilon_0$ é a permissividade do vácuo 真空介电常数 – uma propriedade material do vácuo. A permissividade da matéria difere de $\varepsilon_0$, definida pela facilidade com que o material polariza, razão pela qual um dielétrico entre cargas enfraquece a força. Note também que, embora a força elétrica seja muito mais forte que a gravidade, esta domina em escalas astronômicas porque corpos grandes são quase neutros.

Exemplo resolvido. Duas cargas $+2.0\ \mu\text{C}$ situam-se a $0.30\ \text{m}$ de distância: resultando em $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, repulsivo.

Exemplo resolvido (vetores). Cargas $+3.0\ \mu\text{C}$ e $-3.0\ \mu\text{C}$ estão situadas em dois cantos de um ângulo reto, cada uma a uma distância $0.30\ \text{m}$ de uma carga $+1.0\ \mu\text{C}$ no vértice. Cada uma exerce $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – uma um empurrão, outra um puxão, em ângulo reto entre si. A força resultante é $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, apontando entre elas. Nunca some magnitudes cegamente: primeiro as componentes.

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Explore the field of a source charge · ⁨Explore o campo de uma carga fonte⁩

Change the charge's sign and size. Lines point away from positive and · ⁨ e ⁩toward negative, and their $1/r^2$ crowding near the charge mirrors why Coulomb's force $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ weakens with distance. · ⁨Altere o sinal e tamanho da carga. As linhas apontam para fora da positiva e para dentro da negativa, e o aglomerado de suas $1/r^2$ perto da carga reflete por que a força de Coulomb $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ enfraquece com a distância.⁩

8.2

Electric Charge and the Process of Charging · ⁨Carga Elétrica e o Processo de Carregamento⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.2.A: Describe the behavior of a system using conservation of charge.

8.2.A.1 The net charge or charge distribution of a system can change in response to the presence of, or changes in, the net charge or charge distribution of other systems.
- 8.2.A.1.i The net charge of a system can change due to friction or contact between systems.
- 8.2.A.1.ii Induced charge separation occurs when the electrostatic force between two systems alters the distribution of charges within the systems, resulting in the polarization of one or both systems.
- 8.2.A.1.iii Induced charge separation can occur in neutral systems.
8.2.A.2 Any change to a system's net charge is due to a transfer of charge between the system and its surroundings.
- 8.2.A.2.i The charging of a system typically involves the transfer of electrons to and from the system.
- 8.2.A.2.ii The net charge of a system will be constant unless there is a transfer of charge to or from the system.
8.2.A.3 Grounding involves electrically connecting a charged object to a much larger and approximately neutral system (e.g., Earth).

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.2.A: Descrever o comportamento de um sistema usando a conservação da carga.

8.2.A.1 A carga líquida ou distribuição de carga de um sistema pode mudar em resposta à presença ou alterações na carga líquida ou distribuição de carga de outros sistemas.
- 8.2.A.1.i A carga líquida de um sistema pode mudar devido ao atrito ou contato entre sistemas.
- 8.2.A.1.ii A separação de cargas induzidas ocorre quando a força eletrostática entre dois sistemas altera a distribuição de cargas dentro dos sistemas, resultando na polarização de um ou ambos os sistemas.
- 8.2.A.1.iii A separação de cargas induzidas pode ocorrer em sistemas neutros.
8.2.A.2 Qualquer alteração na carga líquida de um sistema deve-se à transferência de carga entre o sistema e seu entorno.
- 8.2.A.2.i O carregamento de um sistema geralmente envolve a transferência de elétrons para e do sistema.
- 8.2.A.2.ii A carga líquida de um sistema será constante, a menos que haja uma transferência de carga para ou do sistema.
8.2.A.3 O aterramento envolve conectar eletricamente um objeto carregado a um sistema muito maior e aproximadamente neutro (ex.: Terra).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

A conductor 导体 lets charge move freely; an insulator 绝缘体 holds it in place. Objects gain net charge three ways:

Charging by friction 摩擦起电: rubbing transfers electrons from one surface to the other.
Charging by conduction 传导起电: touching a charged object shares charge of the same sign.
Charging by induction 感应起电: a nearby charge pushes the conductor's charge apart; ground 接地 the far side, remove the ground wire first, and the conductor is left with the opposite sign – all without contact.

