Use um par de fones de ouvido com cancelamento de ruído, e o estrondo de um motor de avião diminui até o silêncio. Mas aqui está a parte estranha: eles não bloqueiam o som — eles…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
8.1
Principle of superposition · Princípio da superposição
Syllabus · Programa
English
explain and use the principle of superposition
show an understanding of experiments that demonstrate stationary waves using microwaves, stretched strings and air columns (it will be assumed that end corrections are negligible; knowledge of the concept of end corrections is not required)
explain the formation of a stationary wave using a graphical method, and identify nodes and antinodes
understand how wavelength may be determined from the positions of nodes or antinodes of a stationary wave
Português
explicar e utilizar o princípio da superposição
demonstrar compreensão dos experimentos que demonstram ondas estacionárias utilizando micro-ondas, cordas tensionadas e colunas de ar (presume-se que as correções de extremidade sejam desprezáveis; o conhecimento do conceito de correções de extremidade não é exigido)
explicar a formação de uma onda estacionária utilizando um método gráfico e identificar nós e ventres
compreender como o comprimento de onda pode ser determinado a partir das posições dos nós ou ventres de uma onda estacionária
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Two waves make a standing wave
When two or more waves 波 overlap at a point, the displacement 位移 there is the vector sum 矢量和 of the displacements each wave would make on its own. This is the principle of superposition 叠加.
The waves pass through each other and come out unchanged. Superposition is the base of everything in this topic.
For the two-mark statement: when two or more waves meet at a point, the resultant displacement is the sum of the displacements of the individual waves. It is the displacements that add, not the amplitudes or the intensities, and the principle applies whenever waves of the same type overlap; the waves do not have to be coherent or of equal amplitude.
If two waves of amplitude 振幅$A_{1}$ and $A_{2}$ meet:
in phase 同相 (crest 波峰 meets crest): the amplitude is $A_{1} + A_{2}$ (constructive interference 相长干涉).
exactly out of phase (crest meets trough 波谷, phase difference 相位差$\pi$): the amplitude is $|A_{1} - A_{2}|$ (destructive interference 相消干涉).
any other phase difference $\phi$: the amplitude is somewhere between these two.
For intensity 强度, $I \propto A^{2}$. Two equal waves meeting in phase give intensity $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — four times the intensity of one wave alone.
Because $I \propto A^{2}$, work in amplitudes first. Two waves of intensities $I$ and $4I$ have amplitudes $A$ and $2A$: superposing in phase gives amplitude $3A$ and intensity $9I$, in antiphase amplitude $A$ and intensity $I$. So two coherent waves of different intensities never cancel completely: the minima have intensity $(A_{2} - A_{1})^{2}$, not zero. A wave of amplitude $2A$ meeting one of amplitude $A/2$ travelling the opposite way gives a resultant that varies between $2.5A$ and $1.5A$, a stationary pattern with no true nodes. Doubling the amplitude of one of two equal waves that meet in phase takes the resultant from $2A$ to $3A$, so the intensity rises from $4A^{2}$ to $9A^{2}$: $2.25$ times.
Português
Duas ondas formam uma onda estacionária
Quando duas ou mais ondas 波 se sobrepõem em um ponto, o deslocamento 位移 ali é a soma vetorial 矢量和 dos deslocamentos que cada onda causaria isoladamente. Este é o princípio da superposição 叠加.
As ondas passam umas pelas outras e saem inalteradas. A superposição é a base de tudo neste tópico.
Para a afirmação de dois pontos: quando duas ou mais ondas encontram-se em um ponto, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos das ondas individuais. São os deslocamentos que se somam, não as amplitudes ou as intensidades, e o princípio aplica-se sempre que ondas do mesmo tipo se sobrepõem; as ondas não precisam ser coerentes ou de igual amplitude.
Se duas ondas de amplitude 振幅$A_{1}$ e $A_{2}$ se encontram:
em fase 同相 (crista 波峰 encontra crista): a amplitude é $A_{1} + A_{2}$ (interferência construtiva 相长干涉).
exatamente fora de fase (crista encontra vales 波谷, diferença de fase 相位差$\pi$): a amplitude é $|A_{1} - A_{2}|$ (interferência destrutiva 相消干涉).
qualquer outra diferença de fase $\phi$: a amplitude fica em algum lugar entre esses dois.
Duas ondas chegando em fase se somam para dar o dobro da amplitude (construtiva)Duas ondas chegando exatamente fora de fase se cancelam a zero (destrutiva)
Para intensidade 强度, $I \propto A^{2}$. Duas ondas iguais encontrando-se em fase dão intensidade $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — quatro vezes a intensidade de uma onda sozinha.
Como $I \propto A^{2}$, trabalhe primeiro com amplitudes. Duas ondas de intensidades $I$ e $4I$ têm amplitudes $A$ e $2A$: a superposição em fase resulta em amplitude $3A$ e intensidade $9I$; em antifaase, amplitude $A$ e intensidade $I$. Portanto, duas ondas coerentes de intensidades diferentes nunca se cancelam completamente: os mínimos têm intensidade $(A_{2} - A_{1})^{2}$, não zero. Uma onda de amplitude $2A$ encontrando uma de amplitude $A/2$ viajando na direção oposta produz um resultado que varia entre $2.5A$ e $1.5A$, um padrão estacionário sem nós verdadeiros. Dobrar a amplitude de uma de duas ondas iguais que se encontram em fase leva o resultado de $2A$ para $3A$, portanto a intensidade aumenta de $4A^{2}$ para $9A^{2}$: $2.25$ vezes.
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Somando duas ondas
Duas ondas se sobrepõem e se somam. Alinhe-as para interferência construtiva, ou oponha-as para destrutiva — altere a fase para ver ambas.
When two identical progressive waves 行波 travel in opposite directions and overlap, they make a stationary wave 驻波. Examples: a wave on a string reflected 反射 from a fixed end overlapping the incoming wave; sound in an air column reflected from a closed end; microwaves between an emitter and a metal sheet.
