Gauss's Law · Lei de Gauss
| English | Português |
|---|---|
| Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ | Lei de Gauss |
| permittivity/ˌpɜːmɪˈtɪvəti/ | permissividade |
| Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ | superfície gaussiana |
Turn a nasty integral into one line
- Finding $E$ from a big charged object by integrating is hard work.
- Gauss's law 高斯定律 offers a shortcut — when the shape is symmetric.
- It links the flux through a closed surface to the charge trapped inside.
- With the right surface, you read $E$ off in a single step.
Transforme uma integral terrível em uma linha
- Encontrar $E$ de um grande objeto carregado integrando é trabalho árduo.
- A lei de Gauss 高斯定律 oferece um atalho — quando a forma é simétrica.
- Ela relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a carga aprisionada dentro.
- Com a superfície certa, você lê $E$ em um único passo.
The law itself
- For any closed surface: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- The left side is the total flux; the right is the enclosed charge over $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ is the permittivity 介电常数 of free space.
- Only charge inside the surface counts.
A lei em si
- Para qualquer superfície fechada: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- O lado esquerdo é o fluxo total; o direito é a carga envolvida sobre $\varepsilon_0$.
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ é a permissividade 介电常数 do vácuo.
- Apenas carga dentro da superfície conta.
Flux from a charge · Fluxo de uma carga
Watch the field lines from a charge spread out and cross any surface around it. · Assista às linhas de campo de uma carga se espalharem e atravessarem qualquer superfície ao seu redor.
In Gauss's law, the flux through a closed surface equals: · Na lei de Gauss, o fluxo através de uma superfície fechada é igual a:
$\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$.
Outside charge cancels
- A charge outside the surface sends as much flux in as out.
- So its net contribution to the closed-surface flux is zero.
- This is why only $Q_{\text{enc}}$ appears on the right.
- The field on the surface still feels outside charge — but the flux doesn't.
Carga externa cancela
- Uma carga fora da superfície envia tanto fluxo para dentro quanto para fora.
- Então sua contribuição líquida para o fluxo da superfície fechada é zero.
- É por isso que apenas $Q_{\text{enc}}$ aparece no lado direito.
- O campo na superfície ainda sente a carga externa — mas o fluxo não.
A charge outside a closed surface adds zero net flux through it. · Uma carga fora de uma superfície fechada adiciona fluxo líquido zero através dela.
Outside charge sends in as much flux as it takes out — net zero. · Carga externa envia tanto fluxo quanto retira — líquido zero.
A surface encloses $+6\ \text{nC}$ and · e $-2\ \text{nC}$. What net charge (in nC) sets its flux? · Uma superfície envolve $+6\ \text{nC}$ e $-2\ \text{nC}$. Que carga líquida (em nC) define seu fluxo?
Only enclosed charge counts: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$. · Somente a carga envolvida conta: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$.
Pick a surface that matches the symmetry
- Sphere of charge → use a spherical Gaussian surface 高斯面.
- Line of charge → use a coaxial cylinder.
- Plane of charge → use a box (pillbox) through it.
- Choose it so $E$ is constant and either along or across each patch.
Escolha uma superfície que combine com a simetria
- Esfera de carga → use uma superfície gaussiana esférica 高斯面.
- Linha de carga → use um cilindro coaxial.
- Plano de carga → use uma caixa (pilhador) atravessando-o.
- Escolha-a de modo que $E$ seja constante e esteja alinhado ou perpendicular a cada pedaço.
The imaginary closed surface you integrate over is called a ____ surface. · A superfície fechada imaginária sobre a qual você integra é chamada de superfície ____.
It is a Gaussian surface, chosen to match the symmetry. · É uma superfície gaussiana, escolhida para corresponder à simetria.
Select all · todos true statements about Gauss's law. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre a lei de Gauss.
Always true, best with symmetry, driven by enclosed charge — over a closed surface. · Sempre verdadeira, melhor com simetria, impulsionada pela carga envolvida — sobre uma superfície fechada.
Powerful results, fast
- Outside a charged sphere: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exactly like a point charge.
- Around an infinite line: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Near an infinite plane: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- Each drops out of Gauss's law in a couple of lines.
Resultados poderosos, rápidos
- Fora de uma esfera carregada: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — exatamente como uma carga pontual.
- Ao redor de uma linha infinita: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
- Perto de um plano infinito: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constante).
- Cada uma surge da lei de Gauss em poucas linhas.
Outside a uniformly charged sphere of charge $Q$, the field is: · Fora de uma esfera uniformemente carregada de carga $Q$, o campo é:
Gauss's law gives $E = kQ/r^2$ outside — identical to a point charge. · A lei de Gauss dá $E = kQ/r^2$ fora — idêntico a uma carga pontual.
Find $E$ a distance $r$ outside a sphere holding charge $Q$.
- A spherical Gaussian surface gives $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Set it equal to $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Encontre $E$ a uma distância $r$ fora de uma esfera contendo carga $Q$.
- Uma superfície gaussiana esférica dá $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$.
- Iguale-a a $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$.
Gauss's law is always true, but only useful when symmetry makes $E$ constant on your surface. For a lopsided charge you can still write $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, but you can't pull $E$ out of the integral.
A lei de Gauss é sempre verdadeira, mas apenas útil quando a simetria faz $E$ constante em sua superfície. Para uma carga assimétrica, você ainda pode escrever $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$, mas não pode extrair $E$ da integral.
Gauss's law says $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — flux through a closed surface depends only on the enclosed charge. Choose a Gaussian surface matching the symmetry (sphere, cylinder, plane) to read $E$ off in one step.
Lei de Gauss diz $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — fluxo através de uma superfície fechada depende apenas da carga envolvida. Escolha uma superfície gaussiana combinando com a simetria (esfera, cilindro, plano) para ler $E$ em um passo.