Condutores e Capacitores

Em um condutor ideal 导体, elétrons movem-se livremente. Adicione carga extra a um lado e as cargas se repelem até que, quase instantaneamente, elas se assentem em equilíbrio eletrostático 静电平衡. Nesse estado, o condutor possui quatro propriedades que você deve saber declarar e usar:

• O campo elétrico dentro do condutor é zero. Se não fosse, os elétrons livres ainda estariam em movimento.
• Toda carga em excesso fica na superfície. (Carga líquida negativa = elétrons extras na superfície; positiva = falta de elétrons ali.)
• O campo logo fora da superfície é perpendicular 垂直 à mesma, com magnitude $E=\sigma/\varepsilon_0$. Qualquer componente paralela empurraria a carga lateralmente ao longo da superfície.
• Todo o condutor é uma única superfície equipotencial 等势面: todos os pontos, dentro e na superfície, estão no mesmo potencial.

A densidade de carga é maior onde a superfície tem curvatura acentuada – em pontas e bordas –, portanto o campo externo é mais forte nesses locais. Em um campo externo, um condutor polariza-se: cargas se redistribuem em sua superfície para que o interior permaneça livre de campo e o corpo mantenha-se equipotencial. Envolver uma região com uma casca condutora fechada bloqueia completamente campos externos – blindagem eletrostática 静电屏蔽, princípio por trás da gaiola de Faraday 法拉第笼.

Quando dois condutores tocam (ou são ligados por fios), a carga flui entre eles até que ambas as superfícies atinjam o mesmo potencial – essa é a condição de equilíbrio, não "cargas iguais". Uma esfera maior armazena mais carga ao mesmo potencial ($V=kQ/R$), assim ela recebe a maior parte da carga.

Exemplo resolvido. Uma pequena esfera de raio $R$ carregada com $+6.0\ \mu\text{C}$ toca uma esfera distante de raio $2R$, depois se separam. Potenciais iguais exigem $\dfrac{kq_1}{R}=\dfrac{kq_2}{2R}$, logo $q_2=2q_1$. Com $q_1+q_2=6.0\ \mu\text{C}$: $q_1=2.0\ \mu\text{C}$ e $q_2=4.0\ \mu\text{C}$.

Terra 接地 é uma referência idealizada a potencial zero que pode absorver ou fornecer qualquer quantidade de carga. Aterrar um condutor enquanto uma carga externa está próxima deixa o condutor com uma carga induzida 感应电荷 líquida: o campo externo empurra cargas de um sinal para a terra, e desconectar o fio de aterramento antes de remover a carga externa aprisiona o restante.

Um capacitor 电容器 armazena carga em dois condutores separados por uma lacuna: $+Q$ em uma placa, $-Q$ na outra. Sua capacitância 电容 relaciona a carga armazenada à diferença de potencial entre as placas:

A capacitância depende apenas da geometria e do material na lacuna – nunca das próprias $Q$ ou $\Delta V$.

Derivação exemplificada (placas paralelas). Para um capacitor de placas paralelas 平行板电容器 com área de placa $A$ e lacuna estreita $d$: a lei de Gauss mais a superposição 叠加 resulta em um campo uniforme uniforme entre as placas, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$ (cada placa isoladamente contribui com $\sigma/2\varepsilon_0$; entre as placas os dois campos somam, fora se cancelam). Um campo uniforme implica $\Delta V=Ed=\dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}$, então

Essa $E\to\Delta V\to C$ sequência é uma derivação padrão de FRQ – aprenda-a como três etapas e cite cada uma. O mesmo método aplica-se às outras duas formas esperadas pela AP: esferas concêntricas ($C=4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$) e um cilindro coaxial de comprimento $L$, onde $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ leva a $\Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a}$ e assim $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$.

Exemplo resolvido. Placas de área $A=0.020\ \text{m}^2$ e lacuna $d=1.0\ \text{mm}$: $C=\dfrac{8.85\times10^{-12}(0.020)}{1.0\times10^{-3}}=1.8\times10^{-10}\ \text{F}$. Carregado a $100\ \text{V}$, ele armazena $Q=CV=1.8\times10^{-8}\ \text{C}$.