Explain how the stationary wave is formed (three or four marks, asked for a string, an air column and microwaves alike): the wave from the source travels to the far end (the wall, the closed end, the metal plate) and is reflected; the incident and reflected waves have the same frequency, wavelength and speed and travel in opposite directions; they superpose where they overlap; at the points where they always meet in phase the displacements add to give the maximum amplitude, an antinode, and at the points where they always meet in antiphase they cancel, a node. For "state the conditions": two waves of the same type, with the same frequency (and wavelength) and speed, travelling in opposite directions along the same line; equal amplitudes are needed only for the nodes to have zero amplitude. The metal plate in the microwave experiment is there to reflect the waves back along their own path.
Nodes and antinodes
In a stationary wave:
node 波节 — a point that is always at zero displacement (the two waves always cancel). The distance between next-door nodes is $\lambda/2$.
antinode 波腹 — a point of largest amplitude (the two waves always add). The distance between next-door antinodes is $\lambda/2$.
a node and the next antinode are $\lambda/4$ apart.
Particles between two nodes oscillate in phase with each other, but with different amplitudes (largest at the antinode, zero at the nodes). Particles on opposite sides of a node oscillate in antiphase 反相 (phase difference $\pi$).
So the phase difference between two points on the same loop (between adjacent nodes) is $0°$; between points on neighbouring loops it is $180°$; and between points on loops separated by one whole loop it is $0°$ again. Every point reaches its maximum displacement at the same instant and passes through zero at the same instant. A sketch of the string a quarter of a cycle after the instant of maximum displacement is a straight line along the rest position; half a cycle later it is the mirror image of the first sketch. In one period a particle at an antinode travels four amplitudes, so a particle that moves $72\ \text{mm}$ in one and a half periods has an amplitude of $12\ \text{mm}$.
Worked example. A string of length $0.80\ \text{m}$ is fixed at both ends and vibrates in its fundamental mode, where the wave speed is $240\ \text{m s}^{-1}$. Find the fundamental frequency.
One loop fits the string, so $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Then
How a stationary wave differs from a progressive wave: it does not carry energy 能量 along its length, the pattern does not move along, and the nodes stay fixed; a progressive wave has the same amplitude everywhere and carries energy. The three differences the scheme lists: a progressive wave transfers energy and a stationary wave does not; in a progressive wave every point has the same amplitude, in a stationary wave the amplitude varies from zero at a node to a maximum at an antinode; in a progressive wave neighbouring points differ in phase, in a stationary wave all the points between two nodes are in phase.
Measuring wavelength from node spacing
Drive a string with a vibrator at frequency $f$ until a stationary pattern appears. Measure the distance between two well-separated nodes and divide by the number of half-wavelengths 波长 between them. Then $\lambda$ is known, and $v = f\lambda$ gives the wave speed.
For a tube closed at one end and open at the other (a resonance tube 共鸣管), the closed end is a displacement node and the open end is a displacement antinode. The fundamental 基频 has $L = \lambda/4$; the next resonance is at $L = 3\lambda/4$; and so on. For a tube open at both ends, both ends are antinodes; the fundamental is at $L = \lambda/2$.
The general rule: a closed end is a node and an open end an antinode, and a string fixed at both ends has a node at each end. So a closed pipe fits an odd number of quarter-wavelengths ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), while an open pipe and a fixed string fit whole half-wavelengths ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); a pipe open at both ends with $n$ nodes has $n + 1$ antinodes. Frequencies follow from $f = v/\lambda$: a closed pipe whose lowest note is $820\ \text{Hz}$ has $\lambda = 4L$, and a corridor $13.2\ \text{m}$ long with a reflecting door at each end resonates lowest at $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.
Worked example. A loudspeaker at the open end of a tube $0.51\ \text{m}$ long, closed at the other end, sets up a stationary wave with two nodes and two antinodes. Find the wavelength and, with $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, the frequency.
Two nodes and two antinodes is the second mode of a closed pipe, $L = 3\lambda/4$, so $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ and $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. The longest wavelength that can resonate in this tube is $4L = 2.0\ \text{m}$.
The experiments the syllabus names all measure $\lambda$ from node or antinode spacing. In the resonance tube, a tube is raised out of water while a loudspeaker or tuning fork sounds at its open end; the sound is suddenly loud at the first resonance, when the air column is $\lambda/4$ long, and again at $3\lambda/4$, so the tube moves $\lambda/2$ between the two (a student needs no equipment to detect the resonance: the note becomes loud). In a dust tube, fine powder settles into heaps at the displacement nodes, $\lambda/2$ apart. With microwaves, a receiver moved along the line between the transmitter and a metal reflecting plate reads a minimum every $\lambda/2$: a receiver that starts at a minimum and passes six more minima in $1.05\ \text{m}$ has crossed $3\lambda$, so $\lambda = 0.35\ \text{m}$ and, with $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ for the equivalent sound experiment, $f = 970\ \text{Hz}$. A stationary wave in a microwave oven melts chocolate at the antinodes, $\lambda/2$ apart, so the spot spacing and the oven's frequency ($2.45\ \text{GHz}$) give the speed of light from $c = f\lambda$.
Português
Quando duas ondas progressivas 行波 idênticas viajam em direções opostas e se sobrepõem, formam uma onda estacionária 驻波. Exemplos: uma onda em uma corda refletida 反射 de uma extremidade fixa sobrepondo-se à onda incidente; som em uma coluna de ar refletida de uma extremidade fechada; micro-ondas entre um emissor e uma placa metálica.