An insulator cannot pass charge, but it can develop polarization 极化: its molecules stretch or turn so one face is slightly positive and the other slightly negative. That is why a charged comb picks up neutral paper scraps. An electroscope 验电器 shows net charge by its leaves repelling; on any isolated conductor the excess charge sits entirely on the outer surface.

Português

Um condutor 导体 permite que a carga se mova livremente; um isolante 绝缘体 a mantém fixa. Objetos ganham carga líquida de três formas:

Carregamento por atrito 摩擦起电: o atrito transfere elétrons de uma superfície para a outra.
Carregamento por condução 传导起电: tocar em um objeto carregado compartilha carga do mesmo sinal.
Carregamento por indução 感应起电: uma carga próxima empurra a carga do condutor para longe; aterrize 接地 o lado distante, remova o fio de aterramento primeiro, e o condutor fica com o sinal oposto – tudo sem contato.

Um isolante não passa carga, mas pode desenvolver polarização 极化: suas moléculas alongam-se ou giram de modo que uma face fique ligeiramente positiva e a outra ligeiramente negativa. É por isso que um pente carregado atrai pedaços de papel neutros. Um electróscópio 验电器 mostra carga líquida quando suas lâminas se repelem; em qualquer condutor isolado, o excesso de carga reside inteiramente na superfície externa.

Explore · ⁨Explorar⁩

Explore charging by rubbing · ⁨Explore o carregamento por fricção⁩

Rubbing transfers electrons · ⁨elétrons⁩ onto the object, leaving it negative. A charged object then attracts a neutral wall or hair (by polarization) but repels another like-charged object — the same electron transfer behind friction, conduction, and induction. · ⁨A fricção transfere elétrons para o objeto, tornando-o negativo. Um objeto carregado então atrai uma parede neutra ou cabelo (por polarização) mas repele outro objeto com carga similar — a mesma transferência de elétrons por trás de fricção, condução e indução.⁩

8.3

Electric Fields · ⁨Campos Elétricos⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.3.A: Describe the electric field produced by a charged object or configuration of point charges.

8.3.A.1 Electric fields may originate from charged objects.
8.3.A.2 The electric field at a given point is the ratio of the electric force exerted on a test charge at the point to the charge of the test charge.
- Relevant equation: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
- 8.3.A.2.i A test charge is a point charge of small enough magnitude such that its presence does not significantly affect an electric field in its vicinity.
- 8.3.A.2.ii An electric field points away from isolated positive charges and toward isolated negative charges.
- 8.3.A.2.iii The electric force exerted on a positive test charge by an electric field is in the same direction as the electric field.
8.3.A.3 The electric field is a vector quantity and can be represented in space using vector field maps.
- 8.3.A.3.i The net electric field at a given location is the vector sum of individual electric fields created by nearby charged objects.
- 8.3.A.3.ii Electric field maps use vectors to depict the magnitude and direction of the electric field at many locations within a given region.
- 8.3.A.3.iii Electric field line diagrams are simplified models of electric field maps and can be used to determine the relative magnitude and direction of the electric field at any position in the diagram.

Learning Objective 8.3.B: Describe the electric field generated by charged conductors or insulators.

8.3.B.1 While in electrostatic equilibrium, the excess charge of a conductor is distributed on the surface of the conductor, and the electric field within the conductor is zero.
- 8.3.B.1.i At the surface of a charged conductor, the electric field is perpendicular to the surface.
- 8.3.B.1.ii The electric field outside an isolated sphere with spherically symmetric charge distribution is the same as the electric field due to a point charge with the same net charge as the sphere located at the center of the sphere.
8.3.B.2 While in electrostatic equilibrium, the excess charge of an insulator is distributed throughout the interior of the insulator as well as at the surface, and the electric field within the insulator may have a nonzero value.

