Probabilidade e Estatística 2

*Pessoas chegando aleatoriamente em uma fila seguem uma distribuição Poisson.

A distribuição Poisson 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ modela o número de eventos aleatórios em um intervalo fixo, quando os eventos ocorrem a uma taxa média estável $\lambda$:

Para uma variável Poisson, a média e a variância são ambas iguais a $\lambda$. A distribuição Poisson é uma boa aproximação 近似 à distribuição binomial quando $n$ é grande e $p$ é pequena. A distribuição normal (com correção de continuidade) aproxima a Poisson quando $\lambda$ é grande.

Exemplo resolvido. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Encontre $P(X = 2)$.

Ao alterar uma variável por uma regra linear, a expectativa 期望 (média) e a variância 方差 seguem estas regras:

Para duas variáveis independentes $X$ e $Y$: Dois fatos úteis: se $X$ tem uma distribuição normal 正态分布, então $aX + b$ também tem; e a soma de variáveis Poisson independentes é novamente Poisson.

Exemplo resolvido. $X$ tem média $5$ e variância $4$. Encontre $E(3X - 1)$ e $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Uma variável aleatória contínua 连续型随机变量 pode assumir qualquer valor em um intervalo. Suas probabilidades vêm de uma função de densidade de probabilidade 概率密度函数 $f(x)$, com duas propriedades principais:

Uma probabilidade é a área sob $f$, e a média é encontrada por integração:

A função de distribuição acumulada 累积分布函数 é $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; a mediana 中位数 resolve $F(m) = 0.5$, e outros percentis 百分位数 resolvem $F(x) = p$.

Exemplo resolvido. Uma variável contínua tem $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$ (e $0$ em outro lugar). Encontre $E(X)$.

A variância usa a mesma ideia, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Para a mesma $f(x)=\tfrac12 x$ em $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, logo $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

*Estatística estuda uma amostra para aprender sobre toda uma população.

Uma amostra 样本 é um pequeno grupo escolhido de toda a população 总体. Uma amostra aleatória precisa de aleatoriedade 随机性, para que cada membro tenha chance justa de ser selecionado.

Alguns métodos são insatisfatórios porque são viesados 有偏: amostrar apenas voluntários, ou as primeiras 20 pessoas a chegarem, superrepresenta certos tipos de pessoas. Uma amostra genuinamente aleatória usa números aleatórios – numerar cada membro da população, depois extrair números (de uma tabela ou gerador) para decidir quem está na amostra.

A média amostral $\bar{X}$ é ela própria uma variável aleatória, com

Pelo Teorema Central Limite 中心极限定理, para uma amostra grande $\bar{X}$ é aproximadamente normal, independente da forma da população.

De uma amostra, você pode encontrar estimativas não viesadas 无偏估计 da média e variância populacionais. Um intervalo de confiança 置信区间 fornece uma faixa que provavelmente contém a média verdadeira. Quando a população é normal com $\sigma$ conhecido (ou a amostra é grande), um intervalo $95\%$ é

*Um intervalo de confiança $95\%$ se estende $1.96$ erros padrão de cada lado da média amostral.

Você também pode encontrar um intervalo de confiança para uma proporção populacional 总体比例 a partir de uma amostra grande.

Exemplo resolvido. Uma amostra de $n = 64$ tem média $\bar{x} = 50$, de uma população com $\sigma = 8$. Encontre um intervalo de confiança $95\%$ para a média populacional.

Um teste de hipótese 假设检验 usa dados amostrais para julgar uma afirmação. Você estabelece duas declarações: a hipótese nula 原假设 $H_0$ (a afirmação sendo testada, geralmente "sem mudança") e a hipótese alternativa 备择假设 $H_1$ (o que você suspeita em vez disso). O teste é unilateral 单尾 se $H_1$ aponta para um lado (ex: $\mu > 50$) e bilateral 双尾 se permite ambos os sentidos ($\mu \neq 50$).

Você define um nível de significância 显著性水平 (frequentemente $5\%$), calcula uma estatística de teste 检验统计量 a partir dos dados e verifica se ela cai na região de rejeição 拒绝域 (também chamada de região crítica); se cair, você rejeita $H_0$, caso contrário, a estatística está na região de aceitação.

Dois erros são possíveis: um Erro Tipo I 第一类 erro é rejeitar $H_0$ quando ele é realmente verdadeiro; um Erro Tipo II 第二类 erro é aceitar $H_0$ quando ele é realmente falso. Você pode encontrar suas probabilidades a partir da região de rejeição: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – isso equivale ao nível de significância – e $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ verdadeiro para um valor declarado$)$, calculado a partir da distribuição binomial, Poisson ou normal.

Exemplo resolvido. Afirma-se que uma população tem média $50$, com $\sigma = 8$. Uma amostra de $n = 64$ dá $\bar{x} = 52$. Teste no nível $5\%$ se a média mudou.

$H_0\!: \mu = 50$ e $H_1\!: \mu \neq 50$ (bilateral). A estatística de teste é

O valor crítico em $5\%$ (bilateral) é $1.96$. Como $2 > 1.96$, você rejeita $H_0$: há evidências de que a média mudou.

Exemplo resolvido (um teste binomial). Uma moeda é dita justa, mas suspeita de cair coroa raramente demais: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. Em $n=30$ lançamentos, você vê $X=9$ coroas. Sob $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, então a probabilidade unilateral da cauda é

Como $0.021<0.05$, rejeita-se $H_0$: a moeda parece realmente tendenciosa contra coroas. (Para grandes $n$, a binomial é aproximada por uma normal; um teste Poisson funciona da mesma forma para eventos raros. E aqui, se a regra é "rejeitar quando $X\leqslant 9$", então $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Use a distribuição Poisson para eventos raros, aleatórios e independentes; sua média iguala sua variância ($= \lambda$).
• Ao combinar variáveis aleatórias independentes, variâncias se somam (elas nunca se subtraem).
• Para um teste de hipótese, declare $H_0$ e $H_1$, o nível de significância, a estatística de teste e uma conclusão no contexto.
• Para um intervalo de confiança, use o valor correto de $z$ (ou $t$) e interprete-o com palavras.