Explique como a onda estacionária é formada (três ou quatro pontos, perguntado para uma corda, uma coluna de ar e micro-ondas igualmente): a onda da fonte viaja até a extremidade distante (a parede, a extremidade fechada, a placa de metal) e é refletida; as ondas incidentes e refletidas têm a mesma frequência, comprimento de onda e velocidade e viajam em direções opostas; elas superpõem-se onde se cruzam; nos pontos onde sempre se encontram em fase, os deslocamentos se somam para dar a amplitude máxima, um antinó, e nos pontos onde sempre se encontram em antifase se cancelam, um nó. Para "enuncie as condições": duas ondas do mesmo tipo, com a mesma frequência (e comprimento de onda) e velocidade, viajando em direções opostas ao longo da mesma linha; amplitudes iguais são necessárias apenas para que os nós tenham amplitude zero. A placa de metal no experimento de micro-ondas está lá para refletir as ondas de volta ao seu próprio caminho.
Uma onda estacionária forma-se onde duas ondas opostas se sobrepõem (N marca um nó, A um antinó)
Nós e antinós
Em uma onda estacionária:
nó 波节 — um ponto que está sempre em deslocamento zero (as duas ondas sempre se cancelam). A distância entre nós vizinhos é $\lambda/2$.
antinó 波腹 — um ponto de maior amplitude (as duas ondas sempre se somam). A distância entre antinós vizinhos é $\lambda/2$.
um nó e o próximo antinó estão $\lambda/4$ separados.
Partículas entre dois nós oscilam em fase umas com as outras, mas com amplitudes diferentes (maior no antinó, zero nos nós). Partículas em lados opostos de um nó oscilam em antifase 反相 (diferença de fase $\pi$).
Então a diferença de fase entre dois pontos no mesmo laço (entre nós adjacentes) é $0°$; entre pontos em laços vizinhos é $180°$; e entre pontos em laços separados por um laço inteiro é $0°$ novamente. Todo ponto atinge seu deslocamento máximo no mesmo instante e passa pelo zero no mesmo instante. Um esboço da corda um quarto de ciclo após o instante de deslocamento máximo é uma linha reta ao longo da posição de repouso; meio ciclo depois é a imagem espelhada do primeiro esboço. Em um período, uma partícula em um antinó percorre quatro amplitudes, então uma partícula que se move $72\ \text{mm}$ em um e meio períodos tem uma amplitude de $12\ \text{mm}$.
Modo fundamental em uma corda esticada — um laço, com L igual a metade de um comprimento de onda
Exemplo resolvido. Uma corda de comprimento $0.80\ \text{m}$ está fixa em ambas as extremidades e vibra em seu modo fundamental, onde a velocidade da onda é $240\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a frequência fundamental.
Um laço cabe na corda, então $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Então
Como uma onda estacionária difere de uma onda progressiva: ela não carrega energia 能量 ao longo de seu comprimento, o padrão não se move ao longo, e os nós permanecem fixos; uma onda progressiva tem a mesma amplitude em todos os lugares e carrega energia. As três diferenças que o gabarito lista: uma onda progressiva transfere energia e uma estacionária não; em uma onda progressiva todo ponto tem a mesma amplitude, em uma estacionária a amplitude varia de zero em um nó até um máximo em um antinó; em uma onda progressiva pontos vizinhos diferem em fase, em uma estacionária todos os pontos entre dois nós estão em fase.
Medindo o comprimento de onda a partir do espaçamento dos nós
Acione uma corda com um vibrador na frequência $f$ até que um padrão estacionário apareça. Meça a distância entre dois nós bem separados e divida pelo número de meios-comprimentos de onda 波长 entre eles. Então $\lambda$ é conhecido, e $v = f\lambda$ dá a velocidade da onda.
Para um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra (um tubo de ressonância 共鸣管), a extremidade fechada é um nó de deslocamento e a extremidade aberta é um antinó de deslocamento. A fundamental 基频 tem $L = \lambda/4$; a próxima ressonância ocorre em $L = 3\lambda/4$; e assim por diante. Para um tubo aberto em ambas as extremidades, ambas as extremidades são antinós; a fundamental está em $L = \lambda/2$.
A regra geral: uma extremidade fechada é um nó e uma extremidade aberta é um antinó, e uma corda fixa em ambas as extremidades tem um nó em cada extremidade. Portanto, um tubo fechado acomoda um número ímpar de quartos de comprimento de onda ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), enquanto um tubo aberto e uma corda fixa acomodam meios comprimentos de onda inteiros ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); um tubo aberto em ambas as extremidades com $n$ nós tem $n + 1$ antinós. As frequências derivam de $f = v/\lambda$: um tubo fechado cuja nota mais baixa é $820\ \text{Hz}$ tem $\lambda = 4L$, e um corredor $13.2\ \text{m}$ longo com uma porta refletora em cada extremo ressoa pela primeira vez em $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.
Modos de uma coluna de ar: uma extremidade fechada é um nó, uma extremidade aberta é um antinó
Exemplo resolvido. Um alto-falante na extremidade aberta de um tubo $0.51\ \text{m}$ de comprimento, fechado na outra extremidade, estabelece uma onda estacionária com dois nós e dois antinós. Encontre o comprimento de onda e, com $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, a frequência.
Dois nós e dois antinós são o segundo modo de um tubo fechado, $L = 3\lambda/4$, portanto $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ e $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. O maior comprimento de onda que pode ressonar neste tubo é $4L = 2.0\ \text{m}$.