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.3.A: Descrever o campo elétrico produzido por um objeto carregado ou configuração de cargas pontuais.

8.3.A.1 Os campos elétricos podem originar-se de objetos carregados.
8.3.A.2 O campo elétrico em um ponto dado é a razão entre a força elétrica exercida sobre uma carga de prova no ponto e a carga dessa carga de prova.
- Equação relevante: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
- 8.3.A.2.i Uma carga de prova é uma carga pontual de magnitude suficientemente pequena tal que sua presença não afeta significativamente um campo elétrico em sua vizinhança.
- 8.3.A.2.ii Um campo elétrico aponta para longe de cargas positivas isoladas e para cargas negativas isoladas.
- 8.3.A.2.iii A força elétrica exercida sobre uma carga de prova positiva por um campo elétrico está na mesma direção do campo elétrico.
8.3.A.3 O campo elétrico é uma quantidade vetorial e pode ser representado no espaço usando mapas de campo vetorial.
- 8.3.A.3.i O campo elétrico líquido em uma localização dada é a soma vetorial dos campos elétricos individuais criados por objetos carregados próximos.
- 8.3.A.3.ii Mapas de campo elétrico usam vetores para representar a magnitude e a direção do campo elétrico em muitas localizações dentro de uma região dada.
- 8.3.A.3.iii Diagramas de linhas de campo elétrico são modelos simplificados de mapas de campo elétrico e podem ser usados para determinar a magnitude relativa e a direção do campo elétrico em qualquer posição no diagrama.

Objetivo de Aprendizagem 8.3.B: Descrever o campo elétrico gerado por condutores ou isolantes carregados.

8.3.B.1 Em equilíbrio eletrostático, o excesso de carga de um condutor é distribuído na superfície do condutor, e o campo elétrico dentro do condutor é zero.
- 8.3.B.1.i Na superfície de um condutor carregado, o campo elétrico é perpendicular à superfície.
- 8.3.B.1.ii O campo elétrico fora de uma esfera isolada com distribuição de carga esfericamente simétrica é o mesmo que o campo elétrico devido a uma carga pontual com a mesma carga líquida que a esfera localizada no centro da esfera.
8.3.B.2 Em equilíbrio eletrostático, o excesso de carga de um isolante é distribuído tanto no interior do isolante quanto na superfície, e o campo elétrico dentro do isolante pode ter um valor diferente de zero.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The electric field of a dipole

The electric field 电场 at a point is the force per unit charge that a small positive test charge 检验电荷 would feel there:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

A charge placed in a field feels $\vec{F}=q\vec{E}$ – positive charges along the field, negative charges against it. Fields from several sources add as vectors (superposition again). Field lines 电场线 make the field visible: they point away from positive charge and toward negative, their density shows the strength, and they never cross.

In a uniform 均匀 field a charge feels a constant force, so it accelerates uniformly – launched sideways, it follows a parabola, just like a projectile in gravity.

Português

O campo elétrico de um dipolo

Uma bobina Tesla coroada por um anel metálico, lançando longos raios violeta no ar — Uma bobina Tesla projeta raios: eleva a tensão a ponto de ionizar o ar circundante, e a carga salta através dela como descarga visível

O campo elétrico 电场 em um ponto é a força por unidade de carga que uma pequena carga de teste 检验电荷 sentiria ali:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

Uma carga colocada em um campo sente $\vec{F}=q\vec{E}$ – cargas positivas ao longo do campo, cargas negativas contra ele. Campos de diversas fontes somam-se como vetores (novamente superposição). As linhas de campo elétrico 电场线 tornam o campo visível: partem de cargas positivas e apontam para negativas, sua densidade indica a intensidade, e nunca se cruzam.

Padrões de linhas de campo elétrico para placas paralelas, um dipolo e uma carga pontual

Linhas de campo elétrico de um dipolo apontam da carga positiva para a negativa

Em um campo uniforme 均匀, uma carga sente uma força constante, acelerando uniformemente – lançada lateralmente, segue uma parábola, assim como um projétil na gravidade.

