Este material cobre o Tópico 3: Matemática Pura 纯数学 3. Os subtópicos 3.1–3.6 baseiam-se no álgebra, logaritmos, trigonometria, diferenciação, integração e métodos numéricos da Matemática Pura 2, portanto este material explica o que é novo na Matemática Pura 3 e depois cobre as três grandes áreas novas: vetores, equações diferenciais e números complexos.
Matemática Pura 3
Matemática do A-Level · Tópico 3
13:36
Matemática Pura 3
Por séculos, os matemáticos bateram num muro: qual é a raiz quadrada de menos um? Nenhum número comum, elevado ao quadrado, resulta em negativo. Eles chamaram de impossível, e…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
3.1
Álgebra
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • compreender o significado de $|x|$, esboçar o gráfico de $y = |ax + b|$ e usar relações como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ e $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ ao resolver equações e desigualdades | Gráficos de $y = |\text{f}(x)|$ e $y = \text{f}(|x|)$ para funções não lineares $\text{f}$ não são incluídos. p. ex. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • dividir um polinômio, de grau não superior a 4, por um polinômio linear ou quadrático, e identificar o quociente e o restante (que podem ser zero) | |
| • usar o teorema do fator e o teorema do restante | p. ex. para encontrar fatores e restantes, resolver equações polinomiais ou avaliar coeficientes desconhecidos. Incluindo fatores da forma $(ax + b)$ em que o coeficiente de $x$ não é unidade, e incluindo cálculo de restantes. |
| • recordar uma forma adequada para expressar funções racionais em frações parciais, e realizar a decomposição, em casos em que o denominador não é mais complicado do que – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Excluindo casos em que o grau do numerador excede o do denominador |
| • use a expansão de $(1 + x)^n$, onde $n$ é um número racional e $|x| < 1$. | A determinação do termo geral em uma expansão não está incluída. Adaptar as séries padrão para expandir p.ex. $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ está incluído, e determinar o conjunto de valores de $x$ para os quais a expansão é válida nesses casos também está incluído. |
Fonte: Programa Cambridge International
Duas novas ferramentas se juntam à álgebra da Pure 2.
Frações parciais
Uma única fração com um denominador fatorado pode ser dividida em uma soma de frações mais simples. Isso é chamado de escrevê-la em frações parciais 部分分式, e torna uma função racional 有理函数 (uma fração de polinômios) fácil de integrar ou expandir. Combine a forma com o denominador:
Primeiro verifique se o numerador tem grau menor que o denominador. Se não for ("numeriador pesado"), divida o polinômio primeiro: a divisão resulta em um quociente 商 mais um resto 余数 sobre o denominador original, e você divide apenas essa fração própria restante.
Uma fração com denominador fatorado se divide em uma soma de frações mais simples.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Exemplo resolvido. Expresse $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ em frações parciais.
Escreva $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, então $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Substitua $x = 2$: $6 = 3B$, então $B = 2$. Substitua $x = -1$: $3 = -3A$, então $A = -1$. Logo
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
A expansão binomial para uma potência racional
A expansão binomial 二项展开式 também funciona quando a potência é uma fração ou negativa, desde que $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Por exemplo $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.
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Curvas recíprocas
y = a/(x − b) + c
Frações parciais dividem uma fração difícil em partes recíprocas simples — cada uma com uma assíntota vertical e uma horizontal.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 二项展开式 | èr xiàng zhǎn kāi shì |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | 倒数 | dào shǔ |
3.2 3.3 3.6
Logaritmos, trigonometria e métodos numéricos (de Pure 2)
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação entre logaritmos e índices, e usar as leis dos logaritmos (excluindo mudança de base) | |
| compreender a definição e as propriedades de $e^x$ e $\ln x$, incluindo sua relação como funções inversas e seus gráficos | Incluindo conhecimento do gráfico de $y = e^{kx}$ para valores positivos e negativos de $k$. |
| use logarithms para resolver equações e inequações nas quais a incógnita aparece nos indices | p.ex. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| usar logaritmos para transformar uma relação dada em forma linear, e assim determinar constantes desconhecidas considerando a inclinação e/ou interceptação. | p. ex. $y = kx^n$ resulta em $\ln y = \ln k + n \ln x$ que é linear em $\ln x$ e $\ln y$. $y = k(a^x)$ resulta em $\ln y = \ln k + x \ln a$ que é linear em $x$ e $\ln y$. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação das funções secante, cossecante e cotangente com cosseno, seno e tangente, e usar propriedades e gráficos de todas as seis funções trigonométricas para ângulos de qualquer magnitude | |
| use identidades trigonométricas para a simplificação e avaliação exata de expressões, e no curso da resolução de equações, e selecione uma identidade ou identidades apropriadas ao contexto, demonstrando familiaridade em particular com o uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ e $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – as expansões de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ e $\tan(A \pm B)$ – as fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ e $\tan 2A$ – a expressão de $a \sin \theta + b \cos \theta$ nas formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ e $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | p.ex. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. p.ex. resolvendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente uma raiz de uma equação, por meio de considerações gráficas e/ou busca por uma mudança de sinal | p.ex. encontrar um par de inteiros consecutivos entre os quais uma raiz se encontra. |