Os experimentos nomeados pelo syllabus medem todos $\lambda$ a partir do espaçamento entre nós ou antinós. No tubo de ressonância, um tubo é elevado da água enquanto um alto-falante ou diapasão soa em sua extremidade aberta; o som torna-se repentinamente alto na primeira ressonância, quando a coluna de ar tem comprimento $\lambda/4$, e novamente em $3\lambda/4$, portanto o tubo move-se $\lambda/2$ entre os dois (um estudante não precisa de equipamento para detectar a ressonância: a nota torna-se alta). Em um tubo de pó, partículas finas depositam-se em montes nos nós de deslocamento, separados por $\lambda/2$. Com micro-ondas, um receptor movido ao longo da linha entre o transmissor e uma placa metálica refletora lê um mínimo a cada $\lambda/2$: um receptor que começa em um mínimo e passa por mais seis mínimos em $1.05\ \text{m}$ cruzou $3\lambda$, portanto $\lambda = 0.35\ \text{m}$ e, com $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ para o experimento de som equivalente, $f = 970\ \text{Hz}$. Uma onda estacionária em um forno de micro-ondas derrete chocolate nos antinós, separados por $\lambda/2$, portanto o espaçamento dos pontos e a frequência do forno ($2.45\ \text{GHz}$) dão a velocidade da luz a partir de $c = f\lambda$.
Modo fundamental em um tubo fechado — um nó na extremidade fechada, um antinó na extremidade aberta
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Ondas estacionárias & harmônicos
Uma corda fixa em ambas as extremidades ressoa apenas em seus harmônicos. Arraste n para ver os nós, antinodos e como o comprimento de onda muda.
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Ondas estacionárias
y = y₁ + y₂
Duas ondas se superpõem: onde se reforçam você obtém antinodos, onde se cancelam, nós.
show an understanding of experiments that demonstrate diffraction including the qualitative effect of the gap width relative to the wavelength of the wave; for example diffraction of water waves in a ripple tank
Português
explicar o significado do termo difração
demonstrar compreensão dos experimentos que demonstram difração, incluindo o efeito qualitativo da largura da fenda em relação ao comprimento de onda da onda; por exemplo, difração de ondas de água num tanque de ondas
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Diffraction 衍射 is the spreading of a wave after it passes through a gap or around an obstacle 障碍物. All waves diffract — water, sound, light, microwaves.
For the two-mark "state what is meant by diffraction": the spreading of a wave as it passes through a gap (an aperture) or around the edge of an obstacle, into the region behind it. Diffraction changes the direction the wave travels in, but not its speed, frequency or wavelength.
The amount of spreading depends on the ratio of wavelength to gap width:
gap much wider than $\lambda$: very little spreading; the wave goes nearly straight through.
gap about the size of$\lambda$: a lot of spreading; the wave fans out.
gap smaller than$\lambda$: very strong spreading; the gap acts almost like a point source.
Show this with water waves in a ripple tank 水波槽: straight waves meet a barrier with a gap, and the waves curve more as the gap is made narrower. The same idea is why you can hear someone around a corner (speech has $\lambda$ near 1 m, close to the gap size) but cannot see them (visible light has $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, far smaller than the gap).
For the strongest spreading the gap should be about one wavelength wide. So to increase the diffraction of a given wave, make the gap narrower; for a given gap, use a longer wavelength, which means a lower frequency. Radio waves of wavelength $1.5\ \text{km}$ diffract around a mountain and reach an aerial behind it; microwaves of $1.5\ \text{cm}$ do not. Sound of $0.44\ \text{kHz}$ in air has $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, so features of about $0.75\ \text{m}$ diffract it most, and of the sounds passing through a doorway $0.80\ \text{m}$ wide the low frequencies spread out most. Making the gap many wavelengths wide, or raising the frequency, reduces the spreading.
Português
Difração 衍射 é o espalhamento de uma onda após passar por uma abertura ou ao redor de um obstáculo 障碍物. Todas as ondas sofrem difração — água, som, luz, micro-ondas.
Para os dois pontos "enuncie o que significa difração": o espalhamento de uma onda à medida que passa por uma abertura (uma abertura) ou ao redor da borda de um obstáculo, para a região atrás dele. A difração muda a direção em que a onda viaja, mas não sua velocidade, frequência ou comprimento de onda.
A quantidade de espalhamento depende da razão de comprimento de onda para largura da abertura:
abertura muito mais larga que $\lambda$: muito pouco espalhamento; a onda passa quase em linha reta.
abertura do tamanho de$\lambda$: muito espalhamento; a onda se expande em leque.
abertura menor que$\lambda$: espalhamento muito forte; a abertura age quase como uma fonte pontual.
Mostre isso com ondas de água em um tanque de ondulações 水波槽: ondas retas encontram uma barreira com uma fenda, e as ondas curvam-se mais à medida que a fenda se torna mais estreita. A mesma ideia explica por que você pode ouvir alguém atrás de uma esquina (a fala tem $\lambda$ perto de 1 m, próximo ao tamanho da fenda) mas não pode vê-la (a luz visível tem $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, muito menor que a fenda).
Para o espalhamento mais forte, a abertura deve ter cerca de um comprimento de onda de largura. Portanto, para aumentar a difração de uma dada onda, faça a abertura mais estreita; para uma dada abertura, use um comprimento de onda mais longo, o que significa uma frequência mais baixa. Ondas de rádio de comprimento de onda $1.5\ \text{km}$ difratam ao redor de uma montanha e atingem uma antena atrás dela; micro-ondas de $1.5\ \text{cm}$ não. Som de $0.44\ \text{kHz}$ no ar tem $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, então características de cerca de $0.75\ \text{m}$ o difratam mais, e dos sons passando por uma porta $0.80\ \text{m}$ de largura, as baixas frequências se espalham mais. Tornar a abertura muitas vezes mais larga que o comprimento de onda, ou aumentar a frequência, reduz o espalhamento.
Difração em um tanque de ondas — uma abertura larga (a) espalha as ondas pouco, uma abertura estreita (b) muito mais
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Ondas somando e cancelando
Duas ondas sobrepostas somam onde estão em fase e cancelam onde estão fora de fase — mude a fase para ver o resultado. Isso é o que cria padrões de difração.
show an understanding of experiments that demonstrate two-source interference using water waves in a ripple tank, sound, light and microwaves
understand the conditions required if two-source interference fringes are to be observed
recall and use $\lambda = ax / D$ for double-slit interference using light
Português
compreender os termos interferência e coerência
demonstrar compreensão dos experimentos que demonstram interferência de duas fontes utilizando ondas de água num tanque de ondas, som, luz e micro-ondas
compreender as condições necessárias para que sejam observados franjas de interferência em duas fontes
recordar e utilizar $\lambda = ax / D$ para interferência de dupla fenda utilizando luz
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
Two-slit interference
Interference 干涉 is the superposition of two coherent 相干 waves to give a steady pattern of high-amplitude regions (constructive) and low-amplitude regions (destructive).