Como o campo entre as placas é uniforme, uma partícula carregada nele sente uma força constante, movendo-se com aceleração constante – exatamente como o movimento de projétil 抛体运动 na gravidade: velocidade constante horizontalmente, aceleração uniforme em direção a uma placa.

Exemplo resolvido. Um elétron entra ao meio das placas com $v_0=2.0\times10^{7}\ \text{m/s}$, paralelo a elas. O campo é $E=1.0\times10^{3}\ \text{N/C}$ e as placas têm $4.0\ \text{cm}$ de comprimento. Aceleração: $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{3})}{9.11\times10^{-31}}=1.8\times10^{14}\ \text{m/s}^2$. Tempo entre as placas: $t=\dfrac{0.040}{2.0\times10^{7}}=2.0\times10^{-9}\ \text{s}$. Deflexão: $y=\tfrac12at^{2}=\tfrac12(1.8\times10^{14})(2.0\times10^{-9})^{2}\approx3.5\times10^{-4}\ \text{m}$ – cerca de $0.35\ \text{mm}$ em direção à placa positiva.

Armazenar carga exige trabalho 功: uma força externa deve mover cada pedaço de carga contra o campo da carga já presente. O trabalho total transforma-se em energia potencial armazenada,

O fator $\tfrac12$ é a área do triângulo sob a linha $Q$–$\Delta V$: o primeiro pedaço de carga custou quase nada para ser movido, o último custou a full $\Delta V$.

Capacitores combinam ao contrário dos resistores: em paralelo 并联 as capacitâncias somam ($C_{\text{eq}}=C_1+C_2$, mesma $\Delta V$, cargas somam), enquanto em série 串联 os inversos somam ($\tfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\tfrac{1}{C_1}+\tfrac{1}{C_2}$, mesma $Q$, tensões somam).

Exemplo resolvido. Um capacitor de $2\ \mu\text{F}$ e outro de $4\ \mu\text{F}$ em série: $\tfrac{1}{C}=\tfrac12+\tfrac14$, logo $C=\tfrac43\ \mu\text{F}$. O mesmo par em paralelo: $6\ \mu\text{F}$.

Um dielétrico 电介质 é um material isolante. Suas cargas não podem fluir livremente, mas em um campo externo cada molécula se alonga ou gira levemente – o material torna-se polarizado 极化. As moléculas alinhadas criam seu próprio campo pequeno oposto ao aplicado, reduzindo o campo líquido dentro do material:

onde $\kappa$ é a constante dielétrica 介电常数, a razão entre a permissividade do material e a permissividade do vácuo 真空介电常数.

Preencher um capacitor com dielétrico multiplica sua capacitância:

O que acontece depois depende do que permanece fixo – uma armadilha comum de prova:

Exemplo resolvido. Um capacitor de $100\ \text{pF}$ é carregado até $12\ \text{V}$, desconectado e depois preenchido com um dielétrico de $\kappa=3$. $Q$ fica preso, então $\Delta V$ cai para $4\ \text{V}$ e a energia armazenada cai para um terço – a energia faltante foi usada para puxar o dielétrico para dentro. Reconectado à bateria de $12\ \text{V}$, o capacitor manteria três vezes a carga e três vezes a energia.

Habilidade de prova. Sempre inicie questões sobre dielétricos escrevendo qual grandeza é mantida fixa ($Q$ ou $\Delta V$), depois deixe $C=\kappa C_0$ conduzir tudo através de $Q=C\Delta V$ e $U=\tfrac12 C(\Delta V)^2$.

• Em equilíbrio eletrostático, um condutor tem $\vec E=0$ dentro e toda carga excedente na superfície.
• Aplique a lei de Gauss $\oint \vec E\cdot d\vec A=\tfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ com uma superfície gaussiana compatível com a simetria (esfera, cilindro, pilha).
• Todo o condutor é uma equipotencial, e o campo superficial é perpendicular a ela.
• Para um capacitor use $C=\tfrac{Q}{V}$, energia $U=\tfrac12 CV^2$, e como um dielétrico aumenta $C$.
• Escolha a superfície gaussiana de modo que $\vec E$ seja constante e paralela (ou nula) em cada parte.