Uma carga atravessando um campo uniforme segue uma trajetória parabólica

Uma pessoa tocando um gerador de Van de Graaff com o cabelo em pé — A carga se distribui pelo domo e nos cabelos; cargas semelhantes se repelem, então os fios se afastam

Explore · ⁨Explorar⁩

Explore field lines of a point charge · ⁨Explore as linhas de campo de uma carga pontual⁩

Set the charge positive or negative. Field lines start on positive · ⁨positivo⁩ and end on negative · ⁨negativo⁩ charge, never cross, and crowd together where $\vec{E}$ is strongest — the line density is proportional to the field magnitude. · ⁨Defina a carga como positiva ou negativa. As linhas de campo começam na positiva e terminam na negativa, nunca se cruzam, e se concentram onde $\vec{E}$ é mais forte — a densidade das linhas é proporcional à magnitude do campo.⁩

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English	Português
Electric charge/ɪˈlektrɪk tʃɑːdʒ/	carga elétrica
quantized/ˈkwɒntaɪzd/	quantizados
elementary charge/ˌelɪˈmentəri tʃɑːdʒ/	carga elementar
conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/	conservação de carga
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/	cargas pontuais
Coulomb's law/ˈkuːlɒmz lɔː/	Lei de Coulomb
inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/	inverso do quadrado
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/	superposição
fundamental property/ˌfʌndəˈmentl ˈprɒpəti/	propriedade fundamental
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/	permissividade do vácuo
conductor/kənˈdʌktə/	condutor
insulator/ˈɪnsjuːleɪtə/	isolante
Charging by friction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ˈfrɪkʃn/	Eletrização por atrito
Charging by conduction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ kənˈdʌkʃn/	Eletrização por contato
Charging by induction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ɪnˈdʌkʃn/	Eletrização por indução
ground/ɡraʊnd/	fundamento
polarization/ˌpəʊləraɪˈzeɪʃn/	polarização
electroscope/ɪˌlektrəʊˈskəʊp/	eletroscópio
electric field/ɪˈlektrɪk fiːld/	campo elétrico
test charge/test tʃɑːdʒ/	carga de prova
Field lines/fiːld laɪnz/	linhas de campo
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/	uniforme
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	distribuição contínua de carga
linear charge density/ˈlɪnɪə tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	densidade linear de carga
surface charge density/ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	densidade superficial de carga
volume charge density/ˈvɒljuːm tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	densidade volumétrica de carga
symmetry/ˈsɪmətri/	simetria

8.4

Electric Fields of Charge Distributions · ⁨Campos Elétricos de Distribuições de Carga⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.4.A: Describe the electric field resulting from a given charge distribution.

8.4.A.1 Expressions for the electric field of specified charge distributions can be found using integration and the principle of superposition.
- Relevant equation: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
8.4.A.2 Symmetry considerations of certain charge distributions can simplify analysis of the electric field resulting from those charge distributions.

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to use calculus to find the electric field resulting from the following charge distributions and locations: an infinitely long, uniformly charged wire or cylinder at a distance from its central axis, a thin ring of charge at a location along the axis of the ring, a semicircular arc or part of a semicircular arc at its center, and a finite wire or line charge at a point collinear with the line charge or at a location along its perpendicular bisector.

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.4.A: Descrever o campo elétrico resultante de uma dada distribuição de carga.

8.4.A.1 Expressões para o campo elétrico de distribuições de carga especificadas podem ser encontradas usando integração e o princípio da superposição.
- Equação relevante: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
8.4.A.2 Considerações de simetria de certas distribuições de carga podem simplificar a análise do campo elétrico resultante dessas distribuições de carga.