Coherence
Two sources are coherent when they emit waves with a constant phase difference (which also needs the same frequency). Two separate lamps are not coherent — their phase changes randomly, so any pattern flickers too fast to see and you get only an average.
The one-mark definition: coherent waves have a constant phase difference, which requires the same frequency. They need not be in phase with each other: two coherent sources emitting $180°$ apart give a pattern whose central line is a minimum. Two separate lasers, or a lamp and a laser, are not coherent even when their frequencies happen to match, so no steady pattern forms.
To make coherent light from one source, pass it through two slits 狭缝 in a double-slit 双缝 setup. Both slits are lit by the same wavefront, so the two beams keep a fixed phase relationship.
Conditions for a clear pattern
To see two-source fringes you need:
two coherent sources (constant phase difference).
roughly equal amplitudes (or the dark regions are not very dark).
the waves overlap where you look.
for light (a transverse wave), the same plane of polarisation 偏振.
In practice, for light: a single slit (or a laser) makes the two slits coherent; the slits are narrow, so each diffracts the light into the region where the two beams overlap; and the slits are close together with the screen far away, so that the fringes are wide enough to see.
Path difference
For two coherent sources, what happens at a point depends on the path difference 路程差$\Delta x$ between the two waves arriving there:
destructive: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.
The path difference fixes the phase difference: one wavelength of path is $360°$. Waves that have travelled $100\ \text{cm}$ and $80\ \text{cm}$ from two in-phase sources of wavelength $8.0\ \text{cm}$ arrive with a path difference of $2.5\lambda$, a phase difference of $180°$, and cancel; microwaves of wavelength $4\ \text{cm}$ whose paths differ by $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) give a minimum, of zero intensity only if the two amplitudes are equal. Lowering both source frequencies equally lengthens the wavelength, so the same path difference is a smaller number of wavelengths and the point is no longer a minimum.
Double-slit (Young's) experiment
For two slits a distance $a$ apart, with a screen a distance $D$ away (assume $D \gg a$), light of wavelength $\lambda$ makes fringes on the screen.
The fringe spacing 条纹间距$x$ (one fringe 条纹 to the next) is
$$\lambda = \frac{a x}{D}, \qquad x = \frac{\lambda D}{a}.$$
Bright fringes (maximum 极大) are where the path difference is a whole number of $\lambda$; dark fringes (minimum 极小) where it is $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. The fringes are equally spaced.
To make the fringe spacing smaller: increase $a$ (slits further apart), reduce $D$ (screen closer), or use a shorter $\lambda$ (bluer light).
Explain how the pattern of bright and dark fringes is formed (three marks): the light diffracts at each slit; the two diffracted beams overlap and superpose; where the path difference from the two slits is a whole number of wavelengths the waves arrive in phase and interfere constructively, giving a bright fringe, and where it is an odd number of half-wavelengths they arrive in antiphase and interfere destructively, giving a dark fringe. A brighter source makes the bright fringes brighter but does not change their spacing; changing to blue light makes the spacing smaller, so to keep the same spacing the slits must be moved closer together; making each slit narrower increases the diffraction, so fringes appear across a wider region, with the spacing unchanged.
Worked example. In a double-slit experiment the slits are $0.50\ \text{mm}$ apart and lit by light of wavelength $600\ \text{nm}$. The screen is $2.0\ \text{m}$ away. Find the fringe spacing.
Worked example. Red light of wavelength $680\ \text{nm}$ falls on slits $0.16\ \text{mm}$ apart. The distance between the centres of the first and ninth dark fringes is $3.2\ \text{cm}$. Find the distance $D$ to the screen.
Eight fringe spacings make $3.2\ \text{cm}$, so $x = 4.0\ \text{mm}$ and $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. On a screen $5.0\ \text{cm}$ wide centred on the pattern, with $x = 2.4\ \text{mm}$, ten bright fringes fit on each side of the central one: $21$ in all. A graph of $x$ against $a$ is a curve falling as $1/a$; a graph of $x$ against $\lambda$ (or against $D$) is a straight line through the origin with gradient $D/a$ (or $\lambda/a$), from which $a$ can be found.
Português
Interferência de duas fendasAs cores que se alteram em uma bolha de sabão vêm da interferência da luz.
Interferência 干涉 é a superposição de duas ondas coerentes 相干 para dar um padrão estável de regiões de alta amplitude (construtivo) e baixa amplitude (destrutivo).
Duas fontes coerentes dão linhas de deslocamento máximo onde cristas encontram cristasO mesmo efeito em um tanque de ondas real — duas fontes coerentes dão um padrão de interferência estável
Coerência
Duas fontes são coerentes quando emitem ondas com uma diferença de fase constante (o que também exige a mesma frequência). Duas lâmpadas separadas não são coerentes — sua fase muda aleatoriamente, então qualquer padrão pisca muito rápido para ser visto e você obtém apenas uma média.
A definição de uma marca: ondas coerentes têm uma diferença de fase constante, o que requer a mesma frequência. Elas não precisam estar em fase umas com as outras: duas fontes coerentes emitindo $180°$ de distância dá um padrão cuja linha central é um mínimo. Dois lasers separados, ou uma lâmpada e um laser, não são coerentes mesmo quando suas frequências coincidem, então nenhum padrão estável se forma.