| • compreender a ideia de, e usar a notação para, uma sequência de aproximações que converge para uma raiz de uma equação | |
| • compreender como uma fórmula iterativa simples dada da forma $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona com a equação sendo resolvida, e usar uma iteração dada, ou uma iteração baseada em um rearranjo dado de uma equação, para determinar uma raiz com uma precisão prescrita. | O conhecimento da condição para convergência não é incluído, mas espera-se a compreensão de que uma iteração pode falhar em convergir. |
Fonte: Programa Cambridge International
Os subtópicos 3.2, 3.3 e 3.6 são as mesmas habilidades encontradas na Pure 2: as leis dos logaritmos com $e^x$ e $\ln x$; as identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, as fórmulas de ângulo composto e duplo, e a forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; e resolver uma equação numericamente por uma mudança de sinal 变号 e uma fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Use-as exatamente como antes.
As três novas funções trigonométricas são os recíprocos 倒数 das conhecidas: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Dica mnemônica: combine a terceira letra — sec vai com cosine.) As duas identidades pitagóricas acima vêm diretamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Para um método numérico, uma iteração $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 para a raiz quando valores sucessivos se aproximam uns dos outros.
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Círculo unitário
(cos θ, sin θ)
A fórmula R reescreve a sin θ + b cos θ como uma única onda — e tudo isso reside neste círculo.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | 反正切 | fǎn zhèng qiè |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 分部积分 | fēn bù jī fēn |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
3.4
Diferenciação
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar as derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, juntamente com múltiplos constantes, somas, diferenças e compostas | Derivadas de $\sin^{-1} x$ e $\cos^{-1} x$ não são necessárias. |
| diferenciar produtos e quocientes | p. ex. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| encontrar e usar a primeira derivada de uma função definida parametricamente ou implicitamente. | p. ex. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ex. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluindo uso em problemas envolvendo tangentes e normais. |
Fonte: Programa Cambridge International
Os métodos são os da Pure 2 (regra do produto, quociente e cadeia, com curvas paramétricas e implícitas). Uma derivada é adicionada — a tangente inversa 反正切:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Exemplo resolvido. Derive $y = \tan^{-1}(3x)$.
Use a regra da cadeia com o resultado acima: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
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A inclinação num ponto
gradiente = dy/dx
Implícita ou não, a derivada ainda é a inclinação da tangente — deslize o ponto para vê-la.
3.5
Integração
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| estender a ideia de 'diferenciação reversa' para incluir a integração de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ e $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Incluindo exemplos como $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| usar relações trigonométricas ao realizar integração | p. ex. uso de fórmulas de ângulo duplo para integrar $\sin^2 x$ ou $\cos^2(2x)$. |
| integrar funções racionais por meio de decomposição em frações parciais | Restrito aos tipos de frações parciais especificados no tópico 3.1 acima. |
| reconhecer um integrando da forma $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, e integrar tais funções | p.ex. integração de $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| reconhecer quando um integrando pode ser útilmente considerado como um produto, e usar a integração por partes | p.ex. integração de $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| usar uma substituição dada para simplificar e avaliar uma integral definida ou indeterminada. | p.ex. para integrar $\sin^2 2x \cos x$ usando a substituição $u = \sin x$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Pure 3 adiciona vários métodos poderosos.
- Uma nova integral padrão: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Frações parciais: divida uma função racional primeiro, depois integre cada parte como um logaritmo.
- O padrão $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: isso integra para $k\ln|f(x)| + C$. Por exemplo $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Integração por partes 分部积分, usada para um produto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Integração por substituição 换元积分: uma mudança de variável dada transforma uma integral difícil em uma fácil.
Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Use integração por partes com $u = x$ e $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, então $\dfrac{du}{dx} = 1$ e $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
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A área sob a curva
área = ∫ f(x) dx
Todo método de integração mede esta área — arraste os limites para somá-la.