Declaração de Escopo: AP Physics C: Eletricidade e Magnetismo espera apenas que os alunos usem cálculo para encontrar o campo elétrico resultante das seguintes distribuições de carga e localizações: um fio ou cilindro infinito uniformemente carregado a uma distância de seu eixo central, um anel fino de carga em uma localização ao longo do eixo do anel, um arco semicircular ou parte de um arco semicircular em seu centro, e um fio finito ou linha de carga em um ponto colinear com a linha de carga ou em uma localização ao longo de sua bissetriz perpendicular.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

For a continuous charge distribution 连续电荷分布, cut the object into pieces $dq$ and integrate their point-charge fields:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Write $dq$ using the right density: $\lambda\,dl$ with the linear charge density 线电荷密度 (a line or ring), $\sigma\,dA$ with the surface charge density 面电荷密度, or $\rho\,dV$ with the volume charge density 体电荷密度. Then use symmetry 对称性 to cancel components before integrating – that sentence is usually a scored step. AP's calculus cases: a finite line (collinear point or perpendicular bisector), an infinite wire or cylinder, a ring on its axis, and an arc at its centre.

Worked example (ring, on axis). A ring of radius $R$ carries charge $Q$. At a point $z$ along the axis, each element is a distance $\sqrt{R^2+z^2}$ away, and by symmetry the sideways components cancel, leaving only the axial part ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Check the limits: $E=0$ at the centre ($z=0$), and far away ($z\gg R$) it becomes $kQ/z^2$ – a point charge, as it must.

Português

Para uma distribuição contínua de carga 连续电荷分布, divida o objeto em partes ⟨$dq$⟩ e integre seus campos de carga pontual:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Escreva ⟨$dq$⟩ usando a densidade correta: ⟨$\lambda\,dl$⟩ com a densidade linear de carga 线电荷密度 (uma linha ou anel), ⟨$\sigma\,dA$⟩ com a densidade superficial de carga 面电荷密度, ou ⟨$\rho\,dV$⟩ com a densidade volumétrica de carga 体电荷密度. Then use simetria 对称性 para cancelar componentes antes de integrar – essa frase geralmente vale pontos. Casos de cálculo do AP: uma linha finita (ponto colinear ou mediatriz perpendicular), um fio ou cilindro infinito, um anel em seu eixo, e um arco em seu centro.

Exemplo resolvido (anel, no eixo). Um anel de raio $R$ carrega carga $Q$. Em um ponto $z$ ao longo do eixo, cada elemento está a uma distância $\sqrt{R^2+z^2}$, e por simetria as componentes laterais se cancelam, restando apenas a parte axial ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Verifique os limites: $E=0$ no centro ($z=0$), e longe ($z\gg R$) ele torna-se $kQ/z^2$ – uma carga pontual, como deve ser.

8.5

Electric Flux · ⁨Fluxo Elétrico⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.5.A: Describe the electric flux through an arbitrary area or geometric shape.

8.5.A.1 Flux describes the amount of a given quantity that passes through a given area.
8.5.A.2 For an electric field $\vec{E}$ that is constant across an area $\vec{A}$, the electric flux through the area is defined as $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
- 8.5.A.2.i The direction of the area vector is defined as perpendicular to the plane of the surface and outward from a closed surface.
- 8.5.A.2.ii The sign of flux is given by the dot product of the electric field vector and the area vector.
8.5.A.3 The total electric flux passing through a surface is defined by the surface integral of the electric field over the surface.
- Relevant equation: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.5.A: Descrever o fluxo elétrico através de uma área arbitrária ou forma geométrica.

8.5.A.1 Fluxo descreve a quantidade de uma dada grandeza que passa por uma área dada.
8.5.A.2 Para um campo elétrico $\vec{E}$ que é constante através de uma área $\vec{A}$, o fluxo elétrico através da área é definido como $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
- 8.5.A.2.i A direção do vetor área é definida como perpendicular ao plano da superfície e para fora de uma superfície fechada.
- 8.5.A.2.ii O sinal do fluxo é dado pelo produto escalar do vetor do campo elétrico e do vetor da área.
8.5.A.3 O fluxo elétrico total passando por uma superfície é definido pela integral de superfície do campo elétrico sobre a superfície.
- Equação relevante: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Electric flux & Gauss's law

Electric flux 电通量 measures how much field passes through a surface:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

For a uniform field through a flat area, $\Phi_E=EA\cos\theta$, where the area vector 面积矢量 is perpendicular to the surface. Flux is positive where field lines exit a closed surface and negative where they enter – only the perpendicular component of $\vec{E}$ counts.