Para fazer luz coerente de uma fonte, passe-a por duas fendas 狭缝 em um setup de dupla-fenda 双缝. Ambas as fendas são iluminadas pela mesma frente de onda, então os dois feixes mantêm uma relação de fase fixa.
Condições para um padrão claro
Para ver franjas de duas fontes você precisa:
duas fontes coerentes (diferença de fase constante).
amplitudes aproximadamente iguais (ou as regiões escuras não são muito escuras).
as ondas se sobrepõem onde você olha.
para a luz (uma onda transversal), o mesmo plano de polarização 偏振.
Na prática, para a luz: uma fenda simples (ou um laser) torna as duas fendas coerentes; as fendas são estreitas, então cada uma difrata a luz na região onde os dois feixes se sobrepõem; e as fendas estão próximas, com a tela longe, para que as franjas sejam largas o suficiente para serem vistas.
Diferença de caminho
Para duas fontes coerentes, o que acontece em um ponto depende da diferença de caminho 路程差$\Delta x$ entre as duas ondas ali chegando:
destrutivo: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.
A diferença de caminho fixa a diferença de fase: um comprimento de onda de caminho é $360°$. Ondas que viajaram $100\ \text{cm}$ e $80\ \text{cm}$ de duas fontes em fase de comprimento de onda $8.0\ \text{cm}$ chegam com uma diferença de caminho de $2.5\lambda$, uma diferença de fase de $180°$, e cancelam-se; micro-ondas de comprimento de onda $4\ \text{cm}$ cujos caminhos diferem em $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) dão um mínimo, de intensidade zero apenas se as duas amplitudes forem iguais. Reduzir as frequências das duas fontes igualmente alonga o comprimento de onda, então a mesma diferença de caminho é um número menor de comprimentos de onda e o ponto deixa de ser um mínimo.
O que acontece em Z depende da diferença de caminho XZ − YZ, medida em comprimentos de onda
Experimento de dupla-fenda (Young)
Para duas fendas a uma distância $a$ de distância, com uma tela a uma distância $D$ (assuma $D \gg a$), luz de comprimento de onda $\lambda$ faz franjas na tela.
Experimento de dupla fenda de Young — a fenda única torna as duas fendas fontes coerentes
O espaçamento de franja 条纹间距$x$ (uma franja 条纹 para a próxima) é
$$\lambda = \frac{a x}{D}, \qquad x = \frac{\lambda D}{a}.$$
Franjas brilhantes (máximo 极大) são onde a diferença de caminho é um número inteiro de $\lambda$; franjas escuras (mínimo 极小) onde é $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. As franjas são igualmente espaçadas.
Para tornar o espaçamento de franja menor: aumente $a$ (fendas mais distantes), reduza $D$ (tela mais perto), ou use um $\lambda$ mais curto (luz mais azul).
Explique como o padrão de franjas brilhantes e escuras é formado (três marcas): a luz difrata em cada fenda; os dois feixes difratados se sobrepõem e superpõem-se; onde a diferença de caminho das duas fendas é um número inteiro de comprimentos de onda as ondas chegam em fase e interferem construtivamente, dando uma franja brilhante, e onde é um número ímpar de meios-comprimentos de onda elas chegam fora de fase e interferem destrutivamente, dando uma franja escura. Uma fonte mais brilhante torna as franjas brilhantes mais brilhantes mas não altera seu espaçamento; mudar para luz azul torna o espaçamento menor, então para manter o mesmo espaçamento as fendas devem ser movidas mais perto; tornar cada fenda mais estreita aumenta a difração, então franjas aparecem em uma região mais larga, com o espaçamento inalterado.
Exemplo resolvido. Em um experimento de dupla-fenda as fendas estão $0.50\ \text{mm}$ de distância e iluminadas por luz de comprimento de onda $600\ \text{nm}$. A tela está $2.0\ \text{m}$ de distância. Encontre o espaçamento de franja.
Exemplo resolvido. Luz vermelha de comprimento de onda $680\ \text{nm}$ incide sobre fendas $0.16\ \text{mm}$ de distância. A distância entre os centros da primeira e nona franja escura é $3.2\ \text{cm}$. Encontre a distância $D$ à tela.
Oito espaçamentos de franja fazem $3.2\ \text{cm}$, então $x = 4.0\ \text{mm}$ e $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. Em uma tela $5.0\ \text{cm}$ de largura centrada no padrão, com $x = 2.4\ \text{mm}$, dez franjas brilhantes cabem de cada lado da central: $21$ no total. Um gráfico de $x$ contra $a$ é uma curva caindo conforme $1/a$; um gráfico de $x$ contra $\lambda$ (ou contra $D$) é uma linha reta pela origem com inclinação $D/a$ (ou $\lambda/a$), da qual $a$ pode ser encontrado.
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Interferência
y = y₁ + y₂
Em fase → construtiva (brilhante/forte); fora de fase → destrutiva (escura/silenciosa).
describe the use of a diffraction grating to determine the wavelength of light (the structure and use of the spectrometer are not included)
Português
recordar e utilizar $d \sin \theta = n\lambda$
descrever a utilização de uma rede de difração para determinar o comprimento de onda da luz (a estrutura e a utilização do espectrômetro não estão incluídas)
Source: Cambridge International syllabus · Fonte: Programa Cambridge International
English
A diffraction grating 衍射光栅 has many equally spaced slits — often hundreds or thousands per millimetre. Each slit is a coherent source. A maximum is seen at angle $\theta$ from the normal 法线 to the grating when
$$d \sin\theta = n \lambda,$$
where $d$ is the slit spacing 缝间距 (centre to centre), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ is the order 级次, and $\lambda$ is the wavelength.
Worked example. A diffraction grating has $500$ lines per mm. Light of wavelength $600\ \text{nm}$ is shone normally on it. Find the angle of the first-order ($n = 1$) maximum.
The slit spacing is $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, so
Compared with the double slit, a grating gives much sharper maxima, because more slits add together — every other direction is cancelled by many slits.
