Probabilidade e Estatística 1

Escolha um diagrama que se adapte aos dados. Você deve ser capaz de desenhar e ler:

• um diagrama de caule e folhas 茎叶图 (mantém os valores originais e mostra a forma); dois conjuntos de dados são comparados com uma versão back-to-back 背靠背 — um caule central compartilhado, as folhas de um conjunto aumentando para a esquerda e as do outro para a direita, permitindo comparar medianas e amplitudes de um relance;
• um gráfico de caixa e bigodes 箱线图 (mostra o valor mínimo, os três quartis e o valor máximo);
• um histograma 直方图 (para dados agrupados, onde a área de cada barra mostra a frequência);
• um gráfico de frequência acumulada 累积频数 (totais cumulativos, usado para estimar a mediana e os quartis).

Médias e dispersão

Uma medida de tendência central 集中趋势 é um único valor "central":

• a média aritmética 平均数 $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (a média);
• a mediana 中位数 (o valor central quando os dados estão em ordem);
• a moda 众数 (o valor mais frequente).

Uma medida de variação 离散程度 mostra como os dados estão espalhados:

• a amplitude (dos dados) 极差 (máximo $-$ mínimo);
• a amplitude interquartil 四分位距 (quartil superior $-$ quartil inferior);
• o desvio padrão 标准差 $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.

Você muitas vezes trabalha com os totais $\sum x$ e $\sum x^2$. O quadrado do desvio padrão é a variância 方差.

Exemplo resolvido. Para $10$ valores, $\sum x = 50$ e $\sum x^2 = 300$. Encontre a média e o desvio padrão.

Codificação 编码 facilita números grandes. Substitua cada valor por $t=x-a$ para uma média assumida 假定平均数 conveniente $a$. Então $\bar{x}=a+\bar{t}$, enquanto o desvio padrão é inalterado (mudar todos os valores não espalha os dados). Assim, a partir dos totais codificados $\sum(x-a)$ e $\sum(x-a)^2$ você obtém $\bar x$ e $\sigma$ diretamente, e dois conjuntos de dados podem ser comparados através de seus totais codificados.

Uma permutação 排列 é um arranjo onde a ordem importa; uma combinação 组合 é uma seleção onde a ordem não importa. Os números são

Para arrange objetos em uma linha quando alguns são repetidos, divida pelo fatorial de cada contagem de repetição.

Exemplo resolvido. Quantos arranjos diferentes existem das letras da palavra NEEDLESS?

Há $8$ letras, com E repetido $3$ vezes e S repetido $2$ vezes:

Encontre uma probabilidade contando resultados igualmente prováveis, ou usando permutações e combinações. Combine probabilidades com estas regras:

• adição para "ou": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• multiplicação para "e" quando os eventos são independentes: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Dois eventos são eventos mutuamente exclusivos 互斥事件 se não puderem acontecer ambos, e eventos independentes 独立事件 se a ocorrência de um não mudar a chance do outro. Para testar independência, verifique se $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Uma probabilidade condicional 条件概率 é a chance de $A$ dado que $B$ ocorreu: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Exemplo resolvido. Eventos têm $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ e $P(A \cap B) = 0.2$. São $A$ e $B$ independentes?

Teste: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Os valores são iguais, logo $A$ e $B$ são independentes.

Uma variável aleatória discreta 离散型随机变量 $X$ assume valores separados, cada um com uma probabilidade. Liste-os em uma tabela de distribuição de probabilidade 概率分布表; as probabilidades devem somar $1$. Então a expectativa 期望 (média) e a variância são

Dois modelos especiais:

• a distribuição binomial 二项分布 $X \sim B(n, p)$, para o número de sucessos em $n$ ensaios independentes: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, com $E(X) = np$ e $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• a distribuição geométrica 几何分布, para o ensaio em que ocorre o primeiro sucesso: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, com $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Exemplo resolvido. $X \sim B(10, 0.3)$. Encontre $P(X = 2)$ e $E(X)$.

A distribuição normal 正态分布 modela uma variável aleatória contínua 连续型随机变量 com formato de sino simétrico. Escreva $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, onde $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. Para usar as tabelas, por padronização 标准化, converta para a variável $Z \sim N(0, 1)$:

Então $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, que você lê na tabela normal $\Phi$.

A distribuição normal também é uma boa aproximação 近似 à binomial quando $n$ é grande. Como você substitui uma variável discreta por uma contínua, aplique uma correção de continuidade 连续性校正 (ajuste em $0.5$).

Exemplo resolvido. Sacos de arroz têm massa $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Dado que $P(X < 1.48) = 0.22$, encontre $\mu$.

Da tabela, $P(Z < z) = 0.22$ resulta em $z = -0.772$. Portanto,

• Decida se a ordem importa: permutações ($^nP_r$) quando importa, combinações ($^nC_r$) quando não importa.
• Para uma variável aleatória discreta, verifique se as probabilidades somam $1$ e use $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
• Para a distribuição normal, padronize com $z = (x - \mu)/\sigma$, esboce e sombreie, depois leia a tabela.
• Aplique uma correção de continuidade ao aproximar uma variável discreta pela normal.