Português

Fluxo elétrico e lei de Gauss

Fluxo elétrico 电通量 mede quanto campo passa através de uma superfície:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

Para um campo uniforme através de uma área plana, $\Phi_E=EA\cos\theta$, onde o vetor área 面积矢量 é perpendicular à superfície. O fluxo é positivo onde linhas de campo saem de uma superfície fechada e negativo onde elas entram – apenas a componente perpendicular de $\vec{E}$ conta.

Fluxo elétrico através de uma superfície depende do ângulo entre o campo e a normal da superfície

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English	Português
Electric flux/ɪˈlektrɪk flʌks/	Fluxo elétrico
area vector/ˈeərɪə ˈvektə/	vetor área
Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/	Lei de Gauss

8.6

Gauss's Law · ⁨Lei de Gauss⁩

Syllabus · ⁨Programa⁩

English

Learning Objective 8.6.A: Describe the properties of a charge distribution by applying Gauss's law.

8.6.A.1 Gauss's law relates electric flux through a Gaussian surface to the charge enclosed by that surface.
- Relevant equations: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ and $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
8.6.A.2 A Gaussian surface is a three-dimensional, closed surface.
8.6.A.3 The total electric flux through a Gaussian surface is independent of the size of the Gaussian surface if the amount of enclosed charge remains constant.
8.6.A.4 Gaussian surfaces are typically constructed such that the electric field generated by the enclosed charge is either perpendicular or parallel to different regions of the Gaussian surface, resulting in a simplified surface integral.
8.6.A.5 If a function of charge density is given for a charge distribution, the total charge can be determined by integrating the charge density over the length (one dimension), area (two dimensions), or volume (three dimensions) of the charge distribution. For example: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
8.6.A.6 Maxwell's equations are the collection of equations that fully describe electromagnetism. Gauss's law is Maxwell's first equation.
- Relevant equation: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to quantitatively apply Gauss's law to point charges and charge distributions that have spherical, cylindrical, or planar symmetry.

Português

Objetivo de Aprendizagem 8.6.A: Descrever as propriedades de uma distribuição de carga aplicando a Lei de Gauss.

8.6.A.1 A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana à carga envolvida por essa superfície.
- Equações Relevantes: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ e $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
8.6.A.2 Uma superfície gaussiana é uma superfície tridimensional fechada.
8.6.A.3 O fluxo elétrico total através de uma superfície gaussiana é independente do tamanho da superfície gaussiana se a quantidade de carga envolvida permanecer constante.
8.6.A.4 Superfícies gaussianas são tipicamente construídas de modo que o campo elétrico gerado pela carga envolvida seja perpendicular ou paralelo a diferentes regiões da superfície gaussiana, resultando em uma integral de superfície simplificada.
8.6.A.5 Se uma função de densidade de carga for dada para uma distribuição de carga, a carga total pode ser determinada integrando a densidade de carga sobre o comprimento (uma dimensão), área (duas dimensões) ou volume (três dimensões) da distribuição de carga. Por exemplo: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
8.6.A.6 As equações de Maxwell são o conjunto de equações que descrevem completamente o eletromagnetismo. A Lei de Gauss é a primeira equação de Maxwell.
- Equação relevante: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Declaração de Escopo: AP Physics C: Eletricidade e Magnetismo espera apenas que os alunos apliquem quantitativamente a Lei de Gauss a cargas pontuais e distribuições de carga que possuem simetria esférica, cilíndrica ou plana.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Fonte: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Gauss's law 高斯定律 – the first of Maxwell's equations – relates the flux through any closed surface to the charge inside it:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

It is true for any closed surface, but it solves for $E$ only when symmetry lets you choose a Gaussian surface 高斯面 on which $E$ is constant and perpendicular (or parallel, contributing zero). The three symmetries AP tests: spherical symmetry 球对称 (concentric sphere), cylindrical symmetry 柱对称 (coaxial cylinder), and planar symmetry 平面对称 (a straddling "pillbox").