To describe the diffraction at the grating: the light spreads out (diffracts) at every slit, and the waves from all the slits superpose; in the directions where the path difference between neighbouring slits is a whole number of wavelengths they are all in phase, so sharp maxima form there and almost nothing in between. A graph of intensity against angle is a set of narrow peaks at $\theta = 0$ and at $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, where $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: equally spaced in $\sin\theta$, so slightly further apart in $\theta$ at the higher orders.
Worked example. Light of wavelength $680\ \text{nm}$ is incident normally on a grating with $450$ lines per mm. Find the angle between the two second-order maxima.
$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, so $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ and $\theta_{2} = 37.7°$; the two second-order beams are $2\theta_{2} = 75°$ apart.
Slit spacing from "lines per mm"
If a grating has $N$ lines per millimetre, then $d = 1/N$ millimetres $= 10^{-3}/N$ metres. For $450$ lines per mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.
Highest order
For a given grating and wavelength, $\sin\theta = n\lambda/d$ cannot be more than $1$, so the highest order seen is
If $d/\lambda = 3.27$, orders up to $n = 3$ exist; $n = 4$ would need $\sin\theta > 1$ and is not seen.
So the total number of maxima on a wide screen is $2n_{\text{max}} + 1$: for $700\ \text{nm}$ light and $400$ lines per mm, $d/\lambda = 3.57$, so $n_{\text{max}} = 3$ and seven beams are seen. A shorter wavelength gives more orders at smaller angles. With white light every order except the zero order is a spectrum, violet nearest the centre and red furthest out, because $\theta$ grows with $\lambda$; the zero order stays white. Two wavelengths give a maximum at the same angle when $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: the third order of $400\ \text{nm}$ coincides with the second order of $600\ \text{nm}$.
Finding $\lambda$ with a grating
Shine parallel light of unknown wavelength straight at the grating. Measure the angle $\theta_{1}$ of the first-order maximum from the centre. Then $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Repeating for higher orders and averaging reduces error.
Measure the angle between the first-order maxima on the two sides and halve it, which cancels any error in setting the zero; higher orders give larger angles and so a smaller percentage uncertainty; and plotting $\sin\theta$ against $n$ for several orders gives a straight line through the origin of gradient $\lambda/d$, so $\lambda = Gd$ (or, for a known wavelength, $d = \lambda/G$). Two things must be right: $\theta$ is measured from the normal to the grating, not from its surface, and $d$ is the distance between adjacent lines, so $400$ lines per mm means $d = 2.5\ \mu\text{m}$, never $400$.
Português
Uma rede de difração 衍射光栅 tem muitas fendas igualmente espaçadas — muitas vezes centenas ou milhares por milímetro. Cada fenda é uma fonte coerente. Um máximo é visto em ângulo $\theta$ da normal 法线 à rede quando
$$d \sin\theta = n \lambda,$$
onde $d$ é o espaçamento de fenda 缝间距 (centro a centro), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ é a ordem 级次, e $\lambda$ é o comprimento de onda.
Exemplo resolvido. Uma rede de difração tem $500$ linhas por mm. Luz de comprimento de onda $600\ \text{nm}$ é direcionada normalmente sobre ela. Encontre o ângulo do máximo de primeira ordem ($n = 1$).
O espaçamento de fenda é $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, então
Comparado com a dupla-fenda, uma rede dá máximos muito mais nítidos, porque mais fendas somam-se — todas as outras direções são canceladas por muitas fendas.
Para descrever a difração na rede: a luz se espalha (difrata) em toda fenda, e as ondas de todas as fendas superpõem-se; nas direções onde a diferença de caminho entre fendas vizinhas é um número inteiro de comprimentos de onda elas estão todas em fase, então máximos nítidos se formam ali e quase nada entre elas. Um gráfico de intensidade contra ângulo é um conjunto de picos estreitos em $\theta = 0$ e em $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, onde $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: igualmente espaçados em $\sin\theta$, então ligeiramente mais distantes em $\theta$ nas ordens mais altas.
Intensidade contra ângulo para uma rede: máximos nítidos onde $d\sin\theta = n\lambda$
Exemplo resolvido. Luz de comprimento de onda $680\ \text{nm}$ incide normalmente em uma rede com $450$ linhas por mm. Encontre o ângulo entre os dois máximos de segunda ordem.
$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, então $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ e $\theta_{2} = 37.7°$; os dois feixes de segunda ordem estão $2\theta_{2} = 75°$ de distância.
Uma rede de difração divide luz monocromática em máximos nítidos em uma tela
Espaçamento de fenda a partir de "linhas por mm"
Se uma rede tem $N$ linhas por milímetro, então $d = 1/N$ milímetros $= 10^{-3}/N$ metros. Para $450$ linhas por mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.
Ordem mais alta
Para uma dada rede e comprimento de onda, $\sin\theta = n\lambda/d$ não pode ser mais que $1$, então a ordem mais alta vista é
Se $d/\lambda = 3.27$, ordens até $n = 3$ existem; $n = 4$ precisaria de $\sin\theta > 1$ e não é vista.
Então o número total de máximos em uma tela larga é $2n_{\text{max}} + 1$: para $700\ \text{nm}$ luz e $400$ linhas por mm, $d/\lambda = 3.57$, então $n_{\text{max}} = 3$ e sete feixes são vistos. Um comprimento de onda mais curto dá mais ordens em menores ângulos. Com luz branca toda ordem exceto a ordem zero é um espectro, violeta mais próximo do centro e vermelho mais distante, porque $\theta$ cresce com $\lambda$; a ordem zero permanece branca. Dois comprimentos de onda dão um máximo no mesmo ângulo quando $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: a terceira ordem de $400\ \text{nm}$ coincide com a segunda ordem de $600\ \text{nm}$.