3.7
Vetores
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • usar notações padrão para vetores, ou seja, $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • realize adição e subtração de vetores e multiplicação de um vetor por um scalar, e interprete essas operações em termos geométricos | p.ex. ‘$OABC$ is a parallelogram’ é equivalente a $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. A forma geral do ratio theorem não está incluída, mas espera-se que a compreensão de que o ponto médio de $AB$ tem vetor posição $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ seja adquirida. |
| • calcular a magnitude de um vetor, e usar vetores unitários, vetores deslocamento e vetores posição | Em 2 ou 3 dimensões. |
| • compreender o significado de todos os símbolos usados quando a equação de uma reta é expressa na forma $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, e encontrar a equação de uma linha, dadas informações suficientes | p.ex. encontrando a equação de uma reta dado o vetor posição de um ponto na reta e um vetor direção, ou os vetores posição de dois pontos na reta. |
| • determinar se duas retas são paralelas, se intersectam ou são reversas (skew), e encontrar o ponto de interseção de duas retas quando existir | O cálculo da menor distância entre duas retas reversas não é exigido. Encontrar a equação da perpendicular comum a duas retas reversas também não é exigido. |
| • usar fórmulas para calcular o produto escalar de dois vetores, e usar produtos escalares em problemas envolvendo linhas e pontos. | p.ex. encontrando o ângulo entre duas retas, e encontrando o pé da perpendicular de um ponto a uma reta; as questões podem envolver objetos 3D como cuboides, tetraedros (pirâmides), etc. Conhecimento do produto vetorial não é exigido. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um vetor 向量 tem tanto magnitude quanto direção. Escreva-o como uma coluna, ou como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou como $\overrightarrow{AB}$.
- A magnitude 模长 (comprimento) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ é $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Um vetor unitário 单位向量 tem magnitude $1$; divida um vetor pela sua magnitude para criar um.
- Um vetor posição 位置向量 dá o lugar de um ponto em relação à origem; um vetor deslocamento 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ vai de um ponto a outro. Multiplicar por um escalar 标量 (um número comum) estica um vetor.
Linhas e o produto escalar
Uma linha reta pelo ponto $\mathbf{a}$ na direção $\mathbf{b}$ tem a equação vetorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Duas linhas podem ser paralelas 平行, podem intersecionar 相交 em um ponto, ou podem ser linhas reversas/esquisitas 异面直线 (não paralelas e nunca se encontrando).
O produto escalar 数量积 (produto ponto) de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ é
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
onde $\theta$ é o ângulo entre eles. Então $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que os vetores são perpendiculares.
Exemplo resolvido. Encontre o ângulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ e $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Então $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, dando $\theta = 27.3^\circ$.
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Somando vetores e o produto escalar
Arraste os dois vetores. Veja o resultante (ponta-cauda) e o produto escalar, que é zero quando são perpendiculares.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| vector/ˈvektə/ | 向量 | xiàng liàng |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 模长 | mó zhǎng |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | 单位向量 | dān wèi xiàng liàng |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | 位置向量 | wèi zhì xiàng liàng |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | 位移向量 | wèi yí xiàng liàng |
| scalar/ˈskeɪlə/ | 标量 | biāo liàng |
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 | píng xíng |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | 相交 | xiāng jiāo |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | 数量积 | shù liàng jī |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程 | wēi fēn fāng chéng |
| separable/ˈsepərəbl/ | 可分离变量 | kě fēn lí biàn liàng |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 通解 | tōng jiě |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初始条件 | chū shǐ tiáo jiàn |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 | tè jiě |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 复数 | fù shù |
| real part/rɪəl pɑːt/ | 实部 | shí bù |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | 虚部 | xū bù |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | 直角坐标形式 | zhí jiǎo zuò biāo xíng shì |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共轭 | gòng è |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 模 | mó |
3.8
Equações diferenciais
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| formular uma afirmação simples envolvendo uma taxa de variação como uma equação diferencial | A introdução e avaliação de uma constante de proporcionalidade, quando necessário, está incluída. |
| encontrar por integração uma forma geral de solução para uma equação diferencial de primeira ordem cujas variáveis são separáveis | Incluindo qualquer uma das técnicas de integração do tópico 3.5 acima. |
| usar uma condição inicial para encontrar uma solução particular | |
| interpretar a solução de uma equação diferencial no contexto de um problema modelado pela equação. | Onde uma equação diferencial é usada para modelar uma situação 'real', nenhum conhecimento especializado do contexto será exigido. |
Fonte: Programa Cambridge International
Uma equação diferencial 微分方程 conecta uma quantidade à sua taxa de variação. Para resolver uma equação de primeira ordem cujas variáveis são separáveis 可分离变量, coloque todos os termos $y$ de um lado e todos os termos $x$ do outro, depois integre ambos os lados. Isso fornece a solução geral 通解, que contém uma constante. Uma condição inicial 初始条件 (um valor conhecido) fixa a constante e fornece a solução particular 特解.
Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$, dado que $y = 1$ quando $x = 0$.
Separe as variáveis e integre:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Usando $y = 1$ em $x = 0$ dá $A = 1$, então $y = e^{x^2/2}$.
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Um campo de inclinações
Cada pequena linha mostra o gradiente $\frac{dy}{dx}$ ali. Uma curva solução segue as setas — altere o ponto inicial para ver outra diferente.
3.9
Números complexos
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a ideia de um número complexo, recordar o significado dos termos parte real, parte imaginária, módulo, argumento, conjugado, e usar o fato de que dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem iguais | As notações $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ devem ser conhecidas. O argumento de um número complexo referir-se-á geralmente a um ângulo $\theta$ tal que $-\pi < \theta \leqslant \pi$, mas em alguns casos o intervalo $0 \leqslant \theta < 2\pi$ pode ser mais conveniente. Respostas podem usar qualquer intervalo a menos que a questão especifique o contrário. |
| realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de dois números complexos expressos em forma cartesiana $x + \text{i}y$ | Para cálculos envolvendo multiplicação ou divisão, detalhes completos do desenvolvimento devem ser mostrados. |
| usar o resultado de que, para uma equação polinomial com coeficientes reais, quaisquer raízes não-reais ocorrem em pares conjugados | p.ex. ao resolver uma equação cúbica ou quártica onde uma raiz complexa é dada. |
| representar números complexos geometricamente por meio de um diagrama de Argand | |
| realizar operações de multiplicação e divisão de dois números complexos expressos em forma polar $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Incluindo os resultados $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ e $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, e resultados correspondentes para divisão. |
| encontrar as duas raízes quadradas de um número complexo | p.ex. as raízes quadradas de $5 + 12\text{i}$ em forma cartesiana exata. Detalhes completos do desenvolvimento devem ser mostrados. |
| compreender em termos simples os efeitos geométricos de conjugar um número complexo e de somar, subtrair, multiplicar e dividir dois números complexos | |
| ilustrar equações e desigualdades simples envolvendo números complexos por meio de loci em um diagrama de Argand | p.ex. $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um número complexo 复数 tem a forma $z = x + iy$, onde $i^2 = -1$. Aqui $x$ é a parte real 实部 e $y$ é a parte imaginária 虚部. Esta $x + iy$ é a forma cartesiana 直角坐标形式. Dois números complexos são iguais apenas quando suas partes reais coincidem e suas partes imaginárias coincidem.
- O conjugado 共轭 de $z = x + iy$ é $z^* = x - iy$. Para um polinômio com coeficientes reais, quaisquer raízes não-real vem em pares conjugados.
- O módulo 模 é $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sua distância da origem) e o argumento 辐角 é o ângulo que o ponto faz, medido a partir do eixo real positivo.
- Você pode plotar $z$ como um ponto em um diagrama de Argand 阿干图 (o plano complexo).
- A forma polar 极坐标形式 é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, onde $r = |z|$ e $\theta$ é o argumento. Multiplicar multiplica os módulos e soma os argumentos.
- Os loci de pontos satisfazendo uma condição em $z$ são desenhados no diagrama de Argand — ex. $|z - a| = r$ é um círculo, $|z - a| = |z - b|$ uma mediatriz, e $\arg(z - a) = \theta$ um semirraio. As raízes quadradas de um número complexo vêm de resolver $w^2 = z$.
Para dividir, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo resolvido. Escreva $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ na forma $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Uma equação ou desigualdade em $z$ descreve um lugar geométrico/locus 轨迹 (um caminho ou região) no diagrama de Argand. Por exemplo $|z - a| = r$ é um círculo de raio $r$ centrado em $a$.
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Diagrama de Argand
Arraste o ponto. Um número complexo $a + bi$ é um ponto no plano; seu módulo é a distância até a origem e seu argumento é o ângulo.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 辐角 | fú jiǎo |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | 阿干图 | ā gàn tú |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | 极坐标形式 | jí zuò biāo xíng shì |
| locus/ˈləʊkəs/ | 轨迹 | guǐ jì |
3.9
Dicas de prova
- Divida uma função racional em frações parciais antes de integrar ou expandir.
- Escolha a técnica de integração correta (substituição, por partes ou frações parciais) baseada na forma do integrando.
- Use o produto escalar (ponto) para o ângulo entre vetores e para testar perpendicularidade; escreva uma linha como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Dê números complexos na forma solicitada (cartesiana ou módulo-argumento) e mostre-os em um diagrama de Argand.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.