Worked example (sphere). Outside a sphere of total charge $Q$, a spherical Gaussian surface of radius $r$ gives $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, so $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – identical to a point charge at the centre. Inside a uniformly charged solid sphere of radius $R$, the surface encloses only $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, so $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: zero at the centre, growing linearly to the surface.

Worked example (wire). For an infinite wire with charge per length $\lambda$, take a coaxial cylinder of radius $r$ and length $L$. The ends contribute nothing ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), so $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ and $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. The same pillbox method gives an infinite sheet's field, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniform on both sides.

Exam skill. A full-credit Gauss's-law answer has four parts: name the surface, state the symmetry argument (why $E$ is constant and perpendicular on it), count $Q_{\text{enc}}$, then solve. Skipping the symmetry sentence loses the reasoning point – and remember Gauss's law also explains why $E=0$ inside any conductor in equilibrium.

Português

Lei de Gauss 高斯定律 – a primeira das equações de Maxwell – relaciona o fluxo através de qualquer superfície fechada com a carga dentro dela:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

Ela é válida para qualquer superfície fechada, mas resolve para $E$ apenas quando a simetria permite escolher uma superfície gaussiana 高斯面 na qual $E$ é constante e perpendicular (ou paralela, contribuindo zero). As três simetrias testadas pela AP: simetria esférica 球对称 (esfera concêntrica), simetria cilíndrica 柱对称 (cilindro coaxial) e simetria planar 平面对称 (uma "caixa de pílula" que atravessa).

Uma superfície gaussiana é escolhida para combinar com a simetria da carga

Exemplo resolvido (esfera). Fora de uma esfera de carga total $Q$, uma superfície gaussiana esférica de raio $r$ dá $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, então $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – idêntico a uma carga pontual no centro. Dentro de uma esfera sólida uniformemente carregada de raio $R$, a superfície envolve apenas $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, então $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: zero no centro, crescendo linearmente até a superfície.

Exemplo resolvido (fio). Para um fio infinito com carga por comprimento $\lambda$, tome um cilindro coaxial de raio $r$ e comprimento $L$. As extremidades não contribuem ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), então $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ e $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. O mesmo método de caixa de pílula dá o campo de uma folha infinita, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniforme em ambos os lados.

Habilidade de prova. Uma resposta completa da lei de Gauss tem quatro partes: nomeie a superfície, declare o argumento de simetria (por que $E$ é constante e perpendicular nela), conte $Q_{\text{enc}}$, depois resolva. Pular a frase de simetria perde o ponto de raciocínio – e lembre-se que a lei de Gauss também explica por que $E=0$ dentro de qualquer condutor em equilíbrio.

Vocabulary · ⁨Vocabulário⁩ Train · ⁨Treinar⁩

English	Português
Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/	superfície gaussiana
spherical symmetry/sˈferɪkl ˈsɪmətri/	simetria esférica
cylindrical symmetry/sɪˈlɪndrɪkl ˈsɪmətri/	simetria cilíndrica
planar symmetry/ˈpleɪnə ˈsɪmətri/	simetria plana

8.6

Exam tips · ⁨Dicas de prova⁩

English

Use Coulomb's law $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ and superpose forces as vectors (components, not magnitudes).
For a continuous charge, integrate $d\vec E$ over $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; use symmetry to cancel components.
The field points away from positive and toward negative charge; draw field lines correctly.
Distinguish the force on a charge ($\vec F=q\vec E$) from the field the charge creates.
Keep the constant $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ straight and check units.

Português

Use a lei de Coulomb $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ e sobreponha forças como vetores (componentes, não magnitudes).
Para uma carga contínua, integre $d\vec E$ sobre $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; use simetria para cancelar componentes.
O campo aponta para fora de cargas positivas e para dentro de cargas negativas; desenhe as linhas de campo corretamente.
Distinga a força sobre uma carga ($\vec F=q\vec E$) do campo que a carga cria.
Mantenha a constante $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ correta e verifique as unidades.

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