Encontrando $\lambda$ com uma rede
Brilhe luz paralela de comprimento de onda desconhecido diretamente na rede. Meça o ângulo $\theta_{1}$ do máximo de primeira ordem a partir do centro. Então $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Repetir para ordens mais altas e médias reduz o erro.
Meça o ângulo entre os máximos de primeira ordem dos dois lados e divida por dois, o que cancela qualquer erro no ajuste do zero; ordens mais altas dão maiores ângulos e assim uma menor incerteza percentual; e plotar $\sin\theta$ contra $n$ para várias ordens dá uma linha reta pela origem de inclinação $\lambda/d$, então $\lambda = Gd$ (ou, para um comprimento de onda conhecido, $d = \lambda/G$). Duas coisas devem estar certas: $\theta$ é medido a partir da normal à rede, não de sua superfície, e $d$ é a distância entre linhas adjacentes, então $400$ linhas por mm significam $d = 2.5\ \mu\text{m}$, nunca $400$.
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Por que a rede produz máximos nítidos
Duas ondas se somam quando estão em fase e se cancelam quando estão fora de fase — altere a fase e observe o resultado. As muitas fendas de uma rede tornam as franjas brilhantes extremamente finas.
Definitions the examiner accepts · Definições aceitas pelo examinador
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
principle of superposition
when two or more waves meet at a point, the resultant displacement is the sum of the displacements of the individual waves
stationary wave
the pattern formed when two progressive waves of the same frequency and speed travel in opposite directions and superpose, with nodes and antinodes that do not move
node
a point on a stationary wave where the displacement is always zero
antinode
a point on a stationary wave where the amplitude is a maximum
diffraction
the spreading of a wave as it passes through a gap or around the edge of an obstacle
interference
the superposition of waves from coherent sources, giving a steady pattern of maxima and minima
coherence
waves that have a constant phase difference (and so the same frequency)
path difference
the difference between the distances travelled by two waves from their sources to a point
fringe spacing
the distance between the centres of two adjacent bright (or dark) fringes
order of a maximum
the whole number $n$ in $d\sin\theta = n\lambda$, the number of wavelengths of path difference between adjacent slits
Português
Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.
Termo
Definição
princípio da superposição
quando duas ou mais ondas encontram-se em um ponto, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos das ondas individuais
onda estacionária
o padrão formado quando duas ondas progressivas da mesma frequência e velocidade viajam em direções opostas e se sobrepõem, com nós e antinós que não se movem
nó
um ponto em uma onda estacionária onde o deslocamento é sempre zero
antinó
um ponto em uma onda estacionária onde a amplitude é máxima
difração
o espalhamento de uma onda ao passar por uma abertura ou ao redor da borda de um obstáculo
interferência
a superposição de ondas de fontes coerentes, resultando em um padrão estável de máximos e mínimos
coerência
ondas que possuem uma diferença de fase constante (e, portanto, a mesma frequência)
diferença de caminho
a diferença entre as distâncias percorridas por duas ondas desde suas fontes até um ponto
espaçamento de franjas
a distância entre os centros de duas franjas brilhantes (ou escuras) adjacentes
ordem de um máximo
o número inteiro $n$ em $d\sin\theta = n\lambda$, o número de comprimentos de onda da diferença de caminho entre fendas adjacentes
8.4
Exam tips · Dicas de prova
English
Two-source interference: constructive when path difference $= n\lambda$, destructive when $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; the sources must be coherent.
On a stationary wave mark nodes and antinodes; adjacent nodes are $\lambda/2$ apart; it stores energy but does not transfer it.
A stationary wave needs two waves of the same frequency travelling in opposite directions.
Common mistakes
Adding amplitudes or intensities in the principle of superposition. Displacements add; the intensity then follows from the resultant amplitude squared.
"Adjacent nodes are one wavelength apart." Half a wavelength; a node to the next antinode is a quarter.
Using $d =$ lines per millimetre in $d\sin\theta = n\lambda$. Invert: $d = 10^{-3}/N$ metres.
Measuring $\theta$ from the grating surface, or forgetting that the angle between the two first-order beams is $2\theta_{1}$.
Writing "in phase" for coherent. Coherent means a constant phase difference; the sources may be permanently out of step.
Saying the fringe spacing changes when the source is made brighter, or that narrower slits change the spacing. Brightness and slit width change the contrast and the number of visible fringes, not $x = \lambda D/a$.
Português
Interferência de duas fontes: construtiva quando a diferença de caminho é $= n\lambda$, destrutiva quando é $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; as fontes devem ser coerentes.
Fenda dupla: $\lambda = ax/D$; rede de difração: $d\sin\theta = n\lambda$ — saiba todos os símbolos.
Em uma onda estacionária, marque nós e antinós; nós adjacentes estão separados por $\lambda/2$; ela armazena energia, mas não a transfere.
Uma onda estacionária precisa de duas ondas de mesma frequência viajando em direções opostas.
Erros comuns
Somar amplitudes ou intensidades no princípio da superposição. Os deslocamentos se somam; a intensidade então segue do quadrado da amplitude resultante.
"Nós adjacentes estão separados por um comprimento de onda." Metade de um comprimento de onda; de um nó ao próximo antinó é um quarto.
Usar $d =$ linhas por milímetro em $d\sin\theta = n\lambda$. Inverter: $d = 10^{-3}/N$ metros.
Medir $\theta$ a partir da superfície da rede, ou esquecer que o ângulo entre os dois feites de primeira ordem é $2\theta_{1}$.
Escrever "em fase" para coerente. Coerente significa uma diferença de fase constante; as fontes podem estar permanentemente fora de fase.
Dizer que o espaçamento de franjas muda quando a fonte fica mais brilhante, ou que fendas mais estreitas mudam o espaçamento. Brilho e largura da fenda alteram o contraste e o número de franjas visíveis, não $x = \lambda D/a$.
Interactive lessons on this topic · Aulas interativas sobre este tópico
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